ÁLGEBRA-LINEAR-COMPLETA

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CENTRO UNIVERSITÁRIO FAVENI 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÁLGEBRA LINEAR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GUARULHOS – SP
 
SUMÁRIO 
1 SURGIMENTO E DESENVOLVIMENTO DA ÁLGEBRA LINEAR .......................... 3 
1.1 Equações Algébricas e Notação ........................................................................... 4 
1.2 Álgebra no Egito ................................................................................................... 6 
1.3 Álgebra Geométrica Grega ................................................................................... 7 
1.4 Álgebra na Europa ................................................................................................ 9 
2 ESPAÇOS VETORIAIS ARBITRÁRIOS ............................................................... 10 
2.1 Espaços Vetoriais – Definição ............................................................................ 10 
2.2 Subespaços Vetoriais ......................................................................................... 11 
2.3 Subespaço Gerador ............................................................................................ 12 
2.4 Base de um Espaço Vetorial ............................................................................... 13 
2.5 Tipos de Espaços Vetoriais ................................................................................ 13 
3 TRANSFORMAÇÕES LINEARES ARBITRÁRIAS ............................................... 14 
3.1 Definição ............................................................................................................. 14 
3.2 Achando uma lei de formação ............................................................................ 15 
3.3 Transformação no plano ..................................................................................... 16 
4 AUTOVALORES E AUTOVETORES .................................................................... 18 
4.1 Sistemas Bidimensionais Abstratos .................................................................... 28 
4.2 Propriedades de Autovalores .............................................................................. 30 
4.3 Traço com soma de Autovalores ........................................................................ 31 
4.4 Autovalores repetidos ......................................................................................... 33 
4.5 Resolvendo equações a diferenças não diagonalizáveis .................................... 34 
5 ESPAÇOS COM PRDUTO INTERNO .................................................................. 39 
5.1 Produto Interno Euclidiano e a Adjunta de uma Transformação Linear .............. 42 
5.2 Vetores Ortogonais ............................................................................................. 43 
5.3 Vetores Ortonormais ........................................................................................... 44 
 
 
 
5.4 Complemento Ortogonal ..................................................................................... 46 
5.5 A Adjunta ............................................................................................................ 49 
6 DIAGONALIZAÇÃO DE OPERADORES LINEARES ........................................... 50 
6.1 Diagonalização de Operadores........................................................................... 50 
6.2 Diagonalização de uma matriz quadrada ............................................................ 51 
7 APLICAÇÕES ....................................................................................................... 52 
8 FUNÇÕES QUADRÁTICAS .................................................................................. 53 
8.1 Funções Quadráticas Definidas .......................................................................... 55 
8.2 Matrizes (quadradas e simétricas) definidas ....................................................... 57 
9 IDENTIFICAÇÃO DE CÔNICAS E QUADRÁTICAS ............................................. 62 
9.1 Sobre parametrização de curvas no plano e no espaço ..................................... 63 
9.2 Parametrização da circunferência ....................................................................... 63 
9.3 Parametrização de uma hélice............................................................................ 64 
9.4 Curvas especiais: cônicas .................................................................................. 66 
9.5 Cônicas como secções planas do cone .............................................................. 66 
9.6 Estudo da parábola ............................................................................................. 69 
9.7 Mudança de Sistemas Cartesianos com Rotação nos Eixos .............................. 75 
9.8 Estudo da elipse ................................................................................................. 77 
9.9 Equação de uma elipse na forma paramétrica ................................................... 82 
9.10 Propriedade focal da elipse ............................................................................... 83 
9.11 Estudo da hipérbole ........................................................................................... 84 
9.12 Propriedade focal da hipérbole .......................................................................... 87 
9.13 Classificação das cônicas ................................................................................. 88 
10 BIBLIOGRAFIA BÁSICA ................................................................................... 95 
 
 
 
 
 
3 
 
1 SURGIMENTO E DESENVOLVIMENTO DA ÁLGEBRA LINEAR 
Estranha e intrigante é a origem da palavra "álgebra". Ela não se sujeita a uma 
etimologia nítida como, por exemplo, a palavra "aritmética", que deriva do 
grego arithmos ("número"). Álgebra é uma variante latina da palavra árabe al-jabr (às 
vezes transliterada al-jebr), usada no título de um livro, Hisab al-jabr w'al-muqabalah, 
escrito em Bagdá por volta do ano 825 pelo matemático árabe Mohammed ibn-Musa 
al Khowarizmi (Maomé, filho de Moisés, de Khowarizmi). Este trabalho de álgebra é 
com frequência citado, abreviadamente, como Al-jabr. 
Uma tradução literal do título completo do livro é a "ciência da restauração (ou 
reunião) e redução", mas matematicamente seria melhor "ciência da transposição e 
cancelamento"- ou, conforme Boher, "a transposição de termos subtraídos para o 
outro membro da equação" e "o cancelamento de termos semelhantes (iguais) em 
membros opostos da equação". Assim, dada a equação: 
 
 
 
Talvez a melhor tradução fosse simplesmente "a ciência das equações". Ainda 
que originalmente "álgebra" refira-se a equações, a palavra hoje tem um significado 
muito mais amplo, e uma definição satisfatória requer um enfoque em duas fases: 
 
 Álgebra antiga (elementar) é o estudo das equações e métodos de 
resolvê-las. 
 
 
4 
 
 Álgebra moderna (abstrata) é o estudo das estruturas matemáticas tais 
como grupos, anéis e corpos - para mencionar apenas algumas. 
De fato, é conveniente traçar o desenvolvimento da álgebra em termos 
dessas duas fases, uma vez que a divisão é tanto cronológica como 
conceitual. 
1.1 Equações Algébricas e Notação 
A fase antiga (elementar), que abrange o período de 1700 a.C. a 1700 d.C., 
aproximadamente, caracterizou-se pela invenção gradual do simbolismo e pela 
resolução de equações (em geral coeficientes numéricos) por vários métodos, 
apresentando progressos pouco importantes até a resolução "geral" das equações 
cúbicas e quárticas e o inspirado tratamento das equações polinomiais em geral feito 
por François Viète, também conhecido por Vieta (1540-1603). 
O desenvolvimento da notação algébrica evoluiu ao longo de três estágios: o 
retórico (ou verbal), o sincopado (no qual eram usadas abreviações de palavras) e 
o simbólico. No último estágio, a notação passou por várias modificações e 
mudanças, atétornar-se razoavelmente estável ao tempo de Isaac Newton. É 
interessante notar que, mesmo hoje, não há total uniformidade no uso de símbolos. 
Por exemplo, os americanos escrevem "3.1416" como aproximação de Pi, e muitos 
europeus escrevem "3,1416". Em alguns países europeus, o símbolo "÷" significa 
"menos". Como a álgebra provavelmente se originou na Babilônia, parece apropriado 
ilustrar o estilo retórico com um exemplo daquela região. O problema seguinte mostra 
o relativo grau de sofisticação da álgebra babilônica. É um exemplo típico de 
problemas encontrados em escrita cuneiforme, em tábuas de argila que remontam ao 
tempo do rei Hammurabi. A explanação, naturalmente, é feita em português; e usa-se 
a notação decimal indo-arábica em vez da notação sexagesimal cuneiforme. A coluna 
à direita fornece as passagens correspondentes em notação moderna. 
 
