[Resolvida] Lista de exercícios - Python e integrais duplas e tripla

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Cálculo III - T01
1. Com aux́ılio de um software (linguagens C ou Python), use a soma de Riemann para determinar
uma aproximação para o volume do sólido contido abaixo da superf́ıcie z =
√
1− x2 e acima do
retângulo R = {(x, y) : −1 ≤ x ≤ 1 e − 1 ≤ y ≤ 1}.
(a) Com m = n = 10 escolhendo o ponto amostra em cada sub-retângulo como
i. canto inferior esquerdo;
ii. canto inferior direito;
iii. centro (ponto médio);
iv. canto superior esquerdo;
v. canto superior direito.
(b) Com m = n = 100 escolhendo o ponto amostra em cada sub-retângulo como
i. canto inferior esquerdo;
ii. canto inferior direito;
iii. centro (ponto médio);
iv. canto superior esquerdo;
v. canto superior direito.
2. Com aux́ılio de um software (linguagens C ou Python), use a Soma de Riemann para determinar
uma aproximação para o volume do sólido contido abaixo da superf́ıcie z = x2 + y2 e acima do
retângulo R = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ 2}.
(a) Com m = n = 50 escolhendo o ponto amostra em cada sub-retângulo como
i. canto inferior esquerdo;
ii. centro (ponto médio);
iii. canto superior direito.
(b) Com m = n = 100 escolhendo o ponto amostra em cada sub-retângulo como
i. canto inferior esquerdo;
ii. centro (ponto médio);
iii. canto superior direito.
(c) Com m = n = 500 escolhendo o ponto amostra em cada sub-retângulo como
i. canto inferior esquerdo;
ii. centro (ponto médio);
iii. canto superior direito.
3. Comparando os resultados obtidos nos exerćıcios acima (variando o número de sub-retângulos e
o ponto amostra) com o valor exato das integrais (use um sistema de computação algébrica para
determina-la), o que se pode concluir?
4. Ainda utilizando uma “calculadora programável”, use a soma de Riemman para estimar o valor
da integral tripla ∫∫∫
R
e−x
2−y2−z2dV
onde R = {(x, y, z) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ 1}. Utilize o ponto médio como ponto
amostra com os seguintes números de sub-cubos de tamanhos iguais: 1, 8, 64 e 512. (utilize 4
casas decimais)
INMA/UFMS Disciplina: Cálculo III 1o¯ semestre de 2021
Renato da Silva Viana
Resoluções
Resolução 1.
Volume aproximado pela soma de Riemann do sólido entre a curva z = f(x, y) =
√
1− x2 e o
plano xy:
V ≈
n∑
j=1
m∑
i=1
f(xi, yj) ∆A =[f(x1, y1) + f(x1, y2) + f(x1, y3) + · · ·+ f(x1, yn) + f(x2, y1)+
f(x2, y2) + · · ·+ f(xm, yn−1) + f(xm, yn)]∆A
Parte 1.(a).
Para o retângulo R = {(x, y) | − 1 ≤ x ≤ 1 e − 1 ≤ y ≤ 1} e m = n = 10, os subintervalos ∆x
e ∆y possuem os comprimentos:
∆x =
(1)− (−1)
m
=
2
m
∆y =
(1)− (−1)
n
=
2
n
Ao passo que um sub-retângulo possuem a seguinte área ∆A:
∆A = ∆x∆y
1
Renato da Silva Viana
Item 1.(a).i.
Para pontos (xi, yj, zk) presentes nos cantos inferiores esquerdos dos sub-retângulos, tem-se as
relações entre coordenada e índice a seguir:
xi = −1 + (i− 1)∆x
yj = −1 + (j − 1)∆y
Calculando em Python o volume aproximado, tendo em vista a soma de Riemann descrita:
1 m = n = 10
2 deltax = 2/m
3 deltay = 2/n
4 deltaA = deltax*deltay
5
6 V = 0
7
8 for j in range(1, n + 1):
9 yj = -1 + (j - 1)*deltay
10
11 for i in range(1, m + 1):
12 xi = -1 + (i - 1)*deltax
13 z = (1 - xi**2)**(1/2)
14 V += z*deltaA
15
16 print(V)
Obtém-se V ≈ 3,0370488288835524.
2
Renato da Silva Viana
Item 1.(a).ii.
