Aula ao Vivo do batman

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Universidade Paulista
 ESTÁTICA NAS ESTRUTURAS 
Aula ao Vivo 06b
Curso Engenharia Mecânica
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TRELIÇAS PLANAS: 
todas as barras e as forças estão em um mesmo plano. 
A análise estrutural consiste em determinar as reações nos apoios (forças externas reativas) e todas as forças normais nas barras (forças internas), quando a treliça está sob a ação de forças aplicadas (forças externas ativas).
HIPÓTESES DE CÁLCULO:
 As barras são ligadas nos nós por articulações (pino sem atrito). A hipótese é satisfatória, se os eixos geométrico de todas as barras que estão ligadas concorrem ao mesmo ponto. 
 Todas as forças externas (ativas e reativas) são aplicadas nos nós, sendo o peso das barras geralmente desprezado em relação aos carregamentos aplicados, ou repartidos entre os nós das extremidades.
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ANÁLISE DE TRELIÇAS PELO MÉTODO DOS NÓS ou MÉTODO DO EQUILÍBRIO DOS NÓS: 
o método parte do conceito de que se uma treliça está em equilíbrio, implica que as barras e os nós estão em equilíbrio.
Condições de equilíbrio para os nós no plano:
O procedimento de análise requer a construção do DCL para todos os nós. 
F1
Deve-se iniciar a resolução pelo nó com até duas incógnitas.
F2
F3
F4
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Determine a força em cada membro da treliça e diga se os membros estão sob tração ou compressão.
Faça P1=P2=4 kN.
 Exemplo 2 exercício 6.7 
Ex
Ey
Ax
Ay
4 reações incógnitas, 3 equações de equilíbrio
X
Y
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cos 30° =0,866
sen 30° =0,5
NCD
NCB
=4 kN
Equações de equilíbrio nó C:
=8 kN
Tração
Compressão
OBS.: Incógnitas adotar TRAÇÃO (saindo do nó)
Isolar cada NÓ e aplicar todas as forças concorrentes ao nó.
Exemplo 2 RESOLUÇÃO: Método do equilíbrio dos nós
8
-6,928
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Equações de equilíbrio nó D:
Exemplo 2 RESOLUÇÃO: Método do equilíbrio dos nós
NDE
NDC=6,928 kN
NDB
=4 kN
Tração
Compressão
Nó característico
8
-6,928
4
-6,928
-6,928 kN
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Exemplo 2 RESOLUÇÃO: Método do equilíbrio dos nós
NBE
NBA
4 kN
8 kN
+8
Da 1ª equação isola-se uma das incógnitas:
 =-4 kN
12 kN
Equações de equilíbrio nó B:
cos 30° =0,866
sen 30° =0,5
30°
30°
30°
Compressão
Tração
8
-6,928
4
-6,928
e a substituí na 2ª equação:
-4
12
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Exemplo 2 RESOLUÇÃO: Método do equilíbrio dos nós
NBE
NBA
4 kN
8 kN
+8
Da 1ª equação isola-se uma das incógnitas:
 =-4 kN
Equações de equilíbrio nó B:
cos 30° =0,866
sen 30° =0,5
30°
30°
30°
8
-6,928
4
-6,928
e a substituí na 2ª equação:
-4
12
12 kN
Tração
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Exemplo 2 RESOLUÇÃO
Reações de apoio
Ax
Ay
12kN
30°
Equações de equilíbrio nó A:
 =-12.0,866=-10,392 kN
cos 30° =0,866
sen 30° =0,5
=12.0,5= 6 kN
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Exemplo 2 RESOLUÇÃO
Reações de apoio
Ex
Ey
4 kN
6,928 kN
Equações de equilíbrio nó E:
+6,928=4.0,866+6,928=10,392 kN
=4.0,5= 2 kN
cos 30° =0,866
sen 30° =0,5
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 Exemplo 3 exercício 6.19
A treliça é fabricada usando membros que têm um peso de 0,2 kN/m. Remova as forças externas da treliça e determine a força em cada membro devido ao peso dos membros.
Indique se os membros estão sob tração ou compressão. Considere que a força total que atua sobre um nó é a soma da metade do peso de todos os membros conectados ao nó.
cos a =1,2/1,5= 0,8
tag a =0,9/1,2=0,75
a = 36,870°
sen a = 0,9/1,5=0,6
a
a
a
a
1,5 m
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Exemplo 4 RESOLUÇÃO
p= 0,2 (kN/m) . L (m)
	BARRA	L (m)	P (kN)
	AB	1,2	0,24
	BC	1,2	0,24
	CD	1,5	0,3
	DE	1,2	0,24
	EF	1,2	0,24
	FA	1,5	0,3
	AE	0,9	0,18
	AD	1,5	0,3
	BD	0,9	0,18
1,5 m
0,27 kN
0,51 kN
0,33 kN
0,27 kN
0,33 kN
0,51 kN
Ação de peso próprio apenas
11,1 m
2,22 kN
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Exemplo 4 RESOLUÇÃO
Reações de apoio
Equações de equilíbrio:
= 0,555 kN
3 reações incógnitas,
 3 equações de equilíbrio
0,27 kN
0,51 kN
0,33 kN
0,27 kN
0,33 kN
0,51 kN
Ax
Ay
Cy
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Exemplo 4 RESOLUÇÃO: Método do equilíbrio dos nós
Equações de equilíbrio nó C:
=- 0,475 kN
Compressão
Tração
NCB
NCD
 0,555 kN
a
cos a =0,8
sen a =0,6
0,27 kN
0,38
-0,475
0,27 kN
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Nó característico
Exemplo 4 RESOLUÇÃO: Método do equilíbrio dos nós
0,38
-0,475
0,38
NBA
NBD
0,33 kN
0,38 kN
 