Eis o exemplo: 
[1] Comprimento, largura. Multipliquei comprimento por largura, obtendo assim 
a área: 252. Somei comprimento e largura: 32. Pede-se: comprimento e largura. 
 
5 
 
 
 
Nota-se que na etapa [1] o problema é formulado, na [2] os dados são 
apresentados, na [3] a resposta é dada, na [4] o método de solução é explicado com 
números e, finalmente, na [5] a resposta é testada. 
A "receita" acima é usada repetidamente em problemas semelhantes. Ela tem 
significado histórico e interesse atual por várias razões. 
Antes de tudo não é a maneira como resolveríamos hoje o sistema (A). O 
procedimento padrão nos atuais textos escolares de álgebra é resolver, digamos, a 
primeira equação para y (em termos de x), substituir na segunda equação e, então, 
resolver a equação quadrática resultante em x; isto é, usaríamos o método de 
substituição. Os babilônios também sabiam resolver sistemas por substituição, mas 
frequentemente preferiam usar seu método paramétrico. Ou seja, usando-se notação 
moderna, eles concebiam x e y em termos de uma nova incógnita (ou parâmetro) t 
fazendo: 
x=(k/2)+t e y=(k/2)-t 
 
Então o produto: 
xy = ((k/2) + t) ((k/2) - t) = (k/2)2 - t2 = P 
 
 
6 
 
Levava-os à relação (B): 
(k/2)2 - P = t2 
 
Em segundo lugar, o problema acima tem significado histórico porque a álgebra 
grega (geométrica) dos pitagóricos e de Euclides seguia o mesmo método de solução 
- traduzida, entretanto, em termos de segmentos de retas e áreas e ilustrada por 
figuras geométricas. Alguns séculos depois, outro grego, Diofanto, também usou a 
abordagem paramétrica em seu trabalho com equações "diofantinas". Ele deu início 
ao simbolismo moderno introduzindo abreviações de palavras e evitando o estilo um 
tanto intrincado da álgebra geométrica. 
Em terceiro lugar, os matemáticos árabes (inclusive al-Khowarizmi) não 
usavam o método empregado no problema acima; preferiam eliminar uma das 
incógnitas por substituição e expressar tudo em termos de palavras e números. 
Antes de deixar a álgebra babilônica, notemos que eles eram capazes de 
resolver uma variedade surpreendente de equações, inclusive certos tipos especiais 
de cúbicas e quárticas - todas com coeficientes numéricos, naturalmente. 
1.2 Álgebra no Egito 
A álgebra surgiu no Egito quase ao mesmo tempo que na Babilônia; mas 
faltavam à álgebra egípcia os métodos sofisticados da álgebra babilônica, bem como 
a variedade de equações resolvidas, a julgar pelo Papiro Moscou e o Papiro Rhind - 
documentos egípcios que datam de cerca de 1850 a.C. e 1650 a.C., respectivamente, 
mas refletem métodos matemáticos de um período anterior. Para equações lineares, 
os egípcios usavam um método de resolução consistindo em uma estimativa inicial 
seguida de uma correção final - um método ao qual os europeus posteriormente deram 
o nome um tanto abstruso de "regra da falsa posição". A álgebra do Egito, como a da 
Babilônia, era retórica. 
O sistema de numeração egípcio, relativamente primitivo em comparação com 
o dos babilônios, ajuda a explicar a falta de sofisticação da álgebra egípcia. Os 
matemáticos europeus do século XVI tiveram de estender a noção indo-arábica de 
número antes de poderem avançar significativamente além dos resultados babilônios 
de resolução de equações. 
 
7 
 
1.3 Álgebra Geométrica Grega 
A álgebra grega conforme foi formulada pelos pitagóricos e por Euclides era 
geométrica. Por exemplo, o que nós escrevemos como: 
 
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2 
 
Era concebido pelos gregos em termos do diagrama apresentado na Figura 1 
e era curiosamente enunciado por Euclides em Elementos, livro II, proposição 4: Se 
uma linha reta é dividida em duas partes quaisquer, o quadrado sobre a linha toda é 
igual aos quadrados sobre as duas partes, junto com duas vezes o retângulo que as 
partes contêm. [Isto é, (a+b)2 = a2 + 2ab + b2.] 
Somos tentados a dizer que, para os gregos da época de Euclides, a2 era 
realmente um quadrado. 
Não há dúvida de que os pitagóricos conheciam bem a álgebra babilônica e, de 
fato, seguiam os métodos-padrão babilônios de resolução de equações. Euclides 
deixou registrados esses resultados pitagóricos. Para ilustrá-lo, escolhemos o 
teorema correspondente ao problema babilônio considerado acima. 
 
 
 
Do livro VI dos Elementos, temos a proposição 28 (uma versão simplificada): 
Dada uma linha reta AB [isto é, x+y=k], construir ao longo dessa linha um retângulo 
com uma dada área [xy = P], admitindo que o retângulo "fique aquém" em AB por uma 
quantidade "preenchida" por outro retângulo [o quadrado BF na Figura 2], semelhante 
a um dado retângulo [que aqui nós admitimos ser qualquer quadrado]. 
 
8 
 
 
 
Na solução desta construção solicitada (Fig.2) o trabalho de Euclides é quase 
exatamente paralelo à solução babilônica do problema equivalente. Conforme 
indicado por T.L. Heath / EUCLID: II, 263/, os passos são os seguintes: 
 
 
 
Como fazia frequentemente, Euclides deixou o outro caso para o estudante - 
neste caso, x = (k/2) +t, o que Euclides certamente percebeu, mas não formulou. 
É de fato notável que a maior parte dos problemas-padrão babilônicos tenham 
sido "refeitos" desse modo por Euclides. Mas por quê? O que levou os gregos a darem 
à sua álgebra esta formulação desajeitada? A resposta é básica: eles tinham 
dificuldades conceituais com frações e números irracionais. 
Mesmo que os matemáticos gregos fossem capazes de contornar as frações, 
tratando-as como razões de inteiros, eles tinham dificuldades insuperáveis com 
números como a raiz quadrada de 2, por exemplo. Lembramos o "escândalo lógico" 
dos pitagóricos quando descobriram que a diagonal de um quadrado unitário é 
incomensurável com o lado (ou seja, diag/lado é diferente da razão de dois inteiros). 
Assim, foi seu estrito rigor matemático que os forçou a usar um conjunto de 
segmentos de reta como domínio conveniente de elementos. Pois, ainda que raiz 
quadrada de 2 não possa ser expresso em termos de inteiros ou suas razões, pode 
 
