Aula 7 - FT II - 2016 2

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Condução em superfícies 
estendidas
COEQ 0033 - Fenômenos de 
Transporte II
Profª. Drª. Audirene Amorim Santana Paixão
• O que são superfícies estendidas?
Pra que são usadas as superfícies estendidas?
Aletas
• Uma superfície estendida é um sólido no qual a
condução é assumida como unidimensional,
enquanto o calor também é transferido da
superfície por convecção e/ou radiação na
direção transversal à da condução.
•Qual a direção 
da condução?
•E da convecção?
• Uma superfície estendida é um sólido no qual a
condução é assumida como unidimensional,
enquanto o calor também é transferido da
superfície por convecção e/ou radiação na
direção transversal à da condução.
•Por que a 
condução não é 
de fato 
unidimensional?
•Quando a 
aproximação é 
válida?
• Embora a condução de calor no interior da
superfície seja, de fato, bidimensional; na
prática, quando a superfície estendida é fina
a variação de temperatura na direção
longitudinal é muito maior do que aquelas
nas direções normais.
• As superfícies estendidas também são
conhecidas como sistemas combinados
condução-convecção
• A aplicação mais frequente compreende a
utilização de uma superfície estendida para,
especificamente, aumentar a taxa de
transferência de calor entre um sólido e um
fluido adjacente  Aleta
•Para a superfície 
ao lado, se Ts é 
fixa, como 
aumentar q (taxa 
de transferência 
de calor)?
• Aumentando h (pode ser feito aumentando a
velocidade do fluido) Por quê?
• Diminuindo T
• Aumentando a área superficial através da
qual ocorre a transferência de calor por
convecção.
• Aletas são particularmente úteis quando h é
pequeno (o fluido é um gás e a convecção é
natural).
• Configurações típicas de aletas: a) aleta
plana, seção reta uniforme; b) aleta plana,
seção reta não uniforme; c) aleta anular; d)
aleta em forma de pino, seção reta não –
uniforme.
Aletas de seção transversal (ou reta) uniforme
• Nestas aletas a área de seção transversal não
varia com a posição na direção de condução.
•As duas têm 
área de seção 
transversal 
uniforme?
Aletas de seção transversal (ou reta) uniforme
• Nestas aletas a área de seção transversal não
varia com a posição na direção de condução.
• Assumindo condução unidimensional,
estacionária, k=constante, área de seção
transversal constante, sem geração de calor e
radiação desprezível, a equação da aleta tem
a forma:
– P: perímetro da aleta
– Ac: área da seção transversal, que neste caso não 
varia com x
  0TT
kA
hP
dx
Td
c
2
2
 
•Como esta equação 
foi obtida?
• Fazendo um balanço de energia para um
volume de controle de uma superfície
estendida, considerando transferência de
calor por condução na direção x e
transferência por convecção na direção
transversal  dedução no Incropera!
• Porque não podemos usar
a equação do calor?
• Porque ela foi deduzida considerando a
aplicação da conservação de energia em um
volume de controle através do qual a energia
é transferida exclusivamente por condução.
• Quem são o perímetro e a área de seção
transversal das aletas?
  0TT
kA
hP
dx
Td
c
2
2
 
• Fazendo:
e definindo uma temperatura reduzida T-
T, temos uma equação diferencial linear
homogênea:
  0TT
kA
hP
dx
Td
c
2
2
 
c
2
kA
hP
m 
0m
dx
d 2
2
2


• Sua solução é:
• Para avaliar c1 e c2 precisamos das condições
de contorno.
mx
2
mx
1 ecec)x(

• Qual a condição de contorno na base da 
aleta?
(x)=T-T
(0)=?
• Na base da aleta (x=0) 
bb TT)0(  
• Na extremidade da aleta (x=L) temos 4
situações possíveis:
A- Convecção na
extremidade
(qcond= qconv)
• Convecção na extremidade:
 
)L(h
dx
d
k
T)L(ThA
dx
dT
kA
Lx
c
Lx
c







B- Superfície 
adiabática (perda de 
calor na 
extremidade 
desprezível)
• Extremidade adiabática
0
dx
d
dx
dT
LxLx




C- Temperatura 
conhecida na 
extremidade da 
aleta
(L)=L
D- Aleta infinita 
(L)
(L)=0
•Qual a temperatura 
na extremidade da 
aleta? Por quê?
• As distribuições de temperatura e taxas de
transferência de calor para cada caso são
dadas na tabela 3.4 do Incropera
Parâmetros de desempenho da aleta
• Efetividade da aleta: razão entre a
transferência de calor com aleta e se não
houvesse aleta
?
qa
a 
bb,c
a
a
hA
q


•Ac,b : área da seção transversal na base
•qa : taxa de transferência de calor com a aleta (Tabela
3.4 do Incropera).
• Em geral o uso de aletas é justificado quando 
a 2
• Se as aletas estão em uma superfície que
separa um gás de um líquido, em geral estão
colocadas do lado do gás, onde h é menor.
• No caso da aleta de comprimento infinito:
?
hA
q
bb,c
a
a 


cb
b
2
c
2
c
bb,c
bc
a
hA
kP
Ah
hPkA
hA
hPkA







Se a área transversal é uniforme, Ac,b=Ac
• O que acontece com a efetividade quando h
diminui?
c
a
hA
kP

• a  quando h  (quando o fluido é gás e/ou a 
convecção é natural)
• O que acontece com a efetividade quando k
aumenta?
c
a
hA
kP

