Slides TCC-1

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Equações Diferenciais Ordinárias aplicadas em
Modelos Matemáticos à Epidemiologia
Serviço Público Federal
Universidade Federal do Pará-UFPA
Campus Universitário do Tocantins/Cametá-CUNTINS
Faculdade de Matemática-FAMAT
Isaac Damasceno Lobo
Orientador: Profa Dr. Julio Roberto Soares da Silva.
Março de 2021
(Isaac Damasceno Lobo) Defesa de TCC Março de 2021 1 / 24
Sumário
1 Introdução
2 Modelagem Matemática relacionada à Epidemiologia
3 Estudo das Equações Diferenciais Ordinárias
4 Aplicação
5 Considerações Finais
6 Bibliografia
(Isaac Damasceno Lobo) Defesa de TCC Março de 2021 2 / 24
brasao
Introdução
A palavra Epidemiologia vem do grego, epi que significa sobre, demos
que significa população e logos que significa estudo. Sendo assim,
podemos entender a Epidemiologia como o estudo das doenças
infecciosas que acometem a população humana ou doenças
infecciosas que acometem seres vivos.
No final do ano de 2019, o mundo acendeu um sinal de alerta com o
início de uma nova doença infecciosa viral chamada COVID-19.
Conforme a epidemia foi se desenvolvendo no mundo, as autoridades
médicas mundiais perceberam a rápida disseminação da doença e o
seu potencial perigo para o colapso dos Sistemas de Saúde dos
países afetados.
(Isaac Damasceno Lobo) Defesa de TCC Março de 2021 3 / 24
brasao
Introdução
A palavra Epidemiologia vem do grego, epi que significa sobre, demos
que significa população e logos que significa estudo. Sendo assim,
podemos entender a Epidemiologia como o estudo das doenças
infecciosas que acometem a população humana ou doenças
infecciosas que acometem seres vivos.
No final do ano de 2019, o mundo acendeu um sinal de alerta com o
início de uma nova doença infecciosa viral chamada COVID-19.
Conforme a epidemia foi se desenvolvendo no mundo, as autoridades
médicas mundiais perceberam a rápida disseminação da doença e o
seu potencial perigo para o colapso dos Sistemas de Saúde dos
países afetados.
(Isaac Damasceno Lobo) Defesa de TCC Março de 2021 3 / 24
brasao
Introdução
A palavra Epidemiologia vem do grego, epi que significa sobre, demos
que significa população e logos que significa estudo. Sendo assim,
podemos entender a Epidemiologia como o estudo das doenças
infecciosas que acometem a população humana ou doenças
infecciosas que acometem seres vivos.
No final do ano de 2019, o mundo acendeu um sinal de alerta com o
início de uma nova doença infecciosa viral chamada COVID-19.
Conforme a epidemia foi se desenvolvendo no mundo, as autoridades
médicas mundiais perceberam a rápida disseminação da doença e o
seu potencial perigo para o colapso dos Sistemas de Saúde dos
países afetados.
(Isaac Damasceno Lobo) Defesa de TCC Março de 2021 3 / 24
brasao
Introdução
A palavra Epidemiologia vem do grego, epi que significa sobre, demos
que significa população e logos que significa estudo. Sendo assim,
podemos entender a Epidemiologia como o estudo das doenças
infecciosas que acometem a população humana ou doenças
infecciosas que acometem seres vivos.
No final do ano de 2019, o mundo acendeu um sinal de alerta com o
início de uma nova doença infecciosa viral chamada COVID-19.
Conforme a epidemia foi se desenvolvendo no mundo, as autoridades
médicas mundiais perceberam a rápida disseminação da doença e o
seu potencial perigo para o colapso dos Sistemas de Saúde dos
países afetados.
(Isaac Damasceno Lobo) Defesa de TCC Março de 2021 3 / 24
brasao
Modelagem Matemática relacionada à Epidemiologia
O estudo acerca da modelagem não é algo recente no mundo. Seu
estudo impulsionou a criação de teorias científicas, especialmente em
conceitos matemáticos. A modelagem matemática surge durante o
Renascimento, quando se constroem as primeiras ideias da Física
apresentadas segundo linguagem e tratamento matemáticos.
