PASSEI DIRETO - MAT PASSO A PASSO - EQUAÇÕES POLINOMIAIS 1

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LEI Nº 9.610, DE 19 DE FEVEREIRO DE 1998 
 
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1. (Unicamp 2015) Considere o polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑥3 −
𝑥2 + 𝑎𝑥 − 𝑎, onde 𝑎 é um número real. Se 𝑥 = 1 é a 
única raiz real de 𝑝(𝑥), então podemos afirmar que 
 
a) 𝑎 < 0. 
b) 𝑎 < 1. 
c) 𝑎 > 0. 
d) 𝑎 > 1. 
 
2. (Mackenzie 2015) Seja 𝑃(𝑥) = 2𝑥3 − 11𝑥2 + 17𝑥 −
6 um polinômio do 3º grau e 2𝑥 − 1 um de seus fato-
res. A média aritmética das raízes de 𝑃(𝑥) é 
 
a) 
7
2
 
b) 
8
2
 
c) 
9
2
 
d) 
10
2
 
e) 
11
6
 
 
3. (Fgv 2015) Considere o polinômio 𝑃(𝑋) tal que 
𝑃 (
𝑥
3
) = 𝑥2 + 𝑥 + 1. A soma de todas as raízes da 
equação 𝑃(3𝑥) = 7 é igual a 
 
a) −
1
9
 
b) −
1
3
 
c) 0 
d) 
5
9
 
e) 
5
3
 
 
4. (Ueg 2015) Se o coeficiente do termo de maior grau 
de um polinômio do 4º grau é 1 e suas raízes são 𝑥1 =
2𝑖, 𝑥2 = −2𝑖, 𝑥3 = 3 e 𝑥4 = 4, então o polinômio em 
questão é 
 
a) 𝑥4 − 7𝑥3 + 16𝑥2 − 28𝑥 + 48 
b) 𝑥4 − 2𝑖𝑥3 + 2𝑖𝑥2 + 3𝑥 + 4 
c) 𝑥4 + 16𝑥3 + 4𝑥2 − 𝑥 + 18 
d) 𝑥4 − 28𝑥3 + 7𝑥2 + 48𝑥 − 28 
 
5. (Fgv 2014) O número 1 é raiz de multiplicidade 2 da 
equação polinomial 𝑥4 − 2𝑥3 − 3𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0. O 
produto 𝑎 ⋅ 𝑏 é igual a 
 
a) -8 
b) -4 
c) -32 
d) 16 
e) -64 
 
6. (Espcex (Aman) 2013) A figura a seguir 
apresenta o gráfico de um polinômio P(x) do 4º 
grau no intervalo ]0,5[. 
 
 
 
O número de raízes reais da equação 𝑃(𝑥) +
1 = 0 no intervalo ]0,5[ é 
 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
 
7. (Uepb 2013) O produto entre as raízes da 
equação 𝑥4 + 3𝑥2 + 2 = 0 é: 
 
a) 2 
b) 1 
c) √2 
d) −1 
e) 2𝑖 
 
8. (Ufrgs 2013) As raízes do polinômio 𝑝(𝑥) =
𝑥3 + 5𝑥2 + 4𝑥 são 
 
a) −4, −1  𝑒  0. 
b) −4,  0  𝑒  1. 
c) −4,  0  𝑒  4. 
d) −1,  0  𝑒  1. 
e) 0,  1  𝑒  4. 
 
9. (Ime 2013) Seja 𝛥 o determinante da matriz 
[
1 2 3
𝑥 𝑥2 𝑥3
𝑥 𝑥 1
]. O número de possíveis valores 
de x reais que anulam 𝛥 é 
 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
 
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 10. (Fgv 2013) Sejam m e n números reais, ambos di-
ferentes de zero. Se m e n são soluções da equação 
polinomial 𝑥2 +𝑚𝑥 + 𝑛 = 0, na incógnita 𝑥, então, 𝑚 −
𝑛 é igual a 
 
a) –3. 
b) –2. 
c) 1. 
d) 2. 
e) 3. 
 