Para pontos (xi, yj, zk) presentes nos cantos inferiores direitos dos sub-retângulos, tem-se as
relações entre coordenada e índice a seguir:
xi = −1 + i∆x
yj = −1 + (j − 1)∆y
Calculando em Python o volume aproximado, tendo em vista a soma de Riemann descrita:
1 m = n = 10
2 deltax = 2/m
3 deltay = 2/n
4 deltaA = deltax*deltay
5
6 V = 0
7
8 for j in range(1, n + 1):
9 yj = -1 + (j - 1)*deltay
10
11 for i in range(1, m + 1):
12 xi = -1 + i*deltax
13 z = (1 - xi**2)**(1/2)
14 V += z*deltaA
15
16 print(V)
Obtém-se V ≈ 3,0370488288835524.
3
Renato da Silva Viana
Item 1.(a).iii.
Para pontos (xi, yj, zk) presentes nos centros dos sub-retângulos, tem-se as relações entre coor-
denada e índice a seguir:
xi = −1 +
(
2i− 1
2
)
∆x
yj = −1 +
(
2j − 1
2
)
∆y
Calculando em Python o volume aproximado, tendo em vista a soma de Riemann descrita:
1 m = n = 10
2 deltax = 2/m
3 deltay = 2/n
4 deltaA = deltax*deltay
5
6 V = 0
7
8 for j in range(1, n + 1):
9 yj = -1 + (2*j - 1)*(1/2)*deltay
10
11 for i in range(1, m + 1):
12 xi = -1 + (2*i - 1)*(1/2)*deltax
13 z = (1 - xi**2)**(1/2)
14 V += z*deltaA
15
16 print(V)
Obtém-se V ≈ 3,171987823613086.
4
Renato da Silva Viana
Item 1.(a).iv.
Para pontos (xi, yj, zk) presentes nos cantos superiores esquerdos dos sub-retângulos, tem-se as
relações entre coordenada e índice a seguir:
xi = −1 + (i− 1)∆x
yj = −1 + j∆y
Calculando em Python o volume aproximado, tendo em vista a soma de Riemann descrita:
1 m = n = 10
2 deltax = 2/m
3 deltay = 2/n
4 deltaA = deltax*deltay
5
6 V = 0
7
8 for j in range(1, n + 1):
9 yj = -1 + j*deltay
10
11 for i in range(1, m + 1):
12 xi = -1 + (i - 1)*deltax
13 z = (1 - xi**2)**(1/2)
14 V += z*deltaA
15
16 print(V)
Obtém-se V ≈ 3,0370488288835524.
5
Renato da Silva Viana
Item 1.(a).v.
Para pontos (xi, yj, zk) presentes nos cantos superiores direitos dos sub-retângulos, tem-se as
relações entre coordenada e índice a seguir:
xi = −1 + i∆x
yj = −1 + j∆y
Calculando em Python o volume aproximado, tendo em vista a soma de Riemann descrita:
1 m = n = 10
2 deltax = 2/m
3 deltay = 2/n
4 deltaA = deltax*deltay
5
6 V = 0
7
8 for j in range(1, n + 1):
9 yj = -1 + j*deltay
10
11 for i in range(1, m + 1):
12 xi = -1 + i*deltax
13 z = (1 - xi**2)**(1/2)
14 V += z*deltaA
15
16 print(V)
Obtém-se V ≈ 3,0370488288835524.
6
Renato da Silva Viana
Parte 1.(b).
Fixa-se m = n = 100.
Item 1.(b).i.
Para pontos (xi, yj, zk) presentes nos cantos inferiores esquerdos dos sub-retângulos, tem-se as
relações entre coordenada e índice a seguir:
xi = −1 + (i− 1)∆x
yj = −1 + (j − 1)∆y
Calculando em Python o volume aproximado, tendo em vista a soma de Riemann descrita:
1 m = n = 100
2 deltax = 2/m
3 deltay = 2/n
4 deltaA = deltax*deltay
5
6 V = 0
7
8 for j in range(1, n + 1):
9 yj = -1 + (j - 1)*deltay
10
11 for i in range(1, m + 1):
12 xi = -1 + (i - 1)*deltax
13 z = (1 - xi**2)**(1/2)
14 V += z*deltaA
15
16 print(V)
Obtém-se V ≈ 3,1382685110984894.
7
Renato da Silva Viana
Item 1.(b).ii.
