AD1-Q1-2021-1-Gabarito Métodos Determinísticos

Prévia do material em texto

Gabarito da Questão 1 da AD 1 – Métodos Determińısticos I – 2021-1
Questão 1 (2,5 pontos) Na cidade Polén Paira no Ar, de 63.900 habitantes, a Prefeitura disponi-
bilizou três remédios com descontos consideráveis para tratar de uma alergia inexplicável: “Atchim”,
o “Cof-cof”e o “Funga-funga”. Qualquer pessoa na cidade pode tomar nenhum, um dois ou até os
três remédios, mas segundo as informações abaixo.
• O remédio “Cof-cof”só pode ser tomado se a pessoa também tomar junto o remédio “Funga-
funga”, caso contrário, a pessoa passa a ter tremedeiras. Mas, pode-se tomar o remédio
“Funga-funga”sem que seja preciso tomar o remédio “Cof-cof”.
• Os que tomaram todos os três remédios representam 2/3 dos que tomaram o remédio “Cof-
cof”e 1/4 dos que toma o remédio “Atchim”.
• Os que tomaram o remédio “Atchim”perfazem o dobro dos que tomaram apenas o remédio
“Funga-funga”e o triplo dos que tomaram só o remédio “Atchim”.
• Só quem não tomou nenhum tipo de remédio se queixou de algum problema alérgico, na cidade.
• Apenas 1500 habitantes se queixaram de problemas alérgicos.
• Ninguém na cidade teve tremedeiras.
(a) Represente, por meio de um diagrama de Venn, a situação descrita acima, chamando de A o
conjunto que representa o número de habitantes que tomaram o remédio “Atchim”, de C, o
número de habitantes que tomaram o remédio “Cof-cof”e de F , o número de habitantes que
tomaram o remédio “Funga-funga”.
(b) Chame de x o número de habitantes que tomaram todos os três remédios e o represente no
diagrama de Venn feito no item (a).
(c) Preencha o restante do diagrama com o número de habitantes em cada conjunto apenas em
função de x.
(d) Utilize o diagrama preenchido para escrever uma equação, em função de x, que represente o
número total de habitantes da cidade
(e) Resolva a equação do item anterior e determine o valor de x.
Observação: Expressar uma quantidade ou grandeza y em função de uma outra quantidade ou
grandeza x é escrever o valor de y de forma que dependa apenas do valor, ainda que desconhecido,
de x. Em outras palavras, é obter uma expressão apenas com a variável x e com constantes, que
seja igual a y.
Um exemplo: Imagine que ”o número de habitantes da cidade A seja o dobro do número de
habitantes da cidade B”. Se representarmos por a e b o número de habitantes destas cidades, res-
pectivamente, teremos a = 2b. Assim, a estará escrito em função de b. Da mesma forma, podemos
escrever b em função de a, como b = a
2
.
Solução:
Métodos Determińısticos I Gabarito da Questão 1 da AD 1 – 2021-1 2
(a) A primeira informação diz que o remédio “Cof-cof”só pode ser tomado se a pessoa também
tomar junto o remédio “Funga-funga”. Caso alguém tomasse “Cof-cof”sem tomar “Funga-
funga”, teria tremedeiras, o que não ocorreu, pelo que diz a última informação. Por outro
lado, “Funga-funga”pode ser tomado sem o “Cof-cof”. Assim, o conjunto C de quem tomou
“Cof-cof”está contido no conjunto F de quem tomou o “Funga-funga”, mas o contrário não
necessariamente vale.
Quem tomou “Atchim”pode ter tomado também os outros remédios (só o “Funga-funga”ou
também o “Cof-cof”).
Fala-se que alguém não tomou nenhum dos remédios (na quarta informação), portanto devemos
considerar que, no conjunto U de todos os habitantes da cidade, há aqueles que não estão em
A, C ou F . Temos então o diagrama abaixo:
Representamos isso no diagrama como abaixo:
(b) Temos
(c) Pela segunda informação, os que tomaram os três remédios, ou seja, x, representam 2/3 de
quem tomou “Cof-cof”. Assim, chamando de c aos que tomaram “Cof-cof”, temos
x =
2c
3
∴ c =
3x
2
.
Com isso, o número de pessoas que tomaram “Cof-cof”mas não tomaram os três é dado por
c− x = 3x
2
− x = 3x− 2x
2
=
x
2
.
Representando no diagrama, temos:
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
Métodos Determińısticos I Gabarito da Questão 1 da AD 1 – 2021-1 3
Ainda pela segunda informação, chamando de a aos que tomaram “Atchim”, temos
x =
a
4
∴ a = 4x.
A terceira informação diz que a é o triplo de quem tomou apenas “Atchim”, cuja quantidade
chamaremos de y. Assim
a = 3y ∴ y =
a
3
∴ y =
4x
3
.
Além disso, as a pessoas que tomaram “Atchim”também correspondem ao dobro das que toma-
ram apenas “Funga-funga”, que chamaremos de z. Assim,
a = 2z ∴ z =
a
2
∴ z =
4x
2
= 2x.
Representando no diagrama o que obtivemos até agora, temos:
Podemos agora descobrir quantas pessoas tomaram “Atchim”junto com “Funga-funga”. Esta
quantidade está representada abaixo por w:
Observe que x+ w + 4x
3
= a, e, como a = 4x, temos
x+ w +
4x
3
= 4x ∴ w = 4x− 4x
3
− x = 12x− 4x− 3x
3
∴ w =
5x
3
.
Além disso, pela penúltima informação, apenas 1500 pessoas se queixaram de problemas alérgicos
e, pela informação antes dela, estas todas estão fora dos conjuntos A, C e F . Assim, temos o
diagrama completo:
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
Métodos Determińısticos I Gabarito da Questão 1 da AD 1 – 2021-1 4
(d) Somando todas as quantidades representadas no diagrama obtido, encontraremos a população
inteira da cidade. Assim,
2x+
x
2
+ x+
5x
3
+
4x
3
+ 1500 = 63900.
(e) Resolvendo a equação obtida,
2x+
x
2
+ x+
5x
3
+
4x
3
+ 1500 = 63900
m
2x+
x
2
+ x+
5x
3
+
4x
3
= 63900− 1500
m
12x+ 3x+ 6x+ 10x+ 8x
6
= 62400
m
39x
6
= 62400
m
x =
6
39
· 62400
m
x = 9600.
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