Apsotila Matemática

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matemática enem 1 ano
ensino médio
Matemática
98 pag.
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MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015 1 
 
APOSTILA 2015 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA 
 
PROFESSOR: DENYS YOSHIDA 
 
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MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015 2 
Sumário 
 
1.Conjuntos...................................................................................................................................5 
1.1 Representação de conjuntos...................................................................................................5 
1.2 Operações com conjuntos.......................................................................................................6 
1.2 Propriedades da intersecção...................................................................................................7 
 
2. Conjuntos numéricos...............................................................................................................10 
2.1 Conjunto dos números naturais.............................................................................................10 
2.2 Conjunto dos números inteiros..............................................................................................11 
2.3 Conjunto dos números racionais..........................................................................................13 
2.4 Conjunto dos números irracionais........................................................................................15 
2.5 Conjunto dos números reais.................................................................................................17 
 
3.Intervalos numéricos................................................................................................................21 
3.1 Notações de um intervalo......................................................................................................21 
3.2 Tipos de intervalos................................................................................................................21 
3.3 União e intersecção de intervalos.........................................................................................22 
 
4. Relações Binárias entre conjuntos..........................................................................................26 
4.1 Representação em um diagrama..........................................................................................26 
4.2 Representação no plano cartesiano......................................................................................27 
 
5. Funções...................................................................................................................................27 
5.1 Definição................................................................................................................................27 
5.2 Domínio, imagem e contra domínio.......................................................................................27 
 
6. Funções do 1º grau.................................................................................................................30 
6.1 Definição................................................................................................................................30 
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MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015 3 
6.2 Representação gráfica..........................................................................................................30 
6.3 Raiz de uma função...............................................................................................................31 
6.4 Estudo do sinal......................................................................................................................32 
6.5 Inequações do 1º grau..........................................................................................................33 
6.6 Sistemas de inequações do 1º grau......................................................................................34 
6.7 Inequação produto.................................................................................................................35 
6.8 Inequação quociente.............................................................................................................36 
 
7. Função do 2º grau...................................................................................................................41 
7.1 Gráfico...................................................................................................................................41 
7.2 O vértice da parábola............................................................................................................42 
7.3 Estudo da variação do sinal..................................................................................................43 
7.4 Inequação do 2º grau............................................................................................................44 
 
8. Funções exponenciais.............................................................................................................50 
8.1 Equações exponenciais.........................................................................................................50 
8.2 Inequações exponenciais......................................................................................................50 
8.3 Gráfico da função exponencial..............................................................................................54 
8.4 Crescimento e decrescimento..............................................................................................55 
 
9. Logaritmos...............................................................................................................................58 
9.1 Definição...............................................................................................................................58 
9.2 Condições de existência.......................................................................................................58 
9.3 Sistemas de logaritmos.........................................................................................................58 
9.4 Propriedades dos logaritmos................................................................................................59 
9.5 Mudança de base.................................................................................................................61 
9.6 Equações logarítmicas..........................................................................................................61 
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MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015 4 
9.7 Funções logarítmicas............................................................................................................66 
9.8 Crescimento e decrescimento..............................................................................................66 
 
Exercícios de vestibulares...........................................................................................................69 
 
Referências bibliográficas...........................................................................................................98 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015 5 
1. Conjuntos 
Denominamos Conjunto a uma reunião de elementos. É uma definição bem primitiva, e 
podemos relacionar essa ideia em diversas situações. O conjunto universo e o conjunto vazio 
são tipos especiais de conjuntos. O conjuntovazio não possui elementos e é representado por 
  ou Ø. Já o conjunto universo possui todos os elementos, de acordo com o que estamos 
trabalhando e geralmente é representado pela letra maiúscula U. 
1.1 Representação de conjuntos 
Sua representação depende basicamente dos dados que se tem e da motivação do uso dos 
mesmos, veja abaixo uma demonstração: 
Exemplo: O conjunto dos números ímpares maiores que zero e menores que onze. Vejamos a 
representação através de seus elementos. 
A = {1, 3, 5, 7, 9} 
Representação pela propriedade de seus elementos. 
A = {x | x é ímpar e 0 < x < 11}, o símbolo da barra ( | ) significa “tal que”. 
x tal que x é ímpar e x maior que zero e x menor que 11. 
Representação por diagrama 
 
 
 
 
 
Assim como podemos somar, subtrair, multiplicar, dividir, potenciar entre outras operações 
numéricas podemos também operar conjuntos. 
Essas operações recebem nomes diferentes, como: União de conjuntos, Intersecção de 
conjuntos, Diferença de conjunto, Conjunto complementar. 
Todas essas operações são representadas por símbolos diferentes. Veja a representação de 
cada uma delas: 
 1 3 
5 7 9 
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MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015 6 
1.2 Operações com conjuntos 
União de conjuntos 
Dados dois conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {4, 5, 6}, chamamos união um terceiro conjunto com 
todos os elementos de A e B (Sem repetir os elementos comuns) 
A representação da união de conjuntos é feita pelo símbolo U. Então, 
A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 
Representando a união por meio de diagramas: 
Sejam A e B os conjuntos abaixo 
A B 
 
 
 
Então: AUB 
 
 
 
Intersecção de conjuntos 
Quando queremos a intersecção de dois conjuntos é o mesmo que dizer que queremos os 
elementos que eles têm em comum. 
Dados dois conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {5, 6, 7}, a intersecção é representada pelo 
símbolo ∩, então A ∩ B = {5, 6}, pois 5 e 6 são os elementos que pertencem aos dois 
conjuntos. 
Representando a intersecção por meio de diagramas: 
Sejam A e B os conjuntos abaixo 
A B 
 
 
1 3 
2 4 
4 5 
 6 
1 2 3 
4 5 6 
1 2 3 
4 5 6 
5 6 
 7 
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MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015 7 
 
Então: A ∩ B 
 
 
 
Se dois conjuntos não têm nenhum elemento comum, a intersecção deles será um conjunto 
vazio. 
1.3 Propriedades da intersecção 
1) A intersecção de um conjunto por ele mesmo é o próprio conjunto: A ∩ A = A 
2) A propriedade comutatividade na intersecção de dois conjuntos é: 
 A ∩ B = B ∩ A. 
3) A propriedade associativa na intersecção de conjuntos é: 
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C 
Exercícios sobre conjuntos 
1- Analise os conjuntos abaixo e diga quais são vazios: 
 
a)  0/  xxM 
b)  0.0/  xxN 
c)  4.0/  yyO 
d)  02/  ddP 
e)  02/  eeQ 
 
2- Escreva os conjuntos indicados a seguir nomeando seus elementos: 
 
a) A é o conjunto dos números inteiros maiores que 2 e menores que 7. 
b) B é o conjunto dos números inteiros positivos menores que 6. 
c) C é o conjunto dos números inteiros maiores que 5 e menores que 7. 
d) D é o conjunto dos números inteiros maiores que 8 e menores que 2. 
 
3- Representar, usando um diagrama de Venn, o conjunto A dos números naturais primos 
menores do que 30. 
1 2 
3 4 6 
5 
 7 
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MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015 8 
 
4- Sendo A = {0,1,2,3,4}, escreva todos os subconjuntos de A que têm 2 elementos. 
 
5- Dados os conjuntos  3,2,1A ,  5,4,3B e  6,5,1C , efetue as operações: 
 
a) BA 
b) CB 
c) CA 
d) CBA  
e) BA 
f) CA 
g) CB 
h) CBA  
i) CBA  
 
6- Considere os conjuntos: A={divisores naturais de 30}, B={múltiplos de 6} e C={múltiplos de 
3}, calcule: 
 
a) BA 
b) CB 
c) CA 
d) CBA  
e) BA 
f) CA 
g) CB 
h) CBA  
i) CBA  
 
7- Numa cidade, foi feito um levantamento para saber quantas crianças haviam recebido as 
vacinas Sabin e Tríplice. Os resultados obtidos estão na tabela a seguir. Determine o 
número de crianças: 
 
a) Abrangidas pela pesquisa 
b) Que receberam apenas a Sabin 
c) Que receberam apenas uma vacina 
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MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015 9 
 
Vacina Número de crianças 
Sabin 5428 
Tríplice 4346 
Sabin e Tríplice 812 
Nenhuma 1644 
 
8- (FATEC-SP) O conjunto A tem 20 elementos, BA tem 12 elementos e BA tem 60 
elementos. O número de elementos do conjunto B é: 
 
a) 28 
b) 36 
c) 40 
d) 48 
e) 52 
 
9- Em uma pesquisa realizada com 112 moradores de uma cidade, obteve-se que 57 pessoas 
usavam o sabonete Perfumado, 38 usavam o creme dental Dentinho e 22 usavam o 
sabonete Perfumado e o creme dental Dentinho. Quantas pessoas não usavam qualquer 
desses dois produtos? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015 10 
 