Para pontos (xi, yj, zk) presentes nos cantos inferiores direitos dos sub-retângulos, tem-se as
relações entre coordenada e índice a seguir:
xi = −1 + i∆x
yj = −1 + (j − 1)∆y
Calculando em Python o volume aproximado, tendo em vista a soma de Riemann descrita:
1 m = n = 100
2 deltax = 2/m
3 deltay = 2/n
4 deltaA = deltax*deltay
5
6 V = 0
7
8 for j in range(1, n + 1):
9 yj = -1 + (j - 1)*deltay
10
11 for i in range(1, m + 1):
12 xi = -1 + i*deltax
13 z = (1 - xi**2)**(1/2)
14 V += z*deltaA
15
16 print(V)
Obtém-se V ≈ 3,1382685110984894.
8
Renato da Silva Viana
Item 1.(b).iii.
Para pontos (xi, yj, zk) presentes nos centros dos sub-retângulos, tem-se as relações entre coor-
denada e índice a seguir:
xi = −1 +
(
2i− 1
2
)
∆x
yj = −1 +
(
2j − 1
2
)
∆y
Calculando em Python o volume aproximado, tendo em vista a soma de Riemann descrita:
1 m = n = 100
2 deltax = 2/m
3 deltay = 2/n
4 deltaA = deltax*deltay
5
6 V = 0
7
8 for j in range(1, n + 1):
9 yj = -1 + (2*j - 1)*(1/2)*deltay
10
11 for i in range(1, m + 1):
12 xi = -1 + (2*i - 1)*(1/2)*deltax
13 z = (1 - xi**2)**(1/2)
14 V += z*deltaA
15
16 print(V)
Obtém-se V ≈ 3,142565552459659.
9
Renato da Silva Viana
Item 1.(b).iv.
Para pontos (xi, yj, zk) presentes nos cantos superiores esquerdos dos sub-retângulos, tem-se as
relações entre coordenada e índice a seguir:
xi = −1 + (i− 1)∆x
yj = −1 + j∆y
Calculando em Python o volume aproximado, tendo em vista a soma de Riemann descrita:
1 m = n = 100
2 deltax = 2/m
3 deltay = 2/n
4 deltaA = deltax*deltay
5
6 V = 0
7
8 for j in range(1, n + 1):
9 yj = -1 + j*deltay
10
11 for i in range(1, m + 1):
12 xi = -1 + (i - 1)*deltax
13 z = (1 - xi**2)**(1/2)
14 V += z*deltaA
15
16 print(V)
Obtém-seV ≈ 3,1382685110984894.
10
Renato da Silva Viana
Item 1.(b).v.
Para pontos (xi, yj, zk) presentes nos cantos superiores direitos dos sub-retângulos, tem-se as
relações entre coordenada e índice a seguir:
xi = −1 + i∆x
yj = −1 + j∆y
Calculando em Python o volume aproximado, tendo em vista a soma de Riemann descrita:
1 m = n = 100
2 deltax = 2/m
3 deltay = 2/n
4 deltaA = deltax*deltay
5
6 V = 0
7
8 for j in range(1, n + 1):
9 yj = -1 + j*deltay
10
11 for i in range(1, m + 1):
12 xi = -1 + i*deltax
13 z = (1 - xi**2)**(1/2)
14 V += z*deltaA
15
16 print(V)
Obtém-se V ≈ 3,1382685110984894.
11
Renato da Silva Viana
Resolução 2.
Volume aproximado pela Soma de Riemann do sólido entre a curva z = f(x, y) = x2 + y2 e o
plano xy:
V ≈
n∑
j=1
m∑
i=1
f(xi, yj) ∆A =[f(x1, y1) + f(x1, y2) + f(x1, y3) + · · ·+ f(x1, yn) + f(x2, y1)+
f(x2, y2) + · · ·+ f(xm, yn−1) + f(xm, yn)]∆A
Parte 2.(a).
Para o retângulo R = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ 2} e m = n = 50, os subintervalos ∆x e ∆y
possuem os comprimentos:
∆x =
(2)− (0)
m
=
2
m
∆y =
(2)− (0)
n
=
2
n
Ao passo que um sub-retângulo possuem a seguinte área ∆A:
∆A = ∆x∆y
12
Renato da Silva Viana
Item 2.(a).i.
Para pontos (xi, yj, zk) presentes nos cantos inferiores esquerdos dos sub-retângulos, tem-se as
relações entre coordenada e índice a seguir:
xi = 0 + (i− 1)∆x
yj = 0 + (j − 1)∆y
Calculando em Python o volume aproximado, tendo em vista a soma de Riemann descrita:
1 m = n = 50
2 deltax = 2/m
3 deltay = 2/n
4 deltaA = deltax*deltay
5
6 V = 0
7
8 for j in range(1, n + 1):
9 yj = 0 + (j - 1)*deltay
10
11 for i in range(1, m + 1):
12 xi = 0 + (i - 1)*deltax
13 z = xi**2 + yj**2
14 V += z*deltaA
15
16 print(V)
Obtém-se V ≈ 10,348799999999995.