11. (Uepb 2012) Se uma das raízes do polinômio 
𝑝(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥2 + 4𝑥 + 4 é o número complexo 𝑧 = −2𝑖, 
as outras raízes são: 
 
a) 1 e –1 
b) –1 e 2i 
c) –1 e 2 
d) –1 e 3 
e) 2 e 2i 
 
12. (Fgvrj 2012) A equação polinomial 𝑥3 − 𝑥2 − 16𝑥 −
20 = 0 tem raízes 𝑥1, x2 e x3. O valor da expressão 
1 2 3
1 1 1
x x x
+ + é: 
 
a) 1 
b) −
3
4
 
c) 
4
5
 
d) 
3
4
 
e) −
4
5
 
 
13. (Fgv 2011) O polinômio P(x) = x4 - 5x3 + 3x2 + 5x - 
4 tem o número 1 como raiz dupla. 
O valor absoluto da diferença entre as outras raízes é 
igual a: 
 
a) 5 
b) 4 
c) 3 
d) 2 
e) 1 
 
14. (G1 - ifce 2011) Se 3 e 
1
3
 são as raízes da equação 
𝑎𝑥2– 6𝑥 + 𝑝 = 0, então o valor de a + p é 
 
a) -5 
b) 
−9
5
 
c) 0 
d) 
18
5
 
e) 4 
 
15. (Ifsul 2011) A soma das raízes da equação 
𝑦 = 𝑥3 − 𝑥2 − 6𝑥 é igual a 
 
a) -1 
b) 1 
c) -2 
d) 3 
 
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 Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
 [C] 
 
Reescrevendo 𝑝(𝑥) sob a forma 𝑝(𝑥) = (𝑥2 + 𝑎) ⋅ (𝑥 −
1), e sabendo que 𝑥 = 1 é a única raiz real de 𝑝(𝑥), 
deve-se ter 𝑎 > 0. 
 
Resposta da questão 2: 
 [E] 
 
Pelas Relações de Girard, sabemos que a soma das 
raízes de 𝑃 é −
−(11)
2
=
11
2
. Portanto, o resultado pedido 
é 
11
2
3
=
11
6
. 
 
Resposta da questão 3: 
 [A] 
 
Tem-se que 
 
𝑃(3𝑥) = (9𝑥2) + 9𝑥 + 1 = 81𝑥2 + 9𝑥 + 1. 
 
Logo, vem 
 
𝑃(3𝑥) = 7 ⇔ 81𝑥2 + 9𝑥 + 1 = 7 ⇔ 81𝑥2 + 9𝑥 − 6 = 0. 
 
Pelas Relações de Girard, segue que a resposta é 
−
9
81
= −
1
9
. 
 
Resposta da questão 4: 
 [A] 
 
Tem-se que a soma das raízes do polinômio é igual a 
2𝑖 + (−2𝑖) + 3 + 4 = 7. Logo, sabendo que o coefici-
ente do termo de 4º grau é 1, pelas Relações de Gi-
rard, segue que o polinômio só pode ser 𝑥4 − 7𝑥3 +
16𝑥2 − 28𝑥 + 48. 
 
Resposta da questão 5: 
 [C] 
 
Seja o polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑥4 − 2𝑥3 − 3𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏. Sa-
bendo que 1 é raiz de multiplicidade 2, tem-se que 
𝑝(1) = 0 ⇔ 𝑎 + 𝑏 = 4. Além disso, sendo 𝑝′(𝑥) =
4𝑥3 − 6𝑥2 − 6𝑥 + 𝑎, deve-se ter 
 
𝑝′(1) = 0 ⇔ 4 ⋅ 13 − 6 ⋅ 12 − 6 ⋅ 1 + 𝑎 = 0 
 ⇔ 𝑎 = 8. 
 
Portanto, segue que 𝑏 = −4 e, assim, 𝑎 ⋅ 𝑏 = 8 ⋅
(−4) = −32. 
 
Resposta da questão 6: 
 [C] 
 
O gráfico de 𝑄(𝑥) = 𝑃(𝑥) + 1 é igual ao gráfico 
de 𝑃(𝑥) deslocado de uma unidade para cima. 
Portanto, a equação 𝑃(𝑥) + 1 = 0 tem duas ra-
ízes no intervalo ]0,  5[. 
 