(Isaac Damasceno Lobo) Defesa de TCC Março de 2021 4 / 24
brasao
Modelagem Matemática relacionada à Epidemiologia
De modo diferente, os cientistas Hamer e Ross, no início do século
XX, investigaram a transmissão de doenças infecciosas por meio de
simples modelos matemáticos.
Em 1906, Hamer postulou que o desenvolvimento de uma epidemia
depende da taxa de contato entre indivíduos não infectados
(suscetíveis) e indivíduos infectados.
(Isaac Damasceno Lobo) Defesa de TCC Março de 2021 5 / 24
brasao
Modelagem Matemática relacionada à Epidemiologia
O objetivo da modelagem matemática epidemiológica é analisar o
comportamento e a evolução de uma doença dentre indivíduos de
uma população ao longo do tempo.
Essa análise tem o propósito de auxiliar no controle da propagação da
doença, de modo a evitar o avanço de epidemias.
(Isaac Damasceno Lobo) Defesa de TCC Março de 2021 6 / 24
brasao
Modelos Matemáticos e as Equações Diferenciais
Um problema real não pode ser representado de maneira exata, em
toda sua complexidade, por uma equação matemática ou um sistema
de equações.
E encontra-se nas equações diferenciais uma ferramenta matemática
para calcular a solução desses problemas.
(Isaac Damasceno Lobo) Defesa de TCC Março de 2021 7 / 24
brasao
Estudo das Equações Diferenciais Ordinárias
Definição de E.D.O.
Definição 1
Uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) é uma equação do forma
F (x , y(x), y ′(x), y ′′(x), ..., y (n)(x)) = 0
envolvendo uma função incógnita y = y(x) e suas derivadas ou suas
diferencias. x é a variável independente, y é a variável dependente e
o símbolo y (k) denota a derivada de ordem k da função y = y(x).
(Isaac Damasceno Lobo) Defesa de TCC Março de 2021 8 / 24
brasao
Estudo das Equações Diferenciais Ordinárias
Linearidade de uma E.D.O.
Definição 2
Uma equação diferencial é chamada de linear quando pode ser
escrita da seguinte forma
an(x)
dny
dxn
+ an−1(x)
dn−1y
dxn−1
+ · · ·+ a1(x)
dy
dx
+ a0(x)y = g(x),
caracterizado por duas propriedades:
i A variável dependente y e todas as suas derivadas são do
primeiro grau; isto é potência de cada termo envolvento y é 1;
ii Cada coeficiente depende apenas da variável independente x.
(Isaac Damasceno Lobo) Defesa de TCC Março de 2021 9 / 24
brasao
Estudo das Equações Diferenciais Ordinárias
Equação Diferenciais Lineares de Primeira Ordem
Definição 3
Uma equação diferencial da forma
a1(x)
dy
dx
+ a0(x)y = g(x)
é chamada equação linear de primeira ordem.
No estudo desse tipo de equação aparecem dois problemas básicos:
i obter a solução geral da equação, isto é, uma expressão que
englobe todas suas soluções;
ii obter a solução do problema de valor inicial.{
a1(x)
dy
dx + a0(x)y = g(x)
x(y0) = x0
(Isaac Damasceno Lobo) Defesa de TCC Março de 2021 10 / 24
brasao
Estudo das Equações Diferenciais Ordinárias
Equações Separáveis
Definição 4
Equações diferenciais da forma
y ′ =
f (x)
g(y)
, g(y) 6= 0,
onde y ′ = dy/dx denota a derivada da função y em relação à variável
Independente x , são chamadas de separáveis.
(Isaac Damasceno Lobo) Defesa de TCC Março de 2021 11 / 24
brasao
Estudo das Equações Diferenciais Ordinárias
Existência e Unicidade das E.D.O.
