Apostila Filtros Passivos

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Filtros Passivos 1 
F i l t r os P as s ivos 
 
 O f i l t r o é um circuito que permite a passagem de s inais apenas em 
determinadas freqüências . Ele pode ser clas s ificado em: 
 
• Filtro Pas sa Baixas (F.P.B.) 
• Filtro Pas sa Altas (F.P.A.) 
• Filtro Pas sa Faixa (F.P.F.) 
• Filtro Rejeita Faixa (F.R.F.) 
 
Os filtros são cons iderados pas s ivos quando são formados apenas por 
dispos itivos pas s ivos , como res is tores , capacitores e indutores . Outra caracter ís tica 
dos fi ltros pas s ivos é o fato de o ganho de tensão ser sempre menor ou igual a 1 
(ou 0db), já que não pos suem nenhum dispos itivo ativo capaz de amplificar os 
s inais . 
 
 
F i l t r o P as s a B aixas – F .P .B . 
 
 Um filtro pas sa baixas (F.P.B.) ideal tem uma curva de respos ta em 
frequência como mostrada na figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cur va de R es pos t a em F r equência do F i l t r o 
P as s a B aixas I deal 
 
 
 Para as freqüências abaixo da freqüências de cor te (ù c), o ganho é igual a 
um, is to é, a tensão de saída é igual a tensão de entrada. Para freqüências acima 
da frequência de cor te, o ganho é zero, is to é a tensão de saída será nulo. Porém, 
na prática, não é pos s ível cons truir - se um fi ltro com um cor te tão brusco na 
respos ta em frequência. 
 
F i l t r o P as s a B aixas com Cir cuit o R L 
 
 O circuito RL sér ie, como mos trado abaixo, funciona como um filtro passa 
baixas , pois nas baixas freqüências , o indutor comporta- se como uma res is tência 
baixa (XL < < R), fazendo com que a maior par te da tensão recaia sobre o res is tor 
de saída. 
 Já nas freqüências altas , o indutor comporta- se como uma res is tência alta 
(XL > > R), fazendo com que a tensão no res is tor de saída seja muito pequena. 
 
 
 
 
 
 
A
v 
0 
 
ùc ù 
Filtros Passivos 2 
 
 
 
 
 
 
 
F i l t r o P as s a B aixas com Ci r cui t o R L 
 Nes te circuito, a expres são da tensão de saída Vs (tensão no res is tor ) em 
função da tensão de entrada VE é dada por : 
 
EVLJR
⋅
+
=
ω
R
Av
 
Des ta forma, o ganho de tensão des te filtro é: 
 
LJRV
Vs
E ω+
== RAv 
 
Dividindo-se o numerador e o denominador por R, tem-se: 
 




+
=
R
L
j
ω
1
1
A V 
 
 A expres são do ganho de tensão des te fi ltro pode ser apresentada em função 
de sua frequência de cor te: 
 
Ganho de T ensão: 




+
=
c
j
ω
ω
1
1
A V Frequência de Cor te: L
R
C =ω 
 
Como podemos observar , o ganho de tensão é um número complexo e , 
por tanto, pos sui um módulo e fase. As s im, o ganho de tensão será representado 
gener icamente por um número complexo na forma AV = AV á 
 
 As expressões do módulo e da fase do ganho de tensão em função da frequência são 
dadas por: 
 
 Módulo: 
2
C
V
)(1
1
A
ω
ω+
= Fase: 
C
arctg
ω
ωα −= 
 
 A partir da expressão do módulo do ganho em função da freqUência, pode-se esboçar a 
curva de resposta em frequência AV x ù deste filtro, cons iderando-se que: 
 
 
 
VE VS 
L 
R 
Filtros Passivos 3 
 
 
 
 
 
 
 
ù =0 ◊ AV = 1 
 
ù = ù C ◊ 707,0
2
1
A V ==
 
0→⇒∞→ Avω
 
 
Resposta em Frequência do F.P.B. (Módulo) 
 
 
Obs er vação: 
 
 A freqüência de cor te é também conhecida como frequência de meia potência, 
pois é nes sa frequência que a potência de saída é a metade da potência de entrada. 
 
 A par tir da expressão da fase do ganho em função da frequência, pode- se 
esboçar o gráfico á x ù , cons iderando-se que: 
 
 
 
 
 
 
ù =0 ◊ -arctg 0 = 0° 
 
ù = ù C ◊ á = -arctg 1 = -45º 
 
°−→⇒∞→ 90αω
 
 
 
A curva de respos ta em frequência (Módulo) des te fi ltro pode, também, ser dada 
em decibel(dB), calculando-se o módulo do ganho de tensão por : 
 
 AV(dB) = 20.log AV 
As s im: 
ù =0 ◊ AV (dB) = 20.log 1 = 0dB 
 
ù = ù C ◊ dBdB 3
2
1
log.20)(A V −==
 dBdBAv
C
C
C 20
100
1
log.20
10
1
1
log.20)(.10
2
−=≅




+
=⇒=
ω
ω
ωω
 
dBdBAv
C
C
C 40
100
1
log.20
100
1
1
log.20)(.100
22
−=≅




+
=⇒=
ω
ω
ωω
 
Pode- se então, esboçar a curva de respos ta em frequência (módulo) AV(dB) x ù 
 
 
 
0 ù ùC 
AV 
1 
0,707 
0 
ù 
ùC á 
-90° 
-45° 
Resposta em frequência do F.P.B. (fase) 
Filtros Passivos 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Pelos resultados obtidos , percebe-se que, a par ti da frequência de cor te ù C, 
cada vez que a frequência aumenta de um fator igual a 10, o ganho diminui em 
20dB. 
 