• a  quando k 
• a  quando P/Ac  (melhor usar aletas finas)
c
a
hA
kP

w=6 mm e t=2 mm
P/Ac=1.33
w=6 mm e t=0.5 
mm
P/Ac=4.33
• A equação que deduzimos fornece o limite
máximo para a efetividade, que é alcançado
quando L.
c
a
hA
kP

• Não é necessário usar aletas muito longas
para chegar próximo ao limite máximo da
melhora da transferência de calor. Uma aleta
de comprimento infinito não troca calor pela
extremidade, já que T(L)=T∞. Logo, também é
adiabática.
• Como determinar o
comprimento necessário
para a aleta ser considerada
infinita?
qa (superfície adiabática)=qa (L)
 
  1mLtanh
MmLtanhM


 )1(harctanmL
L
• Mas, podemos imaginar que se
tanh(mL)=0.99, temos 99% da transferência
de calor máxima. Nesta condição:
mL=arc tanh(0.99)=2.65
• Assim, não faria sentido fazer aletas maiores 
que L=2.65/m, onde 
ckA
hP
m 
• Para uma aleta em forma de pino com D=5
mm, k=180 W/mK e exposta a um fluido com
h=100 W/m2K só precisa ter 0.19 m para ser
considerada de comprimento infinito (ver
exemplo 3.8 do Incropera)
 
m19.0m/65.2L
2.14
4/105398
105100
kA
hP
m
23
3
c







Eficiência da aleta:
• O potencial motriz máximo para convecção é 
b=Tb-T.
•Por quê?
• A taxa máxima na qual uma aleta pode
dissipar energia é a que existiria se toda a
superfície da aleta estivesse na temperatura
da base.
• Como a aleta tem uma resistência condutiva,
há um gradiente de temperatura ao longo da
aleta
• Uma definição para a eficiência da aleta é,
então:
ba
a
max
a
a
hA
q
q
q


•Aa é a área da superfície
da aleta para convecção.
•A eficiência da aleta aumenta conforme a
condutividade do material da aleta aumenta.
• Para uma aleta plana de seção transversal
uniforme e extremidade adiabática:
 
bba
a
a
hPL
mLtanhM
hA
q





   
mL
mLtanh
hPL
mLtanhhPkA
b
bc
a 



• Em geral, ao invés de usar uma expressão
para a transferência de calor de uma aleta
com extremidade ativa (mais complexa),
estimativas aproximadas, porém precisas,
podem ser obtidas pelo resultado para uma
aleta com extremidade adiabática com um
comprimento corrigido para a aleta:
• Aleta retangular: 
• Aleta em forma de pino: 
)2/t(LLc 
)2/D(LLc 
• Logo, com convecção na extremidade a taxa
pode ser escrita como:
• E a eficiência como:
 
 
mL
mLtanh
)adiabática(
mLtanhM)adiabática(q
a
a


 
ca mLtanhMq 
 
c
c
a
mL
mLtanh

• Os erros associados a esta aproximação são
desprezíveis se ht/k ou hD/2k  0.0625.
• Podemos definir uma resistência térmica
para as aletas em termos da sua eficiência:
aabaa
b
maxa
b
a
b
a,t
hA
1
hAqqq
T
R












max
a
a
q
q

Aletas com área de seção transversal 
não uniforme
• Neste caso a área normal à direção de
condução de calor varia com a posição.
• Quais na figura?
• A equação da aleta émais complicada e a
distribuição de temperatura é uma equação
em termos de funções de Bessel, tabeladas
no apêndice B do Incropera.
• A tabela 3.5 do Incropera mostra as
expressões de eficiência para as formas mais
comuns de aleta. Os resultados para aletas
com diâmetro ou espessura uniformes foram
obtidos considerando extremidades
adiabáticas e os efeitos da convecção (se
houver) podem ser considerados pela
utilização do comprimento corrigido Lc.
Superfícies Aletadas
Aletas retangulares aletas circulares
• Neste caso, a área total de transferência de 
calor é calculada como:
• A taxa total de transferência de calor é:
bat ANAA 
nº de
aletas
área de
uma 
aleta
área da 
base 
exposta
(superfície 
primária)
 
ba
t
a
tbbbaat 1
A
NA
1hAhAhANq
aleta
uma de q








max
a
a
q
q

• A eficiência global da superfície é definida
como:
• Logo,
• E:
bt
t
max
t
o
hA
q
q
q


 
ba
t
a
tt 1
A
NA
1hAq 






 
a
t
a
o 1
A
NA
1 
btot hAq 
• Da definição de resistência:
• Qual a resistência?
t
b
t
qq
T
R



 btot
hAq 
• Resistência efetiva da superfície aletada:
• Rt,o é a resistência efetiva que leva em
consideração os caminhos paralelos do fluxo
de calor por condução e convecção nas aletas
e por convecção a partir da superfície
primária.
• Por que paralelos?
tot
b
o,t
hA
1
q
R




• Circuitos térmicos correspondentes aos
caminhos paralelos e sua representação em
termos da resistência efetiva
bbbaat hAhANq
aleta
uma de q


bat ANAA  btot hAq 
• Considere uma parede plana de 0.3 m de altura e 0.1 m
de largura, com temperatura de 200°C, exposta ao ar
ambiente a 27°C, com coeficiente de convecção 50
W/m2 K. Com o objetivo de aumentar a troca de calor
com o ambiente, são colocadas 10 aletas planas
retangulares nesta superfície, conforme a figura abaixo:
•As aletas têm
espessura t=6 mm e
comprimento L=0.1
m. A condutividade
do material com que
as aletas são feitas é
k=180 W/m K.
(a) Você poderia considerar que as aletas têm 
comprimento infinito? Por quê? 
(b) Qual o aumento na transferência de calor 
causado pelo uso das aletas?