Unidade II - Operações com Matrizes

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Álgebra Linear I
Operações com Matrizes
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Ms. Douglas Tinti
Revisão Textual:
Profa. Ms. Luciene Oliveira da Costa Santos
5
Caro(a) aluno(a),
É com satisfação que apresentaremos a você a unidade sobre Operações com Matrizes, parte 
integrante da disciplina Álgebra Linear.
Nesta unidade, estudaremos e aplicaremos as principais operações envolvendo matrizes.
Não deixe de acompanhar as tarefas propostas: Contextualização, Atividades de 
Sistematização e de Aprofundamento.
Não se esqueça de assistir ao vídeo. 
Desejamos que tenha um ótimo estudo. 
Nesta unidade, abordaremos as Operações com Matrizes.
Dentre as principais operações, destacamos:
 · Igualdade de Matrizes;
 · Adição e Subtração de Matrizes;
 · Multiplicação de um Número Real por uma Matriz;
 · Multiplicação de Matrizes; 
 · Matriz Transposta.
Operações com Matrizes
 · Operações com Matrizes
 · Exercícios Propostos
 · Expectativa de Respostas
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Unidade: Operações com Matrizes
Contextualização
Nesta unidade, abordaremos as Matrizes e suas Operações Básicas que serão para nós 
instrumentos indispensáveis para o estudo dos conceitos que integram a Álgebra Linear.
Mas, afinal, qual a finalidade de estudarmos as Operações envolvendo Matrizes? Para 
responder a esse questionamento, vamos recorrer a um exemplo:
A Região do ABC Paulista é composta pelas cidades de Santo André, São Bernardo do 
Campo e São Caetano do Sul. A Tabela 1 apresenta uma estatística com o número de veículos 
que foram recuperados pela Polícia no ano de 2013.
Tabela 1: Número de veículos recuperados no ano de 2013
Mês Santo André São Bernardo São Caetano
Janeiro 174 134 37
Fevereiro 164 115 18
Março 183 160 28
Abril 202 121 27
Maio 185 141 30
Junho 192 152 29
Julho 193 206 42
Agosto 240 221 40
Setembro 250 172 40
Outubro 205 144 43
Novembro 205 239 29
Dezembro 196 189 20
Fonte: Secretaria de Segurança Pública do Estado de São Paulo
A Tabela 1 pode ser considerada uma matriz. Podemos, também, subdividi-la em três Matrizes 
A, B e C para representar, respectivamente, as estatísticas das cidades de Santo André, São 
Bernardo do Campo e São Caetano do Sul.
Vamos supor que queremos saber qual foi o total de veículos recuperados na região. O que 
precisaríamos fazer?
Exatamente, basta somarmos os valores apresentados mensalmente das três cidades. Em 
termos de matrizes, iremos realizar a operação A + B + C, que resultará em uma matriz T, por 
exemplo, em que T é o total de veículos recuperados no ABC no ano de 2013.
7
174 134 37
164 115 18
183 160 28
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷+ +ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷= + + ÷ç ÷ç ÷ç ÷+ +ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
T
345
297
371
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷= ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
T
Essa é uma das operações que iremos abordar nesta unidade. 
Vamos conhecer as demais?
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Unidade: Operações com Matrizes
Operações com Matrizes
Nesta unidade, abordaremos e exemplificaremos as principais operações envolvendo 
matrizes. Ao final, com o objetivo de praticar os conceitos estudados, serão propostos alguns 
exercícios. Não deixe de resolvê-los.
Em relação às operações que envolvem matrizes, destacamos:
a) Igualdade de Matrizes
Duas matrizes A e B são iguais se e somente se:
• São do mesmo tipo;
• Seus elementos correspondentes são iguais.
Exemplo:
Sejam as matrizes 
1 3 1 3
e
0 2 0 2
æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷= =ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø
A   B   .
Concluímos que A = B.
b) Matriz Oposta
Denomina-se matriz oposta de uma matriz A (representa-se –A) a matriz que somada com A 
resulta na matriz nula.
Exemplo:
Seja 
2 1
1 2
æ ö- - ÷ç ÷=ç ÷ç ÷çè ø
A  
A matriz oposta de A é definida por:
2 1
1 2
æ ö÷ç ÷- =ç ÷ç ÷ç- -è ø
A  
c) Matriz Transposta
Seja A uma matriz m x n, denomina-se matriz transposta de A (indica-se por At) a matriz n x 
m cujas linhas são, ordenadamente, as colunas de A.
Exemplo:
1 3 5
7 9 11
13 15 17
1 7 13
3 9 15
5 11 17
é ù
ê ú
ê ú= ê ú
ê úë û
é ù
ê ú
ê ú= ê ú
ê úë û
t
A
A
9
Observe que a 1ª linha da matriz A torna-se a 1ª coluna da matriz At e assim por diante.
d) Adição de Matrizes
Dadas duas matrizes A e B do mesmo tipo (m x n), denomina-se soma da matriz A com a 
matriz B, que representamos por A + B, a matriz C do tipo m x n, na qual cada elemento é 
obtido adicionando-se os elementos correspondentes de A e de B.
A-B=A+(-B)
Exemplo:
Dadas as matrizes A e B, determine A + B.
1 3 2 4
e
5 7 6 8
æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷= =ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø
A   B  
1 2 3 4 3 7
5 6 7 8 11 15
æ ö æ ö+ + ÷ ÷ç ç÷ ÷+ = =ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç+ +è ø è ø
A B  
 