Diagr ama de B ode 
 
 Uma forma s imples e prática de representar a curva de respos ta em 
frequência de um filtro é através do diagrama de Bode (pronuncia- se Bode). Es te 
diagrama representa o módulo do ganho AV(dB) em função da frequência, fazendo-
se a aprox imação por trechos de retas (as s íntotas ). 
 
 A figura abaixo mos tra o Diagrama de Bode do filtro pas sa baixas analisado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Des tes gráficos , podemos concluir que: 
 
a) A escala do ganho de tensão é l inear , mas a escala de frequência é 
logar ítmica, devendo o gráfico ser feito em papel monolog. 
 
b) Na frequência de cor te, o ganho de tensão é de –3dB em relação ao patamar . 
 
c) Acima da frequência de cor te, o ganho diminui à taxa de 20 dB por década. 
 
d) D) Usando a aprox imação de retas (diagrama de Bode), o maior er ro 
cometido é de 3 dB na frequência de cor te. 
 
 
E xemplo: 
 
Dado o circuito a seguir , pede- se: 
0 
ù 
10ùC 
AV(dB) 
-40 
-20 
100ùC ùC 
-3 
Resposta em Frequência do F.P.B. (Módulo em dB) 
0 
ù 
10ùC 
AV(dB) 
-40 
-20 
100ùC ùC 
-3 
Diagrama de Bode do F.P.B. 
Filtros Passivos 5 
 
 
a) Frequência de cor te em rd/s e em Hz. 
 
srd
L
R
C /1010.100
10.1 4
3
3
=== −ω Hzf
C
C 15922
10
2
4
===
ππ
ω
 
 
b) Expres são complexa do ganho 
 
43
V
10
1
1
10
1,0.
1
1
1
1
A
ωωω jj
R
L
j +
=




+
=




+
=
 
c) Expressão do módulo do ganho 
2
4
2
C
V
10
1
1
)(1
1
A




+
=
+
=
ω
ω
ω
 
e) Esboçar o gráfico do módulo do ganho em dB em função da frequência 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) A frequência quando a diferença de fase entre a entrada e a saída é –45° . 
 
C
C
srdtgarctgarctg ωωωωω
ω
ωα ==⇒=⇒=°⇒−=°−⇒−= /10
10
1
10
45
10
45 4
444
 
 
 
F i l t r o P as s a B aixas com Cir cuit o R C 
 
 O circuito RC sér ie, como mos trado na figura abaixo, funciona como um filtro 
pas sa baixas , pois nas baixas freqüências , o capacitor de saída compor ta- se como 
uma res is tência alta (XC> > R), fazendo comque a maior par te da tensão recaia 
sobre ele. 
L = 100mH 
R = 1KÙ VE VS 
0 
ù 
105 
AV(dB) 
-40 
-20 
106 104 
-3 
Filtros Passivos 6 
 Já nas altas freqüências , o capacitor compor ta- se como uma res is tência baixa 
(XC< < R), fazendo com que a tensão na saída seja muito pequena. 
 
Nes te circuito , a expressão da tensão 
de saída VS (T ensão no capacitor ) em 
função da tensão de entrada VE é dada 
por : 
 E
C
C
S VjXR
jX
V .
−
−
= 
F i l t r o P as s a B aixas com Ci r cu i t o R C 
 
Des ta forma, o ganho de tensão des te filtro é: 
Cj
R
Cj
jXR
jX
V
V
A
C
C
E
S
V
.
1
.
1
ω
ω
+
=
−
−
== Dividindo-se o numerador e o denominador por R e 
s implificando a expres s ão , tem-se: 
 
CRj
AV ..1
1
ω+
= 
 
 
 A expressão do ganho de tensão des te filtro pode ser apresentada em função 
de sua frequência de cor te, com segue: 
 
 Ganho de T ens ão: F r equência de Cor t e: 
 
 
C
V
j
A
ω
ω+
=
1
1RCC
1=ω 
 
 
 Como o ganho de tensão é um número complexo, ele pode ser representado 
gener icamente na forma AV = AV á. 
 
 As expressões do módulo e da fase do ganho de tensão em função de frequência são 
dadas por: 
 
 Módulo Fase 
 
 
2
C
V
)(1
1
A
ω
ω+
= 
C
arctg
ω
ωα −= 
 
 Como se vê, estas expressões são iguais às do filtro passa baixas com circuito RL 
analisado anteriormente, com a ressalva de que as freqüências de corte são calculadas de 
formas diferente, pois elas dependem dos dispositivos utilizados nos filtros (RL ou RC). 
 
 Desta forma, o esboço das curvas de resposta em frequência (módulo: AV x á e fase: á x 
ù ) deste filtro, tem o mesmo aspecto que as do filtro anterior, como mostra a figura abaixo: 
R 
C VS VE 
Filtros Passivos 7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A curva de respos ta em frequência (módulo) des te filtro pode, também, ser 
dada em decibel (dB), calculando-se o módulo do ganho de tensão por : 
 
 
 AV(dB) = 20.log AV 
 
 Pode-se, então esboçar a curva de respos ta em frequência (em módulo) 
AV(dB) x ù , e na forma normal em diagrama de bode: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E xemplo: 
-Projetar um filtro pas sa baixa com fc = 1KHZ . 
 
