Aula 4 - Forças em superfícies submersas

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FORÇAS EM SUPERFÍCIES 
SUBMERSAS
Professora Raquel Ferreira
Contato: raquel.ferreiran@ufpe.br
SUPERFÍCIE PLANA SUBMERSA
SUPERFÍCIE PLANA SUBMERSA
• Fluido em repouso Não existem forças tangenciais
• Se a pressão tiver uma distribuição uniforme sobre a superfície:
• 𝐹 = 𝑝𝐴
• Ponto de aplicação da força: centro de gravidade da superfície
• No caso dos gases, mesmo se a superfície estiver na vertical, a variação de pressão é
muito pequena devido ao baixo peso específico, então se enquadra nesta situação
• No caso dos líquidos, a distribuição das pressões só será uniforme se a superfície
submersa for horizontal
SUPERFÍCIE PLANA SUBMERSA
• A pressão efetiva varia de zero na
superfície livre até 𝐵𝐶 = 𝑝 = 𝛾ℎ no
final da superfície plana
• A variação da pressão deve ser linear
• Não é possível encontrar a força
resultante por 𝐹 = 𝑝𝐴 devido à
variação de pressão
• O ponto de aplicação da força
resultante irá se localizar abaixo do
CG, denominado centro das pressões
(CP)
SUPERFÍCIE PLANA SUBMERSA
No elemento de área dA
Área: 𝑑𝐴 = 𝑥𝑑𝑦
Pressão: 𝑝 = 𝛾ℎ
Distância entre a superfície livre e o centro
da superfície: ℎ = 𝑦𝑠𝑒𝑛𝜃
Força: 𝑑𝐹 = 𝑝𝑑𝐴 = 𝛾ℎ𝑑𝐴 = 𝛾𝑦𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝐴
𝐹 = 𝛾𝑠𝑒𝑛𝜃න𝑦𝑑𝐴
SUPERFÍCIE PLANA SUBMERSA
No CG da superfície
Por definição: 𝑦𝐶𝐺 =
1
𝐴
𝑦𝑑𝐴׬
න𝑦𝑑𝐴 = 𝑦𝐶𝐺𝐴
Sendo: 𝐹 = 𝛾𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑦𝑑𝐴׬
𝐹 = 𝛾𝑠𝑒𝑛𝜃𝑦𝐶𝐺𝐴
𝐹 = 𝛾ℎ𝐶𝐺𝐴
𝐹 = 𝑝𝐶𝐺𝐴
• A força resultante na superfície é
obtida pelo produto da pressão, no
centro de gravidade da superfície, por
sua própria área
CENTRO DE PRESSÃO
• O Centro das pressão é ponto de aplicação da força resultante das pressões sobre
uma certa área
• Força elementar na placa: 𝑑𝐹 = 𝑝𝑑𝐴 = 𝛾𝑦𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝐴
• Momento resultante da força dF ao eixo Ox: 𝑦𝑑𝐹 = 𝛾𝑦²𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝐴
• Considerando a força F resultante no CP da placa: 𝑦𝐶𝑃𝐹 = 𝛾𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑦²𝑑𝐴׬
CENTRO DE PRESSÃO
• Momento de inércia da área A em relação ao eixo Ox: 𝐼𝑜 = 𝑦²𝑑𝐴׬
• Então: 𝑦𝐶𝑃𝐹 = 𝛾𝑠𝑒𝑛𝜃 𝐼𝑜 (1)