9 
 
ser representado como um segmento de reta que é precisamente a diagonal do 
quadrado unitário. Talvez não seja apenas um gracejo dizer que o contínuo linear era 
literalmente linear. 
De passagem devemos mencionar Apolônio (c. 225 a.C.), que aplicou métodos 
geométricos ao estudo das secções cônicas. De fato, seu grande tratado Secções 
cônicas contém mais geometria analítica das cônicas - toda fraseada em terminologia 
geométrica - do que os cursos universitários de hoje. 
A matemática grega deu uma parada brusca. A ocupação romana tinha 
começado, e não encorajava a erudição matemática, ainda que estimulasse alguns 
outros ramos da cultura grega. Devido ao estilo pesado da álgebra geométrica, esta 
não poderia sobreviver somente na tradição escrita; necessitava de um meio de 
comunicação vivo, oral. Era possível seguir o fluxo de ideias desde que um instrutor 
apontasse para diagramas e explicasse; mas as escolas de instrução direta não 
sobreviveram. 
1.4 Álgebra na Europa 
A álgebra que entrou na Europa (viaLiber abaci de Fibonacci e traduções) havia 
regredido tanto em estilo como em conteúdo. O semi-simbolismo (sincopação) de 
Diofanto e Brahmagupta e suas realizações relativamente avançadas não estavam 
destinados a contribuir para uma eventual irrupção da álgebra. 
A renascença e o rápido florescimento da álgebra na Europa foram devidos aos 
seguintes fatores: 
 Facilidade de manipular trabalhos numéricos através do sistema de 
numeração indo-arábico, muito superior aos sistemas (tais como o 
romano) que requeriam o uso do ábaco; 
 Invenção da imprensa com tipos móveis, que acelerou a padronização 
do simbolismo mediante a melhoria das comunicações, baseada em 
ampla distribuição; 
 Ressurgimento da economia, sustentando a atividade intelectual; e a 
retomada do comércio e viagens, facilitando o intercâmbio de ideias 
tanto quanto de bens. 
 
10 
 
Cidades comercialmente fortes surgiram primeiro na Itália, e foi lá que o 
renascimento algébrico na Europa efetivamente teve início1. 
 
2 ESPAÇOS VETORIAIS ARBITRÁRIOS 
2.1 Espaços Vetoriais – Definição 
 
 
Observação: 
 
 Os elementos do espaço vetorial V são chamados vetores. 
 Se na definição, tomarmos como escalares o conjunto C dos números 
complexos, V seria um espaço vetorial complexo. 
 
 
 
1 Texto extraído de: www.somatematica.com.br 
 
11 
 
Exemplo 1: 
V = R² = {(x, y) / x, y ∈ R} é um espaço vetorial com as operações de adição e 
multiplicação por um número real definidas usualmente: 
 
(𝑥1, 𝑦1) + (𝑥2, 𝑦2) = (𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2) 
𝛼 (𝑥1, 𝑦1) = (𝛼𝑥1, 𝛼𝑦1) 
 
Verifique os oito axiomas do espaço vetorial, considere 
 
𝒖 = (𝑥1, 𝑦1), 𝒗 = (𝑥2, 𝑦2) 𝑒 𝒘 = (𝑥3, 𝑦3). 
2.2 Subespaços Vetoriais 
 
 
A definição parece indicar que, para um subconjunto S ser subespaço vetorial 
de V, se deveria fazer a verificação, em S, dos oito axiomas de espaço vetorial relativos 
à adição e à multiplicação por escalar. Entretanto, como S é parte de V (que é espaço 
vetorial), não é necessária essa verificação. Por exemplo, o axioma da comutatividade 
da adição é válido para todos os vetores de V, ela valerá para todos os vetores de S. 
A seguir, as condições para um subconjunto S ser um subespaço vetorial de V. 
 
 Um subconjunto S, não-vazio, de um espaço vetorial V, é um subespaço 
vetorial de V se forem satisfeitas as seguintes condições: 
I. Para quaisquer u, v ∈ S, u + v ∈ S. 
II. Para quaisquer α ∈ R, u ∈ S, αu ∈ S. 
 
 Todo espaço vetorial V ≠ {0} admite, pelo menos, dois subespaços: o 
conjunto {0}, chamado subespaço zero ou subespaço nulo e o próprio 
 
12 
 
espaço vetorial V. Esses dois são os subespaços triviais de V. Os 
demais são denominados subespaços próprios de V. 
 
 Os subespaços triviais do R², por exemplo, são {0, 0} e R², enquanto os 
subespaços próprios são as retas que passam pela origem do sistema 
de referência. De modo análogo, os subespaços triviais do R³ são {0, 0, 
0} e o R³, os subespaços próprios do R³ são as retas e os planos que 
passam pela origem do sistema de referência. 
 
Exemplo 2: Verificar se os conjuntos são subespaços vetoriais de V. 
a) Sejam V = R² e S = {(x, y) ∈ R²/ y = 2x} ou S = {(x, 2x); x ∈ R}. 
b) Sejam V = R² e S = {(x, y) ∈ R²/ y = 4 – 2x} ou S = {(x, 4 – 2x); x ∈ R}. 
c) Sejam V = R³ e S = {(x, y, 0); x, y ∈ R}, isto é, S é o conjunto dos vetores 
do R³ que têm a terceira componente nula. 
d) Sejam V = R³ e S = {(x, y, z) ∈ R³/2x + 3y – 4z = 0}. 
2.3 Subespaço Gerador 
Gerador do espaço é um conjunto de vetores pelo qual pode-se gerar todos os 
elementos do espaço. 
Suponha que 𝒗𝟏, 𝒗𝟐, …, 𝒗𝒏 são vetores em um espaço vetorial V. Diz-se que 
esses vetores geram V se V consiste de todas as combinações lineares de 𝒗𝟏, 𝒗𝟐, …, 
𝒗𝒏, isto é, se todo vetor v em V pode ser expresso na forma: 
 
v = 𝑎𝒗1 + 𝑏𝒗2 … 𝑘𝒗𝑛, onde a, b, ... k, são os escalares. 
 
Exemplo 3: 
a) Os vetores u = (1, 0) e v = (0, 1) geram o espaço vetorial R². 
b) Os vetores u = (1, 0, 0), v = (0, 1, 0) e w = (0, 0, 1) geram o espaço vetorial 
R³. 
 
13 
 
2.4 Base de um Espaço Vetorial 
Se V é um espaço vetorial qualquer e B = {𝒗𝟏, 𝒗𝟐, …, 𝒗𝒏} é um conjunto de 
vetores em V, dizemos que B é uma base de V se valerem as seguintes condições: 
 
I. B é linearmente independente. 
II. B gera V. 
 
 
2.5 Tipos de Espaços Vetoriais 
 Espaço Vetorial Euclidiano: É qualquer espaço que possui um número 
finito de dimensões e possui uma operação denominada produto interno. 
 Espaço de Hilbert: É qualquer espaço vetorial que possui uma 
operação denominada produto interno e cuja métrica gerada por esse 
produto interno o torne um espaço completo. 
 Espaço Normado: É qualquer espaço vetorial que possui uma norma 
definida. 
 Espaço de Banach: É um espaço normado completo na métrica gerada 
por esta norma. 
 Espaço Vetorial Topológico: Se existe uma topologia compatível com 
as operações de espaço vetorial. 
 
