Equações e inequações quadráticas

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Curso de Licenciatura em Gestão de Sistemas de Informação 
Teste 2 – Trabalho de campo 
Titulo: 
Equações e inequações quadráticas 
 
 
Autor: Pedro António Rungo 
 
Tutor: João Silvestre Correia 
 
 
 
 
 
Maputo, Março 2021 
Índice 
1. Introdução ................................................................................................................................ 3 
2. Objectivos ................................................................................................................................ 3 
3. Metodologia ............................................................................................................................. 3 
4. Equações quadráticas ............................................................................................................... 4 
4.1. Equações quadráticas paramétricas simples ........................................................................ 6 
5. Funções Quadráticas ................................................................................................................ 8 
5. Inequações Quadráticas ......................................................................................................... 10 
6. Aplicações ............................................................................................................................. 12 
7. Considerações finais .............................................................................................................. 14 
8. Referências Bibliográficas ..................................................................................................... 15 
 
 
 
3 
 
1. Introdução 
A matemática surgiu a partir da necessidade do homem, tanto é, que a maior parte dos problemas 
matemáticos antigos, relacionam-se a ocasiões do dia-a-dia, como contar ou até mesmo como 
calcular a área de um determinado terreno. E será a partir de situações com essas que surgem as 
equações quadráticas, e em suma, a primeira parte deste trabalho resume-se a descrever a busca 
da solução algébrica das equações quadráticas, seguido de um estudo e aplicações acerca das 
funções quadráticas. 
2. Objectivos 
O objectivo deste trabalho é mostrar os métodos para encontrar as soluções de uma equação 
quadrática, como representar uma função quadrática e dar a conhecer e entender as suas 
aplicações. 
3. Metodologia 
A pesquisa caracterizou-se por um levantamento bibliográfico, em fontes impressas como livros 
disponíveis na biblioteca; como também artigos e dissertações encontradas de outras instituições 
de ensino. 
NOTA: todos os exemplos neste trabalho, foram criados por mim. 
4 
 
4. Equações quadráticas 
Definição 
Equação quadrática é toda equação polinomial do tipo , onde , a, b e c 
são números reais e chamam-se coeficientes. 
Resolução das Equações Quadráticas 
Actualmente o método usado para a resolução de equações quadráticas é dada pela formula 
resolvente 
 √ 
 
, onde , sendo possível deste modo solucionar qualquer 
equação polinomial do segundo grau. 
Condições do Discriminante (delta) 
 Se a equação admite duas raízes reais diferentes; 
 Se a equação admite uma raiz dupla, ou seja duas raízes iguais; 
 Se a equação não admite raízes reais. 
As equações quadráticas possuem duas raízes reais no máximo, e por possuírem tais raízes 
podemos encontrar a soma e o produto destas. 
Soma e Produto das equações quadráticas 
 Soma é dada pelo somatório das raízes ou ainda pela relação 
 
 
 
 Produto é dado pela multiplicação das raízes ou ainda pela relação 
 
 
 
Existem outros métodos para resolução destas equações: 
Lei do anulamento do produto 
Um produto ( ) ( ) de factores é nulo se e só se pelo menos, um dele for zero. Se ( ) 
 ( ) . 
Exemplos: 
1. Vamos Resolver a seguinte equação quadrática completa: 
a) 
Como vimos anteriormente para resolução deste exercício usaremos a formula 
resolvente, sendo assim primeiro iremos calcular o discriminante (delta). 
 
 
 
5 
 
 ( ) 
 
 √ 
 
 
 
 √ 
 
 {
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 { 
 
 
 } 
As soluções da equação são 
 
 
 , também chamados de raízes, ou zeros. 
 
2. Agora vamos resolver equações quadráticas incompletas: 
a) 
Neste exemplo, temos uma equação incompleta sem o valor de c, então para sua 
resolução usaremos a lei do anulamento do produto. 
Nota: usaremos a lei do anulamento do produto, mas é também possível resolver pela 
fórmula resolvente. 
 