• Como já determinado: 𝐹 = 𝛾𝑠𝑒𝑛𝜃𝑦𝐶𝐺𝐴 (2)
• Dividindo (1) por (2): 𝑦𝐶𝑃 =
𝛾𝑠𝑒𝑛𝜃𝐼𝑜
𝛾𝑠𝑒𝑛𝜃𝑦𝐶𝐺𝐴
=
𝐼𝑜
𝑦𝐶𝐺𝐴
CENTRO DE PRESSÃO
• Propriedade do momento de inércia
𝐼𝑜 = 𝐼𝐶𝐺 + 𝑦𝐶𝐺
2A
• 𝐼𝐶𝐺 : momento de inércia em relação a um eixo que passa pelo centro de
gravidade da superfície da área A
𝑦𝐶𝑃 =
𝐼𝑜
𝑦𝐶𝐺𝐴
𝑦𝐶𝑃 = 𝑦𝐶𝐺 +
𝐼𝐶𝐺
𝑦𝐶𝐺𝐴
• Posição do CP em relação a eixo y: 𝑥𝐶𝑃𝐹 = 𝑥𝑝𝑑𝐴׬
CENTRO DE GRAVIDADE E MOMENTO 
DE INÉRCIA
CENTRO DE GRAVIDADE E MOMENTO 
DE INÉRCIA
SUPERFÍCIES SUBMERSAS EM MAIS 
DE UM LÍQUIDO 
SUPERFÍCIES SUBMERSAS EM MAIS 
DE UM LÍQUIDO 
Óleo 
(𝛾ó𝑙𝑒𝑜)
Água 
(𝛾á𝑔𝑢𝑎)
ℎó𝑙𝑒𝑜
ℎá𝑔𝑢𝑎
• Calcula a pressão do óleo 
𝑝𝑜 = 𝛾ó𝑙𝑒𝑜ℎó𝑙𝑒𝑜
• Encontra a altura equivalente que
“transforme o óleo na água”
𝑝𝑜 = 𝛾á𝑔𝑢𝑎ℎ𝑒𝑞
• Encontre a força na comporta
considerando que todo o conteúdo
do recipiente é formado por água
𝐹 = 𝛾á𝑔𝑢𝑎ℎ𝐶𝐺𝐴
SUPERFÍCIES SUBMERSAS EM MAIS 
DE UM LÍQUIDO 
Óleo 
(𝛾ó𝑙𝑒𝑜)
Água 
(𝛾á𝑔𝑢𝑎)
ℎó𝑙𝑒𝑜
ℎá𝑔𝑢𝑎
• Determine o ponto de aplicação da
força no cenário fictício
𝑦𝐶𝑃′ = 𝑦𝐶𝐺 +
𝐼𝐶𝐺
𝑦𝐶𝐺𝐴
• Determine o ponto de aplicação da
força no cenário real
𝑦𝐶𝑃 = 𝑦𝐶𝑃
′ + (ℎó𝑙𝑒𝑜 − ℎ𝑒𝑞)
SUPERFÍCIES CURVAS SUBMERSAS
SUPERFÍCIES CURVAS SUBMERSAS
• As forças nos diversos elementos de área de uma superfície curva submersa são
diferentes em módulo e direção, tornando-se impossível o somatório delas
• É possível determinar a força resultante em certas direções
SUPERFÍCIES CURVAS SUBMERSAS
• A componente horizontal da força que age em qualquer superfície é igual à força
horizontal que age numa superfície plana, projeção daquela sobre um plano
vertical
𝐹′ = 𝐹𝑥
SUPERFÍCIES CURVAS SUBMERSAS
• O componente vertical da força é igual em intensidade e direção ao peso da
coluna total de fluido, tanto do líquido como da atmosfera, acima da superfície
curva
𝐹𝑦 = 𝐺
• 𝐹𝑦 será vertical e passará pelo CG do volume
SUPERFÍCIES CURVAS SUBMERSAS
• No caso de superfícies curvas que estiverem sobre o líquido, o peso do líquido é
subtraído da componente vertical da força hidrostática desde que ela atua na
direção oposta.
EXEMPLOS
1 - A comporta AB da figura tem 1,5m de largura e pode girar em torno de A. O
tanque à esquerda contém água (𝛾𝐻2𝑂 = 10000 𝑁/𝑚³) e o da direita, óleo (𝛾ó𝑙𝑒𝑜 =
7500 𝑁/𝑚³). Qual a força necessária em B para manter a comporta na vertical?
