Integrais de Linha - Funcoes Potenciais em Campos Conservativos

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O Teorema de Green e Aplicações
Exercícios Resolvidos
Prof.Dr. Claus Haetinger1
2021
Haetinger O Teorema de Green e Aplicações 2021 1 / 153
O Teorema de Green e Aplicações O Teorema de Green
Encontrando Potenciais para Campos Conservativos
Teorema
Teste das Componentes para Campos Conservativos
Seja F = M(x , y , z)~i + N(x , y , z)~j + P(x , y , z)~k um campo cujas
funções componentes possuem derivadas parciais de primeira
ordem contínuas.
Então F é conservativo se, e somente se:
∂M
∂y =
∂N
∂x ,
∂M
∂z =
∂P
∂x e
∂N
∂z =
∂P
∂y .
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O Teorema de Green e Aplicações O Teorema de Green
Passo a Passo
Observação
Sendo o campo
~F = (M,N,P) = M(x , y , z)~i + N(x , y , z)~j + P(x , y , z)~k
conservativo, existe uma função potencial f (x , y , z) tal que
~F = ~∇f = ( ∂f
∂x ,
∂f
∂y ,
∂f
∂z ).
Queremos encontrar f (x , y , z).
Passo 1: Temos (M,N,P) = ( ∂f
∂x ,
∂f
∂y ,
∂f
∂z ).
Então ∂f
∂x = M.
Portanto,
∫
∂f
∂x dx = f (x , y , z) + cte.
Note que, como integramos em x, a constante é uma constante
em relação a x mas, como estamos trabalhando em x, y, z, esta
constante pode ser uma função de y e z, digamos g(y , z).
Assim, obtivemos f (x , y , z) + g(y , z).
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O Teorema de Green e Aplicações O Teorema de Green
Passo a Passo
Observação
Passo 2: Temos (M,N,P) = ( ∂f
∂x ,
∂f
∂y ,
∂f
∂z ).
Então ∂f
∂y = N.
Utilize f (x , y , z) + g(y , z) calculada no Passo 1, derive tudo em
relação a y, iguale a N, elimine os termos semelhantes, e veja o
que sobra para ∂g
∂y .
Faça
∫
∂g
∂y dy, para encontrar g(y , z) + cte.
Esta constante, é uma constante em relação a y, mas pode ser
uma função de z, digamos h(z).
Assim, obtivemos f (x , y , z) + g(y , z) + h(z).
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O Teorema de Green e Aplicações O Teorema de Green
Passo a Passo
Observação
Passo 3: Temos (M,N,P) = ( ∂f
∂x ,
∂f
∂y ,
∂f
∂z ).
Então ∂f
∂z = P.
Utilize f (x , y , z) + g(y , z) + h(z) calculada no Passo 2, derive tudo
em relação a z, iguale a P, elimine os termos semelhantes, e veja
o que sobra para ∂h
∂z , ou h
′(z), como preferir.
Faça
∫
∂h
∂zdz, para encontrar h(z) + cte.
Assim, obtivemos a função potencial como junção de tudo
calculado até aqui: f (x , y , z) + g(y , z) + h(z) + cte.
Note que, portanto, temos infinitas funções potenciais para ~F,
uma para cada valor da constante real.
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