2. Conjuntos numéricos 
A partir da notação de conjunto, chamamos Conjuntos Numéricos, os conjuntos cujos 
elementos são números que possuem algumas características em comum. Estudaremos nesse 
volume os conjuntos de números: naturais, inteiros, racionais, irracionais e finalmente os 
números reais. 
2.1 Conjunto dos Números Naturais 
A partir da necessidade de contagem de objetos surgiu o conjunto de números naturais, que é 
basicamente o conjunto numérico mais intuitivo, assim como qualquer criança sente a 
necessidade de contar objetos, as civilizações antigas sentiram a mesma necessidade, e 
surgiu a noção intuitiva de números naturais. 
 São elementos do conjunto dos naturais todos os números inteiros positivos incluindo o zero. 
Representado pela letra maiúscula e seus elementos entre chaves, separados por vírgulas: 
N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, …} 
O primeiro elemento desse conjunto é o zero, e o conjunto é ilimitado superiormente, ou seja, 
não existe um último número, o conjunto é infinito. 
A partir da reta numerada podemos representar geometricamente os conjuntos numéricos, 
para representação dos números naturais na reta numérica, escolhemos um ponto de origem 
(equivalente ao número zero), fixamos medida unitária e a orientação, geralmente da esquerda 
para a direita, e marcamos os números sobre a reta: 
 
 1 2 3 4 5 6 7 
Alguns subconjuntos importantes são pertencentes aos números reais: 
 Conjunto dos números naturais não nulos: 
N*= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, …} 
 Utilizamos o * (asterisco) à direita do nome do conjunto para excluir de determinado 
conjunto o número zero 
 Conjunto dos números primos: 
P= {2, 3,5, 7, 11, 13, ...} 
 Conjunto dos números pares: 
Np= {2, 4, 6, 8, 10, 12, ...} 
 Conjunto dos números ímpares: 
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MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015 11 
 Ni= {2, 3,5, 7, 11, 13, ...} 
Propriedades: 
Os números naturais apresentam a propriedade do fechamento apenaspara a adição e a 
multiplicação, ou seja se adicionarmos ou multiplicarmos dois ou mais, quaisquer números 
naturais entre si, o resultado será um número natural, por exemplo: 
 , que é número natural; 
 que é número natural; 
 que é número natural; 
 que é número natural; 
Podemos descrever simbolicamente essa propriedade: 
 e 
Com a subtração o caso é diferente, a subtração entre números naturais pode ou não ser um 
número natural, por exemplo: 
 , que é número natural; 
 Não existe no conjunto dos números naturais, tal número 
Então podemos dizer que N não é fechado para a subtração, por esse motivo houve a 
necessidade da ampliação desse conjunto, surgindo assim o conjunto dos números inteiros. 
 
2.2 Conjunto dos Números Inteiros 
Com a limitação do conjunto dos números naturais para a subtração, como vimos essa não é 
fechada no conjunto, houve a necessidade de ampliar esse conjunto, surgindo assim o 
conjunto dos números inteiros. 
 São elementos do conjunto dos números, todos os números naturais e seus respectivos 
opostos (números negativos), representado pela letra Z, o conjunto dos números inteiros é: 
Z= {...,-5, -4, -3, -2, -1, 0 ,1,2 ,3 ,4 ,5 , …} 
O conjunto é ilimitado inferiormente e ilimitado superiormente, ou seja, não existe um primeiro 
ou um último número inteiro. 
Podemos representar também esse conjunto a partir de uma reta numérica: 
 
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MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015 12 
 -3 
Alguns subconjuntos importantes são pertencentes aos números inteiros: 
 Conjunto dos números inteiros não nulos: 
Z*= {...,-5, -4, -3, -2, -1,1,2 ,3 ,4 ,5 , …} 
 Conjunto dos números inteiros não negativos: 
= {0, 1,2 ,3 ,4 ,5 , …} 
 Conjunto dos inteiros positivos: 
= {1,2 ,3 ,4 ,5 , …} 
 Conjunto dos números inteiros não positivos: 
= {...,-5, -4, -3, -2, -1,0} 
 Conjunto dos inteiros Negativos: 
= {...,-5, -4, -3, -2, -1} 
Propriedades: 
Os números inteiros tem como subconjunto os números naturais, note por exemplo, que 
o subconjunto = {0, 1,2 ,3 ,4 ,5 , …} é idêntico ao conjunto N, então podemos 
escrever que N Z, ou o conjunto N está contido no conjunto Z 
Da mesma maneira que os números naturais, o conjunto dos números inteiros são fechados 
para a adição e para a multiplicação, porém, podemos incluir também o fechamento para a 
subtração 
 , que é número inteiro; 
 que é número inteiro. 
Podemos sintetizar esse conjunto simbolicamente: 
 
 
 
 e finalmente 
No tocante à divisão, podemos definir que a divisão entre dois números naturais, pode ou não 
ser um número natural, por exemplo: 
 , que é número inteiro; 
 que é número inteiro; 
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MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015 13 
 , de forma que não existe no conjunto de números inteiros um valor que 
satisfaça a equação; 
Então, podemos concluir que Z não é fechado para a divisão, mas como podemos classificar o 
resultado dessas divisões, senão números inteiros? 
Assim, foram classificados os números racionais. 
2.3 Conjunto dos Números Racionais 
Representado pela letra Q, os elementos do conjunto dos números racionais são todos aqueles 
números que podem ser expressos na forma de uma fração na qual o numerador e o 
denominador são números inteiros, simbolicamente temos: 
 
Ou de maneira genérica: 
Q = 
A partir da definição de números racionais, podemos definir que um número pertencente ao 
conjunto dos números inteiros é racional, observe a demonstração: 
Seja qualquer número , e temos por definição que Q, então, 
substituindo temos Q, como , podemos afirmar que qualquer 
elemento de Z, é também elemento de Q, essa propriedade é válida, pois Z é subconjunto de 
Q. 
Existem também alguns números de Q, que são representados em maneira de um número 
decimal exato ou também de uma dízima periódica, nas próximas linhas verificaremos que em 
ambos os casos podemos escrever esses números como uma fração : 
Transformando números decimais finitos em frações 
Uma das representações dos elementos do conjunto dos números Racionais, são os números 
decimais sendo finitos ou periódicos, temos como, por exemplo, de um número decimal finito 
1,32, esse número possui seu equivalente fracionário, ou seja, pode ser escrito como fração. 
Para transformar os números decimais em frações, podemos mover a vírgula e dividir por uma 
potencia de 10 satisfatória, por exemplo, ainda utilizando o número , observe que após da 
vírgula temos duas casas decimais. 
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MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015 14 
Então vamos mover a vírgula de forma que não fique nenhuma casa decimal, , nesse caso 
devemos movê-la por duas casas decimais e dividir por 102: 
, ou ainda simplificando: . 
Observação: o valor da potência de 10 deverá ser igual ao número de casas decimais após a 
vírgula. 
Transformando dízimas periódicas em frações 
Nem sempre uma fração entre dois números inteiros tem como resultado um número decimal 
exato, um exemplo é a fração a essa maneira de escrever chamamos dízima 
periódica, sendo essa uma representação numérica, tanto decimal quanto fracionária, onde 
existe uma sequência finita de algarismos que se repetem indefinidamente, como por exemplo 
0,111111111…, assim como nos números racionais finitos, as dízimas periódicas também 
podem ser dadas por meio de fração, por exemplo a dízima que utilizamos acima é dada pela 
fração 1/9. 
Podemos classificar as dizimas periódicas em simples e compostas, conforme abaixo: 
Dízimas periódicas simples: Quando o período aparece logo após à virgula. 
Exemplos: 
0,1111111… Período: 1 
0,1212121212…. Período: 12 
Dízimas periódicas compostas: Quando existe uma parte não repetitiva entre a vírgula e a 
parte periódica. 
Exemplos: 
0,833333…. Período: 3 , Parte não periódica: 8 
0,277777…. Período: 7 , Parte não periódica: 2 
0,98111111…. Período: 1 , Parte não periódica: 98 
Geratriz de uma dízima periódica 
É possível determinar a fração (número racional) que deu origem a uma dízima periódica. 
Denominamos esta fração de geratriz da dízima periódica. 
Procedimentos para determinação da geratriz de uma dízima: 
Dízima simples 
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MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015 15 
A geratriz de uma dízima simples é uma fração que tem para numerador o período e para 
denominador tantos noves quantos forem os algarismos do período. 
Exemplos: 
1. Determine a fração geratriz das dízimas periódicas abaixo 
a) 
No exemplo dado a parte periódica é composta pelo número 2, que deverá estar no 
numerador da dízima periódica, sendo que o seu denominador será dado pelo número 9, 
aparecendo apenas uma vez, pois o período é 1, então: 
 
b) 
No exemplo acima a parte periódica é composta pelo número 32, que deverá estar no 
numerador da dízima periódica, sendo que o seu denominador será dado pelo número 99, 
ou seja, o algarismo 9 duas vezes, pois o período é 2, então: 
 
Dízima Composta: 
 A geratriz de uma dízima composta é uma fração da forma , sendo a parte não periódica 
seguida da parte periódica uma vez, menos a parte não periódica e b é a mesma quantidade 
de noves quantos forem os algarismos do período seguidos de tantos zeros quantos forem os 
algarismos da parte não periódica. 
 