EXEMPLOS
• Momento no ponto A
෍𝑀𝐴 = 0
𝐹2𝑑2𝐴 + 𝐹𝐵𝑑𝐵𝐴 − 𝐹1𝑑1𝐴 = 0
𝐹1 𝐹2
𝐹𝐵
EXEMPLOS
• Determinando as forças:
𝐹1 = 𝛾𝐻2𝑂 ∗ ℎ𝐶𝐺1 ∗ 𝐴
𝐹1 = 10000 ∗ 3 + 1 ∗ (2 ∗ 1,5)
𝐹1 = 120000𝑁
𝐹2 = 𝛾ó𝑙𝑒𝑜 ∗ ℎ𝐶𝐺2 ∗ 𝐴
𝐹2 = (7500 ∗ 1) ∗ (2 ∗ 1,5)
𝐹2 = 22500𝑁
𝐹1 𝐹2
𝐹𝐵
3m
EXEMPLOS
• Determinando os centros de pressão:
𝐼𝐶𝐺 =
𝑏ℎ³
12
=
1,5 ∗ 2³
12
𝐼𝐶𝐺 = 1𝑚
4
𝐹1 𝐹2
𝐹𝐵
3m
h=2m
b=1,5m
y
xCG
EXEMPLOS
• Determinando os centros de pressão:
𝑦𝐶𝑃1 = 𝑦𝐶𝐺1 +
𝐼𝐶𝐺
𝑦𝐶𝐺1𝐴
𝑦𝐶𝑃1 = 3 + 1 +
1
3 + 1 ∗ (2 ∗ 1,5)
𝑦𝐶𝑃1 =
49
12
𝑚
𝑑1𝐴 = 𝑦𝐶𝑃1 − 3 =
13
12
𝑚
𝐹1 𝐹2
𝐹𝐵
3m
EXEMPLOS
• Determinando os centros de pressão:
𝑦𝐶𝑃2 = 𝑦𝐶𝐺2 +
𝐼𝐶𝐺
𝑦𝐶𝐺2𝐴
𝑦𝐶𝑃2 = 1 +
1
1 ∗ (2 ∗ 1,5)
𝑦𝐶𝑃1 =
4
3
𝑚 = 𝑑2𝐴
𝐹1 𝐹2
𝐹𝐵
3m
EXEMPLOS
• Força em B
𝐹2𝑑2𝐴 + 𝐹𝐵𝑑𝐵𝐴 − 𝐹1𝑑1𝐴 = 0
22500 ∗
4
3
+ 𝐹𝐵 ∗ 2 − 120000 ∗
13
12
= 0
𝐹𝐵 = 50𝑘𝑁
𝐹1 𝐹2
𝐹𝐵
3m
EXEMPLOS
2- A comporta na figura abaixo tem 1,5 m de largura, está articulada no ponto B e se
apoia sobre uma parede lisa no ponto A. Calcule (a) a força na comporta decorrente
da pressão da água do mar, (b) a força horizontal P exercida pela parede no ponto A.
EXEMPLOS
• Profundidade do CG
ℎ𝐶𝐺 = 4,5 − 0,9
ℎ𝐶𝐺 = 3,6𝑚
• Altura da comporta
ℎ = 2,42 + 1,8²
ℎ = 3𝑚
• Área da comporta
𝐴 = 3 ∗ 1,5
𝐴 = 4,5𝑚²
0,9m
CG
EXEMPLOS
• Força hidrostática agindo na
comporta
𝐹 = 𝑝𝐶𝐺𝐴
𝐹 = 𝛾ℎ𝐶𝐺𝐴
𝐹 = 10054 ∗ 3,6 ∗ 4,5
𝐹 = 162,875𝑘𝑁
0,9m
CG
EXEMPLOS
• Momento de inércia
𝐼𝐶𝐺 =
𝑏ℎ³
12
𝐼𝐶𝐺 =
1,5 ∗ 3³
12
𝐼𝐶𝐺 = 3,375𝑚
4
0,9m
CG
EXEMPLOS
• 𝑦𝐶𝐺
ℎ𝐶𝐺
𝑦𝐶𝐺
=
1,8
ℎ
3,6
𝑦𝐶𝐺
=
1,8
3
𝑦𝐶𝐺 = 6𝑚
0,9m
CG
ℎ𝐶𝐺 = 3,6𝑚
𝑦𝐶𝐺
𝜃
EXEMPLOS
• Centro de pressão:
