APOL - Análise Combinatória I

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Questão 1/10 - Análise Combinatória
Considere o binômio (x−1x)8.(x−1x)8. Com base nele, assinale V para as afirmativas verdadeira e F para as falsas.
I.  (   ) O termo geral do desenvolvimento deste binômio é Tp+1=(8p)(−1)px8−2p.Tp+1=(8p)(−1)px8−2p.
 
II. (   ) O coeficiente independente de xx vale 70.
III.  (   ) O desenvolvimento deste binômio não apresenta parcela com o monômio x5.x5. 
Agora, marque a alternativa com a sequência correta:
Nota: 10.0
	
	A
	V – V – V
Você acertou!
O termo geral do desenvolvimento do binômio (x−1x)8(x−1x)8 é dado por
Tp+1=(8p)(−1x)px8−p=(8p)(−1)px−px8−p=(8p)(−1)px8−2p,Tp+1=(8p)(−1x)px8−p=(8p)(−1)px−px8−p=(8p)(−1)px8−2p,
o que mostra que a afirmativa I é verdadeira. O coeficiente independente de xx ocorre quando a potência de xx for nula. Isso acontece quando no termo geral do desenvolvimento tivermos 8−2p=08−2p=0, isto é, p=4.p=4. Logo, o coeficiente independente de xx vale T5=(84)(−1)4=(84)=70T5=(84)(−1)4=(84)=70 e a afirmativa II é verdadeira. Para que tenhamos o monômio x5x5 no desenvolvimento do binômio em questão, devemos impor que 8−2p=5.8−2p=5. Como não existe p∈Np∈N que satisfaz essa equação, concluímos que o desenvolvimento não apresenta parcela com o monômio x5x5. Portanto, a afirmativa III também é verdadeira.
	
	B
	V – F – V
	
	C
	V – V – F
	
	D
	V – F – F
	
	E
	F – V – V
Questão 2/10 - Análise Combinatória
Uma combinação simples de nn elementos (distintos), tomados pp a pp, é qualquer escolha de pp elementos dentre os nn elementos dados. Escrevemos Cn,pCn,p para indicar a quantidade de combinações de nn elementos, tomados pp a pp. Com base nesta noção, coloque V quando a afirmativa for verdadeira e F quando falsa.
I.  (   ) Deseja-se formar uma equipe de três membros e dispõe-se de sete funcionários. O número de equipes que podem ser formadas é 35. 
II.  (   ) Na primeira fase de um campeonato de futebol com 6 times, cada time jogou exatamente uma vez contra cada um dos outros. Nesta fase, foram realizados 15 jogos.
III. (   ) A equação Cn,2=28Cn,2=28 é satisfeita para n=8.n=8. 
Agora, marque a sequência correta:
Nota: 10.0
	
	A
	V, V, V
Você acertou!
Cada equipe é uma escolha de três funcionários dentre os sete disponíveis. Logo, o número de equipes é C7,3=7!3!(7−3)!=35.C7,3=7!3!(7−3)!=35. A afirmativa I é verdadeira. O número de jogos realizados corresponde à quantidade de maneiras de escolhermos 2 times dentre os 6. Este número é C6,2=15C6,2=15 e a afirmativa II é verdadeira. Notamos que
(n2)=28⟹n!2!(n−2)!=28⟹n2−n−56=0⟹n=−7 ou n=8.(n2)=28⟹n!2!(n−2)!=28⟹n2−n−56=0⟹n=−7 ou n=8.
Como n=−7n=−7 não é permitido, garantimos que n=8n=8 e a afirmativa III também é verdadeira.
	
	B
	V, F, V
	
	C
	V, V, F
	
	D
	V, F, F
	
	E
	F, V, V
Questão 3/10 - Análise Combinatória
Considere o triângulo de Pascal parcialmente apresentado abaixo:
1a linha:12a linha:113a linha:1214a linha:13311a linha:12a linha:113a linha:1214a linha:1331
Com base nesse triângulo, coloque V quando a afirmativa for verdadeira e F quando falsa.
I. (   ) A terceira linha do triângulo de Pascal contém os números binomiais com n=2n=2, isto é, (20),(21)(20),(21) e (22).(22).
 
II. (   ) A quinta linha do triângulo de Pascal é formada pelos números 1, 4, 6, 4 e 1, dispostos da esquerda para a direita, nessa ordem. 
III. (   ) Os coeficientes que aparecem no desenvolvimento do binômio (x+a)5(x+a)5 com a∈R,a≠0a∈R,a≠0 são 1, 5 e 10. 
 