 
2.4 Conjunto dos números irracionais 
Para definirmos números irracionais, vamos relembrar dos números racionais, temos que um 
número racional é todo número escrito da forma a/b, com a e b Z, assim podemos definir um 
número irracional como sendo justamente o contrário, ou seja, não é possível escrever um 
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MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015 16 
número irracional da forma a/b, com a e b Z a esse conjunto representamos pela letra I. um 
exemplo de números irracionais são as dízimas não periódicas, Como por exemplo: 
 1,456846154674... 
 1,4142135623730950488016887242097 
 3,1415926535897932384626433832795... entre outros 
Podemos separar os números irracionais em dois grupos os algébricos e os transcendentes, os 
números irracionais algébricos são as raízes não exatas de um número, como por exemplo 2, 
5, 11, 113 e qualquer outra raiz inexata. Já os números irracionais transcendentes 
complementam aqueles irracionais algébricos, sendo os exemplos mais famosos de números 
irracionais transcendentes, o número  (pi), o número de Euler e, cujos valores aproximados 
com duas decimais são respectivamente 3,14 e 2,72. 
O número  representa a razão do comprimento de qualquer circunferência dividido pelo 
diâmetro da mesma circunferência e o número e é a base do sistema de logaritmos 
neperianos. 
Para identificar os números irracionais, podemos adotar alguns critérios, vamos começar 
definindo o que são números irracionais, são números racionais: 
 Todas as dízimas não periódicas são números irracionais. 
 Todas as raízes inexatas são números irracionais. 
 A soma de um número racional com um número irracional é sempre um número 
irracional. 
Não são números irracionais: 
 Todas as dízimas periódicas são números racionais. 
 Todos os números inteiros são racionais. 
 Todas as frações ordinárias são números racionais. 
Casos especiais 
Nesses casos devemos sempre nos atentar a cada caso, pois o resultado entre essas 
operações pode ou não ser um número racional: 
 A diferença de dois números irracionais: 
Exemplo: - = 0 e 0 é um número racional. Porém, também temos que diferença 
entre dois irracionais pode ser irracional, como: - . 
 
 O quociente de dois números irracionais: 
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MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015 17 
Exemplo: : = = 2 e 2 é um número racional. Porém temos também: 
 
 : = que é irracional. 
 
 O produto de dois números irracionais pode ser um número racional. 
Exemplo: . = =4 e 4 é um número racional, porém podemos ter também 
π que é um número irracional. 
2.5 Conjunto dos números reais 
A união do conjunto dos números irracionais com o conjunto dos números racionais resulta 
num conjunto denominado conjunto R dos números reais. 
Sendo assim, todo número Natural, Inteiro, Racional ou Irracional é considerado um número 
real. 
Propriedades da adição em R 
Associativa: (x + y) + z = x + (y + z) 
Comutativa: x + y = y + x 
Elemento neutro: x + 0 = 0 + x = x 
Simétrico Aditivo ou aposto: x + (-x) = (-x) + x = 0 
Propriedades de multiplicação em R 
Associativa: (x. y). z = x. (y. z) Comutativa: x. y = y. x 
Elemento neutro: x. 1 = 1. x = x 
Simétrico multiplicativo ou inverso: x. x-1 = x-1. x = 1. 
Propriedade distributiva da multiplicação em relação á adição 
x. (y + z) = xy + xz. 
Os números reais são importantes, pois a partir dele estudamos funções, que são um dos 
assuntos mais importantes da matemática elementar. 
OBS: Nem todo número é um número real. Alguns números que não são considerados 
números reais: 4 , 4 1 , 8 , 6 10 , entre outros. 
 
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MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015 18 
Exercícios sobre conjuntos numéricos 
 
10- Preencha a tabela substituindo os espaços em branco por SIM ou Não: 
 
Número 8 7 -2,05 1,212212221... 6,325325... -2,333... 2 
Natural? 
Inteiro? 
Racional? 
Irracional? 
Real? 
 
11- Sendo 2a e 1b , determine o valor numérico das expressões: 
a) 22 ..2 bbaay  
b) 333)( babay  
 
12- Assinale as afirmações verdadeiras: 
a) 74  
b) N0 
c) Q56789,0 
d) R7 
e) Q...14141414,3 
f) R8 
 
13- (Fuvest-SP) Calcule: 
 
a) 
6
1
10
1
 
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b) 
0,22,3
3,0.2,0

 
 
14- Dados 3n e 3 2m efetue as operações e classifique cada afirmação em verdadeira 
ou falsa: 
 
a) mn  é racional. 
b) mn. é irracional. 
c) 2m é irracional. 
d) 3m é irracional. 
 
15- Escreva dois números racionais que estejam entre 0 e 1. 
 
 
16- Escreva dois números racionais que estão entre: 
 
a) 0 e 
5
3
 
b) 1 e 
4
9
 
c) 
4
3
 e 
5
1
 
 
17- Transforme os seguintes números decimais em frações: 
 
a) 0,8 
b) 1,5 
c) 0,65 
d) 5,36 
e) 0,047 
f) 0,5825 
 
18- Determine a fração geratriz das seguintes dizimas periódicas: 
 
a) 0,777.... 
b) 0,2323... 
c) 0,444... 
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MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015 20 
d) 0,545454... 
e) 0,12525... 
f) 0,04777... 
 
19- Classifique as afirmações abaixo em verdadeira ou falsa: 
 
a) Todo número racional tem uma representação decimal finita. 
b) Se a representação decimal infinita de um número é periódica, então esse número é 
racional. 
c) Os números que possuem representação decimal periódica são irracionais. 
d) O produto de dois números irracionais é sempre um número irracional. 
 
20- Dê cinco exemplos de números que não são reais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015 21 
3. Intervalos numéricos 
Chamamos intervalo a um conjunto que contém cada número real entre dois extremos 
indicados, e possivelmente os próprios extremos. 
3.1 Notações de um intervalo 
Geralmente se simboliza um intervalo numérico por meio de colchetes – “[" e "]” – para indicar 
que um dos extremos do intervalo é parte deste intervalo e os parênteses – “(” e “)” – ou, 
também, os colchetes invertidos – “]” e “[" para indicar o contrário. 
Então, considere que a e b são números reais, com a ≤ b, o intervalo I = (a,b] = ]a,b] representa 
o conjunto dos x ε R, tal que a < x ≤ b. Note que a não faz parte do intervalo. 
Representação de um intervalo na reta real 
Também podemos representar intervalo na reta real utilizando-se de uma pequena “bolinha 
vazia” para indicar que um dos pontos extremos não pertence ao intervalo e de uma “bolinha 
cheia” para indicar que o ponto extremo pertence. 
 
3.2 Tipos de Intervalos 
Dados a e b números reais, com a ≤ b, x pertencente ao intervalo e c o seu comprimento, 
podemos definir seu intervalo como a diferença entre o extremo superior e o extremo inferior, 
assim c = b – a. Podemos classificar os intervalos como: 
a) Intervalo Fechado de comprimento finito: 
[a,b] = {x ε R | a ≤ x ≤ b} 
b) Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita de comprimento finito: 
[a,b[ = [a,b) = {x ε R | a ≤ x < b} 
c) Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita de comprimento finito 
 (a,b] = ]a,b] = {x ε R | a < x ≤ b} 
d) Intervalo aberto de comprimento finito: 
]a,b[ = (a,b) = {x ε R | a < x < b} 
e) Intervalo aberto à direita de comprimento infinito: 
]-∞,b[ = (-∞,b) = {x ε R | x < b} 
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MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015 22 
f) Intervalo fechado à direita de comprimento infinito: 
]-∞,b] = (-∞,b] = {x ε R | x ≤ b} 
g) Intervalo fechado à esquerda de comprimento infinito: 
[a,+∞) = [a,+∞[ = {x ε R | a ≤ x} 
h) Intervalo aberto à esquerda de comprimento infinito: 
]a,+∞[ = (a,+∞) = {x ε R | x > a} 
i) Intervalo aberto de comprimentoinfinito: 
]-∞,+∞[ = (-∞,+∞) = R 
j) Intervalo fechado de comprimento nulo: 
Como o comprimento é nulo e o intervalo fechado, então a = b e esse intervalo corresponde ao 
conjunto unitário {a}, isto é, a um ponto da reta real. 
3.3 União e Intersecção de Intervalos 
Como intervalos são conjuntos também podemos realizar as operações de união e intersecção. 
Podemos representá-los através de sua representação gráfica, acredita-se que e a maneira 
mais fácil de visualizar essas operações. Para tanto utilizaremos um exemplo numérico: 
Sejam A = [-1,6] = e B = [3, 9) dois intervalos e vamos determinar A U B e A ∩ B. 
A U B 
Lembrando das definições de união de conjuntos, incluir em um terceiro diagrama todos os 
números de ambos os intervalos, excluindo – se as repetições, para tanto, iremos comparar 
duas retas em um sistema único: 
Para realizar essa operação, basta fazer paralelamente as retas reais com os dados dos 
intervalos, respeitando sua posição de cada valor, e uma terceira reta, também paralela a 
essas duas, sobre a terceira reta iremos sobrepor o resultado das duas demais, assim, toda a 
área em negrito faz parte da união das retas. 
 A 
 1 6 
 B 
 3 9 
 A U B 
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MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015 23 
 1 3 6 9 
Assim sendo: A U B = [1,9) 
A ∩ B 
Para a intersecção entre intervalos, o procedimento é parecido, porém ao invés de replicarmos 
na terceira reta todos os valores, iremos apenas marcar os valores que são comuns às duas 
retas: 
 A 
 1 6 
 B 
 3 9 
 A ∩ B 
 1 3 6 9 
Assim sendo: A ∩ B = [3, 6] 
Exercícios sobre intervalos numéricos 
21- Represente na reta real os seguintes intervalos: 
 
a)  0,4 
b)  5,0 
c)  7,3 
d)  2,1 
e)  5,0 
f)  ,8 
g)  6, 
h)   ,10 
 
22- Escreva os intervalos na forma de subconjuntos de R: 
 
a)  5,0M 
b)  2,3N 
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MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015 24 
c)  4,1P 
d)  6,1Q 
e)   ,7K 
f)  4,O 
g)   ,2R 
h)  5,S 
 