⇒ =





C
3 7
11 15
e) Subtração de Matrizes
Sendo A e B duas matrizes do mesmo tipo m x n, denomina-se diferença entre A e B 
(representada por A – B) a soma da matriz A com a oposta de B.
A – B = A + (-B)
Exemplo:
Dadas as matrizes A e B, determine A - B.
1 0 2 4
0 1 6 8
æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷= =ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø
A   B  
f) Multiplicação de um número real por uma matriz
Sendo A uma matriz m x n, de elementos aij, e α é um número real, então αA é uma matriz 
m x n cujos elementos são αaij.
Exemplo: Dada a matriz 
2 4
6 8
é ù
ê ú= ê úë û
A , determine a matriz B = 2A.
2 4
2.
6 8
4 8
12 16
é ù
ê ú= ê úë û
é ù
ê ú= ê úë û
B
B  
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Unidade: Operações com Matrizes
g) Multiplicação de Matrizes
É preciso destacar que só definimos o produto AB de duas matrizes quando o número de 
colunas de A for igual ao número de linhas de B.
Além disso, notamos que o produto AB possui o número de linhas de A e o número de 
colunas de B.
 
Definição
Dada uma matriz A = (aij) do tipo m x n e uma matriz B = (bij) do tipo n x p, o produto 
da matriz A pela matriz B é a matriz C = (cij) do tipo m x p, tal que o elemento cij é calculado 
multiplicando-se ordenadamente os elementos da linha i, da matriz A, pelos elementos da 
coluna j, da matriz B, e somando-se os produtos obtidos.
Para dizer que a matriz C é o produto de A por B, vamos indicá-la por AB.
Exemplo:
Dadas as matrizes 
3 0
1 3 2
e 4 2
0 5 1
1 6
é ù
ê úé ù ê úê ú= = -ê úê ú-ë û ê úë û
A B , determine a matriz AB.
 
Observe que:
• a matriz A é uma matriz 2 x 3
• a matriz B é uma matriz 3 x 2
É possível calcular a matriz AB pois o
número de colunas da matriz A é igual
ao número de linhas da matriz B.
AB será uma matriz 2 x 2
Para calcularmos o ab11 , devemos pegar a 1ª linha da matriz A e multiplicar pela 1ª coluna 
de B, respeitando a ordem de seus elementos:
3 0
1 3 2
4 2
0 5 1
1 6
é ù
ê úé ù ê úê ú= = -ê úê ú-ë û ê úë û
A B
 