14 
 
3 TRANSFORMAÇÕES LINEARES ARBITRÁRIAS 
3.1 Definição 
Uma transformação linear, T : U→V, é uma função que associa os elementos de 
um espaço vetorial U com os de um espaço vetorial V que possui as seguintes 
propriedades: 
T(u1+u2) = T(u1) + T(u2) para todo u1, u2 ∈ U 
T(αu) = αT(u) para todo u ∈ U e para todo α ∈ ℂ 
 
 
 
No caso em que U = V, podemos chamar uma transformação linear F :U→U de 
operador linear. 
 
Exemplos: A aplicação F:ℝ³→ℝ, dada por F (x, y, z) = -x + 2y + 4z é uma 
transformação linear, já que tomando u,v ∈ ℝ³, α ∈ ℝ, sendo u = (u1, u2, u3), v = (v1, 
v2, v3), temos que: 
 
15 
 
F (u + v) = F (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3) = - (u1 + v1) + 2(u2 + v2) + 4(u3 + v3) 
= - u1 + 2u2 + 4u3 - v1 + 2v2 + 4v3 = F(u) + F(v). 
F(αu) = F (αu1, αu2, αu3) = - (αu1) + 2(αu2) + 4(αu3) = α (-u1 + 2u2 + 4u3) = 
αF(u). 
 
Assim como a aplicação D:V→V definida por D(f) = f’, onde f’ é primeira 
derivada de uma função f. Esta aplicação é linear, pois se tomarmos α, β, f(x), g(x), 
temos: D(αf(x) + βg(x)) = αD(f(x)) + βD(g(x)). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.2 Achando uma lei de formação 
Podemos tentar achar uma lei de formação de uma transformação linear, por 
exemplo: temos que T: ℝ²→ℝ³ e T (2,1) = (1,3,0) e T (1,1) = (0,2,1), como podemos 
resolver? Sabendo que {(2,1), (1,1)} é base de ℝ², já que a(2,1) + b(1,1) tem única 
solução para a = b = 0 e gera o espaço ℝ², pois n(2,1) + k(1,1) = (x, y), temos o 
sistema { 2n + k = x, n + k = y }, resolvendo achamos que n = x - y e k = 2y - x, podemos 
escrever qualquer vetor (x, y) como uma combinação linear da base 
com n e k, substituindo temos: 
(x, y) = (x - y) (2, 1) + (2y - x) (1, 1). 
 
Como T é uma transformação linear, então: 
T (x, y) = T ((x - y) (2, 1) + (2y - x) (1, 1)) 
T (x, y) = (x - y) T (2, 1) + (2y - x) T (1, 1) 
 
Observação: Isso também vale para a 
derivada de ordem (n) de uma 
função f (que seja derivável) e integrais de 
uma função f (que seja integrável). 
Lembrando que, a Derivada e a Integral 
não são aplicações bijetoras. 
 
16 
 
Substituindo pelos valores de 
T (2,1) e T (1,1) 
T (x, y) = (x - y) (1, 3, 0) + (2y - x) (0,2,1) 
 
Operando, a transformação que procuramos é: 
T (x, y) = (x - y, x + y, 2y - x) 
3.3 Transformação no plano 
Considere todas as aplicações T, como T: ℝ²⭢ℝ², algumas transformações que 
podemos fazer no plano são: 
 
Reflexão em torno do eixo x 
 
T (x, y) = (x, -y) 
 
 
 
Reflexão em torno do eixo y 
 
T (x, y) = (-x, y) 
 
 
 
17 
 
 
 
Reflexão em relação ao eixo y = x 
T (x, y) = (y, x) 
 
 
 
Expansão ou contração em no eixo x 
T (x, y) = (kx, y) 
 
 
 
 
18 
 
Expansão ou contração em no eixo x 
Expansão ou contração em no eixo y 
T (x, y) = (x, ky) 
 
 
Expansão ou contração em eixo y 
 
 
E se fizermos a seguinte pergunta: 
Qual a importância de aprender esse conteúdo? É de extrema importância,pois 
com esse conteúdo que vimos podemos girar, rotacionar, diminuir, aumentar coisas 
no plano e no espaço. Podemos aplicar a imagens por exemplo, já que formam uma 
matriz “gigante”, podendo assim transformar cada valor na matriz. As transformações 
lineares também são aplicadas na computação gráfica, usadas para por exemplo 
mudança de coordenadas do sistema RBG para XYZ. Além das inúmeras aplicações 
na matemática e na física, como por exemplo a diferenciação que é um operador linear 
no espaço vetorial de funções e podemos resolver equações diferenciais usando 
técnicas da álgebra linear. 
 
4 AUTOVALORES E AUTOVETORES 
Os autovalores de uma matriz n × n são os n números que resumem as 
propriedades essenciais daquela matriz. Como esses n números realmente 
 
19 
 
caracterizam a matriz sendo estudada também são denominadas algumas vezes 
“valores características” ou “valores próprios”. 
Definição: Seja A uma matriz n × n. Um autovalor de A é um número tal que, 
se for subtraído de cada entrada na diagonal de A, converte A numa matriz singular. 
Subtrair um escalar r de cada entrada diagonal de A é o mesmo que subtrair r vezes 
a matriz identidade I de A. Portanto, r é um autovalor de A se, e somente se, A − rI é 
uma matriz singular. 
 
Exemplo 1: 
 
 
Subtraindo 2 de cada entrada diagonal A transformamos essa matriz em 
singular. 
 
 
 
Teorema. As estradas de uma matriz diagonal D são autovalores de D. 
 
 
 
Teorema. Uma matriz quadrada A é singular se, e somente se, 0 é um autovalor 
de A. 
 
 
 
 
20 
 
Definição Matriz Singular. Uma matriz A é singular se, e somente se, detA = 
0. Nesse caso r é um autovalor de A, ou seja, A−rI é uma matriz singular se, e somente 
se, det(A−rI) = 0 Para An×n o lado esquerdo da equação acima é um polinômio de 
grau n na variável r, denominado polinômio característico de A. O número r é um 
autovalor de A se, e somente se, r é uma zero do polinômio característico de A. 
Seja A2×2: 
 
 
Portanto, uma matriz 2×2 tem no máximo dois autovalores e uma matriz n×n 
no máximo n autovalores. 
 
