AD1-Q2-2021-1-Gabarito

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Gabarito da Questão 2 da AD 1 – Métodos Determińısticos I – 2021-1
Questão 2 (2,5 pontos) De acordo com o que vimos no EP3, uma proposição do tipo
p e q
é falsa se pelo menos uma das duas proposições, p ou q, forem falsas, isto é, se
(∼ p) ou (∼ q).
De forma semelhante,
p ou q
é falsa se ambas as proposições p e q forem falsas, isto é, se
(∼ p) e (∼ q).
Vimos ainda que uma sentença da forma
∃x ∈ X|p(x)
é falsa se
∀x ∈ X,∼ p(x).
A sentença “∃x ∈ X|p(x)”pode ser escrita em alguma das formas equivalentes abaixo:
“existe x em X tal que p(x) é verdadeiro”
“para algum x em X, temos p(x) é verdadeiro”
“algum x em X satisfaz p(x)”.
Pelo que vimos, essas sentenças serão falsas se ∀x ∈ X,∼ p(x), que pode ser escrito em uma das
formas abaixo.
“para todo x em X, p(x) for falso”
“todo x em X não satisfaz p(x)”.
Também podeŕıamos negar “∃x ∈ X|p(x)”utilizando a forma “@x ∈ X|p(x)”(“não existe x em X
tal que p(x) é verdadeiro”, ou ainda “nenhum x em X satisfaz p(x)”), mas vamos evitar o uso de
“não existe”ou “nenhum”.
Da mesma forma, a sentença
∀x ∈ X,p(x)
que pode ser escrita como uma das formas abaixo
“para todo x em X, p(x) é verdadeira”
“todo x em X satisfaz p(x)”.
é falsa se
∃x ∈ X| ∼ p(x),
isto é,
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“existe algum x em X para o qual p(x) é falsa”
“existe algum x em X que não satisfaz p(x)”.
(a) Escreva as sentenças abaixo utilizando a simbologia lógico-matemática
• Todos os meus amigos gostam de tapioca ou de pão.
• Algum amigo meu gosta de tapioca ou pão.
• Todo amigo meu vai à feira ou ao mercado.
• Algum amigo meu vai à feira ou ao mercado.
• Todos os meus amigos gostam de pão ou algum deles foi à feira.
• Algum amigo meu gosta de tapioca e todos os meus amigos vão à feira.
Para isso, utilize as seguintes definições:
A: conjunto dos meus amigos
t(x): x gosta de tapioca
p(x): x gosta de pão
f(x): x vai à feira
m(x): x vai ao mercado
(b) Utilizando a simbologia lógico-matemática, escreva a negação de cada sentença do item (a).
Não utilize @.
(c) Escreva com palavras, sem utilizar simbologia lógico-matemática e sem utilizar expressões
como “não existe”, “nenhum”, “ninguém”, etc, a negação das sentenças do item (a).
Solução:
(a) • Todos os meus amigos gostam de tapioca ou de pão: ∀x ∈ A, t(x) ∨ p(x)
• Algum amigo meu gosta de tapioca ou pão: ∃x ∈ A | t(x) ∨ p(x)
A sentença é equivalente a “existe algum amigo meu que gosta de tapioca ou de pão”.
• Todo amigo meu vai à feira ou ao mercado: ∀x ∈ A, f(x) ∨m(x)
• Algum amigo meu vai à feira ou ao mercado: ∃x ∈ A | f(x) ∨m(x)
• Todos os meus amigos gostam de pão ou algum deles foi à feira: (∀x ∈ A, p(x)) ∨ (∃x ∈
A | f(x))
Observe que temos aqui duas sentenças unidas por um ∨ (“ou”):
– Todos os meus amigos gostam de pão: ∀x ∈ A, p(x)
– algum deles (dos meus amigos) foi à feira: ∃x ∈ A | f(x)
Por isso, teremos como resposta (∀x ∈ A, p(x)) ∨ (∃x ∈ A | f(x)).