23- Escreva os subconjuntos de R na notação de intervalos: 
 
a) }1/{  xRx 
b) }62/{  xRx 
c) }3/{  xRx 
d) }41/{  xRx 
e) }42/{  xRx 
f) }50/{  xRx 
g) }1/{  xRx 
h) }5/{  xRx 
 
24- Escreva, usando as duas formas, os intervalos: 
 
a) aberto de extremos -3 e 7. 
b) fechado de extremos 1 e 4. 
c) aberto à esquerda de extremos 1 e 3. 
d) aberto à direita de extremos -4 e 1. 
 
25- Sendo A o conjunto dos números reais maiores que ou igual a 3 e menores que 8, escreva 
esse conjunto nas duas formas possíveis e represente-o na reta real. 
 
26- Dados os intervalos  4,2A ,  5,3B e  3,1C , efetue as operações indicadas: 
 
a) BA 
b) CB 
c) CA 
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MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015 25 
d) CA 
e) CB 
f) CBA  
g) CBA  
h) CBA  
 
27- Considerando os intervalos:  11,0M ,  8,3N e  7,2K , efetue as seguintes 
operações: 
 
a) NM  
b) NM  
c) KM  
d) KM  
e) KN  
f) KNM  
g) KNM  
h) KNM  
 
28- Dados  3,4A ,  5,5B e  1,E , determine: 
a) BA 
b) EA 
c) EB 
d) EA 
e) EBA  
f) EBA  
 
 
 
 
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MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015 26 
4. Relações Binárias entre conjuntos 
 
Denominamos relação ou relação binária entre dois conjuntos A e B é qualquer subconjunto 
de A B, ao qual chamamos produto cartesiano A por B. 
Exemplo: 
Sejam os conjuntos A e B: 
Obtemos o produto cartesiano de A por B 
A = {1,2,3} 
B = {4,5,6} 
 
Podemos obter A B tomando alguns subconjuntos deste conjunto de pares ordenados, 
teremos algumas relações de A em B: 
R1 = {(1,4)} 
R2 = {(1,4),(2,6)} 
R3 = {(1,5),(2,6),(3,4)} 
 
R1, R2 e R3 são relações de A em B, pois seus elementos são pares ordenados (x, y), 
com x pertencente a A e y pertencente a B. 
 
4.1 Representação em um Diagrama 
 
Outra maneira de representarmos uma relação binária é através de um diagrama de flechas, 
por exemplo, a relação R3 vista acima é representada abaixo pelo diagrama de flechas: 
 
 A B 
 
 
 
 
 
Em R3 = {(1,5),(2,6),(3,4)}, há três setas partindo do conjunto A, chamado de conjunto de 
partida e chegando no conjunto B, chamado de conjunto de chegada. 
 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
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MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015 27 
4.2 Representação no Plano Cartesiano 
 
Outra maneira de representarmos uma relação binária é por 
meio do plano cartesiano, para isso basta localizarmos o ponto 
referente ao par ordenado dado no plano cartesiano xOy. 
Ainda utilizando como exemplo o R3 iremos identificar seus 
pontos e marca-los no plano cartesiano, aqui a primeira 
coordenada deverá ser identificada no eixo horizontal, também 
chamado de abcissas ou eixo x, e o segundo elemento do par 
ordenado deverá ser identificado e marcado no eixo vertical, 
também chamado de eixo das ordenadas ou eixo y, uma vez 
identificados todos os pontos, temos a representação do R3, 
conforme imagem ao lado. 
 
5. Funções 
5.1 Definição 
Sejam A e B dois conjuntos não vazios, é denominada função de A em B, representada por f: 
A B; y = f(x), a toda e qualquer relação binária que associa a cada elemento de A, um 
único elemento de B. 
De acordo com a relação entre os conjuntos podemos obter inúmeras leis de formação, e 
classificar as funções quanto a seu tipo de estudos. Dentre os estudos das funções temos: 
função do 1º grau, função do 2º grau, função exponencial, função modular, função 
trigonométrica, função logarítmica, função polinomial. 
Podemos representar as funções geometricamente, através do plano cartesiano, associando 
às funções pares ordenados (x,y), que determinam conjuntos de valores pertencentes à 
função. 
5.2 Domínio, imagem e contra domínio 
Considere um conjunto A, ao qual chamamos de conjunto de saída e um conjunto B, 
denominado conjunto de chegada. Ao conjunto A (conjunto de chegada) denominamos de 
Domínio. O domínio de uma função também é chamado de campo de definição ou campo de 
existência da função, e é representado pela letra D. 
Ao conjunto B (conjunto de chegada) denominamos contradomínio. Nem todos os elementos 
do contradomínio são necessariamente relacionados com algum elemento do domínio, então, 
aos elementos do contradomínio que são associados com os elementos do domínio, 
denominamos imagem. 
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MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015 28 
Exemplo. 
Considerando o Domínio A ={1, 2, 3, 4} e Contradomínio B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, 
identifique o conjunto imagem para a função relacionada pela lei de formação f(x) = y = 2x (ou 
seja, cada elemento do conjunto A deve se associar ao dobro de seu valor em B ). 
Podemos resolver essa questão a partir da lei de formação da função, demonstrando a partir 
do diagrama, mas antes utilizaremos a lei de formaçãoda função para identificar os elementos 
do conjunto imagem: 
f(1) = 2 (1) = 2 
f(1) = 2 (2) = 4 
f(1) = 2 (3) = 6 
f(1) = 2 (4) = 8 
Assim sendo, o conjunto imagem dessa função será Im = {2, 4, 6, 8} 
Representando o sistema acima por meio do diagrama, teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios sobre função 
29- Sendo },0,1{A e }4,3,1{B , obtenha AXB e BXA . 
 
30- Dados os conjuntos }6,5,3{A e }4,1{B , determine o produto cartesiano nos 
seguintes casos: 
1 
2 
3 
4 
1 
2 3 
4 5 
6 7 
8 9 
 10 
2 
4 
6 
8 
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MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015 29 
a) AXB 
b) BXA 
 
31- Represente no plano cartesiano os produtos cartesianos obtidos no exercício anterior. 
 
32- Considere a função 13)(  xxf . Calcule: 
 
a) )0(f 
b) )2(f 
c) )2(f 
d) )5,0(f 
e) n tal que 21)( nf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015 30 
6. Funções do 1º grau 
Considere a situação abaixo: 
Felipe vai a um rodízio de pizzas, no qual paga o valor fixo de R$15,00 para consumação, 
sendo que a cada refrigerante que ele toma paga R$ 4,00. Ao final do dia Felipe tomou 5 
refrigerantes, qual será o valor da conta do restaurante? 
Bem, podemos perceber que o valor de R$15,00 deverá ser pago independente da quantidade 
de refrigerantes tomados, ou seja, é um valor fixo, agora, a cada refrigerante tomado, Felipe 
paga R$ 4,00, como ele tomou 5 refrigerantes, ele deverá pagar R$ 4,00 5= R$ 20,00 mais o 
valor de R$15,00, ou seja, R$ 15,00 + 20,00 = R$ 35,00 
Agora, caso Felipe tomasse apenas 3 refrigerantes, pagaria quanto? 
Os R$ 20,00 continuariam fixos, o que mudaria era o valor pago nos refrigerantes, ou seja, R$ 
4,00 5= R$ 12,00, então o valor total da conta seria R$ 15,00 + R$ 12,00 = R$ 27,00. 
Enfim, para cada número x de refrigerantes tomados, temos um valor diferente ao final da 
conta, por isso dizemos que o preço é uma função de x, e podemos expressar essa 
função através da lei matemática: 
 
Que é um caso particular de função polinomial de 1º grau. 
6.1 Definição 
Definimos função do 1º grau ou função Afim, qualquer função f de IR em IR definida por uma lei 
matemática da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a ≠0. 
Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente angular da variável x e o 
número b é chamado termo constante ou coeficiente linear. 
 
Exemplos de função do primeiro grau: 
 
 , com 
 , com 
 , com 
 , com 
 
6.2 Representação Gráfica: 
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MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015 31 
A representação gráfica de uma função do 1º grau é uma reta oblíqua em relação aos eixos 
coordenados. 
A reta poderá ser crescente, decrescente ou paralela ao eixo , de acordo com a lei de 
formação de cada função. 
Reta crescente: na reta crescente, o valor da função é diretamente proporcional ao valor da 
variável ou seja, a medida que os valores de aumentam, o valor da função também 
aumenta, uma função de 1º grau tem seu gráfico crescente, tem sempre o coeficiente . 
 