Definição. Quando r é um autovalor de A e um vetor não nulo V tal que (A−rI).V 
= 0. Então, denominamos V um autovetor de A associado ao autovalor r. 
Av −rIV = 0 
Av = rV 
 
Teorema. Seja An×n e r um escalar. Então, as seguintes afirmações são 
equivalentes. 
 A subtração de r de cada elemento da diagonal de A transforma A em 
uma matriz Singular; 
 A−rI é uma matriz Singular; 
 det(A−rI) = 0; 
 det(A−rI)V = 0 para algum vetor V não nulo; 
 AV = rV 
 
Exemplo: Vejamos a seguinte matriz: 
 
 
21 
 
 
 
As raízes do polinômio característico -3 e 2 (autovalores) 
 
 
 
Vejamos os autovetores: 
 
 
22 
 
 
 
Definição. O conjunto unidimensional da equação linear (a−rI)V = 0, 
incluindo V = 0, é denominado autoespaço de A em relação a r. 
 
 
 
 
 
23 
 
Exemplo: 
 
 
 
24 
 
 
 
 
25 
 
Teorema. Os autovalores de uma matriz triangular são as suas entradas 
diagonais. 
 
Triangular superior 2×2 
 
 
 
Teorema. Seja A uma matriz invertível. Se (A−rI)V = 0 então (A−2 − 1 r I)V = 
0, isto é, se A é invertível r é seu autovalor se, e somente se, 1 r é um autovalor de 
A−1. 
 
Demonstração. 
 
 
 
26 
 
Exemplo: Equações lineares a diferenças 
 
 
 
Exemplo: Modelo de Leslie 
 
 
 
27 
 
As duas matrizes dos coeficientes são inversas uma da outra. 
 
 
 
Está facilmente desacoplado 
 
 
 
28 
 
 
4.1 Sistemas Bidimensionais Abstratos 
Zn+1 = AZn 
 
Vamos reproduzir o exemplo anterior, mas utilizaremos notação matricial 
abstrata. Escreva P e P−1 para as matrizes de mudança de coordenadas: 
 
 
 
Teorema. Seja A uma matriz k×k. Sejam r1, …, rk autovalores de A e V1, V2, ..., 
Vk os autovetores associados. Forme a matriz: 
 
 
29 
 
 
 
Reciprocamente, se P−1AP é uma matriz diagonal D, então as colunas de P 
são autovetores de A e todas entradas da diagonal D são autovalores de A. 
 
Teorema. Seja A uma matriz k × k com h autovalores distintos r1,...,rh. Sejam 
V1,....,Vhos autovalores. Então V1,....,Vh são linearmente independentes, ou seja, 
nenhum desses vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos demais. 
 
Teorema. Seja A uma matriz k × k com k autovalores reais e distintos r1,...,rk e 
autovetores associados V1,....,Vk. Então a solução geral do sistema de equações a 
diferenças zn+1 = Azn é 
zn = C1r n 1 V1 +...+Ckr n k Vk 
 
Teorema. Seja A uma matriz k ×k. Suponha que exista uma matriz não singular 
P tal que: 
 
 
30 
 
 
 
Teorema. Se a matriz A de tamanho k×k tem k autovetores reais distintos, 
então todas as soluções do sistema linear geral de equações a diferenças zn+1 = Azn 
tendem a zero se, e somente se, todos os autovalores de A têm valor absoluto menor 
do que 1. 
4.2 Propriedades de Autovalores 
 
Do ponto de vista prático, os autovalores de uma matriz A de tamanho k × k 
são simplesmente os zeros do polinômio característico de A, o polinômio de grau K 
dado por: p (r) = det (A−rI) 
De fato, há 3 possibilidades para as raízes de p (r). 
p(r) tem K raízes reais distintas; 
p(r) tem algumas raízes repetidas, ou 
p(r) tem algumas raízes complexas; 
 
31 
 
4.3 Traço com soma de Autovalores 
Definição. O traço de uma matriz quadrada é a soma das suas entradas 
diagonais 
trA = a11 + a22 + a33 + ... + akk 
 
Teorema. Seja Ak × k com autovalores r1, ..., rk. Então, 
 
r1 + r2 + ... + rk = trA, e 
 
r1.r2...rk = detA 
 
Demonstração: 
 
 
 
 
32 
 
Exemplo. Para matrizes markovianas a soma da coluna é sempre 1, logo ele 
é um autovalor. 
 
 
 
 
33 
 
4.4 Autovalores repetidos 
Definição: Uma matriz A que tem um autovalor de multiplicidade m > 1, mas 
não possui m autovalores independentes associados a esse autovalor, é denominada 
matriz não diagonalizável ou defectiva. 
 
Teorema. Seja A uma matriz 2×2 com dois autovalores iguais. Então, A é 
diagonalizável se, e somente se, A já é diagonal. 
 
Demonstração. Se A é diagonalizável pela mudança de variáveis P, então as 
entradas na diagonal de P −1AP são os autovalores de A. Seja r∗ o único autovalor de 
A, Então, P −1AP deve ser a matriz 
 
 
 
 
 
Definição: Seja r∗ um autovalor da matriz A. Um vetor (não-nulo) v tal que 
(A−r∗I)v ≠ 0 mas (A−r∗ I)mv = 0 para algum inteiro m > 1 é denominado um autovetor 
generalizado de A associado a r∗. 
 
 
 
 
 
 
34 
 
Exemplo: 
 
 
Teorema. Seja A uma matriz 2×2 com dois autovalores iguais r = r∗ . Então, 
(a) ou A tem dois autovetores independentes associados a r∗, e neste caso, A é a 
matriz diagonal r∗I. 
(b) ou A tem somente um autovetor independente, digamos v1 tal que (A−r∗ I)v2 
= v1 e, se P = [v1v2] então: 
 
 
4.5 Resolvendo equações a diferenças não diagonalizáveis 
Vamos solucionar um sistema de equações a diferenças zn+1 = Azn quando A 
não é diagonalizável. 
 
 
35 
 
 
 
Agora temos uma equação a diferenças linear homogênea e escalar para 
resolver. Vamos iterar a equação (34) a partir de n = 0 para descobrirmos a solução 
geral: 
 
 
 
36 
 
 
 
Para ver que (35) é a solução geral de (34), substitua-a em (34): 
 
 
 
Teorema. Seja A uma matriz 2 × 2 com um autovalor múltiplo r e somente um 
autovetor independente v1. 
 
37 
 
 
Seja v2 um autovetor generalizado associado a v1 e r. Então, a solução geral 
do sistema de equações a diferenças zn+1 = Azn é: 
zn = (c0rn +nc1rn−1 )v1 +c2rn v2 
 
Teorema. Seja A uma matriz k × k com entradas reais. Se r = α + iβ é um 
autovalor de A, também seu complexo conjugado r¯ = α−iβ é um autovalor. Se u+iv 
é um autovetor para α−iβ então u−iv é um autovetor para α−iβ. Se k é ímpar, então 
A deve possuir pelo menos um autovalor real. 
 
