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Questão 1/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia o texto e a figura: Um exemplo de fractal é a Curva de Koch, que aproxima, por exemplo, o formato de uma ilha costeira. Este fractal é construído a partir de um segmento de reta, que é dividido em três segmentos iguais, substituindo – os por 4 congruentes; o intermediário, por um triângulo equilátero sem o segmento intermediário (que seria sua base) e assim, sucessivamente conforme a figura a seguir: Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em BARBOSA, R. M. Descobrindo a Geometria Fractal em sala de aula. Belo Horizonte: Autêntica, 2005. A partir da descrição da construção do fractal Curva de Koch, o termo geral da sequência formada pelo comprimento l de cada segmento é dado por: Nota: 10.0 A B C Você acertou! D E Questão 2/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, encontre o comprimento do arco da curva dada por y=3x+5y=3x+5 no intervalo fechado [0,2][0,2] Nota: 10.0 A 2√10u.c.210u.c. Você acertou! A=∫ba√1+[f′(x)]2dx=∫20√1+32dx=∫20√10dx=2√10u.c.A=∫ab1+[f′(x)]2dx=∫021+32dx=∫0210dx=210u.c. Fonte: livro-base: RODRIGUES, A. C. D.; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: Intersaberes, 2016. B 3√5u.c.35u.c. C 4√5u.c.45u.c. D 5√5u.c.55u.c. E 6√10u.c.610u.c. Questão 3/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Considere a região RR delimitada pela reta y=x+2y=x+2 e pela parábola y=x2y=x2, conforme a figura abaixo: O valor da área de RR é Nota: 10.0 A 52u.a.52u.a. B 132u.a.132u.a. C 29u.a.29u.a. D 92u.a.92u.a. Você acertou! A área da região RR pode ser obtida a partir da integral dupla: ∬R1dA.∬R1dA. Inicialmente, observamos que R={(x,y)∈R2; −1≤x≤2 e x2≤y≤x+2}.R={(x,y)∈R2; −1≤x≤2 e x2≤y≤x+2}. Assim, A=∫2−1∫x+2x21dydx=∫2−1(x+2−x2)dx=[x22+2x−x33]2−1=(2+4−83)−(12−2+13)=92u.a.A=∫−12∫x2x+21dydx=∫−12(x+2−x2)dx=[x22+2x−x33]−12=(2+4−83)−(12−2+13)=92u.a. E 72u.a.72u.a. Questão 4/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, seja A um conjunto definido no espaço quadridimensional R4 e, a função f(x, y, z, t) = x² + y² + z² + t² , que associa a quádrupla ordenada de números reais à soma de seus quadrados. O valor de f(1,2,3,4) é: Nota: 10.0 A 16 B 25 C 30 Você acertou! f(1,2,3,4) = 1² + 2² + 3² + 4² = 1+ 4 + 9 + 16 = 30 (Conteúdo livro-base: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016.). p. 75-76 D 36 E 40 Questão 5/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia a citação: "Uma fábrica produz três produtos em quantidades diferentes. Cada produto é representado por x1, x2 e x3, respectivamente, e a função do custo de fabricação desses três produtos é representada por C (x1, x2, x3) = 100 + 2x1 + 2x2 + 3x3." Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 75-76. Considerando a citação e o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, responda: Supondo que a empresa fabrica 3 unidades do primeiro produto x1, uma unidade do segundo produto x2 e quatro unidades do terceiro produto x3, calcule o custo. Nota: 10.0 A 120 Você acertou! C (3, 1, 4) = 100 + 2.3 + 2.1 + 3.4 = 100+6+2+12 = 120 (Conteúdo livro-base: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016.) B 150 C 180 D 200 E 220 Questão 6/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia o texto Uma indústria produz três tipos de objetos eletrônicos, sendo representados por x1, x2 e x3, respectivamente. O custo de produção destes objetos é dado pela função C (x1, x2, x3) = 50 + 2x1 + 2x2 + 3x3. Supondo que a empresa fabrica, por mês, 30 unidades do primeiro produto x1, dez unidades do segundo produto x2 e 50 unidades do terceiro produto x3. Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016 (texto adaptado) Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, calcule o custo dessa produção. Nota: 10.0 A 120 B 150 C 180 D 280 Você acertou! C(30,10,50) = 50+2.30+2.10+3.50 = 280 (livro base, p. 75-76) E 350 Questão 7/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Considerando a citação e o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, calcule a área de uma superfície cônica gerada pela revolução do segmento de reta dado pela equação y = 4x, no intervalo fechado [0,2], em torno do eixo das abscissas. Nota: 10.0 A 16ππ B 16ππ√1717 u.a. Você acertou! (Conteúdo livro-base: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016.) C √1717 u.a. D √17π17π u.a. E 2√17217 u.a. Questão 8/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia o texto: Dadas as equações paramétricas das elipses: Elipse 1:{x=2costy=4sent e Elipse 2:{x=2costy=sent,Elipse 1:{x=2costy=4sent e Elipse 2:{x=2costy=sent, seguem os gráficos no plano xy: Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 25-30. De acordo com o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis e a figura, a área em cinza limitada pelas elipses 1 e 2 e pelo eixo y vale: Nota: 10.0 A 3 u.a. B 2 u.a. C ππ u.a. D 2π2π u.a. E 3π3π u.a. Você acertou! A=2∫0π2y(t)x′(t)dtA=2∫0π2{[4sent⋅(−2sent)]−[sent⋅(−2sent)]}dtA=2∫0π2(−8sen2t+2sen2t)dt=2∫0π2(−6sen2t)dtA=−12∫0π2(12−12cos2t)dt=12(θ2−14sen2θ)∣∣∣0π2=−12(−π4−0)A=3πu.a.A=2∫π20y(t)x′(t)dtA=2∫π20{[4sent⋅(−2sent)]−[sent⋅(−2sent)]}dtA=2∫π20(−8sen2t+2sen2t)dt=2∫π20(−6sen2t)dtA=−12∫π20(12−12cos2t)dt=12(θ2−14sen2θ)|π20=−12(−π4−0)A=3πu.a. Fonte: livro-base: RODRIGUES, A. C. D.; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: Intersaberes, 2016. Questão 9/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, ao calcular as derivadas parciais da função f(x,y,z) = 3x + 5y -6z, obtemos: Nota: 10.0 A fx = 3; fy = 5; fz = -6 Você acertou! Calculamos a derivada separadamente em relação a cada variável. (livro-base, p. 80) B fx = -3; fy = -5; fz = -6 C fx = 5; fy = 3; fz = 6 D fx = 6; fy = 5; fz = -3 E fx = -6; fy = 5; fz = 3 Questão 10/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, responda: Dada a função f(x,y,z)=x2+y2|√z−1|f(x,y,z)=x2+y2|z−1| com domínio Dom(f)={(x,y,z)∈R3/z>1}Dom(f)={(x,y,z)∈R3/z>1}, a alternativa que corresponde corretamente ao valor de f(x,y,z)f(x,y,z) no ponto (2,3,5)(2,3,5) é: Nota: 10.0 A 132132 Você acertou! Solução: f(2,3,5)=22+32|√5−1|=4+9|√4|=132.f(2,3,5)=22+32|5−1|=4+9|4|=132. B 145145 C 133133 D 115115 E 154154 · Questão 1/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia o texto: As integrais podem ser classificadas de acordo com suas características em diversos grupos: Integrais Duplas, Integrais Triplas, Integrais de Contorno, Integrais de Funções Parametrizáveis, Integrais Vetoriais, entre outras. Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. Dadas as equações paramétricas ⎧⎨⎩x=ty=t2z=t3{x=ty=t2z=t3 Considerando as informações acima e os conteúdosestudados no livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, indique a alternativa que calcula corretamente o valor da integral ∫Cyzdx+xzdy+xydz∫Cyzdx+xzdy+xydz Nota: 10.0 A -1 B 0 Você acertou! C 1 D 2 E 3 Questão 2/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia a seguinte passagem de texto: O processo de integração determinado para uma única variável pode ser generalizado para múltiplas variáveis, gerando as técnicas de integração para integral dupla, integral tripla, integral vetorial e tantas outras técnicas. Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. Considerando a passagem de texto e o livro-base Cálculo Diferencial e Integral a várias variáveis, marque a alternativa que indica o valor correto para a integral dupla dada por: Nota: 10.0 A 6 B 10 C 12 Você acertou! D 15 E 16 Questão 3/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia a seguinte passagem de texto: O uso de funções de várias variáveis permite modelar situações problema nos quais uma variável é afetada pelo comportamento de uma infinidade de outras variáveis. Entretanto, para o uso adequado dessa ferramenta é necessário aprender a calcular o valor de uma função de várias variáveis em um determinado ponto. Fonte: Texto elaborado pelo autor. Seja AA um conjunto definido no espaço quadridimensional R4R4 e, a função f(x,y,z,t)=x2+y2+z2+t2f(x,y,z,t)=x2+y2+z2+t2, que associa a quádrupla ordenada de números reais à soma de seus quadrados. Considerando o texto e os conteúdos discutidos no livro-base Cálculo Diferencial e Integral a várias variáveis, a alternativa que indica o valor correto de f(1,2,3,4)f(1,2,3,4) é: Nota: 10.0 A 16 B 25 C 30 Você acertou! f(1,2,3,4) = 1² + 2² + 3² + 4² = 1+ 4 + 9 + 16 = 30 livro-base: p. 75-76 D 36 E 40 Questão 4/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia o texto a seguir: A integração definida permite, além de calcular o valor total de grandezas físicas, calcular a área de uma região específica definida por um determinado conjunto de curvas. Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. Considerando o texto e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, o valor da área de uma superfície cônica gerada pela revolução do segmento de reta dado pela equação y=4xy=4x, no intervalo fechado [0,2][0,2], em torno do eixo das abscissas é dada por: Nota: 10.0 A 16ππ B 16ππ√1717 u.a. Você acertou! (Conteúdo livro-base: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016.) C √1717 u.a. D √17π17π u.a. E 2√17217 u.a. Questão 5/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia o texto: O processo de integração determinado para uma única variável pode ser generalizado para múltiplas variáveis, gerando as técnicas de integração para integral dupla, integral tripla, integral vetorial e tantas outras técnicas. Fonte: Texto elaborado pelo autor. Considerando o texto acima e utilizando as técnicas de integração aprendidas ao longo da Videoaula "Exercícios" - Tema 01: Integrais Duplas - da Aula 05 e do livro-base Cálculo Diferencial e Integral a várias variáveis, indique a alternativa que apresenta o valor correto de I.I. I=∫20∫10(x3+xy)dxdy.I=∫02∫01(x3+xy)dxdy. Nota: 10.0 A 1212 B 3232 Você acertou! Solução: I=∫20∫10(x3+xy)dxdy=∫20(x44+yx22)∣∣∣x=1x=0dy=∫20(14+y2)dyI=(y4+y24)∣∣∣20=(24+224)=64=32.I=∫02∫01(x3+xy)dxdy=∫02(x44+yx22)|x=0x=1dy=∫02(14+y2)dyI=(y4+y24)|02=(24+224)=64=32. Fonte: Videoaula Exercícios - videoaula 2 - Tema 01: Integrais Duplas - da Aula 05, 03'10 até 04'27 | e Livro-Base, p. 54-59. C 5252 D 7272 E 9292 Questão 6/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia o texto: As técnicas de integração podem ser utilizadas para uma ampla gama de aplicações. As aplicações mais conhecidas são aquelas referentes ao cálculo da área abaixo de uma determinada curva. Entretanto, a extensão dessa operação envolve também o cálculo de grandezas físicas, o cálculo do comprimento de arco e também o cálculo de volume de sólidos. Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. Com base no texto acima e nos conteúdos discutidos no livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, calcule o valor da área de uma superfície cônica gerada pela revolução do segmento de reta dado pela equação y=3x+2y=3x+2 no intervalo fechado [0,2][0,2] em torno do eixo das abscissas e assinale a alternativa que corresponde a esse valor. Nota: 10.0 A 25π√20u.a.25π20u.a. B 20π√10u.a.20π10u.a. Você acertou! Solução: A=2π∫20y(x)√1+[y′(x)]2dx=2π∫20(3x+2)√1+32dx=2π√10∫20(3x+2)dxA=2π√103(3x+22)2∣∣∣20=π√103[(3⋅2+2)2−4]=60π√103=20π√10u.a.A=2π∫02y(x)1+[y′(x)]2dx=2π∫02(3x+2)1+32dx=2π10∫02(3x+2)dxA=2π103(3x+22)2|02=π103[(3⋅2+2)2−4]=60π103=20π10u.a. livro-base p. 15-20 C 22π√12u.a.22π12u.a. D 23π√13u.a.23π13u.a. E 21π√15u.a.21π15u.a. Questão 7/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia o texto: As técnicas de integração podem ser utilizadas para uma ampla gama de aplicações. As aplicações mais conhecidas são aquelas referentes ao cálculo da área abaixo de uma determinada curva. Entretanto, a extensão dessa operação envolve também o cálculo de grandezas físicas, o cálculo do comprimento de arco e também o cálculo de volume de sólidos. Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. O gráfico abaixo representa a área da região RR limitada pela curva y=x2y=x2 e pela reta xx. Considerando o texto acima e os conteúdos explorados no livro-base Cálculo Diferencial e Integral a várias variáveis, indique a alternativa que determina a área delimitada pela curva e pela reta do gráfico acima. Nota: 10.0 A B C 1 D 2 E Você acertou! Questão 8/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Qual a lei de formação da sequência dos números pares positivos (n), considerando que n é um número natural diferente de zero? Referência: Vídeoaula número 4 e Livro-Base, p. 101-102. Nota: 10.0 A an=2nan=2n Você acertou! A sequência dos números pares positivos é 2, 4, 6, 8, 10, .... Como n começa em 2, pelo enunciado, para a alternativa b) teremos 2.1+1 = 3 (o primeiro número par positivo é 2); para a alternativa c) teremos 1 + 1 = 2, 2+1=3 (o segundo número par é 4); para alternativa d) teremos 2.1-1 = 1 (o primeiro número par é 2); para a alternativa e) teremos 1-1=0 (o primeiro número par é 2); Para a alternativa a), a correta, temos: 2.1=2, 2.2=4, 2.3=6, 2.4=8,... continuando assim a sequência para n natural diferente de zero. Desta forma, obtemos a sequência dos números pares. B an=2n+1an=2n+1 C an=n+1an=n+1 D an=2n−1an=2n−1 E an=n−1an=n−1 Questão 9/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia o texto: O processo de integração determinado para uma única variável pode ser generalizado para múltiplas variáveis, gerando as técnicas de integração para integral dupla, integral tripla, integral vetorial e tantas outras técnicas. Fonte: Texto elaborado pelo autor. Considerando o texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo Diferencial e Integral a várias variáveis, calcule o valor da integral de linha I=∫Cyzdx+xzdy+xydzI=∫Cyzdx+xzdy+xydz dadas as equações paramétricas ⎧⎨⎩x=2ty=t+1z=4t+2{x=2ty=t+1z=4t+2com 0≤t≤10≤t≤1 e assinale a alternativa que corresponde a esse valor. Nota: 10.0 A -12 B 24 Você acertou! Solução: Fazendo as substituições x=2t,dx=2dt;y=t+1,dy=dt;z=4t+2,dz=4dtx=2t,dx=2dt;y=t+1,dy=dt;z=4t+2,dz=4dt na integral de linha, temos I=∫C[(t+1)(4t+2)2dt+2t(4t+2)dt+2t(t+1)4dt]I=∫C[2(4t2+2t+4t+2)+(8t2+4t)+4(2t2+2t)]dtI=∫C(8t2+12t+4+8t2+4t+8t2+8t)dtI=∫C(24t2+24t+4)dt=(8t3+12t2+4t)∣∣∣10=8+12+4=24.I=∫C[(t+1)(4t+2)2dt+2t(4t+2)dt+2t(t+1)4dt]I=∫C[2(4t2+2t+4t+2)+(8t2+4t)+4(2t2+2t)]dtI=∫C(8t2+12t+4+8t2+4t+8t2+8t)dtI=∫C(24t2+24t+4)dt=(8t3+12t2+4t)|01=8+12+4=24. Fonte: livro-base: RODRIGUES, A. C.D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: Intersaberes, 2016. p.153 a p.155 C 15 D -20 E 30 Questão 10/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia o texto: As técnicas de integração podem ser utilizadas para uma ampla gama de aplicações. As aplicações mais conhecidas são aquelas referentes ao cálculo da área abaixo de uma determinada curva. Entretanto, a extensão dessa operação envolve também o cálculo de grandezas físicas, o cálculo do comprimento de arco e também o cálculo de volume de sólidos. Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. De acordo com os conteúdos estudados no livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, encontre o comprimento do arco da curva dada por y=3x+5y=3x+5 no intervalo fechado [0,2][0,2] e marque a alternativa correta: Nota: 10.0 A 2√10u.c.210u.c. Você acertou! A=∫ba√1+[f′(x)]2dx=∫20√1+32dx=∫20√10dx=2√10u.c.A=∫ab1+[f′(x)]2dx=∫021+32dx=∫0210dx=210u.c. livro-base: p. 21-24 B 3√5u.c.35u.c. C 4√5u.c.45u.c. D 5√5u.c.55u.c. E 6√10u.c.610u.c. ·
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