Teorema 1
Seja f : Ω→ R uma função contínua definida num aberto Ω do plano
(x , y). Suponhamos que a derivada parcial com relação à segunda
variável, fy : Ω→ R, seja contínua também. Então, para cada
(x0, y0) ∈ Ω, existem um intervalo aberto I contendo x0 e uma única
função diferenciável φ : I → R com (x , φ(x)) ∈ Ω, para todo x ∈ I, que
é solução do problema de valor inicial (P.V.I.)
y ′ = f (x , y)
y(x0) = y0.
(Isaac Damasceno Lobo) Defesa de TCC Março de 2021 12 / 24
brasao
Modelo SIR
O modelo SIR (Suscetível- Infectado- Removido), foi formulado em
1927 por Kermack-McKendric. Esses matemáticos consideraram que
uma epidemia com microparasitas ocorre em uma comunidade
fechada através do contato entre pessoas infecciosas e pessoas
sadias.
A população de hospedeiros é subdividida em classes distintas
(compartimentos), isto é:
1 S = S(t) : pessoas sadias, mas suscetíveis à doença, podendo
ser infectadas quando em contato com pessoas doentes;
2 I = I(t) : pessoas portadoras de doenças (infecciosos);3 R = R(t) : indivíduos imunes que já contraíram a doença e se
recuperaram, ou estão isolados ou morreram.
(Isaac Damasceno Lobo) Defesa de TCC Março de 2021 13 / 24
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Modelo SIR
O modelo SIR (Suscetível- Infectado- Removido), foi formulado em
1927 por Kermack-McKendric. Esses matemáticos consideraram que
uma epidemia com microparasitas ocorre em uma comunidade
fechada através do contato entre pessoas infecciosas e pessoas
sadias.
A população de hospedeiros é subdividida em classes distintas
(compartimentos), isto é:
1 S = S(t) : pessoas sadias, mas suscetíveis à doença, podendo
ser infectadas quando em contato com pessoas doentes;
2 I = I(t) : pessoas portadoras de doenças (infecciosos);
3 R = R(t) : indivíduos imunes que já contraíram a doença e se
recuperaram, ou estão isolados ou morreram.
(Isaac Damasceno Lobo) Defesa de TCC Março de 2021 13 / 24
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Modelo SIR
O modelo SIR (Suscetível- Infectado- Removido), foi formulado em
1927 por Kermack-McKendric. Esses matemáticos consideraram que
uma epidemia com microparasitas ocorre em uma comunidade
fechada através do contato entre pessoas infecciosas e pessoas
sadias.
A população de hospedeiros é subdividida em classes distintas
(compartimentos), isto é:
1 S = S(t) : pessoas sadias, mas suscetíveis à doença, podendo
ser infectadas quando em contato com pessoas doentes;
2 I = I(t) : pessoas portadoras de doenças (infecciosos);
3 R = R(t) : indivíduos imunes que já contraíram a doença e se
recuperaram, ou estão isolados ou morreram.
(Isaac Damasceno Lobo) Defesa de TCC Março de 2021 13 / 24
brasao
Aplicação 1: Modelo SIR
Esse modelo (SIR) descreve a evolução dessas três populações. Para
cada população temos equações diferenciais, essas equações
formarão o seguinte sistema
dS
dt
= −αIS
dI
dt
= αIS − βI
dR
dt
= βI.
Primeiramente, temos que definir as populações iniciais S(0), I(0),
R(0), como essa população tem um tamanho N, temos que
S(0) + I(0) + R(0) = N
(Isaac Damasceno Lobo) Defesa de TCC Março de 2021 14 / 24
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Aplicação 1: Modelo SIR
Esse modelo (SIR) descreve a evolução dessas três populações. Para
cada população temos equações diferenciais, essas equações
formarão o seguinte sistema
dS
dt
= −αIS
dI
dt
= αIS − βI
dR
dt
= βI.