S olução: 
-Adotando-se R= 10KÙ, tem-se: 
 
nF
fR
C
CR
f
C
C 1610.110.10.2
1
..2
1
..2
1
33 ===⇒= πππ
 
 
 Usando o valor comercial mais próximo C=15nF, a frequência de corte sofrerá uma 
pequena alteração, porém insignificante face às tolerâncias dos dispositivos, como pode ser 
observado a seguir: 
 
KHz
CR
fC 061,110.1510.10.2
1
..2
1
93 === −ππ
 
 
 
F i l t r o P as s a Alt as – F .P .A. 
0 ù ùC 
AV 
1 
0,707 
0 
ù 
ùC á 
-90° 
-45° 
Resposta em frequência do F.P.B. (fase) 
Módulo 
0 
ù 
10ùC 
AV(dB) 
-40 
-20 
100ùC ùC 
-3 
Normal 
0 
ù 
10ùC 
AV(dB) 
-40 
-20 
100ùC ùC 
-3 
Diagrama de Bode do F.P.B. 
Diagrama de Bode 
Filtros Passivos 8 
 
 Um filtro pas sa altas (F.P.ª ) ideal tem uma curva de respos ta em frequência, 
como mos trada na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Para freqüências abaixo da frequência de cor te (ù c), o ganho é zero, is to é, a 
tensão de saída é nula. Para freqüências acima da frequência de cor te, o ganho é 
igual a um, is to é, a tensão de saída é igual à tensão de entrada. 
 Porém, na prática, não é pos s ível cons truir - se um fi ltro com um cor te tão 
brusco na respos ta em frequência. 
 
F i l t r o P as s a Alt as com Cir cuit o R L 
 
 O circuito RL sér ie, como mos trado na figura baixo, funciona como um filtro 
pas sa altas , pois nas baixas freqüências , o indutor de saída comporta- se como uma 
res is tência baixa (XL< < R), fazendo com que a tensão sobre ele seja muito 
pequena. 
 Já, nas altas freqüências , o indutor comporta- se como uma res is tência alta 
(XL> > R), fazendo com que a tensão de saída seja muito alta. 
 
 
Nes te circuito, a expres são da tensão de saída VS (T ensão no indutor ) em função da 
tensão de entrada VE é dada por : 
 
EVLJR
L ⋅
+
=
ω
ω.j
Av
 
Des ta forma, o ganho de tensão des te filtro é: 
 
LJRV
Vs
E ω
ϖ
+
== L.jAv Dividindo-se o numerador e o denominador por R, tem-se: 
 




−
=
L
R
j
.
1
1
AV
ω
 
 
A expres são do ganho de tensão des te filtro pode ser apresentada em função de 
sua frequência de cor te: 
0 
 
ùc ù 
AV 
1 
Curva de Resposta em frequência do 
Filtro Passa Altas Ideal 
L 
R 
VS VE 
Filtro Passa Altas com Circuito RL 
Filtros Passivos 9 
 
Ganho de T ensão: 




−
=
ω
ωCj1
1
AV Frequência de Cor te: L
R
C =ω 
 
Como podemos observar , o ganho de tensão é um número complexo e , 
por tanto, pos sui um módulo e fase. As s im, o ganho de tensão será representado 
gener icamente por um número complexo na forma AV = AV á 
 
 As expressões do módulo e da fase do ganho de tensão em função da frequência são 
dadas por: 
 
 Módulo: 
2
V
)(1
1
A
ω
ωC+
= Fase: 
ω
ω
α Carctg= 
 
 A partir da expressão do módulo do ganho em função da freqUência, pode-se esboçar a 
curva de resposta em frequência AV x ù deste filtro, cons iderando-se que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 00 →⇒∞→⇒= V
C A
ω
ωω 
 
ù = ù C ◊ 707,0
2
1
A V ==
 10 →⇒→⇒∞→ AvC
ω
ωω
 
 
Resposta em Frequência do F.P.A. (Módulo) 
 
 A par tir da expressão da fase do ganho em função da frequência, pode- se 
esboçar o gráfico á x ù , cons iderando-se que: 
 
 
 
 
 
 
�
900 →⇒∞→⇒= α
ω
ωω C 
 
ù = ù C ◊ á = arctg 1 = 45º 
 
°−→⇒∞→ 0αω
 
 
 
A curva de respos ta em frequência (Módulo) des te fi ltro pode, também, ser dada 
em decibel(dB), calculando-se o módulo do ganho de tensão por : 
 
 AV(dB) = 20.log AV 
0 ù ùC 
AV 
1 
0,707 
0 
ù ùC 
á 
-90° 
-45° 
Resposta em frequência do F.P.A. (fase) 
Filtros Passivos 10 
Ass im: 
dBdBAv
C
C
C 40
100
1
log.20
100
1
1
log.20)(
100 22
−=≅




+
=⇒=
ω
ω
ω
ω
 
dBdBAv
C
C
C 20
100
1
log.20
.10
1
1
log.20)(
10 2
−≅




+
=⇒=
ω
ω
ω
ω
 
 
dBdBAvC 3
2
1
log.20)( −==⇒=⇒ ωω
 dBdBAv
C
C
C 01log.20
.10
1
1
log.20)(.10
2
=≅




+
=⇒=
ω
ω
ωω
 
 
Pelos resultados obtidos , pode-se perceber que, cada vez que a frequência aumenta 
de um fator igual a 10, o ganho aumenta em 20dB, até chegar à frequência de 
cor te ù C. 
Pode- se então, esboçar a curva de respos ta em frequência (módulo) AV(dB) x ù , na 
forma normal e como diagrama de Bode. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
Dado o circuito a seguir , pede- se: 
 
 
a) Frequência de cor te em rd/s e em Hz 
srd
L
R
C /1010.10
10.10 6
3
3
=== −ω kHzf
C
C 15,1592
10
2
6
===
ππ
ω
 
 
b) Expres são complexa do ganho 
0 
ù 
ùC/10 
AV(dB) 
-40 
-20 
ùC ùC/100 
-3 
Resposta em Frequência do F.P.A. (Módulo em dB) 
10ùC 0 
ù 
ùC/10 
AV(dB) 
-40 
-20 
ùC ùC/100 10ùC 
Diagrama de Bode do F.P.A. 
L=10mH 
R = 10KÙ 
VS VE 
Filtros Passivos 11 
 
