Álgebra questionário 3

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natalia.gurke @aluno.unip.br
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 Revisar envio do teste: QUESTIONÁRIO UNIDADE IIIÁLGEBRA 6153-60_15402_R_E1_20211 CONTEÚDO
Usuário natalia.gurke @aluno.unip.br
Curso ÁLGEBRA
Teste QUESTIONÁRIO UNIDADE III
Iniciado 25/02/21 15:48
Enviado 25/02/21 15:50
Status Completada
Resultado da tentativa 4 em 4 pontos 
Tempo decorrido 2 minutos
Resultados exibidos Todas as respostas, Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários, Perguntas respondidas incorretamente
Pergunta 1
Resposta Selecionada: a. 
Respostas: a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Feedback da
resposta:
Para veri!car se E = ℤ e a operação de!nida por x * y = x + y + xy é um grupo comutativo, foram veri!cadas as propriedades: associativa, elemento
neutro, elemento simetrizável e comutativa descritas a seguir: 
I. Como (x * y) * z = x * (y * z), dizemos 
que essa operação * é associativa. 
II. Como , dizemos que a operação * possui elemento neutro e este é 
III. Como x’ * x = x * x’ 
= 0, ∀x ∈ E, dizemos que a operação * possui todos os seus elementos simetrizáveis e, portanto, (E, *) é um grupo. 
IV. Como x * y = y * x, dizemos que a operação * é comutativa. Logo, (E, *) é um grupo comutativo. 
Conclui-se que:
Todas são verdadeiras.
Todas são verdadeiras.
Todas são falsas.
I, II e III são falsas.
I, II e III são verdadeiras.
I e IV são verdadeiras.
Resposta: A 
Comentário: para veri!car se (E, *) é um grupo comutativo ou abeliano, devemos checar as propriedades associativa, elemento
neutro, elemento simetrizável e comutativa. Então iniciaremos pela propriedade associativa: 
I. (Associativa) 
Devemos mostrar que (x * y) * z = x * (y * z). (x * y) * z = (x + y + xy) * z 
= (x + y + xy) + z + (x + y + xy)z 
= x + y + xy + z + xz + yz + xyz 
Por outro lado, 
x * (y * z) = x * (y + z + yz) 
= x + (y + z + yz) + x(y + z + yz) 
= x + y + z + yz + xy + xz + xyz 
Como (x * y) * z = x * (y * z), dizemos 
que essa operação * é associativa. 
 
II. (Elemento neutro) 
Devemos determinar ℯ, de modo que veri!que as condições de: 
ℯ ∗ x = x = x ∗ ℯ; ∀x ∈ E. 
 
Da outra igualdade, teremos: 
 
Como dizemos que a operação * possui elemento neutro, que a partir de agora será utilizado como =
0. 
 
III. (Elemento simetrizável) 
Devemos determinar x’, de modo que veri!que as condições de x’ * x = x 
 
Note que nessa operação ! = 0, como calculado anteriormente. 
0,4 em 0,4 pontos
 
Da outra igualdade, teremos: 
 
Como x’ * x = x * x’ = 0, ∀x ∈ E, dizemos que a operação * possui todos os seus elementos simetrizáveis e, portanto, (E, *) é um grupo. 
Agora veremos se o grupo é também um grupo comutativo, para isso basta veri!car a propriedade comutativa. 
 
