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Curso Online: 
Robótica na Educação 
 
 
 
1 
 
 
Os três tipos de raciocínio lógico: dedução, indução e abdução.........................2 
Lógicas argumentativas: Preposições, negação, conjunção, disjunção, 
condicional, bicondicional....................................................................................5 
Operações lógicas...............................................................................................8 
Arranjos simples................................................................................................10 
Combinações simples........................................................................................11 
Tabela verdade..................................................................................................13 
Propriedades......................................................................................................16 
Análise combinatória..........................................................................................19 
A regra de três...................................................................................................21 
Referências bibliográficas..................................................................................25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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OS TRÊS TIPOS DE RACIOCÍNIO LÓGICO: 
DEDUÇÃO, INDUÇÃO E ABDUÇÃO 
 
 
 
Em lógica, pode-se distinguir três tipos de raciocínio lógico: dedução, indução e 
abdução. Dada uma premissa, uma conclusão, e uma regra segundo a qual 
a premissa implica a conclusão, eles podem ser explicados da seguinte forma: 
 
Dedução 
Corresponde a determinar a conclusão. Utiliza-se a regra e a 
sua premissa para chegar a uma conclusão, por exemplo: "Quando chove, a 
relva fica molhada. Hoje choveu, portanto a relva está molhada." É comum 
associar-se os matemáticos a este tipo de raciocínio. 
Método dedutivo é a modalidade de raciocínio lógico que faz uso 
da dedução para obter uma conclusão a respeito de determinadas premissas. 
O método dedutivo normalmente se contrasta com o Método indutivo 
Essencialmente, os raciocínios dedutivos se caracterizam por apresentar 
conclusões que devem, necessariamente, ser verdadeiras caso todas as 
premissas sejam verdadeiras e se o raciocínio respeitar uma forma lógica 
válida. 
Partindo de princípios reconhecidos como verdadeiros (premissa maior), o 
pesquisador estabelece relações com uma segunda proposição (premissa 
menor) para, a partir de raciocínio lógico, chegar à verdade daquilo que propõe 
(conclusão). 
Uma dedução é uma espécie de argumento no qual a forma lógica válida 
garante a verdade da conclusão se as premissas forem verdadeiras. Por 
exemplo: Temos duas premissas verdadeiras: 
"P1: Todos os homens são mortais." 
"P2: Sócrates é homem." 
https://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Premissa
https://pt.wikipedia.org/wiki/Conclus%C3%A3o
https://pt.wikipedia.org/wiki/Condicional_material
https://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_dedutivo
https://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tico
https://pt.wikipedia.org/wiki/Racioc%C3%ADnio
https://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Dedu%C3%A7%C3%A3o
https://pt.wikipedia.org/wiki/Premissa
https://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_indutivo
 
 
 
3 
 
Agora apresentemos uma forma lógica válida: 
"TODO x é y. 
z é x. 
Logo, z é y" 
Veja que as duas premissas obedecem a uma forma lógica válida. Se a 
conclusão for "Logo, Sócrates é mortal (Logo, z é y)", então temos uma 
dedução. 
 
 
Indução 
É determinar a regra. É aprender a regra a partir de diversos exemplos de 
como a conclusão segue da premissa. Exemplo: "A relva ficou molhada em 
todas as vezes que choveu. Então, se chover amanhã, a relva ficará molhada." 
É comum associar os cientistas a este estilo de raciocínio. 
Na lógica, método indutivo ou indução é o raciocínio que, após considerar um 
número suficiente de casos particulares, conclui uma verdade geral. A indução, 
ao contrário da dedução, parte de dados particulares da experiência sensível. 
De acordo com o indutivista, a ciência começa com a observação. A 
observação, por sua vez, fornece uma base segura sobre a qual o 
conhecimento científico pode ser construído, e o conhecimento científico é 
obtido a partir de proposições de observação por indução. Afirmações a 
respeito da construção do conhecimento rigorosas como esta sofrem de 
dificuldades quanto a sua validade, como demonstra o problema da indução. 
Raciocinar indutivamente é partir de premissas particulares, na busca de 
uma lei geral, universal, por exemplo: 
O ferro conduz eletricidade 
O ferro é metal 
O ouro conduz eletricidade 
O ouro é metal 
O cobre conduz eletricidade 
O cobre é metal 
https://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_indutivo
https://pt.wikipedia.org/wiki/Cientista
https://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica
https://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_dedutivo
https://pt.wikipedia.org/wiki/Experi%C3%AAncia_sens%C3%ADvel
https://pt.wikipedia.org/wiki/Problema_da_indu%C3%A7%C3%A3o
https://pt.wikipedia.org/wiki/Premissa
https://pt.wikipedia.org/wiki/Lei
 
 
 
4 
 
Logo os metais conduzem eletricidade. 
Os indutivistas acreditam que as explicações para os fenômenos advém 
unicamente da observação dos fatos. 
 