 
Reta decrescente: na reta decrescente, o valor da função é inversamente proporcional ao valor 
da variável ou seja, a medida que os valores de aumentam, o valor da função diminui, uma 
função de 1º grau tem seu gráfico crescente, tem sempre o coeficiente . 
Intersecção com os eixos coordenados: 
A intersecção de com o eixo acontece quando então genericamente, teremos: 
 
Então, temos que, o gráfico de intercepta o eixo no exato valor do coeficiente linear, ou 
seja, no valor de b. 
6.3 Raiz de uma função 
As raízes de uma função são os valores para os quais o gráfico dessa função intercepta com o 
eixo das abcissas, para que isso ocorra, o valor do eixo das ordenadas deve ser zero, ou seja, 
para identificar as raízes da função, temos que ter . 
Uma função do primeiro grau admite uma única raiz e determiná-la é simplesmente resolver 
uma equação do primeiro grau, considerando que ou seja: 
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MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015 32 
e 
Exemplo: Achar a raiz da função 12  xy 
2
1
12012  xxx 
6.4 Estudo do sinal 
Estudar o sinal de qualquer função é determinar para que valores de a função tem sinal 
positivo ou negativo. 
No caso da equação de primeiro grau, devemos levar em consideração o valor da raiz (como 
vimos anteriormente) 
Função Crescente 
 y > 0 ax + b > 0 x > 
 y < 0 ax + b < 0 x < 
Ou seja, o valor de é positivo se x for maior que a raiz, e o valor de y é negativo se x for 
mentor que a raiz. 
 
Função decrescente 
 
 y > 0 ax + b > 0 x < 
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MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015 33 
 y < 0 ax + b < 0 x > 
 
Ou seja, y é positivo para valores de x menores que a raiz; y é negativo para valores de x 
maiores que a raiz. 
 
 
Exemplos: 
 
Determine os sinais da função . 
 
Primeiro passo é determinar a raiz da função, ou seja, , 
 
 
 
Então, temos uma função crescente (termo >0) e com raiz = -3, logo: 
Solução: 
6.5 Inequações do 1º grau 
São chamadas inequações quaisquer sentenças matemáticas descritas por meio de 
desigualdades, as inequações do 1º grau são muito utilizadas para resolução de problemas 
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MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015 34 
sobre estudo de sinais das equações do 1º grau, abaixo iremos resolver algumas atividades 
que podemos aplicar ao nosso estudo. 
Exemplos: 
Resolva as inequações: 
 
O mordo de resolução é bem semelhante à uma equação do primeiro grau, aqui também 
começaremos nosso procedimento pelos parênteses: 
 
Então isolamos os termos que tem a incógnita , mantendo-o no 1º membro e 
desenvolvemos: 
 
 
6.6 Sistemas de inequações do 1º grau 
A resolução de um sistema de inequações pode ser feita a partir do estudo dos sinais de 
uma função para cada inequação, separadamente, seguido da determinação da 
intersecção dos conjuntos verdade dessas inequações. 
Exemplo: Resolva o seguinte sistema: 





01
044
x
x
 
144044  xxx 
101  xx 
Calculando agora o conjunto solução temos: 
 
Logo  1,S 
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MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015 35 
6.7 Inequação Produto 
Considerando f(x) e g(x) funções de variável x, do 1º grau, chamamos de inequação 
produto uma desigualdade do tipo: 
 0)().( xgxf 
 0)().( xgxf 
 0)().( xgxf 
 0)().( xgxf 
A resolução de uma inequação produto pode ser feita com o estudo do sinal das funções, 
separadamente, seguido da determinação dos sinais do produto de f(x) por g(x) e 
posteriormente identificando os valores de x que satisfazem a inequação produto. 
Exemplo: Resolva a inequação: 0)75).(63(  xx 
Primeiro fazemos o estudo do sinal de cada função: 
263063  xxx 
 
5
7
75075  xxx 
 
Fazemos o jogo de sinal com o estudo de sinal em cada coluna formada por uma função: 
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MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015 36 
 
Logo 
5
7
/{  xRxS ou }2x 
6.8 Inequação Quociente 
Considerando f(x) e g(x) funções devariável x, do 1º grau, chamamos de inequação 
produto uma desigualdade do tipo: 
 0
)(
)(

xg
xf
 
 0
)(
)(

xg
xf
 
 0
)(
)(

xg
xf
 
 0
)(
)(

xg
xf
 
Na resolução de uma inequação quociente o denominador deve ser diferente de zero e a 
regra de sinais é a mesma tanto para produto como para divisão no conjunto dos números 
reais. 
Exemplo: Resolva a seguinte inequação: 0
12
1



x
x
. 
Primeiro fazemos o estudo do sinal de cada função: 
101  xx 
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MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015 37 
 
2
1
12012  xxx 
 
Fazemos o jogo de sinal com o estudo de sinal em cada coluna formada por uma função: 
 
Logo  }5,01/  xRxS 
Exercícios sobre função do 1º grau 
33- O perímetro P de um quadrado é função linear da medida l de seu lado. Qual a sentença 
que define essa função? 
 
34- Para produzir certo produto, uma empresa tem um custo fixo de R$ 1200,00. Além disso, 
cada unidade produzida desse produto custa R$ 5,00. 
a) Represente o custo C, de x unidades desse produto, como uma função de x. 
b) Quantas unidades do produto serão fabricadas em determinado mês, se o custo for de R$ 
18900,00? 
 
35- Em certa cidade se paga pelo serviço de táxi, em dia útil das 6h às 20h, o valor de R$ 3,20 
pela bandeirada mais R$ 1,02 por quilômetro rodado. 
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MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015 38 
a) Escreva a lei da função que expressa o preço P a pagar em função do quilômetro rodado x. 
b) Calcule quantos quilômetros o táxi percorreu se foram pagos R$ 13,20 pelo serviço. 
 
36- Represente no plano cartesiano as seguintes funções do 1º grau: 
 
a) 32  xy 
b) xy 3 
c) 22  xy 
d) 
2
x
y  
 
37- Classifique as funções do exercício anterior em crescente, decrescente ou constante. 
Justifique suas respostas. 
 
38- Determine o zero das seguintes funções: 
 
a) 62  xy 
b) 123)(  xxf 
c) xy 2 
d) 
4
1
2
)( 
x
xf 
e) 
5
8
2
3

x
y 
 
39- Sendo 25)(  xxf , determine: 
 
a) )4(f 
b) o zero da função 
 
40- Estude o sinal das seguintes funções: 
 
a) 204)(  xxf 
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MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015 39 
b) 32  xy 
c) 9
2
)( 
x
xf 
d) xy 104 
e) 
4
1
2
3

x
y 
 
41- Seja kxkxf 3)1()(  . Determine k, de modo que a função seja crescente. 
 
42- Estude os sinais da função em cada caso: 
 
a) xxxf 75)2.(3)(  
b) xxxxxf 4)2).(1()( 2  
 
43- Dê o conjunto solução das inequações: 
 
a) 862 x 
b) 0182 x 
c) 206010  x 
d) 055  x 
e) 2
7
4
2

x
 
f) 1
6
7
3

x
 
 
44- Resolva a inequação 2)2()1.(23  xxxx . 
 
45- Resolva os seguintes sistemas de inequações do 1º grau: 
 
a) 





03
512
x
x
 
 
b) 





05,0
712
x
x
 
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MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015 40 
 
c) 





042
134
x
xx
 
 
d) 





01
124
x
xx
 
 
46- Resolva: 451  xx . 
 
47- Calcule a soma dos números inteiros x que satisfazem xxx 4312  . 
 
48- Resolva as inequações produto: 
 
a) 0)2).(1(  xx 
b) 0)1).(24(  xx 
c) 0)5).(33(  xx 
d) 0)105).(12(  xx 
e) 0)3( 2 x 
 
49- Resolva a inequação 0)2).(3).(2(  xxx . 
 
50- Resolva as seguintes inequações quociente: 
 
a) 0
1


x
x
 
 
b) 0
2
3



x
x
 
 
c) 0
2
12



x
x
 
 
d) 0
5
4



x
x
 
 
 
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MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015 41 
7. Função do 2º Grau 
Definimos função do 2º grau ou função quadrática, qualquer função f de IR em IR definida por 
uma lei matemática da forma f(x) = ax² + bx+c, onde a, b e c são números reais dados e a ≠0. 
Exemplos de funções quadráticas: 
 ; 
 ; 
 ; 
 
 
7.1 Gráfico 
 
A representação geométrica de uma função do 2º grau é dada por uma parábola, 
que tem sua concavidade voltada para cima ou para baixo. 
 
