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Vetores

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Vetores
Vetores são definidos como expressões
matemáticas que tem intensidade, direção e
sentido. São representados por seta acima da letra
usada para representá-lo . Um usado vetor
usado para representar uma força que atua sobre
uma dada partícula tem um ponto de aplicação
bem definido, a saber, a partícula propriamente
dita.
Dois vetores que têm a mesma intensidade,
a mesma direção e o mesmo sentido são
considerados iguais, independentemente de terem
ou não o mesmo ponto de aplicação; vetores iguais
podem ser representados pela mesma letra.
O vetor oposto de um dado vetor P é
definido como um vetor que tem a mesma
intensidade e a mesma direção de P e um sentido
oposto ao de P; o oposto de um vetor P é
denotado por –P. Em geral nos referimos aos
vetores P e –P como vetores iguais e
opostos.Obviamente P+(-P) = 0.
Vetores iguais
Vetores opostos
Decomposição de Vetores – Componentes
Retangulares de uma Força
Em muitos problemas será desejável
decompor uma força em dois componentes que
são perpendiculares entre si. Na figura, a força F
foi decomposta em um componente Fx ao longo do
eixo x e um componente Fy ao longo do eixo y. O
paralelogramo desenhado para se obterem os dois
componentes é um retângulo, e Fx e Fy são
chamados de componentes retangulares.
Os eixos x e y são, geralmente escolhidos
na horizontal e na vertical, respectivamente, como
na Figura; podem, entretanto, ser escolhidos em
duas direções perpendiculares quaisquer.
Dois vetores de intensidade unitária,
dirigidos respectivamente ao longo dos eixos
positivos x e y, serão introduzidos nesse ponto.
Esses vetores são denominados vetores unitários
e são representados por i e j, respectivamente. Os
componentes retangulares Fx e Fy da força F
podem ser obtidos multiplicando-se
respectivamente os vetores unitários i e j pelos
escalares apropriados. Escrevemos 
Fx = Fxi Fy = Fy j
e
F = Fxi + Fy j
Para que não haja confusão, o componente
escalar Fx é positivo quando o componente vetorial
Fx tiver o mesmo sentido que o vetor unitário i (ou
seja, o mesmo sentido que o eixo x positivo) e é
negativo quando Fx tiver sentido oposto. Pode-se
chegar a uma conclusão semelhante com relação
ao sinal do componente escalar Fy.
Representando por F a intensidade da força
F e por  o ângulo entre F e o eixo x, medido no
sentido anti-horário a partir do eixo x positivo,
podemos expressar os componentes retangulares
de F da seguinte maneira:
Fx = F.cos e Fy = F.sen
Notamos que as relações obtidas valem
para qualquer valor do ângulo , de 00 a 3600, e
que elas definem tanto o sinal quanto o valor
absoluto dos componentes escalares Fx e Fy.
Quando a força F é definida pelos seus
componentes retangulares Fx e Fy , o ângulo 
definindo sua direção pode ser obtido escrevendo-
se 
x
y
F
F
tg 
.
A intensidade da força F pode ser obtida
aplicando o teorema de Pitágoras e escrevendo-
se:
F = 
22
yx FF 
.
________________________________________
________________________________________
Exercícios:
01. Uma força de 800N é exercida no parafuso A,
como mostra a Figura. Determine os componentes
vertical e horizontal dessa força.
02. Um homem puxa com a força de 300N uma
corda amarrada a um edifício, como mostra a
figura. Quais são os componentes horizontal e
vertical da força exercida pela corda no ponto A?
03. Uma força F = (3,150N) i + (6,750N) j é
aplicada a um parafuso A. Determine a intensidade
da força e o ângulo  que ela forma com a
horizontal.
04. Determine os componentes x e y de cada uma
das forças indicadas:
(A)
 