ωωω
6
3
3 10
1
1
10.10.
10.10
1
1
.
1
1
jj
L
R
j
AV
−
=
−
=
−
=
−
 
 
c) Expres são do módulo do ganho 
 
262
V
10
1
1
)(1
1
A




+
=
+
=
ωω
ωC
 
d) A tensão de saída para VE = 5 0° V e ù = 1,5. ù C 
 
Módulo do ganho: 
83,0
5,1
1
1
1
)
5,1
(1
1
A
2
2
V =




+
=
+
=
c
C
ω
ω
 
Fase e do ganho: 
�7,33
5,1
1
5,1
=== arctgarctg
C
C
ω
ωα 
 
Para ù = 1,5. ù C : AV = 0,83 33,7° V 
 
Por tanto, a tensão de saída nes ta frequência vale: 
 
VS = AV VE = 0,83 33,7° . 5 0° = 4,15 33,7° V 
 
e) Esboçar o gráfico do módulo do ganho em dB em função da frequência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
F i l t r o P as s a Alt as com Cir cuit o R C 
 
 O circuito RC sér ie, como mos trado abaixo, funciona como um filtor pas sa 
altas , pois nas baixas freqüências , o capacitor comporta- se como uma res is tência 
alta (XC> > R), fazendo com que a tensão sobre o res is tor de saída seja muito 
pequena. 
 Já, nas altas freqüências , o capacitor comporta- se como uma res is tência 
baixa (XC< < R), fazendo com que a tensão de saída seja muito alta. 
 
 
 
 
0 
ù (rd/s) 
-40 
-20 
10
4 
-3 
AV(dB) 
10
5 10
6 10
7 
Filtros Passivos 12 
 
 Filtro Passa Altas com Circuito RC 
Nes te circuito, a expres são da tensão de 
saída VS (tensão no res is tor ) em função 
da tensão de entradaVE é dada por : 
 
E
C
S VjXR
R
V .
−
= 
 
 Des ta forma, o ganho de tensão de 
entrada VE é dada por : 
 
Cj
i
R
R
JXRV
Vs
CE
.
R
Av
ω
+
=
−
== 
Dividindo-se o numerador e o denominador por R e s implificando a expres são, tem-
se: 
 




−
=
CR
R
j
..
1
1
AV
ω
 
 
A expres são do ganho de t ens ão des te fi ltro pode ser apresentada em f unção de 
s ua f r equência de cor t e: 
 
Ganho de T ensão: 




−
=
ω
ωCj1
1
AV Frequência de Cor te: CRC .
1=ω 
 
Como podemos observar , o ganho de tensão é um número complexo e , 
por tanto, pos sui um módulo e fase. As s im, o ganho de tensão será representado 
gener icamente por um número complexo na forma AV = AV á 
 
 As expressões do módulo e da fase do ganho de tensão em função da frequência são 
dadas por: 
 
 Módulo: 
2
V
)(1
1
A
ω
ωC+
= Fase: 
ω
ωα Carctg= 
 
 Como se vê, estas expressões são iguais às do filtro passa altas com circuito RL 
analisado anteriormente, com a ressalva de que as frequências de corte são calculadas de 
forma diferentes, pois elas dependem dos dispositivos utilizados nos filtros (RL ou RC). 
Desta forma, o esboço das curvas de resposta em frequência (módulo:AV x ù e fase: á 
x ù ) deste filtro, tem o mesmo aspecto que as do filtro anterior, conforme a figura baixo: 
 
 
 
 
 
 
R 
C 
VS VE 
Filtros Passivos 13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta em Frequência do F.P.A. (Módulo) 
 
A curva de respos ta em frequência (Módulo) des te fi ltro pode, também, ser dada 
em decibel(dB), calculando-se o módulo do ganho de tensão por : 
 
 AV(dB) = 20.log AV 
 
Pode- se então, esboçar a curva de respos ta em frequência (módulo) AV(dB) x ù , na 
forma normal e como diagrama de Bode. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
Projetar um filtro pas sa altas com fc = 200Hz: 
 
 
Adotando- se C= 0,1 uF, tem-se: 
Ω===⇒= − KfC
R
CR
f
C
C 8200.10.1,0.2
1
..2
1
..2
1
6πππ
 
 
Usando o valor comercial mais próx imo R= 8k2Ù, a frequência de cor te 
sofrerá uma pequena alteração, porém ins ignificante face às tolerâncias dos 
dispos itivos , como pode ser observado à seguir : 
 Hz
CR
fC 19410.1,0.10.2,8..2
1
..2
1
63 === −ππ
 
 
 
 
0 
ù 
ùC/10 
AV(dB) 
-40 
-20 
ùC ùC/100 
-3 
Resposta em Frequência do F.P.A. (Módulo em dB) 
10ùC 0 
ù 
ùC/10 
AV(dB) 
-40 
-20 
ùC ùC/100 10ùC 
Diagrama de Bode do F.P.A. 
R 
C 
VS VE 
0 ù ùC 
AV 
1 
0,707 
0 
ù ùC 
á 
-90° 
-45° 
Resposta em frequência do F.P.A. (fase) 
Filtros Passivos 14 
I n t egr ador e D if er enciador 
 
 Os circuitos integradores e diferenciadores são muito util izados para gerar 
formas de onda muito específicas como a tr iangular e a impuls iva, a par tir de uma 
onda quadrada. T ais formas de onda têm muitas aplicações na eletrônica. 
 Pelo nome des tes circuito, ver ifica-se que o integrador e o diferenciador 
executam eletr icamente, respectivamente, as funções integral e der ivada nos s inais 
de entrada. 
 