 
Abdução 
Significa determinar a premissa. Usa-se a conclusão e a regra para defender 
que a premissa poderia explicar a conclusão. Exemplo: "Quando chove, a relva 
fica molhada. A relva está molhada, então deve ter chovido." Associa-se este 
tipo de raciocínio aos médicos e detetives etc. 
A abdução é uma das três formas canónicas de inferência para estabelecer 
hipóteses científicas. As outras duas são a indução e a dedução. A abdução foi 
a noção que Charles Sanders Peirce adaptou, usando-a no suposto sentido 
aristotélico, e contemporaneamente é utilizada em pesquisas acadêmicas, 
principalmente na Semiótica e nas Ciências da Comunicação. 
A forma lógica é a seguinte: Tem-se observado B (um conjunto de dados ou 
factos) e A podendo explicar B. É provável que A esteja certo. Assim, a 
abdução é a inferência a favor da melhor explicação. A hipótese A, ao ser 
verdadeira, explica B. nenhuma outra hipótese pode explicar tão 
bem B como A. Logo, A é provavelmente verdadeira. 
Na abdução utilizam-se certos dados para se chegar a uma conclusão mais 
ampla, como acontece nas inferências da melhor explicação. 
Na abdução, o que está implicado não é uma função de verdade, mas antes 
uma relação de causalidade. A abdução estabelece a probabilidade da 
conclusão da inferência e não necessariamente a sua verdade. O facto de um 
conjunto de dados B poder ser o efeito da causa A, pode não permitir inferir 
categoricamente uma ilação de A sobre B, dado ser uma causa possível entre 
muitas outras. O mesmo efeito pode ser consequência de diferentes causas. 
 
 
 
 
 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Abdu%C3%A7%C3%A3o_(l%C3%B3gica_filos%C3%B3fica)
https://pt.wikipedia.org/wiki/Diagn%C3%B3stico_(medicina)
https://pt.wikipedia.org/wiki/Detetive
https://pt.wikipedia.org/wiki/Infer%C3%AAncia
https://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_indutivo
https://pt.wikipedia.org/wiki/Dedu%C3%A7%C3%A3o
https://pt.wikipedia.org/wiki/Charles_Sanders_Peirce
https://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Hip%C3%B3tese
 
 
 
5 
 
 
LÓGICAS ARGUMENTATIVAS: PROPOSIÇÕES, NEGAÇÃO, 
CONJUNÇÃO, DISJUNÇÃO, CONDICIONAL, BICONDICIONAL 
 
 
 
O termo falácia deriva do verbo latino fallere, que significa enganar. Designa-se 
por falácia um raciocínio errado com aparência de verdadeiro. Na lógica e 
na retórica, uma falácia é um argumento logicamente incoerente, sem 
fundamento, inválido ou falho na tentativa de provar eficazmente o que alega. 
Argumentos que se destinam à persuasão podem parecer convincentes para 
grande parte do público apesar de conterem falácias, mas não deixamde ser 
falsos por causa disso. 
 Por exemplo, se alguém diz: 
"O fogo é quente e sei disso por dois motivos: 
ele é vermelho; e 
medi sua temperatura com um termômetro". 
Nesse exemplo, foi de fato comprovado que o fogo é quente por meio da 
premissa 2. A premissa 1 deve ser descartada como falaciosa, mas a 
argumentação não está de todo destruída. O básico de um argumento é que a 
conclusão deve decorrer das premissas. Se uma conclusão não é 
consequência das premissas, o argumento é inválido. Deve-se observar que 
um raciocínio pode incorrer em mais de um tipo de falácia, assim como que 
muitas delas são semelhantes. 
 
 
Proposições 
São sentenças (frases) ou expressões matemáticas que possuem 
indentificações lógicas. 
p: Monique é modesta. 
q: Gusttavo é belga 
Valores Lógicos: 
V (Verdadeiro) 
F (Falso) 
https://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ret%C3%B3rica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Argumento
https://pt.wikipedia.org/wiki/Persuas%C3%A3o
https://pt.wikipedia.org/wiki/Temperatura
https://pt.wikipedia.org/wiki/Term%C3%B4metro
 
 
 
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Negação ( ; ~ ) 
 
 Não 
 Não p: Monique não é modesta. 
 q: Gusttavo não é belga 
 
(~p)/(~q) 
 
 
Conjunção (^) 
^ e 
p^q: Monique é modesta e Gusttavo é belga. 
 
 
Disjunção (v) 
v 
 
pv~q: Monique é modesta ou Gusttavo não é belga. 
 