Primeiramente, temos que definir as populações iniciais S(0), I(0),
R(0), como essa população tem um tamanho N, temos que
S(0) + I(0) + R(0) = N
(Isaac Damasceno Lobo) Defesa de TCC Março de 2021 14 / 24
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Aplicação 1: Modelo SIR
Esse modelo (SIR) descreve a evolução dessas três populações. Para
cada população temos equações diferenciais, essas equações
formarão o seguinte sistema
dS
dt
= −αIS
dI
dt
= αIS − βI
dR
dt
= βI.
Primeiramente, temos que definir as populações iniciais S(0), I(0),
R(0), como essa população tem um tamanho N, temos que
S(0) + I(0) + R(0) = N
(Isaac Damasceno Lobo) Defesa de TCC Março de 2021 14 / 24
brasao
Aplicação 1: Modelo SIR
Se olharmos para
dI
dt
= αSI − βI, temos
dI
dt
= (αS − β)I0,dai
I(t) = I(0)e(αS−β).t .
Note que se
αS − β > 0⇒ I → +∞
αS − β < 0⇒ I → 0.
(Isaac Damasceno Lobo) Defesa de TCC Março de 2021 15 / 24
brasao
Aplicação 1: Modelo SIR
Se olharmos para
dI
dt
= αSI − βI, temos
dI
dt
= (αS − β)I0,dai
I(t) = I(0)e(αS−β).t .
Note que se
αS − β > 0⇒ I → +∞
αS − β < 0⇒ I → 0.
(Isaac Damasceno Lobo) Defesa de TCC Março de 2021 15 / 24
brasao
Aplicação 1: Modelo SIR
Se olharmos para
dI
dt
= αSI − βI, temos
dI
dt
= (αS − β)I0,dai
I(t) = I(0)e(αS−β).t .
Note que se
αS − β > 0⇒ I → +∞
αS − β < 0⇒ I → 0.
(Isaac Damasceno Lobo) Defesa de TCC Março de 2021 15 / 24
brasao
Aplicação 1: Modelo SIR
Por outro lado, escrevendo
I(t) = I(0)eβ
(
αS
β
−1
)
.t
e chamando
αS
β
= R0
temos
I(t) = I(0)eβ(R0−1).t
dessa forma, chegamos a seguinte conclusão:
Se R0 > 1 teremos Epidemia e,
Se R0 < 1 não teremos Epidemia.
(Isaac Damasceno Lobo) Defesa de TCC Março de 2021 16 / 24
brasao
Aplicação 1: Modelo SIR
Por outro lado, escrevendo
I(t) = I(0)eβ
(
αS
β
−1
)
.t
e chamando
αS
β
= R0
temos
I(t) = I(0)eβ(R0−1).t
dessa forma, chegamos a seguinte conclusão:
Se R0 > 1 teremos Epidemia e,
Se R0 < 1 não teremos Epidemia.
(Isaac Damasceno Lobo) Defesa de TCC Março de 2021 16 / 24
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Aplicação 1: Modelo SIR
Por outro lado, escrevendo
I(t) = I(0)eβ
(
αS
β
−1
)
.t
e chamando
αS
β
= R0
temos
I(t) = I(0)eβ(R0−1).t
dessa forma, chegamos a seguinte conclusão:
Se R0 > 1 teremos Epidemia e,
Se R0 < 1 não teremos Epidemia.
(Isaac Damasceno Lobo) Defesa de TCC Março de 2021 16 / 24
brasao
Aplicação 1: Modelo SIR
Por outro lado, escrevendo
I(t) = I(0)eβ
(
αS
β
−1
)
.t
e chamando
αS
β
= R0
temos
I(t) = I(0)eβ(R0−1).t
dessa forma, chegamos a seguinte conclusão:
Se R0 > 1 teremos Epidemia e,
Se R0 < 1 não teremos Epidemia.
(Isaac Damasceno Lobo) Defesa de TCC Março de 2021 16 / 24
brasao
Modelo Logístico
Para a formulação desse Modelo, consideremos a população
distribuída da seguintes maneira:
1 I, população contaminada
2 T, população total
3 t, tempo de propagação
dI
dt
representa a velocidade de propagação.