I n t egr ador 
 
 O integrador é um fi ltro pas sa baixas operando numa frequência muito maior 
que a frequência de cor te.Des ta forma, a função de saída representa a integral da 
função de entrada. 
 Caso a funão de entrada seja uma onda quadrada com frequência f> > fc, a 
saída do integrador apresentará uma onda praticamente tr iangular , como mos tra a 
figura abaixo. 
 
 
 O funcionamento é bas tante s imples . 
Cons iderando o capacitor inicialmente 
descar regado VC(0) = 0, em t = 0 é 
aplicada uma tensão pos itiva na entrada 
com amplitude VE(0) = E. 
As s im, o capacitor começa a se car regar 
com uma cons tante de tempo T < < τ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como a frequência da onda quadrada é 
muito maior que a frequência de cor te do 
filtro, ou seja, T < < τ , antes do capacitor 
se car regar completamente, a tensão de 
entrada muda seu valor para 
VE(T /2) = -E. Então, o capacitor , que se 
encontrava com a tensão VC(T /2)= VC, 
pas sa a se descar regar com a mesma 
cons tante de tempo, até atingir o valor 
negativo VC(T )= -VC em τ = T , e as s im 
sucess ivamente. 
 
Como vis to anter iormente, a carga do 
capacitor não é linear .Por tanto, quanto 
maior for a cons tante de tempo do 
circuito em relação ao per íodo da tensão 
de entrada, mais a forma de onda no 
capacitor se aprox ima da onda tr iangular , pois maior é a l inear idade, embora a sua 
amplitude seja menor . 
 
E xemplo: 
 Dado o fi ltro passa baixas a seguir , qual deve ser a frequência da onda 
quadrada de entrada para que o circuito funcione como integrador , ou seja, para 
que a forma de onda no capacitor seja aprox imadamente uma onda tr iangular? 
R 
C VS VE 
 
V
E 
0 T/
2 
T 3T/
2 
0 T/2 T 3T/2 
2
T 
2
T 
t 
t 
-VE 
 
Vc 
-Vc 
Circuito Integrador 
Forma de Onda do Circuito 
Integrador 
Filtros Passivos 15 
 
S olução: 
Hz
CR
fC 22610.47,0.10.5,1..2
1
..2
1
63 === −ππ
 
Para funcionar como integrador , a 
frequência de entrada tem de ser muito 
maior que fC. Na prática, is to é pos s ível 
cons iderando- se a frequência pelo menos 
10 vezes maior que a frequência de 
cor te, is to é: kHzf 26,2≥ 
 
 
Dif er enciador 
 
 O dif er enciador é um fi ltro pas sa altas operando numa frequência muito 
menor que a frequência de cor te. Desta forma, a função de saída representa a 
der ivada da função de entrada. 
 Caso a função de entrada seja uma onda quadr ada com frequência f< < fc, a 
saída do diferenciador apresentará uma onda praticamente impuls iva, como 
mostra a figura abaixo: 
 
 
 Nes te caso, o pr incípio de 
funcionamento é baseado no fato de que 
o capacitor é um cur to circuito para 
var iações muito bruscas de tensão, o que 
ocor re nos ins tantes em que a tensão de 
entrada var ia de –E para E e vice-ver sa, 
fazendo com que es sas var iações 
apareçam na saída do circuito, ora na 
forma de impulsos pos itivos , ora na 
forma de impulsos negativos . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A par tir des tas var iações , como a tensão 
de entrada permanece cons tante por um 
tempo T /2, ele atua como um circuito 
aber to. S endo T > > τ , o capacitor 
descar rega- se rapidamente, dando o 
aspecto mos trado na figura ao lado. 
 
 
R 
C VS VE 
 
Circuito Integrador 
1 k5 Ù 
0 ,4 7 uF 
C 
R VS VE 
 
 VE 
0 T/
2 
T 3T/
2 
0 T/2 T 3T/2 
2
T 
2
T 
t 
t 
-VE 
 
Vc 
-Vc 
Circuito Diferenciador 
Forma de Onda do Circuito Diferenciador 
Filtros Passivos 16 
 
E xemplo: 
 Dado o fi ltro pas sa altas a seguir , qual deve ser a frequência da onda 
quadrada de entrada para que o circuito funcione como diferenciador? 
 
 
S olução: 
kHz
CR
fC 823,410.10.10.3,3.2
1
..2
1
93 === −ππ
 
Para funcionar como diferenciador , a 
frequência de entrada tem de ser muito 
menor que fC. Na prática, is to é pos s ível 
cons iderando-se a frequência pelo menos 
10 vezes menor que a frequência de 
cor te, is to é: kHzf 3,482≤ 
 
Cir cui t os R L C 
 
Cir cuit os R L C S ér ie 
 
 O circuito RLC sér ie é formado por um res is tor , um indutor e um capacitor 
ligados em sér ie como mos tra a figura abaixo, cuja cor rente foi cons iderada, 
arbitrar iamente, como tendo fase inicial nula. 
 
 
 
 
 Em um circuito RLC sér ie, a tensão total aplicada é a soma vetor ial das 
tensões no res is tor , capacitor e indutor , is to é: 
 
v = vR + vL + vC 
 
 Com relação ao diagrama fasor ial, sabe-se que: 
 
• A tensão no res is tor es tá em fase com a cor rente; 
• A tensão no indutor es tá adiantada de 90° em relação à cor rente; 
• A tensãono capacitor es tá atrasada de 90° em relação à cor rente. 
 