Seja: 
 
 
 
38 
 
 
Teorema. Seja A uma matriz 2×2 real com autovalores complexos α∗ ±iβ∗ com 
autovetores complexos associados u∗± iv∗. Escreva os autovalores α∗ ± iβ∗ em 
coordenadas polares como r∗ (cosθ∗ +isenθ∗),onde2 
 
 
 
 
2 Texto extraído de: www.rodrigofernandez.com.br 
 
39 
 
5 ESPAÇOS COM PRDUTO INTERNO 
Produto interno no espaço vetorial V é uma função de V  V em IR que a todo 
par de vetores (u, v)  V  V associa um número real, indicado por u .v ou , tal que os 
seguintes axiomas sejam verificados: 
P1) u.v = v.u 
P2) u. (v + w) = u.v + u.w 
P3) (u).v = (u.v),   IR 
P4) u.u  0 e u.u = 0 se, e somente se, u = 0. 
 
Dos quatro axiomas decorrem as propriedades: 
I. 0 . u = u . 0 = 0, u  V 
II. (u + v) . w = u . w + v . w 
III. U . (v) = (u . v),   IR 
IV. U . (v1 + v2 + ... + vn) = u . v1 + u . v2 + ... + u . vn 
 
Exemplos: 
 
 
 
40 
 
 
 
 
 
 
41 
 
 
 
 
 
42 
 
 
 
5.1 Produto Interno Euclidiano e a Adjunta de uma Transformação Linear 
 
 
 
43 
 
Definição: 
 
 
5.2 Vetores Ortogonais 
 
Definição: Um conjunto de vetores A = {v1, v2, . . ., vn} em Rn é um conjunto 
ortogonal se: 
 
 
Além disso se A é ortogonal então todos estes vetores são LI. 
 
Demonstração: É óbvio pela definição de produto interno euclidiano que se 
dois vetores são ortogonais então 
 
Por outro lado sabendo que é um conjunto ortogonal, então 
devemos provar que este conjunto é LI. De fato temos que 
 
 
 
 
44 
 
 
5.3 Vetores Ortonormais 
Definição: 
 
 
Nota: A projeção do vetor v sobre o vetor u é dada por: 
 
 
 
 
45 
 
Basta lembrar que: 
 
 
 
Demonstração: 
 
 
46 
 
 
5.4 Complemento Ortogonal 
Definição: 
 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
47 
 
Proposição: 
 
 
 
Demonstração: 
 
 
 
Teorema: 
 
 
 
Demonstração: Tomemos uma base ortonormal de V {v1, v2, . . . , vn}. Se u 𝜖 
V, então 
 
 
48 
 
 
 
 
 
 
49 
 
5.5 A Adjunta 
 
 
 
50 
 
 
 
6 DIAGONALIZAÇÃO DE OPERADORES LINEARES 
6.1 Diagonalização de Operadores 
Sabe-se que dado um operador linear T: V −→ V, a cada base B de V, 
corresponde uma matriz TB que representa T na base B. O objetivo aqui é encontrar 
uma base do espaço vetorial V de tal modo que a matriz de T seja a mais simples 
possível, isto é, de modo que esta matriz seja diagonal. 
 
51 
 
6.2 Diagonalização de uma matriz quadrada 
Uma matriz quadrada A é dita diagonalizável se existir uma matriz invertível P 
tal que P −1AP é uma matriz diagonal. Dizemos, então, que a matriz P diagonaliza A. 
 
Teorema: Se uma matriz A n x n é diagonalizável. Então, A possui n autovetores 
linearmente independentes. 
 
Demonstração: 
 
 
 
 
 
52 
 
 
 
7 APLICAÇÕES 
Muitos fenômenos que ocorrem na Física, na Química, na Biologia, na 
Engenharia e na Economia, podem ser descritos por modelos matemáticos 
envolvendo equações diferenciais, isto é, equações envolvendo funções e suas 
derivadas. 
Vamos aplicar o que vimos até aqui na resolução de alguns tipos de sistemas 
de equações diferenciais simples. Iniciemos lembrando que uma das equações 
diferenciais mais simples podem ser escritas da seguinte forma: 
 
 
 
53 
 
 
 
8 FUNÇÕES QUADRÁTICAS 
Denominação de uma função especial, definida genericamente por: 
 
 
 
54 
 
Em termos matriciais, a função quadrática pode ser representada por: 
 
 
 
Por exemplo: 
 
 
 
55 
 
8.1 Funções Quadráticas Definidas 
Diz-se que uma função quadrática é definida, se para todo x  Rn, tal que x0, 
ela apresentar os seguintes resultados: 
 
 
 
 
 
 
56 
 
 
 
 
 
Como toda matriz quadrada e simétrica pode ser utilizada para se obter uma 
função quadrática, pode-se então utilizar a tipologia desta apresentada acima, para a 
seguinte definição: 
 
57 
 
8.2 Matrizes (quadradas e simétricas) definidas 
Diz-se que uma matriz simétrica, de ordem (n x n), é definida, se para todo x  
Rn, tal que x  0, ela é tal que: 
 xT Ax  0, caso em que a matriz é Definida Positiva; 
 xT Ax  0, caso em que a matriz é Semi-definida Positiva; 
 xT Ax  0, caso em que a matriz é Definida Negativa; 
 xT Ax  0, caso em que a matriz é Semi-definida Negativa; 
 
 
 
 
 
58 
 
 
 
59 
 
 
 
 
 
60 
 
 
 
 
 
61 
 
 
 
 
 
 
62 
 
 
 
 
9 IDENTIFICAÇÃO DE CÔNICAS E QUADRÁTICAS 
As cônicas são casos especiais de curvas e as quádricas, casos especiais de 
superfícies. Ambos podem ser apresentados parametricamente ou implicitamente. 
Vamos introduzir esses conceitos passo a passo, nas sessões a seguir. 
 
 
 
63 
 
9.1 Sobre parametrização de curvas no plano e no espaço 
 
 
O conjunto imagem de uma curva parametrizada α(I) = {(x(t), y(t)) | t ∈ I} (resp, 
α(I) = {(x(t), y(t), z(t)) | t ∈ I}) é chamado traço de α. 
 As curvas parametrizadas aparecem naturalmente na trajetória de uma 
partícula em movimento, parametrizadas pelo tempo t. O traçoo da curva corresponde 
ao conjunto de pontos por onde a partícula passa. O intervalo I corresponde ao 
intervalo de tempo em que dura o movimento. Mas os parâmetros podem representar 
outros elementos, como veremos a seguir. 
9.2 Parametrização da circunferência em 
 
 
 
64 
 
 
 
Qual é o centro? Qual é o raio? Descreva as diferenças entre as curvas 
(parametrizações). Interprete as parametrizações como trajetórias de uma partícula. 
9.3 Parametrização de uma hélice 
Considere a parametrização: 
 
 
 
Esta é uma curva no espaço em que 
 
 
 
Que, no plano Oxy, é a equação da circunferência de raio 2 e centro na origem. 
Isto quer dizer que a projeção ortogonal do traço da curva sobre o plano Oxy está 
contido na circunferência. Então, o traço da curva está sobre o cilindro de base circular 
de raio 2 e eixo Oz. 
 