(Isaac Damasceno Lobo) Defesa de TCC Março de 2021 17 / 24
brasao
Modelo Logístico
Para a formulação desse Modelo, consideremos a população
distribuída da seguintes maneira:
1 I, população contaminada
2 T, população total
3 t, tempo de propagação
dI
dt
representa a velocidade de propagação.
(Isaac Damasceno Lobo) Defesa de TCC Março de 2021 17 / 24
brasao
Aplicação 2: Modelo Logístico
Como a população total é constante, ou seja,
T = S + I,
então
S = T − I.
Assim, escrevemos o seguinte modelo
dI
dt
= αIS
como sendo 
dI
dt
= αI(T − I)
I(0) = I0.
Isso responde ao fato de que com o contato dos doentes com os
sadios acrescentam-se os doentes, onde α é a taxa de contaminação.
(Isaac Damasceno Lobo) Defesa de TCC Março de 2021 18 / 24
brasao
Aplicação 2: Modelo Logístico
Como a população total é constante, ou seja,
T = S + I,
então
S = T − I.
Assim, escrevemos o seguinte modelo
dI
dt
= αIS
como sendo 
dI
dt
= αI(T − I)
I(0) = I0.
Isso responde ao fato de que com o contato dos doentes com os
sadios acrescentam-se os doentes, onde α é a taxa de contaminação.
(Isaac Damasceno Lobo) Defesa de TCC Março de 2021 18 / 24
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Aplicação 2: Modelo Logístico
Como a população total é constante, ou seja,
T = S + I,
então
S = T − I.
Assim, escrevemos o seguinte modelo
dI
dt
= αIS
como sendo 
dI
dt
= αI(T − I)
I(0) = I0.
Isso responde ao fato de que com o contato dos doentes com os
sadios acrescentam-se os doentes, onde α é a taxa de contaminação.
(Isaac Damasceno Lobo) Defesa de TCC Março de 2021 18 / 24
brasao
Aplicação 2: Modelo Logístico
Como a população total é constante, ou seja,
T = S + I,
então
S = T − I.
Assim, escrevemos o seguinte modelo
dI
dt
= αIS
como sendo 
dI
dt
= αI(T − I)
I(0) = I0.
Isso responde ao fato de que com o contato dos doentes com os
sadios acrescentam-se os doentes, onde α é a taxa de contaminação.
(Isaac Damasceno Lobo) Defesa de TCC Março de 2021 18 / 24
brasao
Aplicação 2: Modelo Logístico
Com efeito, separando as variáveis e integrando obtemos
∫
dI
I(T − I)
=
∫
αdt
a primeira integral pode ser resolvida com o método das frações
parciais ∫
dI
I(T − I)
=
∫ 1
T
I
dI +
∫ 1
T
T − I
dI
=
1
T
ln I − 1
T
ln(T − I) + C1.
Desde que, ∫
αdt = αt + C2.
(Isaac Damasceno Lobo) Defesa de TCC Março de 2021 19 / 24
brasao
Aplicação 2: Modelo Logístico
Com efeito, separando as variáveis e integrando obtemos
∫
dI
I(T − I)
=
∫
αdt
a primeira integral pode ser resolvida com o método das frações
parciais ∫
dI
I(T − I)
=
∫ 1
T
I
dI +
∫ 1
T
T − I
dI
=
1
T
ln I − 1
T
ln(T − I) + C1.
Desde que, ∫
αdt = αt + C2.
(Isaac Damasceno Lobo) Defesa de TCC Março de 2021 19 / 24
brasao
Aplicação 2: Modelo Logístico
Com efeito, separando as variáveis e integrando obtemos
∫
dI
I(T − I)
=∫
αdt
a primeira integral pode ser resolvida com o método das frações
parciais ∫
dI
I(T − I)
=
∫ 1
T
I
dI +
∫ 1
T
T − I
dI
=
1
T
ln I − 1
T
ln(T − I) + C1.