 
C= 1 0 nF 
R = 3 ,3 kÙ VS VE 
 
Circuito Diferenciador 
R 
L 
C 
i 
vR 
vL 
vC 
v,i 
i vR 
vL 
vC 
ù 
Circuito RLC Série 
Diagrama Fasorial 
vR 
Filtros Passivos 17 
 
Por tanto, as tensões VL e VC es tão defasadas de 180° entre s i, sendo que a 
soma vetor ial delas é a diferença entre seus módulos , com fase igual à da 
tensão de maior módulo. 
Por exemplo, cons iderando que VL > VC, tem-se que: 
 
vL + vC = ( VL - VC ) 90° 
 
 A figura abaixo, mos tra o diagrama de tensões obtido a par tir do diagrama 
fasor ial da figura anter ior e o respectivo diagrama de impedância, cons iderando que 
VL > VC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Da figura anter ior , pode-se obter o módulo da t ens ão t ot al aplicada pelo 
gerador : 
 
 ( )22 CLR VVVV −+= 
 
 Como VL > VC. A defasagem Ö da tensão do gerador em relação à cor rente é 
pos itiva, porém menor que 90° , devido à influência do res is tor . I s to s ignifica que a 
fase da impedância é também pos itiva, caracter izando um circuito indutivo, no qual 
a reatância indutiva predomina sobre a capacitiva. 
 
 No circuito RLC sér ie, a impedância complexa equivalent e do circuito pode 
ser calculada por : 
 
 ( )CL XXjRZ −+= ou 


 −+=
C
LjRZ
.
1
.
ω
ω 
 
 
 O módulo da impedância equivalent e do circuito vale: 
 
 ( )22 CL XXRZ −+= ou 
2
2
.
1
. 



 −+=
C
LRZ
ω
ω 
 
 
 
vR 
vL 
VL -VC 
V 
Ö 
Ö 
T
V
Z 
I
V
R R= 
( )
I
VV
X CL
−= 
(a) Diagrama de Tensões (b) Diagrama de Impedâncias 
Filtros Passivos 18 
A f as e da impedância equivalent e do circuito vale: 
 
 
( )
R
XX
arctg CL
−=φ ou 
R
C
L
arctg




 −
= .
1
.
ω
ω
φ 
 
 
O fator de potência do circuito pode ser obtido do diagrama de impedância e vale: 
 
 
 
Z
R
FP == φcos 
 
 De tudo o que foi vis to até aqui, podemos tirar algumas conclusões gerais : 
 
 * Caso XL > XC ◊ o circuito é indutivo (Ö> 0° ); 
 * Caso XL < XC ◊ o circuito é capacitivo (Ö< 0° ); 
 * Caso XL = XC ◊ o circuito é res is tivo (Ö= 0° ). 
 
 Es ta última condição (XL = XC) é chamada de r es s onância. 
 
 
Cir cuit o R es s onant e 
 
 Um circuito res sonante é aquele que apresenta a menor opos ição pos s ível à 
pas sagem de cor rente elétr ica numa determinada frequência f o, denominada de 
f r equência de r es s onância do circuito. 
 I s to s ignifica que as freqüências maiores e menores que f 0 encontrarão maior 
opos ição por par te do circuito res sonante. 
 A figura abaixo mos tra um cir cuit o r es s onant e s ér ie no qual é aplicada 
uma tensão alternada numa determinada frequência. 
 
 
Quando a frequência de tensão é tal que XL = XC, 
a reatância indutiva é anulada pela reatância 
capacitiva, já que es tão defasadas de 180° . I s to 
s ignifica que o circuito compor ta- se como se fos se 
uma r es is t ência pur a. 
 
A f r equência de r es s onância f 0 , na qual es te 
fenômeno ocor re, pode ser determinada da 
seguinte forma: 
 
⇒=⇒===
CLC
LXX CL .
1
.
1
. 20
0
0 ωω
ω 
CL.
1
0 =ω 
 
 
 
Como 00 .2 fπω = , tem-se que: 
R 
L 
C 
i 
v(t) 
Circuito Ressonante Série 
Filtros Passivos 19 
 
 
CL
f
.2
1
0 π
= ◊ Frequência de res sonância do circuito 
 
 Os gráficos da figura anter ior ( Z = f(ù ) e i= f(ù )) mos tram o comportamento 
do circuito res sonante sér ie em função da frequência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Des ta figura, podem-se tirar as seguintes conclusões : 
 
* Na frequência de ressonância ù 0 , o circuito é puramente res is tivo e a opos ição à 
cor rente é mínima, resultando numa cor r ent e máxima I M; 
 
* Abaixo da frequência de res sonância, a impedância é capacit iva ( XC> XL ) e a 
cor rente es tá adiantada em relação à tensão aplicada; 
 
* Acima da frequência de res sonância, a impedância é indut iva ( XL > XC) e a 
cor rente es tá atrasada em relação à tensão aplicada. 
 
 
L ar gur a de F aixa ( L F ) e F at or de Qualidade ( Q) 
 
 Define- se lar gur a de f aixa ( L F ) ou banda de frequência, como sendo: 
 
 ciCS ffLF −= 
 
 Onde fcs ◊ frequência de cor te super ior 
 fci ◊ frequência de cor te infer ior 
 
 Na frequência de cor te, o valor da cor rente é aprox imadamente 70,7% da 
cor rente de res sonância I M, como mos tra o gráfico abaixo: 
 
 
 
 
Z 
ù 
R 
ùo 
Circuito 
Capacitivo 
Circuito 
Indutivo 
0 0 
R
V
IM = 
ù0 
(b) Gráfico da Corrente (a) Gráfico da Impedância 
Comportamento do Circuito Ressonante Série 
ù 
Filtros Passivos 20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Es te valor 70,7% cor responde 
a 
2
MI , ou a uma queda de 3dB 
na cor rente máxima. 
 A largura de faixa depende da 
qualidade da bobina. Uma bobina 
ideal tem res is tência ôhmica nula, 
porém, na prática, o fio da bobina 
possui res is tência. 
 O fator de qualidade QL de 
uma bobina é definido como sendo: 
 
 
B
Lo
L R
X
Q = 
 
Onde: LfX oLO ..2π= ◊ reatância da bobina na frequência de res sonância 
 RB ◊ res is tência ôhmica da bobina 
 