13
Renato da Silva Viana
Item 2.(a).ii.
Para pontos (xi, yj, zk) presentes nos centros dos sub-retângulos, tem-se as relações entre coor-
denada e índice a seguir:
xi = 0 +
(
2i− 1
2
)
∆x
yj = 0 +
(
2j − 1
2
)
∆y
Calculando em Python o volume aproximado, tendo em vista a soma de Riemann descrita:
1 m = n = 50
2 deltax = 2/m
3 deltay = 2/n
4 deltaA = deltax*deltay
5
6 V = 0
7
8 for j in range(1, n + 1):
9 yj = 0 + (2*j - 1)*(1/2)*deltay
10
11 for i in range(1, m + 1):
12 xi = 0 + (2*i - 1)*(1/2)*deltax
13 z = xi**2 + yj**2
14 V += z*deltaA
15
16 print(V)
Obtém-se V ≈ 10,665600000000033.
14
Renato da Silva Viana
Item 2.(a).iii.
Para pontos (xi, yj, zk) presentes nos cantos superiores direitos dos sub-retângulos, tem-se as
relações entre coordenada e índice a seguir:
xi = 0 + i∆x
yj = 0 + j∆y
Calculando em Python o volume aproximado, tendo em vista a soma de Riemann descrita:
1 m = n = 50
2 deltax = 2/m
3 deltay = 2/n
4 deltaA = deltax*deltay
5
6 V = 0
7
8 for j in range(1, n + 1):
9 yj = 0 + j*deltay
10
11 for i in range(1, m + 1):
12 xi = 0 + i*deltax
13 z = xi**2 + yj**2
14 V += z*deltaA
15
16 print(V)
Obtém-se V ≈ 10,988799999999998.
15
Renato da Silva Viana
Parte 2.(b).
Fixa-se m = n = 100.
Item 2.(b).i.
Para pontos (xi, yj, zk) presentes nos cantos inferiores esquerdos dos sub-retângulos, tem-se as
relações entre coordenada e índice a seguir:
xi = 0 + (i− 1)∆x
yj = 0 + (j − 1)∆y
Calculando em Python o volume aproximado, tendo em vista a soma de Riemann descrita:
1 m = n = 100
2 deltax = 2/m
3 deltay = 2/n
4 deltaA = deltax*deltay
5
6 V = 0
7
8 for j in range(1, n + 1):
9 yj = 0 + (j - 1)*deltay
10
11 for i in range(1, m + 1):
12 xi = 0 + (i - 1)*deltax
13 z = xi**2 + yj**2
14 V += z*deltaA
15
16 print(V)
Obtém-se V ≈ 10,507200000000019.
16
Renato da Silva Viana
Item 2.(b).ii.
Para pontos (xi, yj, zk) presentes nos centros dos sub-retângulos, tem-se as relações entre coor-
denada e índice a seguir:
xi = 0 +
(
2i− 1
2
)
∆x
yj = 0 +
(
2j − 1
2
)
∆y
Calculando em Python o volume aproximado, tendo em vista a soma de Riemann descrita:
1 m = n = 100
2 deltax = 2/m
3 deltay = 2/n
4 deltaA = deltax*deltay
5
6 V = 0
7
8 for j in range(1, n + 1):
9 yj = 0 + (2*j - 1)*(1/2)*deltay
10
11 for i in range(1, m + 1):
12 xi = 0 + (2*i - 1)*(1/2)*deltax
13 z = xi**2 + yj**2
14 V += z*deltaA
15
16 print(V)
Obtém-se V ≈ 10,666400000000008.
17
Renato da Silva Viana
Item 2.(b).iii.
Para pontos (xi, yj, zk) presentes nos cantos superiores direitos dos sub-retângulos, tem-se as
relações entre coordenada e índice a seguir:
xi = 0 + i∆x
yj = 0 + j∆y
Calculando em Python o volume aproximado, tendo em vista a soma de Riemann descrita:
1 m = n = 100
2 deltax = 2/m
3 deltay = 2/n
4 deltaA = deltax*deltay
5
6 V = 0
7
8 for j in range(1, n + 1):
9 yj = 0 + j*deltay
10
11 for i in range(1, m + 1):
12 xi = 0 + i*deltax
13 z = xi**2 + yj**2
14 V += z*deltaA
15
16 print(V)
Obtém-se V ≈ 10,827200000000008.