Desde que, ∫
αdt = αt + C2.
(Isaac Damasceno Lobo) Defesa de TCC Março de 2021 19 / 24
brasao
Aplicação 2: Modelo Logístico
Com efeito, separando as variáveis e integrando obtemos
∫
dI
I(T − I)
=
∫
αdt
a primeira integral pode ser resolvida com o método das frações
parciais ∫
dI
I(T − I)
=
∫ 1
T
I
dI +
∫ 1
T
T − I
dI
=
1
T
ln I − 1
T
ln(T − I) + C1.
Desde que, ∫
αdt = αt + C2.
(Isaac Damasceno Lobo) Defesa de TCC Março de 2021 19 / 24
brasao
Aplicação 2: Modelo Logístico
A partir disso, obtemos
I
T − I
= CeαTt ,
para uma constante C > 0 arbitrária.
Portanto, chega-se à solução com a seguinte forma em função de t
tem-se
I(t) =
TCeαTt
1 + CeαTt
.
Notemos que para t →∞ teremos I(t)→ T .
Isso significa que com o passar do tempo se não são tomadas as
medidas necessárias, toda a população será contaminada, resultando
em uma epidemia.
(Isaac Damasceno Lobo) Defesa de TCC Março de 2021 20 / 24
brasao
Aplicação 2: Modelo Logístico
A partir disso, obtemos
I
T − I
= CeαTt ,
para uma constante C > 0 arbitrária.
Portanto, chega-se à solução com a seguinte forma em função de t
tem-se
I(t) =
TCeαTt
1 + CeαTt
.
Notemos que para t →∞ teremos I(t)→ T .
Isso significa que com o passar do tempo se não são tomadas as
medidas necessárias, toda a população será contaminada, resultando
em uma epidemia.
(Isaac Damasceno Lobo) Defesa de TCC Março de 2021 20 / 24
brasao
Aplicação 2: Modelo Logístico
A partir disso, obtemos
I
T − I
= CeαTt ,
para uma constante C > 0 arbitrária.
Portanto, chega-se à solução com a seguinte forma em função de t
tem-se
I(t) =
TCeαTt
1 + CeαTt
.
Notemos que para t →∞ teremos I(t)→ T .
Isso significa que com o passar do tempo se não são tomadas as
medidas necessárias, toda a população será contaminada, resultando
em uma epidemia.
(Isaac Damasceno Lobo) Defesa de TCC Março de 2021 20 / 24
brasao
Aplicação 2: Modelo Logístico
A partir disso, obtemos
I
T − I
= CeαTt ,
para uma constante C > 0 arbitrária.
Portanto, chega-se à solução com a seguinte forma em função de t
tem-se
I(t) =
TCeαTt
1 + CeαTt
.
Notemos que para t →∞ teremos I(t)→ T .
Isso significa que com o passar do tempo se não são tomadas as
medidas necessárias, toda a população será contaminada, resultando
em uma epidemia.
(Isaac Damasceno Lobo) Defesa de TCC Março de 2021 20 / 24
brasao
Considerações Finais
Vimos neste trabalho a importância do estudo de modelos
matemáticos para a compreensão e possíveis estratégias de decisões
direcionada para um fenômeno natural, como por exemplo doenças
contagiosas. Nessas perspectiva, entram as Equações Diferenciais
Ordinárias, que são de fundamental importância para se poder
elaborar esses modelos e assim conhecer o comportamento de tais
fenômenos epidemiológico.
No modelo logístico estudado, por exemplo, é possível perceber que
para t suficientemente grande, I(t)→ T . Isto significa que com o
passar do tempo se não são tomadas as medidas necessárias, toda a
população será contaminada, resultando em uma epidemia.
(Isaac Damasceno Lobo) Defesa de TCC Março de 2021 21 / 24
brasao
Considerações Finais
Vimos neste trabalho a importância do estudo de modelos
matemáticos para a compreensão e possíveis estratégias de decisões
direcionada para um fenômeno natural, como por exemplo doenças
contagiosas. Nessas perspectiva, entram as Equações Diferenciais
Ordinárias, que são de fundamental importância para se poder
elaborar esses modelos e assim conhecer o comportamento de tais
fenômenos epidemiológico.