Agora, marque a sequência correta:
Nota: 10.0
	
	A
	V – V – V
Você acertou!
A terceira linha do triângulo de Pascal é formada pelos números (20)=1,(21)=2(20)=1,(21)=2 e (22)=1.(22)=1. Logo, a afirmativa I é verdadeira. A 5ª linha é formada pelos números binomiais: (40)=1,(41)=4,(42)=6,(43)=4(40)=1,(41)=4,(42)=6,(43)=4 e (44)=1.(44)=1. Assim, a afirmativa II é verdadeira. Notamos também que a 6ª linha do triângulo de Pascal contém os coeficientes do desenvolvimento de (x+a)5(x+a)5. Calculando os números binomiais com n=6n=6, encontramos os coeficientes: 1, 5 e 10. Portanto, a afirmativa III é verdadeira.
	
	B
	V – F – V
	
	C
	V – V – F
	
	D
	V – F – F
	
	E
	F – V – V
Questão 4/10 - Análise Combinatória
A tabela abaixo indica as quantidades de médicos de duas especialidades, alergologistas e dermatologistas, em uma certa região, agrupados também de acordo com suas nacionalidades.
AlergologistaDermatologistasTotalBrasileiros5070120Cubanos6040100Total110110220AlergologistaDermatologistasTotalBrasileiros5070120Cubanos6040100Total110110220
Com base nessa tabela, analise as afirmativas: 
 
I. Escolhendo ao acaso um médico desse grupo, a probabilidade dele ser dermatologista é igual a 50%.50%.
II. Escolhendo ao acaso um médico desse grupo, a probabilidade dele ser dermatologista, sabendo que é cubano é igual a 40%.40%.
III. Escolhendo ao acaso um médico desse grupo, a probabilidade dele ser alergologista, dado que é brasileiro, é 45%.45%.
São corretas as afirmativas:
Nota: 10.0
	
	A
	I, apenas.
	
	B
	I e II, apenas.
Você acertou!
O número de dermatologistas é 110. Como o total de médicos é 220, a probabilidade de que um deles, escolhido ao acaso, seja dermatologista é igual a 110220=50%.110220=50%. Logo, a afirmativa I é correta. Sejam AA o evento que ocorre se o médico escolhido for dermatologista e BB se o médico é cubano. Temos P(B)=100220P(B)=100220 e P(A∩B)=40220.P(A∩B)=40220. Assim, a probabilidade do médico ser dermatologista, sabendo que é cubano é igual a P(A∖B)=P(A∩B)P(B)=40%,P(A∖B)=P(A∩B)P(B)=40%, o que mostra que a afirmativa II é correta. Sejam CC o evento que ocorre se o médico escolhido for alergologista e DD se o médico é brasileiro. Então, P(D)=120220P(D)=120220 e P(C∩D)=50220.P(C∩D)=50220. Assim, a probabilidade do médico ser alergologista, dado que é brasileiro é igual a P(C∖D)=P(C∩D)P(D)≈41,7%.P(C∖D)=P(C∩D)P(D)≈41,7%. Logo, a afirmativa III é incorreta.
	
	C
	I e III, apenas.
	
	D
	II, apenas.
	
	E
	II e III, apenas.
Questão 5/10 - Análise Combinatória
Dois eventos AA e BB são chamados independentes se P(A∩B)=P(A)⋅P(B).P(A∩B)=P(A)⋅P(B). Considere o experimento que consiste no lançamento de um dado perfeito (com seis faces, numeradas de 1 a 6, todas com a mesma probabilidade de serem obtidas). Considere os eventos:
AA:  "O resultado é par".
BB: "O resultado é maior ou igual a 5".
CC: "O resultado é múltiplo de 3".
Com base nesse experimento e os eventos listados acima, assinale V quando a afirmativa for verdadeira e F quando falsa. 
I.  (   ) Os eventos AA e BB são independentes. 
II.  (   ) Os eventos AA e CC são independentes. 
III.  (   ) Os eventos BB e CC são independentes. 
Agora, marque a alternativa com a sequência correta:
Nota: 10.0
	
	A
	V – V – V
	
	B
	V – F – V
	
	C
	V – V – F
Você acertou!
Inicialmente, as probabilidades de ocorrerem os eventos AA, BB e CC são dadas, respectivamente, por P(A)=36=12P(A)=36=12, P(B)=26=13P(B)=26=13 e P(C)=26=13.P(C)=26=13. Observamos que A∩B={6}.A∩B={6}. Assim, P(A∩B)=16=P(A)⋅P(B),P(A∩B)=16=P(A)⋅P(B), o que garante que os eventos AA e BB são independentes e a afirmativa I é verdadeira. Notamos agora que A∩C={6}.A∩C={6}. Logo, P(A∩C)=16=P(A)⋅P(C)P(A∩C)=16=P(A)⋅P(C) e a afirmativa II também é verdadeira. Além disso, B∩C={6}B∩C={6}, donde P(B∩C)=16≠P(B)⋅P(C),P(B∩C)=16≠P(B)⋅P(C), o que nos leva a concluir que BB e CC não são independentes. Portanto, a afirmativa III é falsa.
	