 ( ) 
 
 
 
 * + 
 
b) 
Neste exemplo, temos uma equação incompleta sem o valor de b, a resolução pode 
ser feita pela fórmula resolvente, mas também pode ser feita de uma maneira simples 
e rápida: 
 
 
 
6 
 
( )
 
 
 
 
 
 * + 
Outros exemplos 
c) 
 
 ( ) ( ) ( ) 
 
Neste exemplo não teremos soluções reais visto que 
4.1. Equações quadráticas paramétricas simples 
Definição 
Vimos que uma equação quadrática é da forma , que contém apenas uma 
variável x. Quando esta equação, para além da incógnita considerada (x) contém outra variável, 
denominado parâmetro diz-se paramétrica. 
Por exemplo: , esta é uma equação quadrática em x e paramétrica em K. 
Para a resolução deste tipo de equações, usaremos as condições do delta descritas acima, e soma 
e produto das equações quadráticas, vistas acima. 
Exemplos: 
1. Temos a seguinte equação quadrática paramétrica simples 
a) ( ) 
Pedidos: 
Encontrar o valor do parâmetro R: 
i) De modo que a soma das raízes seja igual a 4; 
Como vimos acima soma das raízes de uma equação quadrática é dada por 
 
 
, 
sendo assim vamos extrair os valor de a, b e c na equação: ( ) 
 . Como a soma deve ser igual a 4 então S=4, assim temos: 
7 
 
 
 
 
 
 
 ( )
 
 
 
 
 * + 
ii) De modo que a equação admita duas raízes reais iguais 
Para este exercício usaremos as condições do Delta, e vimos que para a equação 
admitir duas raízes reais iguais (raiz dupla) temos , assim teremos: 
 
( ( ))
 
 
 
 ( ) 
 
 
 √ 
 
 
 
 √ 
 
 {
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 * + 
Neste caso, se o R for -8 ou 4, a equação terá uma raiz dupla. 
2. Vamos ver outro exemplo, com a seguinte equação paramétrica simples: 
 ( ) 
Pedidos, determinar o valor de P de modo que a equação: 
i) Tenha como produto das raízes 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
 * + 
ii) Não admita raízes reais 
 
 
 ( ) ( ) 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 ] 
 
 
 [ 
 
 
5. Funções Quadráticas 
Definição 
Uma função f, é chamada de função quadrática quando existirem números reais a, b e c, com 
 , tais que ( ) , para todo x real. 
Uma função quadrática é representada por uma parábola, esta pode estar voltada para cima ou 
para baixo, dependendo do sinal do valor a. 
 Se , a parábola esta voltada para cima; 
 Se , a parábola esta voltada para baixo. 
Para o esboço desta função são necessários os seguintes passos: 
 Achar os zeros da função, fazendo ( ) 
9 
 
 Achar a ordenada na origem, fazendo 
 Achar o vértice da parábola . 
 
 
 
 
 
/ 
 Achar demais pontos (x, y) da função. 
Exemplos: 
Vamos construir o gráfico da seguinte função quadrática: 
1. ( ) 
Seguindo os passos acima, temos: 
 ( ) 
 
Usando a fórmula resolvente encontramos as seguintes raízes ou zeros 
 
 
 
 
2. Ordenada na origem quando 
3. Vértice4. Demais pontos, faremos uma tabela ( no Excel) 
10 
 
 
5. Inequações Quadráticas 
Definição 
Uma inequação quadrática é uma desigualdade do tipo 
onde , a, b, e c são números reais. 
Equivalência de Inadequações 
Duas inequações dizem-se equivalentes quando o conjunto solução de uma é também da outra e 
vice-versa. 
Resolução de inequações quadráticas 
 Ao multiplicar ou dividir uma inequação por um número negativo o sinal da desigualdade 
muda; 
-20
0
20
40
60
80
100
120
140
160
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
Y=f(x) 
Y=f(x)
11 
 
 Existem dois métodos para resolver uma inequação quadrática; 
 As inequações podem ser resolvidas pelo método analítico ou método gráfico 
 
Exemplos: 
Vamos resolver as seguintes inequações quadráticas: 
a) 
Para resolver esta inequação devemos igualar a 0. 
 