 
Condicional ( ) 
 : Se ... então 
~p q: Se Monique não é modesta então Gusttavo é belga. 
 
ou 
 
 
 
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Bicondicional ( ) 
: Se e somente se 
 
p q: Monique é modesta se e somente se Gusttavo é belga. 
 
 
Equívoco: Usar uma afirmação com significado diferente do que seria 
apropriado ao contexto. 
Exemplo: Os assassinos de crianças são desumanos. Portanto, os humanos 
não matam crianças. 
Joga-se com os significados das palavras. A palavra "humanos" possui vários 
sentidos, pode ser um tipo de primata (sentido biológico) ou uma boa pessoa 
(sentido moral), mas a falácia usa a palavra sem considerar a diferença de 
sentido. 
 
Anfibologia: Ocorre quando as premissas usadas no argumento são 
ambíguas devido a sua má elaboração sintática. 
Exemplo: 
Venceu o Brasil a Argentina. 
Ele levou o pai ao médico em seu carro. 
1. Quem venceu? 2. No carro de quem? 
Nesse caso, toda a frase possui sentidos diversos a depender do contexto. 
 
Ênfase: Enfatizar uma palavra para sugerir o contrário. 
Exemplo: Hoje o capitão estava sóbrio (sugerindo embriaguez). 
Pronuncia-se a palavra "hoje" com muita força para sugerir que ele é um 
alcoólatra. 
É uma ironia. 
 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Anfibologia
https://pt.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lise_sint%C3%A1tica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Brasil
https://pt.wikipedia.org/wiki/Argentina
https://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%8Anfase_(fal%C3%A1cia)
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ironia
 
 
 
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OPERAÇÕES LÓGICAS 
 
 
Operações Lógicas são utilizadas a todo o momento nos nossos códigos de 
algoritmos. 
Utilizamos sempre que precisamos tomar decisões. Em um algoritmo ou 
programa, toda a decisão terá sempre como resposta o 
resultado Verdadeiro ou Falso. 
 
Em lógica binária, ocorrem apenas dois estados: 
Verdadeiro, representado pela letra V, ou pelo número 1. 
Falso, representado pela letra F, ou pelo número 0. 
A disjunção é uma operação que verifica a seguinte tabela de verdade: 
 
a b a ∨ b 
V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
 
ou de forma equivalente: 
 
 
 
 
https://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_bin%C3%A1ria
https://pt.wikipedia.org/wiki/Tabela_verdade
 
 
 
9 
 
Portanto pode ainda ser representada pela soma, que dá o mesmo resultado, 
se a e b forem 0 ou 1, excepto que se assume também "1+1=1" (ou seja, esta 
soma disjuntiva tem um significado algébrico de a∨b ≡ a + b - ab). 
Outra interpretação é a da lógica fuzzy, que generaliza pela equivalência com 
o máximo(a,b). 
A conjunção relaciona dois valores, mas usando o seu resultado podem ser 
feitas operações com mais valores. 
Com uma tabela de verdade pode demonstrar-se a propriedade associativa 
 é igual a 
e portanto neste caso basta escrever sem necessidade de 
parentesis, já que o resultado é o mesmo. 
 
A conjunção lógica tem diversas propriedades. Destacam-se: 
 
 (comutatividade) 
 (associatividade) 
 (leis de De Morgan) 
 (universalidade) 
 (a falsidade é o elemento neutro da disjunção) 
 (a verdade é o elemento absorvente da disjunção) 
 
 
 
Iguais Verdadeiro; Diferentes Falso. 
 
 
 
 
https://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_fuzzy
https://pt.wikipedia.org/wiki/Tabela_verdade
https://pt.wikipedia.org/wiki/Comutatividade
https://pt.wikipedia.org/wiki/Associatividade
https://pt.wikipedia.org/wiki/Teoremas_de_De_Morgan
 
 
 
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ARRANJOS SIMPLES 
 
 
 
Tipo de agrupamento 
n elemento, q a q 
 
 Formação de números 
 An, p = n! 
 (n-p)! 
 
Definimos permutações simples como sendo o número de maneiras de 
arrumar n elementos em n posições em que cada maneira se diferencia pela 
ordem em que os elementos aparecem. Aplicando o princípio da 
multiplicação obtemos a seguinte equação para permutações simples: 
 
Exemplo: Com a palavra AMOR, qual é a posição, em ordem crescente, 
ocupada pela palavra ROMA. 
A ___ ___ ___ P3=3!=6 
M ___ ___ ___ P3=3!=6 
O ___ ___ ___ P3=3!=6 
R A ____ ____ P2=2!=2 
R M ____ ____ P2=2!=2 
R O A ____ P1=1!=1 
R O M A P1=1!=1 
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COMBINAÇÕES SIMPLES 
 
 
Na combinação, a ordem em que os elementos são tomados não é importante. 
Quando a ordem não importa, mas cada elemento pode ser contado apenas 
uma vez, o número de combinações é o coeficiente binomial: 
 
 
 
Onde n é o total de elementos e r o número de elementos escolhidos. 
 