 
65 
 
 
 
 
 
 
66 
 
 
9.4 Curvas especiais: cônicas 
Vimos que a intersecção de dois planos resulta ser uma reta, e também vimos 
a curva de Viviani como intersecção de uma casca esférica e uma casca cilíndrica. 
Assim, a intersecção de duas superfícies pode dar origem a curvas que podem possuir 
propriedades interessantes. As cônicas são curvas planas que se originam da 
intersecção de cone circular por um plano. As diversas posições desse plano em 
relação ao cone dão origem a cônicas particulares muito importantes, como veremos 
a seguir. 
9.5 Cônicas como secções planas do cone 
Considere um cone circular de vértice V e eixo r, cujas geratrizes formam 
ângulo θ com o eixo do cone. 
 
 
 
67 
 
 
 
 
 
 
 
68 
 
 
 
 Quando o plano π passa pelo vértice V , e o ângulo entre π e o eixo é 
igual a θ, a intersecção resulta em uma reta, que é uma reta geratriz. 
 
 Quando o plano π passa pelo vértice V , e o ângulo entre π e o eixo é 
menor que θ, a intersecção resulta em um par de retas concorrentes. 
 
 Quando o plano π passa pelo vértice V , e o ângulo entre π e o eixo é 
maior que θ, a intersecção resulta em um ponto, mais precisamente, o 
vértice V . 
 
As cônicas obtidas como intersecção do cone por planos passando pelo vértice 
V são exemplos de cônicas tidas como degeneradas. Existem mais dois outros casos 
de cônicas (degeneradas) que não comparecem na intersecção do cone circular com 
o plano, que são: para de retas paralelas e vazio. Estas cônicas podem ser obtidas 
como intersecção do cilindro com um plano. Na Geometria Projetiva, o cilindro é um 
cone, com vértice “no infinito”. Essas cônicas foram obtidas no espaço, mas como são 
curvas planas, isto é, contidas num plano, vamos passar ao estudo analítico das 
cônicas como curvas do plano, isto é, de 
 
69 
 
9.6 Estudo da parábola 
A parábola é uma curva plana caracterizada pela seguinte propriedade 
geométrica: 
 
 
Essa propriedade pode ser demonstrada a partir de sua concepção como uma 
secção do cone mas não a faremos aqui. O interessados podem procurar as 
construções de Dandelin. Para obtermos uma equaçãopara a parábola 
lançamos mão de um sistema de referencial cartesiano adequado no plano da 
parábola. Seja então um sistema S = {O, x, y}, escolhido como segue: 
 
 
70 
 
 
A distância de 
 
Logo Elevando ao 
quadrado temos Esta é 
a equação reduzida da parábola. 
 
Esta equação corrobora as observações geométricas feitas anteriormente: 
1. A origem O = (0,0) satisfaz a equação da parábola. É chamada vértice 
da parábola. 
2. Os pontos (x,y) da parábola satisfazem a condição x ≥ 0, pois y 2 ≥ 0. 
 
Além disso, vemos que a parábola é simétrica em relação ao eixo Ox, porque 
se x0, y0) satisfaz a equação, então x0, −y0) também: (−y0)2 = y2o = 2px0. Por esta 
razão, o eixo Ox é chamado eixo da parábola. 
Alguns autores chamam p de parâmetro da parábola, porém, nestas notas, esta 
denominação será evitada para não confundir com o parâmetro de uma curva 
parametrizada. Estamos dizendo que, uma parametrização da curva parábola y2 = 8x, 
por exemplo, pode ser dada pela aplicação 
 
71 
 
 
 
Observamos também que outros autores utilizam p para denotar a semi-
distância do foco à diretriz. Então, antes de utilizar a notação, veja a definição dentro 
do texto. 
Fazendo a escolha do sistema de coordenadas S = {O, x, y} de modo que o foco 
F esteja sobre o semi-eixo negativo de Ox, a equação fica y2 = −2px, onde p > 0 é a 
distância do foco F à diretriz d, agora no semiplano x > 0. 
 
 
 
 
 
 
 
72 
 
 
 
Exercício: Deduzir a equação da parábola no sistema S = {O, x, y} de modo que 
o foco se situe sobre o semi-eixo negativo de Oy e tenha V = (0, 0). Como fica a 
concavidade da curva? Existe algum eixo de simetria? 
 
Suponhamos agora que uma parábola tenha foco F = (−3, 2) e tenha como 
diretriz o eixo Ox, num sistema cartesiano. Qual é a equação da parábola neste 
sistema? 
 
 Observemos que estamos numa situação diferente em que não estamos 
escolhendo o sistema de referências, mas lidando com um sistema já dado. Então, 
não podemos de imediato escrever a equação como fizemos até agora. 
 
 
 
 
 
73 
 
 
 
 
A análise geométrica e algébrica que foi feita acima com a utilização de um 
sistema de referenciais cartesianos auxiliar funciona para o estudo de qualquer 
parábola que tenha eixo de simetria paralelo a um dos eixos coordenados. 
Suponhamos agora uma parábola com foco F = (1, 1) e vértice V = O = (0, 0). 
Qual a equação da parábola? 
Como o eixo de simetria é a reta contendo o foco e o vértice, num sistema de 
coordenadas S′ = {O, x′ , y′}, onde a semi-reta positiva de Oy′ é a semireta com origem 
O e contendo F, e Ox′ perpendicular a Oy′ por O, a equação da parábola é conhecida: 
(x′)2 = 2py′. 
 
74 
 
Temos que 
Falta então conhecermos como escrever x′ e y′ em termos de x e y. 
 
 
 
 
 
 
 
75 
 
 
9.7 Mudança de Sistemas Cartesianos com Rotação nos Eixos 
 
 
76 
 
 
 
Esta última mudança de coordenadas pode ser feita sempre que o eixo de 
simetria da parábola não for paralelo a qualquer eixo coordenado, mas o vértice 
continua na origem. 
Numa situação mais geral, quando o vértice V não é mais a origem, e o eixo de 
simetria não é paralelo a nenhum dos eixos coordenadas, deve-se efetuar duas 
mudanças de coordenadas, uma envolvendo rotação dos eixos e uma outra 
envolvendo a translação na origem. 
 
Exercício: Obter a equação de uma parábola com foco F = (3, 2), p = 3 e eixo 
de simetria na direção do vetor Quantas parábolas existem satisfazendo 
as condições dadas? Qual a posição relativa entre elas? 
 
Sugestão: Defina um sistema de coordenadas novo, S ′ = {O′ , x′ , y′}, com 
origem sobre o vértice (existem duas possibilidades: quais?), que deve estar sobre a 
reta r passando por F e com direção dada por . Considere o novo eixo O′y′ na reta 
r, sendo o semieixo positivo aquele que contém F. Defina o eixo O′x′ de forma a obter 
um sistema com base positivamente orientada. Nesse sistema, obtenha a equação da 
parábola (em termos de x′ e y′ . Agora defina mais um sistema de coordenadas, S′′ = 
{O′ , x′′, y′′} com mesma origem O′ e eixos O′x ′′ e O′y′′ paralelos aos eixos do sistema 
original S = {O, x, y}. Para passar a equação da parábola para sistema S′ basta ver que 
 
77 
 
o sistema S′′ é obtido do sistema S′ por uma rotação nos eixos, e aplicar a mudança 
correspondente. 
Para obter a equação no sistema original, basta agora aplicar a mudança 
descrita para translação na origem. 
 
