Diferença entre Permutação, Arranjo e Combinação

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PERMUTAÇÃO: 
Uma permutação de n elementos distintos é um agrupamento ordenado desses elementos. 
Pode ser calculada pela fórmula: 
𝑃𝑛 = 𝑛! 
Ela deve ser utilizada quando você quiser contar quantas possibilidades existem de se 
organizar um número de objetos de forma distinta, por exemplo: 
• O número de anagramas da palavra LIVRO é uma permutação de 5 elementos, 
calculada através de 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120, pois para a primeira posição você pode 
colocar 5 letras, para a segunda posição você pode colocar 4 letras, para a terceira 
posição você pode colocar 3 letras e assim por diante. 
• O número de filas que podem ser formadas por 25 pessoas é 25!, pois para o primeiro 
lugar da fila temos 25 possibilidades, para o segundo lugar da fila tem 24 
possibilidades e assim por diante. 
 
ARRANJO: 
Um arranjo de n elementos dispostos p a p, com p menor ou igual a n, é uma escolha de p entre 
esses n objetos na qual A ORDEM IMPORTA. Sua fórmula é dada por: 
𝐴𝑛
𝑝
=
𝑛!
(𝑛 − 𝑝)!
 
Arranjo refere-se às diferentes maneiras de organizar um conjunto de objetos em uma ordem 
sequencial. 
O exemplo mais clássico de arranjo é o pódio: em uma competição de 20 jogadores, quantas 
são as possibilidades de se formar um pódio com os três primeiros lugares? Note que neste 
problema queremos dispor 20 jogadores em 3 lugares, onde a ordem importa, afinal, o pódio 
formado por João, Marcos e Pedro não é o mesmo pódio formado por Pedro, Marcos e João, 
por exemplo. 
✓ Perceba que as permutações nada mais são do que casos particulares de arranjos 
onde n = p. 
 
COMBINAÇÃO: 
As combinações de n elementos tomados p a p são escolhas ordenadas desses elementos, onde 
a ORDEM NÃO IMPORTA, calculadas por: 
𝐶𝑛
𝑝
=
𝑛!
𝑝! (𝑛 − 𝑝)!
 
Combinação refere-se à várias maneiras de escolher itens entre um grande conjunto de 
objetos, de modo que sua ordem não importa. 
Um exemplo clássico é quando queremos formar uma comissão de 3 pessoas escolhidas entre 
10 pessoas. Diferentemente do pódio do exemplo anterior, uma comissão formada por João, 
Pedro e Maria é exatamente a mesma comissão formada por Maria, Pedro e João. 
Dica - como diferenciar arranjo de permutação: 
 
Em um problema de análise combinatória, devemos verificar, antes de tudo, se os 
agrupamentos são arranjos, permutações ou combinações. No caso da permutação, todos os 
elementos do grupo serão utilizados na formação das possibilidades. 
E como diferenciar um caso de arranjo de um caso de combinação? 
1) Forme um dos grupos sugeridos pelo problema; 
2) Altere a ordem dessa formação; 
3) Faça a seguinte análise: 
 
• Se a alteração na ordem formou um grupo diferente do original, é arranjo; 
• Se a alteração na ordem formou um grupo igual ao original, é combinação.