Construção da Par 
Raízes de uma função do 2º grau 
Uma função do 2º grau pode interceptar o eixo x em até dois pontos, então assim como a 
unção de 1º grau, devemos ter e desenvolver os valores das raízes reais a partir do 
cálculo do discriminante, representado pela letra grega 
. 
Cálculo das raízes de uma função do segundo grau: 
 
O número de raízes de uma função do 2º grau depende diretamente do valor do discriminante 
 
 > 0, a equação possui duas raízes reais e diferentes. A parábola intercepta o eixo x em dois 
pontos distintos. 
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MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015 42 
 
 
 
 = 0, a equação possui apenas uma raiz real. A parábola intercepta o eixo x em um único 
ponto. 
 < 0, a equação não possui raízes reais. A parábola não intercepta o eixo x. 
 
 
7.2 O vértice da parábola 
Chamamos vértice V de uma parábola os pontos de maior valor em uma parábola com 
concavidade voltada para baixo, ou o ponto de menor valor de uma parábola com concavidade 
voltada para cima. O ponto V pode tem as coordenadas . 
Construção da Parábola: 
Para construirmos uma parábola, utilizaremos as informações obtidas nos passos anteriores, 
como suas raízes, concavidade e o ponto do vértice, essa forma de construir gráficos é 
denominada “construção através dos pontos notáveis”. Veja o exemplo abaixo: 
Construa o gráfico da função 
Concavidade: a=1>0, concavidade voltada para cima. 
Raízes:  
 
  
As raízes da função são: x = -1 e x = 2 
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MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015 43 
Agora vamos calcular o valor do vértice: 
Agora, tendo todos esses pontos notáveis, basta marcá-los no gráfico e a partir deles desenhar 
a parábola. 
 
7.3 Estudo da Variação do Sinal 
Assim como na função do 1º grau, para realizarmos o estudo da variação do sinal de uma 
função quadrática precisamos conhecer as suas raízes e também se a parábola tem a sua 
concavidade voltada para cima ou para baixo. 
Como vimos no início de nossos estudos sobre funções do 2º grau, a concavidade da parábola 
ser voltada para cima ou para baixo está associada ao coeficiente a. Para realizar o estudo do 
sinal dessa função temos seis possibilidades: 
Função com Duas Raízes Reais e Concavidade Voltada para Cima 
Funções com duas raízes reais: como vimos acima, se 
então vamos estudar o sinal se a > 0 e a < 0: 
 
 
 
 
 
 
Funções com uma raiz real: sabemos também que, se 
real, então vamos estudar o sinal se a > 0 e a < 0: 
Para a > 0: 
 
y > 0  (x < x1 ou x > x2) 
y < 0  x1 < x < x2 
Para a < 0: 
 
y > 0 x1 < x < x2 
y < 0 (x < x1 ou x > x2) 
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MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015 44 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Funções com nenhuma raiz real: sabemos também que, se não possui raízes 
reais, então vamos estudar o sinal se a > 0 e a < 0: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7.4 Inequação do segundo grau 
As inequações do 2º grau são resolvidas de forma similar à equação do 2º grau. Porém aqui o 
resultado não são valores, mas sim intervalos para os quais a função assume valores maiores, 
menores ou iguais a zero, assim sendo, vejamos um exemplo para fixação. 
Exemplo 
1. Resolva a inequação 
 
Para a > 0: 
 
 
Para a < 0: 
 
 
Para a > 0: 
 
 
Para a < 0: 
 
 
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MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015 45 
Resolução: 
Podemos resolver uma inequação do segundo grau, semelhantemente à uma equação 
do mesmo tipo, então, vamos resolver inicialmente a equação: 
 
 , pelo método resolutivo: 
 
 
 
 e 
 
Para visualizarmos o sinal da inequação, podemos esboçar parcialmente o gráfico, 
anotando suas raízes e verificando, conforme seu comportamento, para que intervalo a 
função assume valores maiores ou menores que zero. 
 
Fica fácil observar que, os valores de x subentendidos entre as raízes tem sua imagem menor 
que zero, então: 
 , assim sendo: 
Solução: 
Exercícios sobre função do 2º grau 
51- Sendo 373)( 2  xxxf , calcule: 
a) )0(f 
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MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015 46 
b) )1(f 
c) )4(f 
d) )2(f 
 
52- Dadas as funções reais 16)( 2  xxf e 142)( 2  xxxg , calcule: 
a) )0(f 
b) )0(g 
c) )1(f 
d) )1(g 
e) 





2
1
)1( gf 
 
53- Um atleta arremessa um dardo em um campo plano de tal forma que a altura h que o dardo 
alcança em cada instante é expressa pela função ttth 8)( 2  , em que h é a medida 
em metros e t em segundos. Após quanto tempo o dardo atingirá o solo? 
 
54- Determine k de modo que o gráfico da função dada por 15)( 2  kxxxf passe pelo 
ponto (-1,2). 
 
55- Determine o máximo ou o mínimo das seguintes funções quadráticas: 
 
a) xxy  2 
b) xxy 126 2  
c) 30020 2  xy 
d) 342  xxy 
e) 10122  xxy 
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MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015 47 
f) 2)5(  xy 
 
56- Construa o gráfico das funções: 
 
a) 2)( xxf  
b) 2)( xxf  
c) 4)( 2  xxf 
d) 2xy  
e) 1)( 2  xxf 
 
57- Dada a função 1272  xxy , determine: 
 
a) O vértice V. 
b) As raízes. 
c) O “corte” no eixo y. 
d) O esboço do gráfico. 
 
58- Determine para quais valores de p as funções têm como gráfico uma parábola com 
concavidade voltada para cima: 
 
a) 65)3()( 2  xxpxf 
b) 6)34()( 2  xpxf 
c) 4)26()( 2  xpxf 
 
59- Um corpo é lançado do solo e a lei que expressa esse movimento é dada por: 
2880)( sssh  (h e s em cm). Determine a altura máxima atingida e o alcance 
horizontal. 
 
60- (VUNESP) Suponha que um grilo, ao saltar do solo, tenha sua posição no espaço descrita 
em função do tempo (em segundos) pela expressão: 233)( ttth  , onde h é a altura 
atingida em metros. 
 
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MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015 48 
a) Em que instante t o grilo retorna ao solo? 
b) Qual a altura máxima em metros atingida pelo grilo? 
 
61- Em um experimento com certo tipo de moscas verificou-se que, em determinadas 
condições, o crescimento do número de moscas é uma função do tempo dada por 
80168)( 2  tttn . Qual era a população inicial de moscas? Até que instante a 
população de moscas cresceu? 
 
62- Um empresário determinou que o custo de certo produto de sua empresa é função do 
número de unidades produzidas desse produto. Essa função é definida por 
21002510 nnC  , em que n é o número de unidades produzidas e C é o custo. Qual 
deve ser o número de unidades produzidas para que o custo seja mínimo? 
 
63- Determine os zeros das funções: 
 
a) 363)( 2  xxxf 
b) xxxf 126)( 2  
c) 205)( 2  xxf 
d) 523)( 2  xxxf 
e) 16)( 2  xxf 
 
64- Considere a função real 65)( 2  xpxxf . Determine p para que 3 seja zero da 
função. 
 
65- Faça o estudo do sinal das funções: 
 
a) 352)( 2  xxxf 
b) xxxf 2)( 2  
c) 9103 2  xxy 
d) 2)( 2  xxxf 
e) 96)( 2  xxxf 
f) 735 2  xxy 
g) 332  xxy 
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MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015 49 
 
66- Para que valores de x têm-se y > 0? 
 
a) 962  xxy 
b) 134 2  xxy 
c) 102  xxy 
 
67- Resolva as inequações do 2º grau: 
 
a) 0452  xx 
b) 0542 2  xx 
c) 06148 2  xx 
d) 062  xx 
e) 01582  xx 
 
68- Para quais valores reais de x têm-se: 
 
a) 025102  xx 
b) 0132 2  xx 
c) 0)3).(2(  xx 
d) 0)4).(4(  xx 
e) 0)7.( xx 
 
69- (PUCCAMP-SP) No Conjunto R, qual o conjunto verdade de 0152
2  xx ? 
 
70- Sendo 64)(
2  xxxf , é correto afirmar que: 
 
a) A função admite dois zeros reais e distintos. 
b) A função é positiva para x maior que 1000. 
c) A função é positiva somente para x no intervalo  6,1 . 
d) A função é negativa para qualquer valor real. 
e) A função é negativa somente para x no intervalo  6,1 . 
 
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MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015 50 
8. Funções Exponenciais 
Para entendermos os conceitos de funções exponenciais, vamos falar primeiramente de 
equações exponenciais, seu entendimento é primordial para entender o conceito de funções 
aplicados a esse campo. 
8.1 Equações exponenciais 
Equações exponenciais são aquelas cujas incógnitas são potencias de um determinado 
número a , ou seja: 
xa b
 
Para resolvermos uma equação exponencial podemos fatorar o termo independente da 
equação para igualar as bases, assim podemos dizer que os expoentes são iguais. 
Assim sendo, teremos que  nb a , como xa b , então, consequentemente: 
     ( 1 e 0)x na a m n a a 
Observe a resolução da equação exponencial a seguir. 
Exemplo 
1. Resolva as equações exponenciais abaixo: 
a) 2 256x 
Resolução: 
Fatorando 256, temos que: 256 = 28, logo: 
    82 256 2 2 8x x x
 
b)  13 27x 
Resolução: 
Fatorando 27, temos que: 27 = 33, logo: 
        1 1 33 27 3 3 1 3 2x x x x 
 
Para se resolver a inequação exponencial procedemos da mesma forma que a 
equação: igualar as bases, e resolver a inequação com os expoentes, porém é 
necessário se atentar com o valor da base. 
 