• Algum amigo meu gosta de tapioca e todos os meus amigos vão à feira: (∃x ∈ A | t(x))∧
(∀x ∈ A, f(x)) Como no item anterior, temos aqui duas sentenças unidas por um ∧ (“e”):
– Algum amigo meu gosta de tapioca: ∃x ∈ A | t(x)
– todos os meus amigos vão à feira: ∀x ∈ A, f(x)
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Por isso, teremos como resposta (∃x ∈ A | t(x)) ∨ (∀x ∈ A, f(x)).
(b) •
∼ (Todos os meus amigos gostam de tapioca ou de pão)
m
∼ (∀x ∈ A, t(x) ∨ p(x))
m
∃x ∈ A | ∼ (t(x) ∨ p(x))
m
∃x ∈ A | (∼ t(x)) ∧ (∼ p(x)).
•
∼ (Algum amigo meu gosta de tapioca ou pão)
m
∼ (∃x ∈ A | t(x) ∨ p(x))
m
∀x ∈ A,∼ (t(x) ∨ p(x))
m
∀x ∈ A, (∼ t(x)) ∧ (∼ p(x)).
•
∼ (Todo amigo meu vai à feira ou ao mercado)
m
∼ (∀x ∈ A, f(x) ∨m(x))
m
∃x ∈ A | ∼ (f(x) ∨m(x))
m
∃x ∈ A | (∼ f(x)) ∧ (∼ m(x))
•
∼ (Algum amigo meu vai à feira ou ao mercado)
m
∼ (∃x ∈ A | f(x) ∨m(x))
m
∀x ∈ A,∼ (f(x) ∨m(x))
m
∀x ∈ A, (∼ f(x)) ∧ (∼ m(x))
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•
∼ (Todos os meus amigos gostam de pão ou algum deles foi à feira)
m
∼ [(∀x ∈ A, p(x)) ∨ (∃x ∈ A | f(x))]
m
[∼ (∀x ∈ A, p(x))] ∧ [∼ (∃x ∈ A | f(x))]
m
[∃x ∈ A | (∼ p(x))] ∧ [∀x ∈ A, (∼ f(x))]
•
∼ (Algum amigo meu gosta de tapioca e todos os meus amigos vão à feira)
m
∼ [(∃x ∈ A | t(x)) ∧ (∀x ∈ A, f(x))]
m
[∼ (∃x ∈ A | t(x))] ∨ [∼ (∀x ∈ A, f(x))]
m
[∀x ∈ A, (∼ t(x))] ∨ [∃x ∈ A | (∼ f(x))]
(c) Vamos transcrever para português as negações que obtivemos em simbologia lógico-matemática.
•
∼ (Todos os meus amigos gostam de tapioca ou de pão)
m
∃x ∈ A | (∼ t(x)) ∧ (∼ p(x)).
m
Algum amigo meu não gosta de taipoca e não gosta de pão
•
∼ (Algum amigo meu gosta de tapioca ou pão)
m
∀x ∈ A, (∼ t(x)) ∧ (∼ p(x)).
m
Todos os meus amigos não gostam de taipoca e não gostam de pão
•
∼ (Todo amigo meu vai à feira ou ao mercado)
m
∃x ∈ A | (∼ f(x)) ∧ (∼ m(x))
m
Algum amigo meu não vai à feira e não vai ao mercado
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•
∼ (Algum amigo meu vai à feira ou ao mercado)
m
∀x ∈ A, (∼ f(x)) ∧ (∼ m(x))
m
Todos os meus amigos não vai à feira e não vai ao mercado
•
∼ (Todos os meus amigos gostam de pão ou algum deles foi à feira)
m
[∃x ∈ A | (∼ p(x))] ∧ [∀x ∈ A, (∼ f(x))]
m
Algum amigo meu não gosta de pão e todos os meus amigos não foram à feira
•
∼ (Algum amigo meu gosta de tapioca e todos os meus amigos vão à feira)
m
[∀x ∈ A, (∼ t(x))] ∨ [∃x ∈ A | (∼ f(x))]
m
Todos os meus amigos não gostam de tapioca ou algum amigo meu não vai à feira.
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