IV. (Comutativa) 
Devemos mostrar que x * y = y * x. De um lado da igualdade, temos: 
x * y = x + y + xy 
Por outro lado, 
y * x = y + x + yx = x + y + xy. Como x * y = y * x, dizemos que a operação * é comutativa. 
Logo, (E, *) é um grupo comutativo.
Pergunta 2
Resposta
Selecionada: c. 
Respostas: a.
b.
c. 
d. 
e. 
Feedback
da
resposta:
Com base nas estruturas de grupo em relação à operação *, dizemos que:
Sendo E = ℕ (conjunto dos números naturais) e a operação de!nida por 
x * y = x + y (operação de adição), não tem a estrutura de grupo, pois não satisfaz a propriedade de simetrizável.
Sendo E = {1,2,3} e a operação de!nida por x * y = mdc(x, y), satisfaz as propriedades de elemento neutro e a simetrizável, com isso
dizemos que essa não possui a estrutura de grupo.
Sendo E = {1,2,3} e a operação de!nida por x * y = mdc(x, y), não satisfaz as propriedades do elemento regular e a distributiva, com
isso dizemos que essa possui a estrutura de grupo.
Sendo E = ℕ (conjunto dos números naturais) e a operação de!nida por 
x * y = x + y (operação de adição), não tem a estrutura de grupo, pois não satisfaz a propriedade de simetrizável.
Sendo E = ℝ (conjunto dos números reais) e a operação de!nida por 
satisfaz as propriedades associativa, elemento neutro e simetrizável, com isso dizemos
que ela não possui a estrutura de grupo.
Sendo E = ℝ (conjunto dos números reais) e a operação de!nida por 
não satisfaz as propriedades associativa, elemento neutro e simetrizável, com isso dizemos que ela possui
a estrutura de grupo. 
Resposta: C 
Comentário: sendo E = ℕ (conjunto dos números naturais) e a operação de!nida por x * y = x + y (operação de adição), não tem a
estrutura de grupo. O conjunto dos números naturais, com a operação de adição, não tem a estrutura de grupo, pois não satisfaz 
a propriedade de simetrizável, observe 
que se tornarmos o número 2, não existe nenhum elemento oposto x’ dentro do próprio conjunto, de modo que 2 + x = 0.
Pergunta 3
Resposta Selecionada: b. 
Respostas: a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Feedback da
Algumas aplicações preservam as operações, transformando, às vezes, as somas dos elementos do domínio na soma dos elementos do conjunto da
imagem. Outras vezes, transformam um produto de elementos do domínio no produto de elementos do conjunto imagem. Desta forma, a aplicação 
, dada por 
É um homomor!smo de 
É um mor!smo de 
É um homomor!smo de 
Não é um homomor!smo de 
Não é um mor!smo de 
É um automor!smo de 
Resposta: B 
0,4 em 0,4 pontos
0,4 em 0,4 pontos
resposta: Comentário: a aplicação é um homomor!smo de 
Pergunta 4
Resposta Selecionada: d. 
Respostas: a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Feedback da resposta:
Considerando os grupos e a função f de!nida por , f é um homomor!smo de grupos, pois:
Resposta: D 
Comentário: 
Pergunta 5
Resposta Selecionada: e. 
Respostas: a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Feedback
da
resposta:
Seja dado por então 
É um isomor!smo de 
É um automor!smo de 
É um endomor!smo de 
É um monomor!smo de 
É um epimor!smo de 
É um isomor!smo de 
Resposta: E 
Comentário: seja dado por , então é um homomor!smo de Sejam 
. A função é bijetora, então é um
isomor!smo.
Pergunta 6
Resposta
Selecionada:
a.
Respostas: a.
b. 
c. 
d. 
e. 
Feedback da
resposta:
Com relação ao conceito de anel de uma estrutura algébrica é incorreto a!rmar que:
não é um anel, com as operações usuais de adição e multiplicação de
matrizes.
não é um anel, com as operações usuais de adição e multiplicação de
matrizes.
é um anel.
é um anel.
não é um anel.
é um anel.
Resposta: A 
Comentário: um anel, com as operações usuais de adição e
multiplicação de matrizes, de!nidas por: 
0,4 em 0,4 pontos
0,4 em 0,4 pontos
0,4 em 0,4 pontos
Pergunta 7
Resposta Selecionada:
b. 
Respostas: a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Feedback da resposta:
No anel das matrizes 2 por 2 com coe!cientes no anel dos inteiros, a matriz é invertível , então X’ é igual a:
Resposta: B 
Comentário: para encontrar a matriz inversa, basta fazer X. X ′ = X ′ · X = I.
Pergunta 8
Resposta Selecionada: b. 
Respostas: a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Feedback da resposta:
A !gura 1 apresenta a tabela de operação de , em que aparecem apenas os restos das divisões de qualquer número inteiro por 4. 
 
A linha em branco da !gura 1 deve ser preenchida com os seguintes números, respectivamente:
1, 2, 3 e 0.
0, 1, 2 e 3.
1, 2, 3 e 0.
2, 3, 1 e 0.
3, 2, 1 e 0.
2, 1, 0 e 3.
Resposta: B 
Comentário: 1 + 0 = 1; 1 + 1 = 2; 1 + 2 = 3 e 1 + 3 = 4 dividindo por 4 resta zero, portanto, marca zero no quadro.
Pergunta 9
Resposta Selecionada: e. 
Respostas: a. 
b. 
c. 
Sabendo-se que duas das raízes da equação x 4-5x 2-10x-6=0 são -1 e 3, as demais são:
- 1 + i e – 1 – i.
1 + i e - 1 – i.
- 1 - i e – 1 – i.
- 1 + i e 1 – i.
0,4 em 0,4 pontos
0,4 em 0,4 pontos
0,4 em 0,4 pontos
Segunda-feira, 26 de Abril de 2021 12h18min03s GMT-03:00
d. 
e. 
Feedback da resposta:
- 1 + i e 1 + i.
- 1 + i e – 1 – i.
Resposta: E 
Comentário: resolver a equação x 4-5x 2-10x-6=0, sabendo-se que duas de suas raízes são -1 e 3. 
Aplicando Briot-Ru"ni: 
 
Resolvendo por Bhaskara: 
 
Logo, a solução é dada por: 
Pergunta 10
Resposta Selecionada: d. 
Respostas: a. 
b. 
c. 
d. 
e.Feedback da resposta:
Dados os polinômios: A(a) = 3a 2 + 2a – 4, B(a) = 5a – 3, C(a) = 2a + 5 e as seguintes a!rmações: 
 
É correto a!rmar que:
V, V e V.
F, F e F.
V, F e F.
V, V e F.
V, V e V.
F, V e F.
Resposta: D 
Comentário: 
I) A + B + C = (3a 2 + 2a – 4) + (5a – 3) + (2a + 5) = 3a² + 9a – 2 
II) AB – BC = B(A – C) 
(5a – 3)[(3a 2 + 2a – 4) – (2a + 5)] 
(5a – 3)(3a 2 – 9) 
15a³ – 45a – 9a² + 27 
15a³ – 9a² – 45a + 27 
III) A 2 – 2B 
(3a 2 + 2a – 4)² – 2*(5a – 3) 
(3a 2 + 2a – 4)*(3a 2 
+ 2a – 4) – 10a + 6 
ȼ OK
0,4 em 0,4 pontos