Observação: A parábola não tem um ponto de simetria. Só tem uma reta de 
simetria. Esta propriedade a destaca de todas as outras cônicas. 
 
 
9.8 Estudo da elipse 
De maneira análoga ao estudo da parábola, vamos estudar a cônica elipse, a 
partir de suas propriedades geométricas: 
Uma elipse é um conjunto de pontos cuja soma das distâncias a dois pontos F1 
e F2 é uma constante. 
 
 
78 
 
 
 
Então, os dados geométricos essenciais de uma elipse são os pontos F1 e F2 
chamados focos da elipse, e uma medida fixada, que denotaremos por 2a. A distância 
entre F1 e F2 é chamada distância focal. Se denotarmos dist(F1, F2) = 2c, devemos ter 
claramente a condição 2a > 2c, o que implica a > c. Quando c = 0, isto é, F1 = F2, a 
elipse se degernera numa circunferência. Há quem prefira não chamar a 
circunferência de elipse. Suponhamos então sempre c > 0 quando nos referirmos a 
uma elipse. 
Para estudar analiticamente uma elipse, fixemos um sistema cartesiano 
adequado: S = {O, x, y} em que O é o ponto médio do segmento F1F2, o eixo Ox 
contendo os focos, e o eixo Oy é a reta perpendicular a r(F1, F2) por O. 
 
 
 
79 
 
 
 
 
80 
 
 
 
 
 
81 
 
 
 
Exemplo: Suponha dada a equação quadrática 4x2+ 9y2−8x−36y+ 4 = 0. Esta 
equação foi dada num sistema cartesiano fixado, e como contém termos com x e y, 
lineares e não quadráticos, não conseguimos identificar imediatamente a curva em 
questão. Vamos reescrever a equação: 4(x2 – 2x) + 9 (y2 – 4y) + 4 = 0. 
O termo x2 − 2x pode ser “completado”como segue, sem, alterar o resultado: x2 
− 2x = x2 − 2x + 1 − 1 = (x − 1)2 − 1. Analogamente, y2 − 4y = y2 − 4y + 4 − 4 = (y − 
2)2 − 4. 
Assim, 
 
 
 
82 
 
9.9 Equação de uma elipse na forma paramétrica 
 
 
 
 
No sistema cartesiano Oxy, considere duas circunferências com centro O, raios 
a e b respectivamente, com a > b. Seja t um parâmetro angular, medido no sentido 
anti-horário, a partir do semi-eixo positivo de Ox. Sejam M e N respectivamente pontos 
das circunferências de raio a e b, tais que as semi-retas OM e ON formem ângulo 
orientado t com o semi-eixo positivo Ox, como na figura. Então M = (a cos t, a sen t) e 
N = (b cos t, b sen t). 
 
Seja P = (a cos t, b sen t) ponto com a abscissa de M e a ordenada de N. 
 
 
83 
 
 
9.10 Propriedade focal da elipse 
 
“Se P é um ponto da elipse de focos F1 e F2, então as semirretas PF1 e PF2 
formam ângulos iguais com a reta tangente à elipse em P”. Esta propriedade é 
utilizada em espelhos elíticos dos dentistas e outras aplicações envolvendo ótica e 
acústica. 
 
 
 
84 
 
9.11 Estudo da hipérbole 
 
 
 
 
 
85 
 
 
 
 
 
86 
 
 
 
Quando o sistema é escolhido de modo que o eixo Oy seja o eixo focal e o 
centro em O, a equação reduzida, com constante 2a fixada fica: 
Neste caso não existem pontos da hipérbole sobre o eixo Ox. 
 
 
 
Observação 1: Não há necessidade de a > b ou b > a na notação da equação 
reduzida da hipérbole. A relação que deve ser observada é sempre c > a e c2 − a2 = 
b2, onde 2c é a distância focal e 2a é a constante da hipérbole. 
 
87 
 
 
 
9.12 Propriedade focal da hipérbole 
Como no caso da elipse, a hipérbole tem propriedade focal: 
“Se P é um ponto da hipérbole de focos F1 e F2, então as semirretas PF1 e PF2 
formam ângulos iguais com a reta tangente à hipérbole em P”. 
Esta propriedade também é utilizada em aplicações envolvendo ótica, como em 
construção de um certotipo de telescópio. 
 
88 
 
 
9.13 Classificação das cônicas 
 
 
 
89 
 
 
Substituindo na equação da cônica temos: 
 
 
 
Quando o sistema para o cálculo do centro é impossível, temos o único caso 
de cônica sem centro, que é a parábola. 
Suponhamos agora somente as cônicas com centro (C = (0, 0) 
Se a equação for da forma a11x2 + a22y2 + a33 = 0, sem termo misto 2a12xy, então 
já podemos classificar: 
 
90 
 
 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
91 
 
 
 
No caso de termos termo quadrático misto na equação da cônica com centro 
(já devidamente colocado na origem), temos: 
p(x, y) = a11x2 + 2a12xy + a22y2 + a33 = 0 
 
Uma rotação nos eixos para deixar os eixos de simetria iguais aos eixos 
coordenados elimina o termo misto. 
 
 
 
 
 
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No caso de parábolas, ao se tentar calcular o centro, vimos que este não existe. 
Para desenhálo, num caso geral, primeiro se aplica a rotação dos eixos de forma que 
o termo misto desapareça, exatamente como foi feito acima, tomando o cuidado de 
alterar a parte linear. Esta rotação dos eixos coordenados deixa o eixo de simetria da 
parábola paralelo a um dos novos eixos coordenados. 
Depois, faz-se uma translação da origem para que o vértice fique na nova 
origem.3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 Texto extraído de: www.sweet.ua.pt.com.br 
 
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10 BIBLIOGRAFIA BÁSICA 
 
ANTON, H; BUSBY, R. Álgebra Linear Contemporânea. Bookman, 2006. 
ANTON – RORRES. Álgebra Linear com Aplicações. Bookman, 2001. 
BOLDRINI, J. L; COSTA, S. R. C; FIGUEIREDO, V. L; WETZLER, H. G. Álgebra 
Linear. Editora Harbra Ltda. São Paulo, 1986. 
 
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR 
CALLIOLI, C. A; DOMINGUES, H. H; COSTA, R. C. F. Álgebra Linear e 
Aplicações. Atual Editora. 1987. 
NOBLE, B; DANIEL, J. W. Álgebra Linear Aplicada. Prentice/Hall do Brasil. 1977. 
POOLE, D. Álgebra Linear. Thomson, 2004.