Prova Calculo Vetorial

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Universidade Federal do Ceará 
Centro de Tecnologia 
Semestre 2020.1 
 
 
 
 
AP1 - Cálculo Vetorial Aplicado 
 
Helder do Nascimento Veras 
 
Turma: 16h às 18h 
 
Professor: Ciro Nogueira Filho 
 
 
 
 
 
 
 
Data de envio: 3 de setembro de 2020 
1. Mostre que uma equação do plano tangente à superfície 𝑥𝑦2𝑧3 =
𝑎, 𝑎 ≠ 0, em seu ponto (𝑥𝑜, 𝑦𝑜, 𝑧𝑜), pode ser colocada na seguinte 
forma: 𝑦𝑜2𝑧𝑜3𝑥 + 2𝑥𝑜𝑦𝑜𝑧𝑜3𝑦 + 3𝑥𝑜𝑦𝑜2𝑧𝑜2𝑧 = 6𝑎; 
2. Uma curva 𝑟(𝑡) = 𝑥(𝑡)𝑖 + 𝑦(𝑡)𝑗 + 𝑧(𝑡)𝑘e uma superfície 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
0são ditas serem tangentes, em um ponto comum 𝑟(𝑡𝑜) =
(𝑥𝑜, 𝑦𝑜, 𝑧𝑜),quando os vetores 𝑟′(𝑡𝑜)e ▽ 𝐹(𝑥𝑜, 𝑦𝑜, 𝑧𝑜)são nulos e 
ortogonais. Então, verifique se 𝑥3 + 𝑦3 + 𝑧3 − 𝑥𝑦𝑧 = 0 e 𝑟(𝑡) =
(𝑡3/4) − 2 𝑖 + (4/𝑡) − 3 𝑗 + 𝑐𝑜𝑠(𝑡 − 2) 𝑘 são tangentes em 
(0, −1,1); 
3. Dada 𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑥3 − 3𝑥 + 𝑦4 − 2𝑦2, encontre seus pontos (𝑥𝑜, 𝑦𝑜) 
nos quais 𝐹𝑥(𝑥𝑜, 𝑦𝑜) = 0 e 𝐹𝑦(𝑥𝑜, 𝑦𝑜) = 0 e, se possível, determine 
quais deles são pontos de: máximo local, mínimo local ou sela; 
4. Dada a superfície 𝑦2 = 8 + 𝑥𝑧,use multiplicadores de Lagrange 
(1736-1813) para encontrar seu(s) ponto(s) mais próximo(s) da 
origem. Qual é essa distância mínima; 
5. A integral dupla iterada ഽ1
0
ഽ1
𝑦1/2
𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑥3)𝑑𝑥𝑑𝑦 não pode ser 
calculada, nessa ordem, por meio de Funções elementares. Use o 
Teorema de Fubiui (1879-1943), inverta corretamente a ordem de 
integração e calcule-a.