 
Quando a ordem não importa, mas cada objeto pode ser escolhido mais de 
uma vez, o número de combinações é: 
 
 
Onde n é o total de elementos e r o número de elementos escolhidos. 
 
 C = 10 . 9 . 8 . 7 = 210 
 4 . 3 . 2 . 1 
 
C = 1 
 
10,4 
3,3 
 
 
 
12 
 
 
O número é igual a 52! (ou seja, "cinquenta e dois fatorial"), que é o produto de 
todos os números naturais de 1 até 52. Pode parecer surpreendente o quão 
enorme é esse número, cerca de 8,065817517094 × 1067. Comparando este 
número com alguns outros números grandes, ele é maior que 
o quadrado do Número de Avogadro, 6,022 × 1023, quantidade equivalente a 
um mol". 
Análise combinatória é a área da matemática que estuda os problemas 
envolvendo a contagem na ocorrência de um determinado evento, sem a 
necessidade de reproduzirmos todas as possibilidades. 
É importante falarmos sobre fatorial pois na análise combinatória é comum o 
uso de fatorial nas fórmulas. 
Seja n um número natural, maior que 1, definimos fatorial de n como o produto 
de todos os números naturais de n até 1. 
Simbolicamente, o fatorial de n é: n! 
Então, n! = n(n – 1).(n – 2) . … . 3 . 2 . 1 
Exemplo: 
3! = 3 . 2 . 1 = 6 
10! = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 3.628.800 
 
O princípio fundamental da contagem nos permite definir uma regra de forma 
que possamos determinar o número de possibilidades de ocorrência de um 
evento, para que não precisamos reproduzir todas as possibilidades de 
ocorrência do evento. 
Então, vamos chamar de p o número de pares sapatos e c o número de cores 
disponível. Onde: 
p = 3; 
c = 2. 
Assim, fazendo o produto temos o total de possibilidadesque Maria possui 
para comprar 1 par de sapatos. 
p . c = 3 . 2 = 6 possibilidades 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fatorial
https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Avogadro
https://pt.wikipedia.org/wiki/Mol
https://matematicabasica.net/fatorial/
 
 
 
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TABELA VERDADE 
 
 
Tabela-verdade, tabela de verdade ou tabela veritativa é um tipo de tabela 
matemática usada em lógica para determinar se uma fórmula é válida ou se um 
sequente é correto. 
Uma tabela-verdade consiste em: 
uma linha em que estão contidos todas as subfórmulas de uma fórmula. Por 
exemplo, a fórmula ¬((A∧B)→C) tem o seguinte conjunto de subfórmulas: 
{ ¬((A∧B)→C) , (A∧B)→C , A∧B , A , B , C} 
 
L linhas em que estão todos possíveis valores que os termos podem receber e 
os valores cujas fórmulas moleculares tem dados os valores destes termos; 
o número destas linhas é L = nt , sendo n o número de valores que o sistema 
permite (sempre 2 no caso do cálculo proposicional clássico) e t o número de 
termos que a fórmula contém; assim, se uma fórmula contém 2 termos, o 
número de linhas que expressam a permutações entre estes será 4: um caso 
de ambos termos serem verdadeiros (V V), dois casos de apenas um dos 
termos ser verdadeiro (V F , F V) e um caso no qual ambos termos são falsos 
(F F). Se a fórmula contiver 3 termos, o número de linhas que expressam a 
permutações entre estes será 8: um caso de todos termos serem verdadeiros 
(V V V), três casos de apenas dois termos serem verdadeiros (V V F , V F V , F 
V V), três casos de apenas um dos termos ser verdadeiro (V F F , F V F , F F 
V) e um caso no qual todos termos são falsos (F F F). 
 
Negação 
A negação da proposição "A" é a proposição "~A", de maneira que se "A" é 
verdade então "~A" é falsa, e vice-versa. 
Obs.: Usando o Excel, tal proposição pode ser expressado da seguinte 
maneira: =NÃO(C1;C2) 
 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Tabela_matem%C3%A1tica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Tabela_matem%C3%A1tica
https://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica
https://pt.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula
https://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_proposicional
 
 
 
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Conjunção 
A conjunção é verdadeira se e somente se ambos os operandos são 
verdadeiros. 
Obs.: Usando o Excel, tal proposição pode ser expressado da seguinte 
maneira: =E(C1;C2) 
 
Disjunção 
A disjunção é falsa se, e somente se ambos os operandos forem falsos. 
Obs.: Usando o Excel, tal proposição pode ser expressado da seguinte 
maneira: =OU(C1;C2) 
 
Disfunção 
A disfunção é necessariamente falsa, independente dos operando. 
 