O f at or de qual idade Q do circuito é dado por : 
 
 
T
Lo
R
X
Q = 
 
Onde: RT ◊ res is tência ôhmica total do circuito 
 
A largura de faixa do circuito es tá relacionada com o fator de qualidade através da 
expres são: 
 
 
Q
f
LF o= 
 
 Por tanto, quanto maior é a qualidade da bobina, menor é a largura da faixa 
ou mais aguda é a curva i= f(ù ), is to é, melhor é o circuito res sonante, pois ele se 
torna mais seletivo, como mos tra a figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
i 
f fci fo fcs 
0,707.IM 
R
V
I M = 
0 
Largura de Faixa do Circuito Ressonante 
0,707.IM 
R
V
IM = 
i 
f 0 f0 
LF1 
LF2 
Q2 
Q1 > Q2 
Qualidade do Circuito Ressonante 
Filtros Passivos 21 
E xemplo: 
 
1) Em um Circuito RLC sér ie, tem-se: R= 100Ù, L= 1mH e C= 0,1uF. S e a tensão do 
gerador é 10 0° V, pedem-se: 
 
a) Frequência de res sonância do circuito 
 
S olução: 
kHz
CL
fo 915,15
10.102
1
.2
1
73
===
−−ππ
 
 
b) A cor rente fornecida pelo gerador na frequência de res sonância. 
 
 S olução: 
 -Na res sonância, o circuito é somente res is tivo, por tanto: 
 Z = R= 100Ù 
 
 mA
Z
V
I 100
100
10 === 
 
c) O ângulo de defasagem entre tensão do gerador e cor rente na res sonância. 
 
 S olução: 
 -Na res sonância, o circuito é somente res is tivo e, por tanto, o ângulo de 
defasagem é zero (Ö = 0). 
 
d) A cor rente e defasagem se f = 20kHz 
 
 S olução: 
XL = 2ð.f.L = 2ð.20.103.10 -3 = 125,7Ù 
 
Ω=== − 6,7910.10.20.2
1
..2
1
73ππ Lf
XC 
 
Ω∠=Ω+=⇒−+=−+=
�
7,241101,461006,797,125100
.
1
. jzjj
C
jLjRZ
ω
ω 
 
Por tanto: mA
Z
v
i
�
�
�
7,249,90
7,24110
010 −∠=
∠
∠== 
 
Como XL > XC, nes ta frequência o circuito é indutivo (20kHz > fo). 
 
 
e) Cor rente e defasagem se f = 10kHz 
 
S olução: 
 
XL= 2ð.f.L = 2ð.10.103.10 -3 = 62,8Ù Ω=== − 2,15910.10.10.2
1
..2
1
73ππ Cf
XC 
Filtros Passivos 22 
 
mAjZjj
C
jLjRZ
�
9,439,1384,961002,1598,62100
.
1
. −∠=Ω−=⇒−+=−+=
ω
ω 
 
Por tanto: mA
Z
v
i
�
�
�
9,433,72
9,434,138
010 ∠=
−∠
∠== 
 
Como XC > XL, nes ta frequência o circuito é capacitivo (10kHz < fo). 
 
 
2- Em um circuitoRLC sér ie, tem-se: VR = 6V; VC = 20V; VL = 12V e 
i = 10 0° mA. Pede- se: 
 
a) A impedância complexa: 
 
S olução: 
 
Ω=== − 60010.10
6
3I
V
R R Ω=== − kI
V
X LL 2,110.10
12
3 Ω=∴ kjX L 2,1 
 
Ω=== − kI
V
X CC 210.10
20
3 Ω−=∴ kjX C 2 
 
Ω−∠=Ω−=−+=−+= kkjjj
C
jLjRZ o5318,06,022,16,0
.
1
.
ω
ω 
 
b) T ensão aplicada no circuito 
 
S olução: 
 
ViZv
���
5310010.531. −∠=∠−∠== 
 
c) Diagrama Fasor ial 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
v,i 
I (10mA) 
VL(12V) 
VC(20V) 
VR(6V) 
VC-VL(8V) 
V(10V) 
ù 
Filtros Passivos 23 
 
 
3- Dado o circuito res sonante a seguir , pedem-se: 
 
 
a) Frequência de res sonância 
 
S olução: 
 
kHz
CL
fo 68,212
10.6,5.10.1002
1
.2
1
96
===
−−ππ
 
 
b) Fator de qualidade da bobina 
 
S olução: 
 
XLo = 2ð.212,68.103.100.10 -6 = 133,63Ù 
 
7,16
8
63,133 ===
B
Lo
L R
X
Q 
 
 
c) Fator de qualidade do circuito 
 
S olução: 
 
42,7
810
63,133 =
+
==
T
Lo
R
X
Q 
 
d) Largura de faixa do circuito 
 
S olução: 
 
kHz
Q
f
LF o 66,2810.68,212 3 === 
 
 
 
 
 
e) Valor de R para que a largura de faixa seja 10% da frequência de res sonância 
 
10
10.68,212
10.268,21
3
3 =⇒=⇒= Q
QQ
f
LF o Ω=⇒
+
=⇒
+
= 363,5
8
63,133
10 R
RRR
X
Q
B
Lo 
 
 
 
Cir cuit o R L C P ar alelo 
 
v 
R=10Ù 
L=100uH 
RB = 8Ù 
C = 5,6nF 
i 
0,707.IM 
IM 
0 198,35 212,68 227,01 
F(kHz) 
LF = 28,66kHz 
Filtros Passivos 24 
O circuito RLC paralelo é formado por um res is tor , um indutor e um capacitor 
ligados em paralelo, como mos tra a figura abaixo, cuja tensão foi cons iderada, 
arbitrar iamente, como tendo fase inicial nula. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Em um circuito RLC paralelo, a 
cor rente total fornecida pelo gerador é a 
soma vetor ial das cor rentes no res is tor , 
capacitor e indutor , is to é: 
 
 i = iR + iL + iC 
 
 Com relação ao diagrama fasor ial, 
sabe-se que: 
 
* A cor rente no res is tor es tá em fase 
com tensão; 
 
* A cor rente no indutor es tá atrasada de 90° em relação à tensão; 
 
* A cor rente no capacitor es tá adiantada de 90° em relação à tensão. 
 