8.2 Inequações exponenciais 
 
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MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015 51 
Inequação para 0 < a < 1 
Observe que quando a base está entre 0 e 1, conforme aumentam-se os expoentes, 
aumentam-se os valores, conforme abaixo: 
 1 2 3 4 2 , 2 , 2 , 2 ... é respectivamente igual a  2, 4, 8, 16... 
Então, ou seja,   x na a x n , mantém-se o sinal da desigualdade. 
 
Inequação para a < 1 
Observe que quando a base é maior que 1, conforme aumentam-se os expoentes, 
diminuem-se os valores, conforme abaixo: 
         
        
         
1 2 3 4
1 1 1 1
 , , , ... 
2 2 2 2
é respectivamente igual a 
 0,5 , 0,25 , 0,125, 0,0625... 
Então: 
Se a <1,   
x na a x n , ou seja inverte-se o sinal da desigualdade. 
 
Exemplo 
1. Resolva as inequações abaixo 
a) 3 81x 
Resolução: 
Como sabemos  481 3 ,então  43 3x . 
Como a base é maior que 1, devemos manter o sinal da desigualdade, assim 
sendo: 
  43 3 4x x 
 
b) 
            
     
2
1 1 1 1
3 9 3 3
x x
 
Resolução: 
            
     
2
1 1 1 1
3 9 3 3
x x
Como a base é menor que 1, devemos inverter o 
sinal da desigualdade, assim sendo: 
        
   
2
1 1
2
3 3
x
x 
 
Exercícios sobre equações e inequações exponenciais 
 
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MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015 52 
71- Resolva as seguintes equações exponenciais: 
 
a) 25625 x 
b) 644 x 
c) 
3
1
9 x 
d) 33 232 x 
e) 55x 
f) 125 2 x 
g) 33 232 x 
h) 










32
1
2
1
x
 
i) 
2
1
4
5 x 
j) 2733 5 x 
 
72- Resolva 01,010 34 x . 
 
73- Determine o conjunto verdade das seguintes equações exponenciais: 
 
a) 0224  xx 
b) 082.622  xx 
c) 015.252  xx 
d) 033.49  xx 
e) 1255.3025  xx 
f) 01010.11100  xx 
 
74- Para que valores de x têm-se a igualdade: 273.1232  xx ? 
 
 
75- Determine os valores reais de x de tal forma que: 
 
5
2
44


x
x
 
 
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MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015 53 
76- Resolva as inequações em R: 
 
a) 273 x 
b) 162 x 
c) 
9
1
3
1






x
 
d)     12
42
2
1
2 


x
x
 
e) 
101
5
2
5
2











x
 
f) 1
3
2
13






x
 
g) 
412
3
1
3
1












xx
 
h) xx 10)001,0( 24  
i)  
2
81
1
27







x
x
 
 
77- Para que valores reais de x são válidas as desigualdades? 
 
a) 648 x 
b) 34349 1 x 
c) 
25
1
5
1
3






x
 
d) 
16
1
4
1






x
 
e) 
13
2
1
4
1












xx
 
 
78- Resolva 
16
4
8.2
x
x  . 
 
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MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015 54 
8.3 Gráfico da função exponencial 
Definimos função exponencial, qualquer função f de  em  definida por uma lei matemática 
da forma ( ) xf x a com   
* e 1a . 
Supondo que não existissem essas restrições, teríamos: 
Para a = 1, a função ( ) 1xf x seria equivalente a ( ) 1f x , que não é uma função 
exponencial, mas sim uma função constante. 
Para a = 0, teríamos ( ) 0xf x que admite 
0(0) 0f que é uma indeterminação matemática. 
Para a < 0, teríamos que a = -b (ou seja, a é um número negativo) e.  ( ) ( )
xf x b , a função 
admite 
      
 
1
21 ( )
2
f b b . E como sabemos não existe raiz quadrada (ou par) de 
números negativos. 
Para construção do gráfico de uma função exponencial vamos atribuir alguns valores a x, e a 
partir desse valor, encontrar f(x), identificar esses pontos no plano cartesiano e traçar a curva. 
Exemplo: 
Para a representação gráfica da função ( ) 2xf x vamos atribuir os seguintes valores a x: -4, -
2, -1, 0, 1, e 2. 
Montando a tabela temos: 
x y = 2x 
-6 y = 2-4 = 0,625 
-3 y = 2-2 = 0,25 
-1 y = 2-1 = 0,5 
0 y = 20 = 1 
1 y = 21 = 2 
2 y = 22 = 4 
 
Preenchemos esses valores no plano cartesiano e traçamos o gráfico, assim teremos: 
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MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015 55 
 
8.4 Crescimento e Decrescimento 
Podemos classificar a função exponencial quanto ao crescimento e decrescimento, uma função 
exponencial é crescente ou decrescente, diferente da função quadrática que assume ambos 
comportamentos em uma mesma função, nas funções exponenciais, o comportamento 
depende diretamente do valor de sua base. 
Função Exponencial Crescente 
Se a função exponencial é crescente, ou seja, conforme x aumenta o valor de f(x) 
também aumenta. 
Exemplo: Gráfico de f(x) = 2x 
 
 
Função Exponencial Decrescente 
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MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015 56 
Se a função exponencial é decrescente, ou seja, conforme x aumenta, o valor de 
f(x) diminui. 
Exemplo: Gráfico de f(x) = 0,5x 
 
 
Exercícios sobre função exponencial 
79- Esboce o gráfico e identifique como crescente ou decrescente as funções exponenciais: 
 
a) 
x
y 





3
1
 
b) xy 3 
c) xy 23 
d) 12  xy 
e) xy 22 
f) 
3
2
1







x
y 
g) xy 5 
 
80- (Fuvest-SP) Sejam 
x
xf 





3
2
)( e 
x
xg 





5
1
)( , usando o mesmo par de eixos, esboce 
os gráficos de f(x) e g(x). 
 
 
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MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015 57 
81- Resolva graficamente o sistema de equações: 
 





x
y
yx
2
6
 
 
82- Esboce num mesmo plano cartesiano, os gráficos das funções xxf 2)(  e 3)(  xxf 
e verifique quantas soluções tem a equação 32  xx . 
 
83- Uma função f dada por xaxf )( é tal que seu gráfico passa pelo ponto (1,3). Determine 
o valor de a. 
 
84- Para fazer uma experiência, um biólogo colocou 200 bactérias em um meio propício ao seu 
desenvolvimento, e observou que a cada hora o número de bactérias dobrava. Escreva a 
sentença que define o número de bactérias N em função do tempo t em horas. 
 
85- Asclépio deposita R$ 500,00 na caderneta de poupança e, mensalmente, são creditados 
juros de 2% sobre o saldo. Sabendo que a fórmula do montante (capital + rendimento), 
após x meses, é xxM )02,1.(500)(  , calcule: 
 
a) o montante após um ano. 
b) o rendimento no primeiro ano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015 58 
9. Logaritmos 
9.1 Definição 
Logaritmo é um tópico da matemática que depende diretamente do conhecimento sobre 
potenciação e suas propriedades, afinal o logaritmo, é basicamente um expoente. 
a x = b ↔ x = loga b 
Onde: 
a é a base, a * , a ≥ 1 
b é logaritmando, b * , b ≥ 0 
 x é o valor do logaritmo 
Obs: Sempre que o logaritmo não estiver indicando base, utilizamos a base 10, ou seja: log a = 
log10 a. 
Exemplos: 
1. Resolva os seguintes logaritmos. 
a) log28 
Solução: 
log28 = 3, pois 2
3 = 8 
 
b) log327 
Solução: 
log327 = 3, pois 3³ = 27 
 
c) log10100 
Solução: 
log10100 = 2, pois 10² = 100 
 
9.2 Condições de existência 
 
A base a de um logaritmo não pode ser negativa, não pode ser igual a zero nem igual a um. 
O logaritmando b não pode ser negativo e nem igual a zero. 
 
9.3 Sistemas de logaritmos 
 
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MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015 59 
Chama-se sistema de logaritmos de base a ( )01  a , o conjunto dos logaritmos de todos os 
números reais positivos na base a. 
Dois sistemas de logaritmos destacam-se pelo seu importante papel no campo das Ciências, 
são eles: sistema de logaritmos decimais e sistema de logaritmos neperianos. No nosso estudo 
veremos o sistema de logaritmos decimais. 
 