Condicional (se... então) 
A condicional é falsa se, e somente se, o primeiro operando é verdadeiro e o 
segundo operando é falso. 
 
Bicondicional (se e somente se) 
A bicondicional é verdadeira se, e somente se, ambos operandos forem falsos 
ou ambos verdadeiros. Trata-se de um detetor de igualdade. 
 
Disjunção exclusiva (OU EXCLUSIVO... ou XOR) 
A disjunção exclusiva é verdadeira se, e somente se, apenas um dos 
operandos for verdadeiro. Trata-se de um detetor de desigualdades. 
 
Adaga de Quine (NOR) 
A Adaga de Quine (negação da disjunção) é verdadeira se e somente se os 
operandos são falsos. 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Microsoft_Excel
 
 
 
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(A∧B) ≡ ¬(B→¬A) ≡ ¬(¬A∨¬B) ≡ (¬A↓¬B) 
A B ¬A ¬B A∧B B→¬A ¬(B→¬A) (¬A↓¬B) 
V V F F V F V f 
V F F V F V F F 
F V V F F V F F 
F F V V F V F F 
 
(A→B) ≡ ¬(A∧¬B) ≡ (¬A∨B) ≡ ¬(¬A↓B) 
A B ¬A ¬B A→B A∧¬B ¬(A∧¬B) ¬A∨B 
V V F F V F V V 
V F F V F V F F 
F V V F V F V V 
F F V V V F V V 
 
(A∨B) ≡ ¬(¬A∧¬B) ≡ (¬A→B) ≡ ¬(A↓B) 
A B ¬A ¬B ¬A∧¬B ¬(¬A∧¬B) ¬A→B ¬(A↓B) 
V V F F F V V V 
V F F V F V V V 
F V V F F V V V 
F F V V V F F F 
 
 
 
 
 
 
16 
 
 
PROPRIEDADES 
 
 
 
Em matemática , uma propriedade é qualquer característica que se aplica a um 
determinado conjunto. 
Rigorosamente, uma propriedade p definida para todos os elementos de um 
conjunto X é geralmente definida como uma função p : X → {true, false}, que é 
verdadeira sempre que a propriedade é válida; ou equivalentemente, como o 
subconjunto de X para o qual p é válido; ou seja, o conjunto { x | p ( x ) = 
verdadeiro}; p é sua função indicadora . No entanto, pode-se objetar que a 
definição rigorosa define apenas a extensão de uma propriedade e não diz 
nada sobre o que faz com que a propriedade mantenha exatamente esses 
valores. 
 
Exemplos de propriedades incluem a propriedade 
comutativa de números reais e complexos e a propriedade distributiva . 
 
 
Em matemática , uma operação binária é comutativa se alterar a ordem 
dos operandos não alterar o resultado. É uma propriedade fundamental de 
muitas operações binárias , e muitas provas matemáticas dependem 
disso. Mais conhecido como o nome da propriedade que diz "3 + 4 = 4 + 
3" ou "2 × 5 = 5 × 2" , a propriedade também pode ser usada em configurações 
mais avançadas. O nome é necessário porque existem operações, 
como divisão e subtração , que não o possuem (por exemplo, "3 - 5 ≠ 5 - 
3" ); tais operações não sãocomutativas e, portanto, são chamadas 
de operações não comutativas . A idéia de que operações simples, como 
a multiplicação e adição de números, são comutativas foi assumida por muitos 
anos implicitamente. Assim, essa propriedade não foi nomeada até o século 
XIX, quando a matemática começou a se formalizar. 
Existe uma propriedade correspondente para relações binárias ; uma relação 
binária é considerada simétrica se a relação se aplicar independentemente da 
https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematics
https://en.wikipedia.org/wiki/Indicator_function
https://en.wikipedia.org/wiki/Extension_(semantics)
https://en.wikipedia.org/wiki/Commutative_property
https://en.wikipedia.org/wiki/Commutative_property
https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_number
https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_number
https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_number
https://en.wikipedia.org/wiki/Distributive_property
https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematics
https://en.wikipedia.org/wiki/Binary_operation
https://en.wikipedia.org/wiki/Operand
https://en.wikipedia.org/wiki/Binary_operations
https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_proof
https://en.wikipedia.org/wiki/Division_(mathematics)
https://en.wikipedia.org/wiki/Subtraction
https://en.wikipedia.org/wiki/Multiplication_(mathematics)
https://en.wikipedia.org/wiki/Addition
https://en.wikipedia.org/wiki/Binary_relation
https://en.wikipedia.org/wiki/Symmetric_relation
 