	D
	V – F – F
	
	E
	F – V – V
Questão 6/10 - Análise Combinatória
Duas pessoas praticam tiro ao alvo. A probabilidade de a 1ª atingir o alvo é P(A)=13P(A)=13 e a probabilidade de a 2ª atingir o alvo é P(B)=23.P(B)=23. Admitindo AA e BB independentes, assinale a alternativa que apresenta a probabilidade de ao menos um atingir o alvo, se os dois atiram.
Nota: 10.0
	
	A
	2929
	
	B
	3939
	
	C
	5959
	
	D
	7979
Você acertou!
Essa probabilidade é dada por P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B).P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B). Como os eventos AA e BB são independentes, temos P(A∩B)=P(A)⋅P(B)=29.P(A∩B)=P(A)⋅P(B)=29. Portanto, P(A∪B)=13+23−29=79.P(A∪B)=13+23−29=79.
	
	E
	11
Questão 7/10 - Análise CombinatóriaAssinale a alternativa que apresenta o número exato de anagramas da palavra PRÁTICO que iniciam com R e terminam com I.
Nota: 10.0
	
	A
	24
	
	B
	60
	
	C
	120
Você acertou!
Uma vez fixadas as letras R e I, devemos permutar as 5 letras restantes: P, A, T, C, O. Logo, teremos 5!=1205!=120 anagramas que iniciam com a letra R e terminam com a letra I.
	
	D
	360
	
	E
	720
Questão 8/10 - Análise Combinatória
Três moedas são lançadas simultaneamente. A respeito desse experimento aleatório, analise as afirmativas:
I. O espaço amostral associado a esse experimento é formado por 6 eventos elementares. 
II. A probabilidade de obter exatamente duas caras é 38.38.
III.  A probabilidade de obter pelo menos duas caras é 12.12. 
São corretas as afirmativas:
Nota: 10.0
	
	A
	I, apenas.
	
	B
	I e II, apenas.
	
	C
	I e III, apenas.
	
	D
	II, apenas.
	
	E
	II e III, apenas.
Você acertou!
Indicamos "cara" por KK e "coroa" por CC. O espaço amostral é então Ω={(CCC),(CCK),(CKC),(CKK),(KCC),(KCK),(KKC),(KKK)}.Ω={(CCC),(CCK),(CKC),(CKK),(KCC),(KCK),(KKC),(KKK)}.Com isso, o espaço amostral é formado por 8 eventos elementares e a afirmativa I é falsa. Se AA indica o evento de "obter duas caras", teremos A={(KKC),(KCK),(CKK)}.A={(KKC),(KCK),(CKK)}. Logo, a probabilidade de obter exatamente duas caras é P(A)=#A#Ω=38.P(A)=#A#Ω=38. Assim, a afirmativa II é correta. Se BB denota o evento  "obter pelo menos duas caras", teremos B={(KKC),(KCK),(CKK),(KKK)}.B={(KKC),(KCK),(CKK),(KKK)}. Portanto, P(B)=#B#Ω=48=12P(B)=#B#Ω=48=12 e a afirmativa III é correta.
Questão 9/10 - Análise Combinatória
O número do cartão de crédito é composto de 16 algarismos. Eduardo teve seu cartão quebrado, perdendo a parte que contém os quatro últimos dígitos. Apenas consegue lembrar que o número formado por eles é par, começa com 3 e tem todos os algarismos distintos. Assinale a alternativa que apresenta a quantidade exata de números satisfazendo essas condições.
Nota: 10.0
	
	A
	120
	
	B
	280
Você acertou!
Para o último algarismo, existem 5 modos possíveis: 0, 2, 4, 6 e 8. Assim, pelo Princípio Fundamental da Contagem, existem 1×8×7×5=2801×8×7×5=280 números satisfazendo as condições apresentadas.
	
	C
	420
	
	D
	580
	
	E
	840
Questão 10/10 - Análise Combinatória
Assinale a alternativa que apresenta o coeficiente de x2x2 no desenvolvimento de (x+2)5(x+2)5:
Nota: 10.0
	
	A
	60
	
	B
	70
	
	C
	80
Você acertou!
O termo geral do desenvolvimento de (x+2)5(x+2)5 é dado por Tp+1=(5p)2px5−pTp+1=(5p)2px5−p com 0≤p≤50≤p≤5. Como queremos o coeficiente de x2x2, devemos impor que 5−p=25−p=2, isto é, p=3p=3. Portanto, T4=(53)23x2=80x2.T4=(53)23x2=80x2.
	
	D
	90
	
	E
	100