Algebra linear

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Questão 1/5 - Álgebra Linear
Abaixo estão apresentadas duas etapas do escalonamento da matriz A=⎡⎢⎣1−2110−1042⎤⎥⎦:A=[1−2110−1042]:
⎡⎢⎣1−2110−1042⎤⎥⎦ L2←L2−L1 ⎡⎢⎣1−210x−2042⎤⎥⎦ L3←L3−2L2 ⎡⎢⎣1−210x−200y⎤⎥⎦.[1−2110−1042] L2←L2−L1 [1−210x−2042] L3←L3−2L2 [1−210x−200y].
Assinale a alternativa que contém o valor de xx e o valor de yy:
Nota: 20.0
	
	A
	x = -2 e y = 4.
	
	B
	x = -2 e y = -6.
	
	C
	x = 2 e y = -6.
	
	D
	x = 2 e y = 6.
Você acertou!
Aplicando a operação elementar: L2←L2−L1,L2←L2−L1, temos x=0−(−2)=2.x=0−(−2)=2. Por fim, aplicando a operação: L3←L3−2L2,L3←L3−2L2, encontramos y=2−2(−2)=6y=2−2(−2)=6
(livro-base p. 56-61).
	
	E
	x = 2 e y = 4.
Questão 2/5 - Álgebra Linear
Considere os vetores v1=(−1,3), v2=(3,2) e v3=(7,1)v1=(−1,3), v2=(3,2) e v3=(7,1) em R2.R2. Analise as afirmativas:
I. Os vetores v1 e v2v1 e v2 satisfazem a igualdade v2=−3v1.v2=−3v1.
II. O vetor v3v3 é uma combinação linear dos vetores v1 e v2.v1 e v2.
III. Os vetores v1, v2 e v3v1, v2 e v3 são linearmente independentes.
Está correto o que se afirma em:
Nota: 20.0
	
	A
	I, apenas.
	
	B
	I e II, apenas.
	
	C
	I e III, apenas.
	
	D
	II, apenas.
Você acertou!
Afirmativa I, temos que: −3v1=−3.(−1,3)=(3,−9)≠v2=(3,2).−3v1=−3.(−1,3)=(3,−9)≠v2=(3,2). afirmativa I incorreta.  Afirmativa II, basta observar que v3=−v1+2v2.v3=−v1+2v2. Isso mostra que a afirmativa II está correta.  Afirmativa III, incorreta pois, a igualdade a(−1,3)+b(3,2)+c(7,1)=(0,0)a(−1,3)+b(3,2)+c(7,1)=(0,0), deve ter solução única, mas {−a+3b+7c=03a+2b+c=0⇒{a−c=0b+2c=0{−a+3b+7c=03a+2b+c=0⇒{a−c=0b+2c=0 sistema com infinitas soluções, então os vetores são LD (livro-base p. 96-102).
	
	E
	II e III, apenas.
Questão 3/5 - Álgebra Linear
Uma forma quadrática arbitrária de R2R2 pode ser escrita como a1x21+a2x22+2a3x1x2a1x12+a2x22+2a3x1x2.  Expresse a forma quadrática 2x2+6xy−5y22x2+6xy−5y2 em notação matricial XTAXXTAX = [xy].[a1a3a3a2].[xy][xy].[a1a3a3a2].[xy] sendo AA simétrica.
Nota: 20.0
	
	A
	[xy].[2−533].[xy][xy].[2−533].[xy]
	
	B
	[xy].[233−5].[xy][xy].[233−5].[xy]
Você acertou!
Temos que [xy].[a1a3a3a2].[xy][xy].[a1a3a3a2].[xy] e que a1=2,a2=−5 e a3=6a1=2,a2=−5 e a3=6 coeficientes de 2x2+6xy−5y2.2x2+6xy−5y2.  Logo, 
[xy].[233−5].[xy][xy].[233−5].[xy].  (Livro-base p. 178-181).
	
	C
	[xy].[266−5].[xy][xy].[266−5].[xy]
	
	D
	[xy].[6−532].[xy][xy].[6−532].[xy]
	
	E
	[xy].[1−531].[xy][xy].[1−531].[xy]
Questão 4/5 - Álgebra Linear
Seja B = {(1,1,1),(−2,1,1),(0,−1,1)}{(1,1,1),(−2,1,1),(0,−1,1)} base do R3R3.   Verifique se esta base é ortonormal.  Se não for, obtenha, a partir de B, uma base B' que seja ortonormal.
Nota: 20.0
	
	A
	B é base ortonormal.
	