 
 
17 
 
ordem de seus operandos; por exemplo, igualdade é simétrica, pois dois 
objetos matemáticos iguais são iguais, independentemente de sua ordem. 
Em matemática , a propriedade distributiva das operações binárias generaliza 
a lei distributiva da álgebra booleana e álgebra elementar . Na lógica 
proposicional , a distribuição se refere a duas regras válidas de 
substituição . As regras permitem reformular conjunções e disjunções dentro 
de provas lógicas . 
Por exemplo, em aritmética: 
 
2 ⋅ (1 + 3) = (2 ⋅ 1) + (2 ⋅ 3), mas 2 / (1 + 3) ≠ (2/1) + (2/3) 
 
No lado esquerdo da primeira equação, o 2 multiplica a soma de 1 e 3; no lado 
direito, multiplica o 1 e o 3 individualmente, com os produtos adicionados 
posteriormente. Como estas fornecem a mesma resposta final (8), diz-se que a 
multiplicação por 2 distribui a adição de 1 e 3. Dado que alguém poderia 
colocar quaisquer números reais no lugar de 2, 1 e 3 acima, e ainda assim 
obter uma equação verdadeira, a multiplicação de números reais 
é distribuída pela adição de números reais. 
 
A multiplicação de números ordinais , por outro lado, é apenas distributiva à 
esquerda, e não à direita. 
O produto cruzado é distribuído à esquerda e à direita sobre a adição de 
vetores , embora não seja comutativo. 
A união de conjuntos é distributiva por interseção , e a interseção é distributiva 
por união. 
A disjunção lógica ("ou") é distributiva sobre a conjunção lógica ("e") e vice-
versa. 
Para números reais(e para qualquer conjunto totalmente ordenado ), a 
operação máxima é distributiva sobre a operação mínima e vice-versa: max 
( a , min ( b , c )) = min (max ( a , b ), max ( a , c )) e min ( a , max ( b , c )) = 
max (min ( a , b ), min ( a , c )) . 
Para números inteiros , o maior divisor comum é distributivo sobre o múltiplo 
menos comum e vice-versa: gcd ( a , lcm ( b , c )) = lcm (gcd ( a , b ), gcd 
( a , c )) e lcm ( a , gcd ( b , c )) = gcd (lcm ( a , b ), lcm ( a , c )) . 
https://en.wikipedia.org/wiki/Equality_(mathematics)
https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematics
https://en.wikipedia.org/wiki/Binary_operation
https://en.wikipedia.org/wiki/Boolean_algebra_(structure)
https://en.wikipedia.org/wiki/Elementary_algebra
https://en.wikipedia.org/wiki/Propositional_calculus
https://en.wikipedia.org/wiki/Propositional_calculus
https://en.wikipedia.org/wiki/Rule_of_replacement
https://en.wikipedia.org/wiki/Rule_of_replacement
https://en.wikipedia.org/wiki/Rule_of_replacement
https://en.wikipedia.org/wiki/Rule_of_replacement
https://en.wikipedia.org/wiki/Logical_conjunction
https://en.wikipedia.org/wiki/Logical_disjunction
https://en.wikipedia.org/wiki/Formal_proof
https://en.wikipedia.org/wiki/Arithmetic
https://en.wikipedia.org/wiki/Real_number
https://en.wikipedia.org/wiki/Multiplication
https://en.wikipedia.org/wiki/Addition
https://en.wikipedia.org/wiki/Ordinal_arithmetic#Multiplication
https://en.wikipedia.org/wiki/Ordinal_number
https://en.wikipedia.org/wiki/Cross_product
https://en.wikipedia.org/wiki/Vector_addition
https://en.wikipedia.org/wiki/Vector_addition
https://en.wikipedia.org/wiki/Union_(set_theory)
https://en.wikipedia.org/wiki/Intersection_(set_theory)
https://en.wikipedia.org/wiki/Logical_disjunction
https://en.wikipedia.org/wiki/Logical_conjunction
https://en.wikipedia.org/wiki/Real_number
https://en.wikipedia.org/wiki/Totally_ordered_set
https://en.wikipedia.org/wiki/Integer
https://en.wikipedia.org/wiki/Greatest_common_divisor
https://en.wikipedia.org/wiki/Least_common_multiple
https://en.wikipedia.org/wiki/Least_common_multiple
 
 
 
18 
 
Para números reais, a adição é distribuída na operação máxima e também na 
operação mínima: a + max ( b , c ) = max ( a + b , a + c ) e a + min ( b , c ) = 
min ( a + b , a + c ) . 
Para multiplicação binomial , a distribuição às vezes é chamada de FOIL 
Method [2] (Primeiros termos ac , Outer ad , Inner bc e Last bd ), como: ( a + b ) 
· ( c + d ) = ac + ad + bc + bd . 
A multiplicação polinomial é distributiva sobre a adição polinomial. 
A multiplicação de números complexos é distributiva: 
 