18
Renato da Silva Viana
Parte 2.(c).
Fixa-se m = n = 500.
Item 2.(c).i.
Para pontos (xi, yj, zk) presentes nos cantos inferiores esquerdos dos sub-retângulos, tem-se as
relações entre coordenada e índice a seguir:
xi = 0 + (i− 1)∆x
yj = 0 + (j − 1)∆y
Calculando em Python o volume aproximado, tendo em vista a soma de Riemann descrita:
1 m = n = 500
2 deltax = 2/m
3 deltay = 2/n
4 deltaA = deltax*deltay
5
6 V = 0
7
8 for j in range(1, n + 1):
9 yj = 0 + (j - 1)*deltay
10
11 for i in range(1, m + 1):
12 xi = 0 + (i - 1)*deltax
13 z = xi**2 + yj**2
14 V += z*deltaA
15
16 print(V)
Obtém-se V ≈ 10,634688000000121.
19
Renato da Silva Viana
Item 2.(c).ii.
Para pontos (xi, yj, zk) presentes nos centros dos sub-retângulos, tem-se as relações entre coor-
denada e índice a seguir:
xi = 0 +
(
2i− 1
2
)
∆x
yj = 0 +
(
2j − 1
2
)
∆y
Calculando em Python o volume aproximado, tendo em vista a soma de Riemann descrita:
1 m = n = 500
2 deltax = 2/m
3 deltay = 2/n
4 deltaA = deltax*deltay
5
6 V = 0
7
8 for j in range(1, n + 1):
9 yj = 0 + (2*j - 1)*(1/2)*deltay
10
11 for i in range(1, m + 1):
12 xi = 0 + (2*i - 1)*(1/2)*deltax
13 z = xi**2 + yj**2
14 V += z*deltaA
15
16 print(V)
Obtém-se V ≈ 10,6666559999998.
20
Renato da Silva Viana
Item 2.(c).iii.
Para pontos (xi, yj, zk) presentes nos cantos superiores direitos dos sub-retângulos, tem-se as
relações entre coordenada e índice a seguir:
xi = 0 + i∆x
yj = 0 + j∆y
Calculando em Python o volume aproximado, tendo em vista a soma de Riemann descrita:
1 m = n = 500
2 deltax = 2/m
3 deltay = 2/n
4 deltaA = deltax*deltay
5
6 V = 0
7
8 for j in range(1, n + 1):
9 yj = 0 + j*deltay
10
11 for i in range(1, m + 1):
12 xi = 0 + i*deltax
13 z = xi**2 + yj**2
14 V += z*deltaA
15
16 print(V)
Obtém-se V ≈ 10,698688000000118.
21
Renato da Silva Viana
Resolução 3.
Pode-se concluir que a aproximação obtida para a integral é melhor à medida que aumenta-se
o número de sub-retângulos e quando escolhe-se como pontos amostrais os centros dos sub-
retângulos.
Integral da questão 1: ∫ 1
−1
∫ 1
−1
√
1− x2 dx dy = π ≈ 3,1415926535897932
Integral da questão 2: ∫ 2
0
∫ 2
0
x2 + y2 dx dy =
32
3
≈ 10,666666666666667
22
Renato da Silva Viana
Resolução 4.