 
Usando a fórmula resolvente das equações quadráticas, encontramos as seguintes 
soluções da equação: 
 
 
. 
Nota: estas soluções são da equação, para encontrar as soluções da inequação, devemos 
fazer um gráfico. Como o valor de a é positivo, a parábola estará voltada para cima. 
 
 
 
 
 -4\5 1 
 
 
Acima da recta x (recta das abcissas) a função é positiva ou seja, maior que zero, e negativa 
abaixo desta, neste caso, queremos a parte negativa do gráfico, assim sendo: 
 ] 
 
 
 [ 
Outro exemplo: 
 
 
12 
 
Usando a fórmula resolvente encontramos as seguintes raízes . Fazendo o 
gráfico, tendo em conta que o a é negativo: 
 
 
 
 -1 5 
 
 - - , , 
6. Aplicações 
As equações, funções e inequações quadráticas podem ser usados em diferentes áreas, como por 
exemplo: na física, quando falamos de movimentos por exemplo, a trajectória que uma bala de 
canhão faz para atingir o alvo. 
Estas podem ser usadas na economia ou área financeira, por exemplo, podemos ter uma função 
de lucro de uma empresa dada por uma expressão quadrática, esta por sua vez dará informação 
sobre o lucro mínimo ou máximo da empresa, caso a parábola esteja voltada para cima, temos 
um lucro mínimo, e se estiver voltada para baixo temos um lucro máximo. 
Vamos ver um exemplo prático (elaborado por mim): 
O Pedro Rungo é um revendedor de bolachas, certo dia comprou vários pacotes de bolachas, 
gastando 280 MT. E o vendedor deu 4 pacotes de Bacela e com isso, cada pacote ficou 2,00 MT 
mais barato. Quantos pacotes de bolacha o Pedro comprou e a que preço? 
O Pedro comprou x pacotes de bolachas, cada pacote custou 
 
 
. 
Também sabemos que o Pedro recebeu 4 pacotes de Bacela (x+4), portanto 
 
 
. e por isso cada 
pacote ficou 2 MT mais barato ou seja, teremos 2MT a menos do nosso custo, isto é : 
 
 
 . 
13 
 
Agora vamos igualar as duas expressões: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) ( ) 
 
√ 
 
 √ 
 
 
 
 
 
 {
 
 
 
Podemos então dizer que o Pedro Rungo comprou aproximadamente 22 pacotes de bolacha. 
Cada pacote terá custado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
7. Considerações finais 
A diversidade de métodos resolutivos para as equações quadráticas, proporcionam-nos uma visão 
geral e conectada da matemática. Com o andamento da pesquisa, nota-se um relacionamento 
harmonioso que há entre os métodos estudados. O objectivo deste trabalho foi de ampliar os 
conhecimentos acerca das equações, funções e inequações quadráticas suas formas e métodos 
resolutivos. 
Neste trabalho, faço um estudo em torno das funções quadráticas, e os diversos tópicos 
envolvidos nesse conteúdo, que estende-se desde a forma canónica de uma função quadrática até 
as diversas aplicações do tema. 
As equações quadráticas podem ser aplicadas em diversas áreas de saber, e no quotidiano, vimos 
um exemplo prático e simples em que se procurava saber a quantidade de pacotes de bolachas e 
o custo das mesmas que o Pedro terá adquirido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
8. Referências Bibliográficas 
 NHEZE, Ismael Cassamo. João Rafael, Matemática 10ª classe 
 NEVES, Maria Augusta. Vieira, Teresa Coutinho, Alves, Alfredo Domes, Matemática 
11 ano, Porto Editora, 1960. 
 NASCIMENTO, Isabel. ANDRÉ, Diasala, Livro do aluno-Matemática-9ª classe, Plural 
Editores, Angola, 2019. 
 ABREL e SILVA, Ramon, Funções Quadráticas e suas Aplicações no Ensino médio, 
2013. Disponível em: < https://impa.br/wp-content/uploads/2016/12/ramon_abreu.pdf> 
Acesso em 27 de Março de 2021. 
 
 
https://impa.br/wp-content/uploads/2016/12/ramon_abreu.pdf