 
Comutatividade é uma propriedade de operações binárias, ou de ordem mais 
alta, em que a ordem dos operandos não altera o resultado final. 
Por mais que a noção comum de aritmética possam sugerir que esta 
propriedade seja óbvia, ela é importante para organizar os tipos de operações 
de grupos de acordo a propriedade de comutatividade ou não. E mesmo na 
aritmética existem exemplos de operações que não são comutativas, como 
a subtração e divisão. 
Dado um conjunto qualquer S e um operação binária f, dizemos que f é 
comutativa se: 
 
 
A notação matemática mais comum para operações binárias é através de um 
símbolo gráfico entre os dois operandos, por exemplo, escreve-se: 
 
 
Usando esta notação, a definição de comutatividade fica: 
 
 
 
https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_(polynomial)
https://en.wikipedia.org/wiki/Distributive_property#cite_note-2
https://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial
https://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial
https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_number
https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_number
https://pt.wikipedia.org/wiki/Subtra%C3%A7%C3%A3o
https://pt.wikipedia.org/wiki/Divis%C3%A3o
https://pt.wikipedia.org/wiki/Opera%C3%A7%C3%A3o_bin%C3%A1ria
 
 
 
19 
 
 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
 
 
Segundo Wieleitner o problema mais antigo que se relaciona com a teoria dos 
números e com a Análise Combinatória, é o da formação dos quadrados 
mágicos. Chamamos de quadrados mágicos (de ordem n) um arranjo de 
números 1,2,3...n2 em um quadrado n n de forma que cada linha, coluna e 
diagonal deste quadrado possua a mesma soma. Como vemos abaixo: 
 
 
 
O primeiro quadrado mágico conhecido é o Lo Shu, que segundo Needham 
(1959) data do século I d.C., mas que pode ser tão antigo a ponto de ter sido 
escrito por volta de 2000 a.C. (Berge, 1971): 
 
 
 
 
 
 
20 
 
Este diagrama está associado às nove salas do palácio mítico de Ming Thang, 
onde vários ritos eram realizados, sendo que a substituição destes símbolos 
por números inteiros determina o famoso quadrado mágico denominado 
Saturn. Este quadrado causava uma grande fascinação para a maioria das 
pessoas, pois nesta época, mesmo a mais simples aritmética era algo 
espantoso. Acredita-se que a idéia dos quadrados mágicos foi transmitida 
pelos chineses para os árabes, que fizeram grandes contribuições e 
construíram quadrados maiores que o antigo Lo Shu. 
 
É um ramo da Matemática que permite que se escolha, arrume e conte o 
número de elementos de determinado conjunto, sem que haja necessidade de 
enumerá-los. Cada um desses problemas é um desafio para os alunos, pois 
exige flexibilidade de pensamento: é necessário parar, concentrar, discutir e 
pensar para poder resolvê-los. As operações combinatórias são essenciais 
para o desenvolvimento cognitivo, por isso seria de extrema importância que o 
aluno tivesse contato com esse tópico desde os primeiros anos da escola 
básica, para familiarizar-se com problemas de contagem, descrevendo os 
casos possíveis e contando-os através de uma representação por ele 
escolhida, sem regras em princípio, de modo que ele adquirisse um método 
sistemático e gradativo para a resolução dos problemas, visando uma posterior 
formalização no ensino médio. 
 
Espaço amostral: Conjunto de todos os possíveis resultados. 
(Experimento aleatório) 
 
Evento: Qualquer subconjunto do espaço amostral. 
 
Exemplo: De um trabalho de 52 Cartas tira-se ao acaso uma das cartas. 
Determine a probabilidade: 
a) Uma dama; 
b) Uma dama de paus; 
c) Uma carta de ouros. 
52 Cartas = 13 Copas; 13 Ouros; 13 Espadas; 13 Paus. 
Resposta: a) P= 4/52 = 1/3; b) P= 1/52; c) P= 13/52 = ¼ 
 
 
 
21 
 
 
 
A REGRA DE TRÊS 
 
 
A regra de três, na matemática, é uma forma de se descobrir uma quantidade 
que tenha para outra conhecida a mesma relação que têm entre si entre outros 
dois valores numéricos conhecidos. Existem dois tipos de regra de três: 
simples e composta. 
Serve para se descobrir um único valor a partir de outros três. Relacionam-se 
quatro valores, divididos em dois pares de 
mesma grandeza e unidade interdependentes e relacionadas. 
Matematicamente, são o primeiro par de mesma grandeza e unidade, 
e são o segundo par, também de mesma grandeza e unidade. 
 