 
1.3 3.4 2.1 ? 17 ?
 ? ? ?
é ù é ù
ê ú ê ú= =ê ú ê úë û
+
ë û
+
A
11
Procedendo da mesma maneira com as demais linhas e colunas, teremos:
( )
( ) ( ) ( )
1.3 3.4 2.1 1.0 3. 2 2.6
0.3 5.4 1 .1 0.0 5. 2 1 .6
é ù+ + + - +ê ú= ê ú+ + - + - + -ê úë û
AB
Exercícios Propostos
1) Determinar o número real x, tal que: 
2 4 114 14
0 50
æ ö æ ö- ÷ ÷ç ç÷ ÷=ç ç÷ ÷ç ç ÷ç÷ç è øè ø
x
x
.
2) Sabendo que 9 1
2 2 3 6 18
é ù é ù+ + -ê ú ê ú=ê ú ê ú-ë û ë û
a b b c
b a d
, determine a, b, c e d.
3) Dadas as matrizes 
2 0
2 3 8 4 5 9
, e 8 6
1 4 0 6 2 7
4 10
æ ö÷çæ ö æ ö ÷- ç ÷÷ ÷ç ç ç ÷÷ ÷= = =ç ç ç ÷÷ ÷ç ç ç÷ ÷ç ç ÷-è ø è ø ç ÷÷ç- -è ø
A B C , determine:
a) A + B
b) B – Ct
c) 2A – B
4) Dadas as matrizes [ ]2 6 4, e 1 2
1 0 3
é ù æ ö÷çê ú ÷= = = -ç ÷çê ú ÷ç- è øë û
A B C , determine se possível:
a) A . B
b) A . C
c) B . C
d) A²
e) B²
5) (Uel 2003 – adaptado) Uma nutricionista recomendou aos atletas de um time de futebol a 
ingestão de uma quantidade mínima de certos alimentos (fruta, leite e cereais) necessáriapara 
uma alimentação sadia. 
A matriz D fornece a quantidade diária mínima (em gramas) daqueles alimentos. 
200
300
600
é ù
ê ú
ê ú= ê ú
ê úë û
fruta
D leite
cereais
17 6
19 16
é ù
ê ú= ê ú-ë û
AB
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Unidade: Operações com Matrizes
A matriz M apresenta a quantidade de proteínas, gorduras e carboidratos fornecida pelos 
gramas ingeridos dos alimentos citados. 
0,006 0,033 0,108 proteínas
0,001 0,035 0,018 gorduras
0,084 0,052 0,631 carboidratos
 
é ù
ê ú
ê ú= ê ú
ê úë û
fruta leite cereais
M
 Nessas condições, determine a matriz que mostra a quantidade diária mínima (em gramas) 
de proteínas, gorduras e carboidratos fornecida pela ingestão desses alimentos.
6) (UFMG) Milho, soja e feijão foram plantados nas regiões P e Q, com ajuda dos fertilizantes 
X, Y e Z. 
A matriz A indica a área plantada de cada cultura, em hectares, por região. 
 