 Por tanto, as cor rentes iL e iC es tão defasadas de 180° entre s i, sendo que a 
soma vetor ial delas é a diferença entre seus módulos , com fase igual à da cor rente 
de maior módulo. 
 Por exemplo, cons iderando que I C > I L, tem-se que: 
 iC + iL = (I C- I L) 90° 
 
 A figura abaixo mos tra o diagrama de cor rentes obtido a par tir do diagrama 
fasor ial da figura anter ior e o respectivo diagrama de impedância, cons iderando que 
I C > I L. 
 
 
 
 
 
 
 
 
v 
R L C 
i 
iR iL 
IC 
Circuito 
RLC 
Paralelo 
v,i 
v iR 
iL 
iC 
(b) Diagrama Fasorial 
ù 
Filtros Passivos 25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Da figura (a), pode- se obter o módulo da cor r ent e t ot al fornecida pelo 
gerador : 
 
 ( )22 LCR IIII −+= 
 Como I C > I L, a defasagem Ô da cor rente em relação à tensão é pos itiva, 
porém menor que 90° , devido à influência do res is tor . I s to s ignifica que a fase da 
impedância é negativa, caracter izando um circuito capacitivo, no qual a reatância 
capacitiva predomina sobre a indutiva. 
 
 No circuito RLC paralelo, a impedância complexa equivalente do circuito pode 
ser calculada por : 
 
 
CL jXjXRZ −
++= 1111 
 
 Desenvolvendo- se es ta expres são, obtém-se a impedância complexa: 
 
 ( )CLCL
CL
XXjRXX
XXR
Z
−+
=
..
..
 ou 
)1..(.
..
2 −+
=
CLjRL
LR
Z
ωω
ω
 
 
 
O módulo da impedância equivalent e do circuito vale: 
 
 
( ) 222 ).(
..
CLCL
CL
XXRXX
XXR
Z
−+−
= ou 
( )
L
CLR
arctg
.
1... 2
ω
ωφ −−= 
 
 
 O f at or de pot ência do circuito pode ser obtido do diagrama de impedância 
da figura (b), e vale: 
 
 ⇒==
Z
RFP
1
1
cosφ 
R
Z
FP = 
v,i 
(IC - IL) 
iR 
i 
iC 
iL 
v 
ù 
Ô Ô 
VZ
11 = 
V
I
R
R=1 
( )
V
II
X
CL −=1 
(a) Diagrama de Correntes (b) Diagrama de Impedâncias 
Correntes e Impedância no Circuito RLC Paralelo 
Filtros Passivos 26 
 Nes te caso, as conclusões que podem ser tiradas são as seguintes : 
 
• Caso XL > XC ◊ o circuito é capacitivo ( Ô < 0° ); 
• Caso XL < XC ◊ o circuito é indutivo ( Ô > 0° ); 
• Caso XL = XC ◊ o circuito é res is tivo ( Ô = 0° ). 
 
Es ta última condição também cor responde à r es s onância do circuito. 
 
Para o circuito RLC paralelo valem também as expres sões da frequência de 
res sonância (ù o ou fo), is to é: 
 
 
CLo .
1=ω ou 
CL
fo .2
1
π
= 
 
 Mas nes te caso, como os dispos itivos es tão em paralelo, os gráficos da 
impedância e da cor rente (Z = f(ù ) e i= f(ù )) são como mos tra a figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Des ta figura, podem-se tirar as seguintes conclusões : 
 
• Na frequência de res sonância ù o, o circuito é puramente res is tivo e a 
opos ição à cor rente é máx ima, resultando numa cor rente mínima I m; 
 
• Abaixo da frequência de res sonância, a impedância é indut iva ( XC > XL ) ; 
 
• Acima da frequência de res sonância, a impedância é capacit iva ( XL > XC) . 
 
E xemplo: 
 
1- Dado o circuito a seguir , pedem-se: 
 
ù 
R 
Z 
ùo 
Circuito 
Capacitivo 
Circuito 
Indutivo 
ùo ù 
i 
R
V
Im = 
(a) Gráfico da Impedância (b) Gráfico da Corrente 
Comportamento do Circuito Ressonante Paralelo 
Filtros Passivos 27 
 
a) Cor rente complexa em cada componente e cor rente total 
 
S olução: 
 
mA
R
v
iR 2002010
020
3 =°∠=
°∠== mAj
X
v
i
C
C 40904090500
020 =°∠=
°−∠
°∠== 
 
mAj
X
v
i
L
L 1009010090200
020 −=°∠=
°∠
°∠== 
 
mAjjjiiii LCR °−∠=−=−++=++= 6,7125,6360201004020 
 
b) I mpedância complexa 
 
S olução: 
 
Ω°∠=
°−∠
°∠== − 6,712,3166,7110.25,63
020
3i
v
Z 
 
c) Diagrama Fasor ial 
 
S olução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R 
1kÙ 
XL 
200Ù 
XC 
500Ù 
Vv o020∠= 
i 
iL 
 
IR 
 
IC 
 
V(20V) 
v,i 
IC(40mA) 
IR(20mA) 
IL-IC 
(60mA) 
i (63,25mA) 
IL(100mA) 
71,6° 
ù 
Filtros Passivos 28