No modelo logístico estudado, por exemplo, é possível perceber que
para t suficientemente grande, I(t)→ T . Isto significa que com o
passar do tempo se não são tomadas as medidas necessárias, toda a
população será contaminada, resultando em uma epidemia.
(Isaac Damasceno Lobo) Defesa de TCC Março de 2021 21 / 24
brasao
Considerações Finais
Vimos neste trabalho a importância do estudo de modelos
matemáticos para a compreensão e possíveis estratégias de decisões
direcionada para um fenômeno natural, como por exemplo doenças
contagiosas. Nessas perspectiva, entram as Equações Diferenciais
Ordinárias, que são de fundamental importância para se poder
elaborar esses modelos e assim conhecer o comportamento de tais
fenômenos epidemiológico.
No modelo logístico estudado, por exemplo, é possível perceber que
para t suficientemente grande, I(t)→ T . Isto significa que com o
passar do tempo se não são tomadas as medidas necessárias, toda a
população será contaminada, resultando em uma epidemia.
(Isaac Damasceno Lobo) Defesa de TCC Março de 2021 21 / 24
brasao
Considerações Finais
Para trabalhos futuros esperamos contribuir à construção de outros
trabalhos, onde nosso trabalho possa servir com motivação sobre o
COVID-19 para estudo da sua dinâmica de propagação envolvendo
alunos da graduação em Matemática ou de outras áreas e que possa
ser utilizada para o planejamento de políticas públicas de prevenção e
combate.
Vale ressaltar que não pretendemos finalizar esse trabalho com o
presente TCC. Temos a intenção de nos aprofundarmos ainda mais
nessa área da ciência.
(Isaac Damasceno Lobo) Defesa de TCC Março de 2021 22 / 24
brasao
Considerações Finais
Para trabalhos futuros esperamos contribuir à construção de outros
trabalhos, onde nosso trabalho possa servir com motivação sobre o
COVID-19 para estudo da sua dinâmica de propagação envolvendo
alunos da graduação em Matemática ou de outras áreas e que possa
ser utilizada para o planejamento de políticas públicas de prevenção e
combate.
Vale ressaltar que não pretendemos finalizar esse trabalho com o
presente TCC. Temos a intenção de nos aprofundarmos ainda mais
nessa área da ciência.
(Isaac Damasceno Lobo) Defesa de TCC Março de 2021 22 / 24
brasao
Considerações Finais
Para trabalhos futuros esperamos contribuir à construção de outros
trabalhos, onde nosso trabalho possa servir com motivação sobre o
COVID-19 para estudo da sua dinâmica de propagação envolvendo
alunos da graduação em Matemática ou de outras áreas e que possa
ser utilizada para o planejamento de políticas públicas de prevenção e
combate.
Vale ressaltar que não pretendemos finalizar esse trabalho com o
presente TCC. Temos a intenção de nos aprofundarmos ainda mais
nessa área da ciência.
(Isaac Damasceno Lobo) Defesa de TCC Março de 2021 22 / 24
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Referências
BESSA, G. R. Teoria de Estabilidade de Equações Diferen-
ciais Ordinárias e Aplicações: modelos presa-predador e
competição entre espécies. São Paulo: UNESP, 2011.
BASSANEZI, R. C.; JR, W. C. F. Equações Diferenciais com
Aplicações. 1. ed. São Paulo: HARBRA ltda, 1988.
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(Isaac Damasceno Lobo) Defesa de TCC Março de 2021 23 / 24
brasao
MUITO OBRIGADO!
(Isaac Damasceno Lobo) Defesa de TCC Março de 2021 24 / 24
	Introdução
	Modelagem Matemática relacionada à Epidemiologia
	Estudo das Equações Diferenciais Ordinárias
	Aplicação
	Considerações Finais
	Bibliografia