Se as grandezas associadas forem GDP (grandezas diretamente 
proporcionais), deve-se usar a relação de proporção direta: 
 
 
 
Se as grandezas forem GIP (grandezas inversamente proporcionais), deve-se 
usar a relação de proporção inversa: 
 
 
Regra de 3 Composta: É usada quando para se descobrir um valor, não basta 
utilizar no cálculo apenas três dos valores dados. 
 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Grandeza
https://pt.wikipedia.org/wiki/Unidade_de_medida
https://pt.wikipedia.org/wiki/Propor%C3%A7%C3%A3o_direta
https://pt.wikipedia.org/wiki/Propor%C3%A7%C3%A3o_direta
https://pt.wikipedia.org/wiki/Propor%C3%A7%C3%A3o_inversa
 
 
 
22 
 
A regra de três simples é usada para encontrar um quarto valor que não 
conhecemos, desde que conheçamos apenas três dos valores no problema. 
 
Diretamente proporcional 
Se as grandezas forem diretamente proporcionais montamos 
uma proporção em que um dos valores abaixo é desconhecido, assim: 
 
 
 
 
Inversamente proporcional 
Se as grandezas forem inversas, então montamos uma dasproporções, sendo 
um dos valores a incógnita, assim: 
 
 
Como é inversamente proporcional invertemos uma das razões, depois 
calculamos para achar o valor desconhecido. 
 
 
 
 
 a1.b2 = a2.b1 
 
https://matematicabasica.net/razao-e-proporcao/
 
 
 
23 
 
 
Essas setas guias servem para você lembrar que tem que fazer a inversão de 
uma das razões na proporção para não errar no cálculo e encontrar uma 
resposta diferente. Feito a inversão temos a seguinte proporção: 
 
 
Resolva o problema para encontrar o valor de x. 
 
 
Logo, para encher o tanque com apenas 4 torneiras precisaremos de 33 
minutos. 
Veja que multiplicamos a proporção em forma de cruz para encontrar o valor 
de x. Esse valor desconhecido resolve o problema proposto. 
 
 
 
 
 
24 
 
 
 
 
 
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Referências Bibliográficas 
 
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Disponível em: 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Racioc%C3%ADnio_l%C3%B3gico 
 
Wikipédia, a enciclopédia livre.Método dedutivo. 
Disponível em: 
https://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_dedutivo 
 
Wikipédia, a enciclopédia livre.Método indutivo. 
Disponível em: 
https://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_indutivo 
 
Wikipédia, a enciclopédia livre.Abdução (lógica filosófica). 
Disponível em: 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Abdu%C3%A7%C3%A3o_(l%C3%B3gica_filos%C3
%B3fica) 
 
Wikipédia, a enciclopédia livre.Falácia. 
Disponível em: 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fal%C3%A1cia 
 
Ingrid Carvalho.Operações Lógicas. 
Disponível em: 
 
 
 
26 
 
https://medium.com/@ingrid.carvalho.mo/opera%C3%A7%C3%B5es-
l%C3%B3gicas-c9e4c4e7ab0c 
 
Wikipédia, a enciclopédia livre.Disjunção lógica. 
disponível em: 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Disjun%C3%A7%C3%A3o_l%C3%B3gica 
 
Wikipédia, a enciclopédia livre.Combinatória. 
Disponível em: 
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Matemática Básica. Análise Combinatória: Fórmulas e Resumo. 
Disponível em: 
https://matematicabasica.net/analise-combinatoria/ 
 
Wikipédia, a enciclopédia livre.Tabela-verdade. 
Disponível em: 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Tabela-verdade 
 
Wikipédia, a enciclopédia livre.Propriedade comutativa. 
Disponível em: 
https://en.wikipedia.org/wiki/Commutative_property 
 
Wikipédia, a enciclopédia livre. Propriedade (matemática). 
Disponível em: 
https://en.wikipedia.org/wiki/Property_(mathematics) 
 
 
 
27 
 
 
Wikipédia, a enciclopédia livre.Propriedade distributiva. 
Disponível em: 
https://en.wikipedia.org/wiki/Distributive_property 
 
Wikipédia, a enciclopédia livre.Comutatividade. 
Disponível em: 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Comutatividade 
 
Cristiane Maria Roque Vazquez.UNESP - Rio Claro.Fabiane Cristina Höpner 
Noguti.UNESP - Rio Claro. 
Disponível em: 
http://www.sbem.com.br/ 
 
Wikipédia, a enciclopédia livre.Regra de três. 
Disponível em: 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Regra_de_tr%C3%AAs 
 
Matemática Básica. Regra de Três Simples: Direta e Inversa. 
Disponível em: 
https://matematicabasica.net/regra-de-tres-simples/