	B
	B´={(1√3,1√3,1√3),(−2√6,1√6,1√6),(0,−1√2,1√2)}B´={(13,13,13),(−26,16,16),(0,−12,12)} 
Você acertou!
O conjunto é uma base, pois (1,1,1).(−2,1,1)=0,(1,1,1).(0,−1,1)=0 e (−2,1,1).(0,−1,1)=0.(1,1,1).(−2,1,1)=0,(1,1,1).(0,−1,1)=0 e (−2,1,1).(0,−1,1)=0.  Porém não são ortonormais (base de vetores unitários).  Ortonormalizando os vetores: u1=v1|v1|=(1,1,1)√12+12+12=1√3.(1,1,1)u2=v2|v2|=(−2,1,1)√(−2)2+12+12=1√6.(−2,1,1)u3=v3|v3|=(0,−1,1)√02+(−1)2+12=1√2.(0,−1,1)u1=v1|v1|=(1,1,1)12+12+12=13.(1,1,1)u2=v2|v2|=(−2,1,1)(−2)2+12+12=16.(−2,1,1)u3=v3|v3|=(0,−1,1)02+(−1)2+12=12.(0,−1,1)
(livro-base p. 150-152
	
	C
	B´={(1√4,2√4,−3√4),(3√20,0,1√20),(1√5,−5√5,−3√5)}B´={(14,24,−34),(320,0,120),(15,−55,−35)}
	
	D
	B´={(1√5,2√5,−3√5),(3√10,0,1√10),(1√3,−5√3,−3√3)}B´={(15,25,−35),(310,0,110),(13,−53,−33)} 
	
	E
	B´={(−1√14,−2√14,3√14),(3√10,0,1√10),(1√35,−5√35,−3√35)}B´={(−114,−214,314),(310,0,110),(135,−535,−335)}
Questão 5/5 - Álgebra Linear
Encontre todos os autovalores e autovetores da transformação linear T:R2→R2T:R2→R2, definida por T(x,y)=(−3x+4y,−x+2y)T(x,y)=(−3x+4y,−x+2y).
Nota: 20.0
	
	A
	v1=(−1,25),λ1=2u2=(2,−1),λ=−2v1=(−1,25),λ1=2u2=(2,−1),λ=−2
	
	B
	v1=(−1,2),λ1=1u2=(1,1),λ2=3v1=(−1,2),λ1=1u2=(1,1),λ2=3
	
	C
	v1=(2,14),λ1=2u2=(−2,−1),λ2=3v1=(2,14),λ1=2u2=(−2,−1),λ2=3
	
	D
	v1=(5,1),λ1=0u2=(3,−1),λ2=−4v1=(5,1),λ1=0u2=(3,−1),λ2=−4
	
	E
	v1=(1,1),λ1=1u2=(4,1),λ2=−2v1=(1,1),λ1=1u2=(4,1),λ2=−2
Você acertou!
A matriz que representa a transformação T é dada por:
[T]=[−34−12][T]=[−34−12]
Determinamos o polininômio característico:
P(λ)=det(A−Iλ)=∣∣∣−3−λ4−12−λ∣∣∣P(λ)=det(A−Iλ)=|−3−λ4−12−λ|  = λ2+λ−2=0λ2+λ−2=0.
Resolvendo a equação, temos λ1=1 e λ2=−2λ1=1 e λ2=−2
Para o cálculo dos autovetores, devemos resolver o sistema:
Av=λ.vAv=λ.v
para λ1=1λ1=1
[−34−12][−34−12].[xy][xy]  = 1.[xy]1.[xy]
temos o sistema linear
{−4x+4y=0−x+y=0{−4x+4y=0−x+y=0
resolvendo o sistema, temos que x=yx=y    v1=(1,1).v1=(1,1).
Para λ2=−2λ2=−2
[−34−12][−34−12][xy][xy]=−2.[xy]−2.[xy]
temos o sistema linear
{−x+4y=0−x+4y=0{−x+4y=0−x+4y=0
resolvendo o sistema, temos que x=y4x=y4   ou y=4xy=4x  e v2=(4,1)v2=(4,1)
(livro-base p. 161-167).