A matriz B indica a massa usada de cada fertilizante, em kg, por hectare, em cada cultura.
milho
soja
feijão
X Y Z
a) Calcule a matriz C = AB.
b) Explique o significado de C23, o elemento da 2ª linha e da 3ª coluna.
Expectativa de Respostas
1) Como temos uma igualdade de matrizes, precisamos igualá-las, deste modo, temos:
2
4 4
14 11
0 0
x 5
ì =ïïïï - =ïïíï =ïïï =ïïî
x
50 20 20
A
40 10 30
é ù
ê ú= ê úë û
P
Q
M
ilh
o
{ { {S
oj
a
Fe
ijã
o
13
Resolvendo as expressões, temos que:
x² - 14 = 11
x² = 11 + 14
x² = 25
x = ± √25
x = ± 5
x = 5
Assim, como a única solução comum as duas equações é x = 5, concluímos que as matrizes 
serão iguais se e somente se x = 5. 
2) Considerando 9 1
2 2 3 6 18
é ù é ù+ + -ê ú ê ú=ê ú ê ú-ë û ë û
a b b c
b a d
, temos:
a +b = 9
b + c = -1
2b = 6
2a – 3d = 18
Determinando o valor de b, temos:
2b = 6 => b = 3
Assim, podemos determinar o valor de a:
a + b = 9
a + 3 = 9
a = 9 - 3
a = 6
Calculando o valor de c, temos:
b + c = -1
3 + c = -1
c = -1 -3
c = -4
E, por fim, calculamos o valor de d:
2a – 3d = 18
2(6) – 3d = 18
12 – 3d = 18
-3d = 18 – 12
-3d = 6
d = -2
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Unidade: Operações com Matrizes
Assim, temos que a = 6, b = 3, c = -4 e d = -2.
3) As matrizes são 
2 0
2 3 8 4 5 9
, B e 8 6
1 4 0 6 2 7
4 10
æ ö÷çæ ö æ ö ÷- ç ÷÷ ÷ç ç ç ÷÷ ÷= = =ç ç ç ÷÷ ÷ç ç ç÷ ÷ç ç ÷-è ø è ø ç ÷÷ç- -è ø
A C
a) A + B
2 3 8 4 5 9
1 4 0 6 2 7
æ ö æ ö-÷ ÷ç ç÷ ÷+ = +ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç-è ø è ø
A B
( )
( )
2 4 3 5 8 9
A
1 6 4 2 0 7
6 8 1
7 2 7
æ ö+ + + - ÷ç ÷+ =ç ÷ç ÷÷ç + - + +è ø
æ ö- ÷ç ÷+ =ç ÷ç ÷ç -è ø
B
A B
b) B – Ct
Calculando 
2 8 4
0 6 10
æ ö- ÷ç ÷= ç ÷ç ÷ç -è ø
tC
( ) ( )
( )
4 5 9 2 8 4
6 2 7 0 6 10
4 2 5 8 9 4
6 0 2 6 7 10
2 3 5
6 4 17
æ ö æ ö- -÷ ÷ç ç÷ ÷- = -ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç -è ø è ø
æ ö- - - - - ÷ç ÷- =ç ÷ç ÷÷ç - - - -è ø
æ ö- - ÷ç ÷- =ç ÷ç ÷ç -è ø
t
t
t
B C  
B C
B C
c) 2A - B
( )
( )
2 3 8 4 5 9
2 2.
1 4 0 6 2 7
4 6 16 4 5 9
2
2 8 0 6 2 7
4 4 6 5 16 9
2
2 6 8 2 0 7
0 1 25
2
4 10 7
æ ö æ ö-÷ ÷ç ç÷ ÷- = -ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç-è ø è ø
æ ö æ ö-÷ ÷ç ç÷ ÷- = -ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç-è ø è ø
æ ö- - - - ÷ç ÷- =ç ÷ç ÷÷ç - - - -è ø
æ ö÷ç ÷- =ç ÷ç ÷ç- - -è ø
A B  
A B
A B
A B
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4) As matrizes são: [ ]2 6 4, e 1 2
1 0 3
é ù æ ö÷çê ú ÷= = = -ç ÷çê ú ÷ç- è øë û
A B C
a) A . B
( )
2.4 6.3
1 .4 0.3
26
4
æ ö+ ÷ç ÷= ç ÷ç ÷ç - +è ø
æ ö÷ç ÷= ç ÷ç ÷ç-è ø
AB
AB
b) A . C
Não existe.
c) B . C
( )
( )
4.1 4. 2
3.1 3. 2
4 8
3 6
é ù-ê ú= ê ú-ê úë û
é ù-ê ú= ê ú-ë û
BC
BC
d) A2
Observe que A² = A.A
( )
( ) ( )
2.2 6. 1 2.6 6.0
²
1 .2 0. 1 1.6 0.0
2 12
²
2 6
é ù+ - +ê ú= ê ú- + - - +ê úë û
é ù-ê ú= ê ú- -ë û
A
A
e) B²
Não existe.
5) A matriz pedida é a MD.
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Unidade: Operações com Matrizes
6) a) Vamos calcular a matriz C=AB.
b) C23 = 1.900 representa a quantidade, em quilogramas, de fertilizante Z usado nas 
plantações de milho, soja e feijão na região Q.
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Material Complementar
 
 Vídeos
Operações com Matrizes 
Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=CAGQVrvgC7g
Multiplicação de Matrizes
Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=UDmXFeZ1dxU
 
 Links da internet
Portal Khan Academy – Estudo de Matrizes
Neste portal você poderá praticar um pouco. 
Disponível em: https://pt.khanacademy.org/math/precalculus/precalc-matrices 
Conceito de Matriz Inversa 
Disponível em: http://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-inversa.htm
 
 Livros: Livros:
• ANTON, Howard. Álgebra linear com aplicações. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2012.
• GUELLI, Oscar. Contando a história da matemática. Equação o idioma da álgebra. São 
Paulo: Ática, 1993.
• LEON, Steven J. Álgebra linear com aplicações. 4. ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e 
Científicos, 1999.
 
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Unidade: Operações com Matrizes
Referências
ANTON, H. Álgebra linear com aplicações. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2012.
COELHO, F. U. Um curso de álgebra linear. São Paulo: Edusp, 2001.
LEON, S. J. Álgebra linear com aplicações. 4. ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e 
Científicos, 1999.
LIPSCHUTZ, S. Álgebra linear: teoria e problemas. 3. ed. São Paulo: Makron Books, 2004. 
STRANG, G. Álgebra Linear e suas aplicações. São Paulo: Cengage, 2010.
VALLADARES, R. J. da C. Álgebra linear. Rio de Janeiro: LTC, 1990.
19
Anotações