Sistema de logaritmos decimais 
 
É um sistema de logaritmos no qual se adota a base 10, o que vem simplificar cálculos no 
campo da Matemática. Para esse sistema de logaritmos, na notação, iremos omitir a base. 
Exemplo: 2loglog 210  
 
9.4 Propriedades dos logaritmos 
Assim como as demais operações matemáticas os logaritmos possuem propriedades que 
facilitam sua utilização, bem como a realização de operações. 
1ª propriedade - Logaritmo de 1 em qualquer base a é 0. 
loga1 = 0 
loga1 = x 
ax = 1 (a0 = 1) 
x = 0 
Exemplo: 
Log21 = 0, pois 2
0 = 1 
2ª propriedade - O logaritmo da base, qualquer que seja a base, será 1. 
logaa = 1 
logaa = x 
ax = a 
x = 1 
Exemplo: 
Log22 = 1, pois 2
1 = 2 
3ª propriedade - O logaritmo de uma potência de base a é igual ao expoente m. 
logaa
m = m 
logaa
m = x 
ax = am 
x = m 
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MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015 60 
Exemplo: 
Log2(2
2) = 2, pois 22 = 4 
4ª propriedade - Se dois logaritmos em uma mesma base são iguais, então os logaritmandos 
também são iguais. 
logab = logac 
logab = x → ax = b 
logac = x → ax = c 
b = c 
Exemplo: 
Log22 = log2c → c = 4 
5ª propriedade- A potência de base a e expoente logab é igual a b. 
aloga
b= b 
logab = x 
ax = b 
Exemplo: 
2log2
4= 4, pois log24=2 e 2
2=4. 
6ª Propriedade - Logaritmo do produto é a soma dos logaritmos. 
logc (a . b) = logc a + logc b, sendo a > 0 e b > 0. 
Exemplo: 
log2 (2 . 3) = log2 2 + log2 3 
7ª Propriedade - Logaritmo da divisão é a subtração dos logaritmos 
logc (a/ b) = logc a - logc b, sendo a > 0 e b > 0. 
Exemplo: 
log2 (2 / 3) = log2 2 - log2 3 
8ª Propriedade - Inversão de logaritmos 
 
 
Exemplo: 
 
9ª Propriedade - Mudança de bases de um logaritmo 
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MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015 61 
Podemos representar um logaritmo de base b como um logaritmo de base a, para isso, 
utilizamos o procedimento de mudança de base: 
 
 
Exemplo: 
Sabemos que log216 = 4, resolva, utilizando o algoritmo de mudança de base log416 
Solução: 
Utilizando o procedimento de mudança de bases, temos que: 
 
= 
 
9.5 Mudança de Base 
 
Nos casos em que o logaritmo apresentar uma base que não convém, esta poderá ser 
substituída por outra. 
Considerando-se o logaritmo de um número real e positivo a, numa base b real, positiva e 
diferente de 1, faremos a mudança para uma base c, real, positiva e diferente de 1: 
 
 
Exemplos: 
Mudar para base 2 o logaritmo 54log : 
2
log
log
log
log
5
2
4
2
5
25
4  
 
9.6 Equações logarítmicas 
 
São aquelas que apresentam a incógnita no logaritmando ou na base do logaritmo. 
Exemplos: 12log)3log()2log(  xx 
1loglog 228 
xx 
Em geral, para resolvermos uma equação logarítmica aplicamos a definição, a propriedade ou 
a mudança de base de logaritmos. 
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MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015 62 
Exemplo: Resolva a equação 2log 6 xx . 
C.E: 06 x 01  x 
}3{
3
2
25
06
6
2
1
2
2






S
x
x
xx
xx
 
 
Exercícios sobre logaritmos 
86- Determine, pela definição, o valor de: 
 
a) 15log 
b) 6255log 
c) 25
5
1log 
d) 273log 
e) 008,0 2,0log 
f) 2512log 
g) 04,0 2,0log 
h) 10001,0log 
 
87- Determine o valor de x em cada um dos casos: 
 
a) 3log8 x 
b) 5log
2
x 
c) 4log 00016,0 x 
d) 2log 5,0 
x 
 
88- Se x1,0log , calcule o valor de 2x . 
 
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MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015 63 
89- Calcule o valor da soma 18
33
3
001,0
10 logloglog S . 
 
90- Obtenha o valor de cada expressão a seguir: 
 
a) 99
9
3 loglog  
b) 2,05
2
2
1 log.2loglog  
 
91- O logaritmo de um número na base 8 é 
3
5
. Qual é esse número? 
 
92- Determine x para que exista: 
 
a) 123log
 x 
b) 72 2log


x
x 
 
93- Dados os valores 30,02log  , 47,03log  , 69,05log  e 84,07log  , determine o 
valor de: 
 
a) 12log 
b) 49log 
c) 108log 
d) 120log 
e) 200log 
f) 75log 
g) 23log 
h) 03,0log 
i) 8,4log 
j) 5,7log 
k) 5,10log 
 
94- Sabendo que 4log ab , 1log 
c
b , encontre o valor de: 
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MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015 64 
 
a) ca
b
.log 
b) 






c
a
blog 
c)  
2
.log cab 
 
95- Sendo 53loga e 
2
3logb , calcule os logaritmos a seguir em função de a e b: 
 
a) 103log 
b) 5
3
3log 
 
96- Resolva as equações: 
 
a) 3log 32 
x 
b) 1log52log  xx 
c) 12loglog
2
44 
xx 
d) xxx 6log)4log()4log(  
e) 1loglog 112 
 x
a
x 
 
97- Resolva a equação 3log1 )21(2 
 x . 
 
98- Sendo 30,02log  ; 47,03log  e 69,05log  , calcule: 
 
a) 502log 
b) 46log 
c) 453log 
d) 29log 
e) 62log 
f) 6008log 
 
99- Considerando 69,05log  e 47,03log  , qual é o logaritmo de 5 na base 3? 
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MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015 65 
 
100- Calcule 48log . 
 
101- Dados 3010,0log 210  e 4306,1log
10
5  calcule o valor de 
2
5log . 
 
 
102- Se xa 3log , então 
2
9log
a é igual a: 
 
a) 22x 
b) 2x 
c) 2x 
d) x2 
e) x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015 66 
9.7 Funções Logarítmicas 
Denominamos função logarítmica de base a toda função definida pela lei de formação f(x) = 
logax, com a > 0 e a ≠ 1. De maneira que seu domínio é representado pelo conjunto dos 
números reais maiores que zero e o contradomínio, o conjunto dos reais. 
Para construção do gráfico de uma função exponencial vamos atribuir alguns valores a x, e a 
partir desse valor, encontrar f(x), identificar esses pontos no plano cartesiano e traçar a curva. 
Exemplo: 
Para a representação gráfica da função ( ) 2xf x vamos atribuir os seguintes valores a x: -4, -
2, -1, 0, 1, e 2. 
Montando a tabela temos: 
x y = logx 
1 y = log (1) = 0 
2 y = log (2) =0,30103 
3 y = log (3) =0,477121 
4 y = log (4) =0,60206 
5 y = log (5) =0,69897 
 
Preenchemos esses valores no plano cartesiano e traçamos o gráfico, assim teremos: 
 
9.8 Crescimento e Decrescimento de uma função logarítmica 
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MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015 67 
Assim como fizemos com as funções exponenciais, podemos classificar a função logaritmica 
quanto ao crescimento e decrescimento, em uma função decrescente o comportamento 
depende diretamente do valor de sua base. 
Se a função exponencial é crescente, ou seja, conforme x aumenta o valor de f(x) 
também aumenta. 
Exemplo: Gráfico de f(x) = log2 x 
 
Função Logarítmica Decrescente 
Se a função logarítmica é decrescente, ou seja, conforme x aumenta, o valor de 
f(x) diminui. 
Exemplo: Gráfico de f(x) = log0,5 x 
 
Exercícios sobre função logarítmica 
103- Esboce o gráfico das seguintes funções: 
 
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MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015 68 
a) xy 3log 
b) xy 4log 
c) xy 1,0log 
d) 15,0log
 xy 
 
104- Esboce o gráfico cartesiano das seguintes funções: 
 
a) 13log
 xy 
b) 12log
 xy 
 
105- Construa num mesmo sistema de eixos os gráficos de xxf 2)(  e xxg 2log)(  . 
 
106- Dê o domínio e o conjunto imagem das seguintes funções: 
 
a) xy 3log 
b) 63log  xxy 
c) 12log
 xy 
d) 4log  xy 
e) 164 3
2
log 
x
xy 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015 69 
Exercícios de vestibulares 
Questão 1 
 
(Enem-MEC) Nas últimas eleições presidenciais de um determinado país, onde 9% dos 
eleitores votaram em branco e 11% anularam o voto, o vencedor obteve 51% dos votos 
válidos. Não são considerados válidos os votos em branco e nulos. 
Pode-se afirmar que o vencedor, de fato, obteve de todos os eleitores um percentual de votos 
da ordem de: 
a) 38% 
b) 41% 
c) 44% 
d) 47% 
e) 50% 
 
 
 
Questão 2 
 
(Enem-MEC) Um fabricante de cosméticos decide produzir três diferentes catálogos de seus 
produtos, visando a públicos distintos. Como alguns produtos estarão presentes em mais de 
um catálogo e ocupam uma página inteira, ele resolve fazer uma contagem para diminuir os 
gastos com originais de impressão. Os catálogos C1, C2
 e C3 terão, respectivamente, 50, 45 e 
40 páginas. 
Comparando os projetos de cada catálogo, ele verifica que C1 e C2 terão 10 páginas em 
comum; C1 e C3
 terão 6 páginas