Assumindo z = f(x, y, z) = e−x2−y2−z2 , a soma de Riemann associada à integral E =
∫∫∫
R
e−x
2−y2−z2 dV
é tal que:
p∑
k=1
n∑
j=1
m∑
i=1
f(xi, yj, zk) ∆V = [f(x1, y1, z1) + f(x1, y1, z2) + · · ·+ f(x1, y1, zp)+
f(x1, y2, z1) + f(x1, y2, z2) + · · ·+ f(x1, yn, zp−1) + f(x1, yn, zp)+
f(x2, y1, z1) + f(x2, y1, z2) + · · ·+ f(xm, yn, zp)]∆V
Com respeito aos centros dos sub-cubos como pontos amostrais, nota-se que suas coordenadas
relacionam-se da seguinte forma com os índices:
xi = 0 +
(
2i− 1
2
)
∆x
yj = 0 +
(
2j − 1
2
)
∆y
zk = 0 +
(
2k − 1
2
)
∆z
Considerando a região R = {(x, y, z) | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ 1}, os subintervalos ∆x,
∆y e ∆z possuem os seguintes comprimentos, respectivamente:
∆x =
(1)− (0)
m
=
1
m
∆y =
(1)− (0)
n
=
1
n
∆z =
(1)− (0)
p
=
1
p
Ao passo que um sub-cubo possui volume de ∆V :
∆V = ∆x∆y∆z =
1
mnp
Para que se tenha s sub-cubos, a razão entre o volume V (R) da região R e o volume de um
sub-cubo deve ser igual a s. Então:
V (R)
∆V
= s
(1−0)(1− 0)(1− 0)(
1
mnp
) = s
mnp = s
Assim sendo, os eixos devem ser divididos em quantidades de subintervalos que obedeçam esta
23
Renato da Silva Viana
relação. Escolhendo-se convenientemente m = n = p = 3
√
s verifica-se a equação.
Para s = 1 sub-cubo, tem-se m = n = p = 1. Calculando em Python o valor aproximado da
integral sob esta condição:
1 import math
2
3 m = n = p = 1
4 deltax = 1/m
5 deltay = 1/n
6 deltaz = 1/p
7 deltaV = deltax*deltay*deltaz
8
9 E = 0
10
11 for k in range(1, p + 1):
12 zk = 0 + (2*k - 1)*(1/2)*deltaz
13
14 for j in range(1, n + 1):
15 yj = 0 + (2*j - 1)*(1/2)*deltay
16
17 for i in range(1, m + 1):
18 xi = 0 + (2*i - 1)*(1/2)*deltax
19 z = math.exp(-(xi**2 + yj**2 + zk**2))
20 E += z*deltaV
21
22 print(E)
Obtém-se E ≈ 0,4724.
24
Renato da Silva Viana
Para s = 8 sub-cubos, tem-se m = n = p = 2. Calculando em Python o valor aproximado da
integral sob esta condição:
1 import math
2
3 m = n = p = 2
4 deltax = 1/m
5 deltay = 1/n
6 deltaz = 1/p
7 deltaV = deltax*deltay*deltaz
8
9 E = 0
10
11 for k in range(1, p + 1):
12 zk = 0 + (2*k - 1)*(1/2)*deltaz
13
14 for j in range(1, n + 1):
15 yj = 0 + (2*j - 1)*(1/2)*deltay
16
17 for i in range(1, m + 1):
18 xi = 0 + (2*i - 1)*(1/2)*deltax
19 z = math.exp(-(xi**2 + yj**2 + zk**2))
20 E += z*deltaV
21
22 print(E)
Obtém-se E ≈ 0,4297.
25
Renato da Silva Viana
Para s = 64 sub-cubos, tem-se m = n = p = 4. Calculando em Python o valor aproximado da
integral sob esta condição:
1 import math
2
3 m = n = p = 4
4 deltax = 1/m
5 deltay = 1/n
6 deltaz = 1/p
7 deltaV = deltax*deltay*deltaz
8
9 E = 0
10
11 for k in range(1, p + 1):
12 zk = 0 + (2*k - 1)*(1/2)*deltaz
13
14 for j in range(1, n + 1):
15 yj = 0 + (2*j - 1)*(1/2)*deltay
16
17 for i in range(1, m + 1):
18 xi = 0 + (2*i - 1)*(1/2)*deltax
19 z = math.exp(-(xi**2 + yj**2 + zk**2))
20 E += z*deltaV
21
22 print(E)
Obtém-se E ≈ 0,4198.
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Renato da Silva Viana
Para s = 512 sub-cubos, tem-se m = n = p = 8. Calculando em Python o valor aproximado
da integral sob esta condição:
1 import math
2
3 m = n = p = 8
4 deltax = 1/m
5 deltay = 1/n
6 deltaz = 1/p
7 deltaV = deltax*deltay*deltaz
8
9 E = 0
10
11 for k in range(1, p + 1):
12 zk = 0 + (2*k - 1)*(1/2)*deltaz
13
14 for j in range(1, n + 1):
15 yj = 0 + (2*j - 1)*(1/2)*deltay
16
17 for i in range(1, m + 1):
18 xi = 0 + (2*i - 1)*(1/2)*deltax
19 z = math.exp(-(xi**2 + yj**2 + zk**2))
20 E += z*deltaV
21
22 print(E)
Obtém-se E ≈ 0,4173.
Bons estudos!
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