Equações de equilíbrio nó B:
0,38
0,33
Tração
Tração
0,27 kN
0,33 kN
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Exemplo 4 RESOLUÇÃO: Método do equilíbrio dos nós
0,38
-0,475
0,38
0,33
0,51 kN
NDE
NDA
0,33
0,475
Equações de equilíbrio nó D:
= -0,925 kN
a
a
cos a =0,8
sen a =0,6
Compressão
Tração
-0,925
0,36
0,51 kN
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Nó característico
Exemplo 4 RESOLUÇÃO: Método do equilíbrio dos nós
NEF
NEA
0,33 kN
0,36 kN
 
Equações de equilíbrio nó E:
Tração
0,38
-0,475
0,38
0,33
-0,925
0,36
0,36
Compressão
0,36
-0,33
0,27 kN
0,51 kN
0,33 kN
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Exemplo 4 RESOLUÇÃO: Método do equilíbrio dos nós
0,38
-0,475
0,38
0,33
-0,925
0,36
0,36
-0,33
Equações de equilíbrio nó F:
-0,45 kN
0,360
VERIFICAÇÃO:
0,36
NFA
a
0,27 kN
cos a =0,8
sen a =0,6
Compressão
OK!
0,27 kN
0,51 kN
0,33 kN
0,27 kN
0,33 kN
0,51 kN
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ANÁLISE DE TRELIÇAS PELO MÉTODO DAS SEÇÕES (Processo de Ritter):
 o método considera que se seccionarmos uma treliça em equilíbrio, as PARTES, com as forças internas e externas também estarão em equilíbrio.
 Neste caso, deve-se seccionar no máximo três barras a serem determinadas, de modo a separar a treliça em duas partes, e aplicam-se as três equações de equilíbrio a qualquer uma das partes.
As condições de equilíbrio para uma das partes seccionadas da treliça plana são:
Este método mostra-se interessante quando se deseja determinar apenas algumas barras da treliça.
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 Exemplo 4 exercício 6.38
6.38 Determine a força nos membros DC, HC e HI da treliça e indique se os membros estão sob tração ou compressão.
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Exemplo 4 RESOLUÇÃO:
Reações de apoio
Equações de equilíbrio:
3 reações incógnitas, 3 equações de equilíbrio
Fy
Ay
Ax
 kN
 kN
kN
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Exemplo 4 RESOLUÇÃO: Método das Seções 
Equações de equilíbrio:
3 reações incógnitas, 3 equações de equilíbrio
32,5 kN
 kN
 kN
kN
S
70 kN
57,5 kN
NDC
NHI
NHC
cos a =0,8
tag a =1,5/2=0,75
a = 36,870°
sen a =0,6
a
Tração
Compressão
Tração
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 Exercício Proposto 1 exercício 6.23
A treliça é fabricada usando membros uniformes que têm uma massa de 5 kg/m. Remova as forças externas da treliça e determine a força em cada membro devido ao peso da treliça. Indique se os membros estão sob tração ou compressão. Considere que a força total que atua sobre o nó é a soma da metade do peso de todos os membros conectados ao nó.
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 Exercício Proposto 2 exercício 6.39
6.39 Determine a força nos membros ED, EH e GH da treliça e indique se os membros estão sob tração ou compressão.
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Exemplo 4 RESOLUÇÃO: Método das Seções 
Equações de equilíbrio:
3 reações incógnitas, 3 equações de equilíbrio
S
70 kN
57,5 kN
NEH
NGH
NED
cos a =0,8
tag a =1,5/2=0,75
a = 36,870°
sen a =0,6
a
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Referência
R. C. HIBBELER – Estática – Mecânica para Engenharia, 12ª. ed.
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FIM !
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=
0
F
x
å
=
0
F
y