𝑦𝐶𝑃 = 𝑦𝐶𝐺 +
𝐼𝐶𝐺
𝑦𝐶𝐺𝐴
𝑦𝐶𝑃 = 6 +
3,375
6 ∗ 4,5
𝑦𝐶𝑃 = 6,125m
𝑦𝐶𝑃 − 𝑦𝐶𝐺 = 0,125 𝑚0,9m
CG
EXEMPLOS
• Momento no ponto B
𝑀𝐵 = 𝐹𝑑 − 𝑃𝑑2
0 = 162875 ∗ 1,375 − P ∗ 1,8
𝑃 = 124,418𝑘𝑁
A
B
CG
CP
0,125m
1,5m
1,375m
F
P
EXEMPLOS
3- Uma barragem tem uma forma parabólica Τ𝑧 𝑧𝑜 = ( Τ𝑥 𝑥𝑜)², como mostra a
figura, com 𝑥𝑜 = 3𝑚 e 𝑧𝑜 = 7,2𝑚. O fluido é a água, 𝛾 = 9802𝑁/𝑚³ e a pressão
atmosférica pode ser omitida. Calcule as forças FH e FV sobre a barragem e sua linha
de ação. A largura da barragem é de 15 m.
EXEMPLOS
• Projeção vertical da parábola
𝐴𝑉 = 𝑏𝑧𝑜
𝐴𝑉 = 15 ∗ 7,2
𝐴𝑉 = 108𝑚²
• Profundidade do centro de gravidade
ℎ𝐶𝐺 =
𝑧𝑜
2
ℎ𝐶𝐺 =
7,2
2
ℎ𝐶𝐺 = 3,6𝑚
EXEMPLOS
• Componente horizontal da força
𝐹𝐻 = 𝛾ℎ𝐶𝐺𝐴𝑉
𝐹𝐻 = 9802 ∗ 3,6 ∗ 108
𝐹𝐻 = 3.801.017,6 𝑁
𝐹𝐻 = 3,801 𝑀𝑁
EXEMPLOS
• Linha de ação de 𝐹𝐻
𝐼𝐶𝐺 =
𝑏ℎ³
12
𝐼𝐶𝐺 =
15 ∗ 7,2³
12
𝐼𝐶𝐺 = 466,56𝑚
4
𝑦𝐶𝐺 = ℎ𝐶𝐺 = 3,6𝑚
EXEMPLOS
• Linha de ação de 𝐹𝐻
𝑦𝐶𝑃 = 𝑦𝐶𝐺 +
𝐼𝐶𝐺
𝑦𝐶𝐺𝐴
𝑦𝐶𝑃 = 3,6 +
466,56
3,6 ∗ 108
𝑦𝐶𝑃 = 4,8𝑚
EXEMPLOS
• Componente vertical da força
𝐹𝑉 = 𝑃𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑎 á𝑔𝑢𝑎 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑎 𝑝𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎
Área abaixo da parábola:
𝐴1 = න
0
𝑥0
𝑧0
𝑥
𝑥0
2
𝑑𝑥
𝐴1 =
𝑧0𝑥0
3
EXEMPLOS
Área sobre a parábola:
𝐴 = 𝐴𝑇 −𝐴1
𝐴 = 𝑧0𝑥0 −
𝑧0𝑥0
3
𝐴 =
2𝑧0𝑥0
3
𝐴 =
2 ∗ 7,2 ∗ 3
3
𝐴 = 14,4𝑚²
EXEMPLOS
𝐹𝑉 = 𝛾𝑉
𝐹𝑉 = 𝛾𝐴𝑏
𝐹𝑉 = 9802 ∗ 14,4 ∗ 15
𝐹𝑉 = 2.117.232 𝑁
𝐹𝑉 = 2,117𝑀𝑁
EXEMPLOS
• Linha de ação de 𝐹𝑉
𝑥𝐶𝑃 =
3
8
𝑥𝑜
𝑥𝐶𝑃 =
3
8
∗ 3
𝑥𝐶𝑃 = 1,125𝑚
OBRIGADA!