Resposta da questão 7: 
 [A] 
 
Pelas Relações de Girard, segue que o pro-
duto das raízes da equação é igual a 
2
1
= 2, 
com 2 sendo o termo independente de 𝑥, e 1 o 
coeficiente de 𝑥4. 
 
Resposta da questão 8: 
 [A] 
 
O polinômio 𝑝 pode ser escrito sob a forma 
 
2p(x) x (x 5x 4)
x (x 1) (x 4).
=  + +
=  +  +
 
 
Logo, as raízes de 𝑝 são −4, −1 e 0. 
 
Resposta da questão 9: 
 [C] 
 
Temos: 
 
 =
= − + −
=  − + −
=  −  − +
2 3
4 3 2
3 2
2
1 2 3
x x x
x x 1
x 3x 4x 2x
x (x 3x 4x 2)
x (x 1) (x 2x 2).
 
 
Portanto, como 𝑥2 − 2𝑥 + 2 = 0 não possui raí-
zes reais, segue que apenas 𝑥 = 0 e 𝑥 = 1 
anulam 𝛥. 
 
Resposta da questão 10: 
 [E] 
 
Sabendo que 𝑚 e 𝑛 são as raízes da equação, 
pelas Relações de Girard, obtemos 
 
𝑚 + 𝑛 = −
𝑚
1
⇔ 𝑛 = −2𝑚 
e 
𝑚 ⋅ 𝑛 =
𝑛
1
⇔ 𝑛 ⋅ (1 −𝑚) = 0 ⇒ 𝑚 = 1. 
 
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• pág. 4 
 Portanto, 𝑛 = −2 e o resultado é 𝑚− 𝑛 = 1 − (−2) = 3. 
 
Resposta da questão 11: 
 [B] 
 
Se 𝑧 = −2𝑖é raiz de 𝑝, então 𝑧 = 2𝑖 também é raiz. Além 
disso, como 
 
3 2
2
2
p(x) x x 4x 4
x (x 1) 4(x 1)
(x 1)(x 4),
= + + +
= + + +
= + +
 
 
segue-se que 𝑧 = −1 também é raiz. 
 
Resposta da questão 12: 
 [E] 
 
Pelas Relações de Girard, temos: 
 
𝑥1𝑥2 + 𝑥1𝑥3 + 𝑥2𝑥3 =
−16
1
= −16 
e 
𝑥1𝑥2𝑥3 = −
−20
1
= 20. 
 
Portanto, 
 
1 2 1 3 2 3
1 2 3 1 2 3
x x x x x x1 1 1
x x x x x x
16
20
4
.
5
+ +
+ + =
−
=
= −
 
 
Resposta da questão 13: 
 [A] 
 
Aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini, vem: 
 
1 1 −5 3 5 −4
1 1 −4 −1 4 0
1 −3 −4 0
 
 
Assim, 
4 3 2
2 2
2
P(x) x 5x 3x 5x 4
(x 1) (x 3x 4)
(x 1) (x 4)(x 1).
= − + + −
= − − −
= − − + 
 
Portanto, como as outras duas raízes são 4 e −1, o va-
lor absoluto da diferença entre essas raízes é | − 1 −
4|  =  | − 5|  = 5. 
 
Resposta da questão 14: 
 [D] 
 
Das Relações de Girard, temos que 3 +
1
3
=
6
𝑎
⇔
𝑎
6
=
3
10
⇔ 𝑎 =
9
5
 e 3 ⋅
1
3
=
𝑝
𝑎
⇔ 𝑝 = 𝑎 =
9
5
. 
Portanto, 𝑎 + 𝑝 = 2𝑎 =
18
5
. 
 
Resposta da questão 15: 
 [B] 
 
Das Relações de Girard, temos que a soma 𝑆 
das raízes da equação 𝑦 = 𝑥3 − 𝑥2 − 6𝑥 é 
dada por 𝑆 = −
−1
1
= 1. 
 
 
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