(B) 
(C)
(D)
05. O elemento BD exerce sobre o elemento ABC
uma força P dirigida ao longo da linha BD.
Sabendo que P deve ter um componente vertical
de 960N, determine (a) a intensidade da força P e,
(b) seu componente horizontal.
06.O elemento CB de um torno de bancada
(morsa) exerce no bloco B uma força P dirigida ao
longo da linha CB. Sabendo que P deve ter um
componente horizontal de 1170N, determine (a) a
intensidade da força P, e (b) seu componente
vertical.
07. O cabo de sustentação BD exerce no poste
telefônico AC uma força P dirigida ao longo de BD.
Sabendo que P tem um componente de 450N ao
longo da linha AC, determine a intensidade da
força P,e (b) seu componente em direção
perpendicular a AC.
Adição de Forças Pela Soma dos Componetes
X e Y
Quando três ou mais forças são
adicionadas, a solução analítica do problema pode
ser obtida decompondo-se cada força em dois
componentes retangulares. Considere, por
exemplo, tres forças, P, Q e R atuando sobre uma
partícula A, a resultante é obtida pela relação:
R = P + Q + R
Decompondo cada força em seus componetes
retangulares, escrevemos
Rxi + Ry j = Pxi + Pyj + Qxi + Qyj + Rxi + Ryj
= (Px + Qx + Sx) i + (Py + Qy + Sy) j
De onde temos que
Rx = Px + Qx + Sx Ry = Py + Qy + Sy
Ou, em notação reduzida,
Rx =  Fx Ry = Fy
Concluímos que os componentes escalares
Rx e Ry da resultante R de várias forças que
atuem sobre uma partícula são obtidos
adicionando-se algebricamente os
correspondentes componentes escalares das
forças dadas.
Na prática, a determinação da resultante R
é feita em três passos. Primeiro as forças são
decompostas em seus componentes x e y de R.
Adicionado esses componentes, obtemos os
componentes x e y de R. Por fim, a resulatnte R =
Rxi + Ry j é determinada aplicando-se a lei do
paralelogramo. Este é o único método analítico
prático para a adição de três ou mais forças.
Exemplo: Determine a intensidade da força
resultante e indique sua direção, medida no
sentido anti-horário, em relação ao eixo x positivo.
 
Exercícios:
01.Determine a resultante das forças mostradas:
(A)
 
(B) 
(C)
(D)
Equilíbrio de uma Partícula
Se um ponto material estiver submetido a
um sistema de vária forças coplanares e
colineares, cada força poderá ser decomposta em
componentes x e y e para a condição de equilíbrio
é necessário que as seguintes condições sejam
atendidas.
  0xF
e
  0yF
Exercícios
01. .Dois cabos estão atados em C, onde é
aplicada uma carga. Determine as trações em AC
e BC, em cada caso:
A)
B)
C)
02.Dois cabos estão ligados em C e são
carregados tal como mostra a figura. Determine a
tração (a) no cabo AC e (b) no cabo BC.
03. Sabendo que α = 25◦, determine a tração (a) no
cabo AC e (b) na corda BC.
04.Sabendo que α = 50º e que a haste AC exerce
no pino C uma força dirigida ao longo da linha AC,
determine (a) a intensidade dessa força e (b) a
tração no cabo BC.
05. Dois cabos estão ligados em C e são
carregados tal como mostra a figura. Sabendo que
α = 30º , determine a tração (a) no cabo AC e (b)
no cabo BC.
06.Um teleférico parou na posição indicada.
Sabendo que cada, cadeira pesa 300N e que o
esquiador que está na cadeira E pesa 890N,
determine o peso do esquiador da cadeira F. 
07. Quatro elementos de madeira são unidos com
placas conectoras metálicas e estão em equilíbrio
sob a ação das quatro forças mostradas. Sabendo
que FA = 2295N e FB = 2160N, determine as
intensidades das outras duas forças.
08. Duas forças P e Q são aplicadas tal como
mostra a figura a uma conexão de uma aeronave.
Sabendo que a conexão está em equilíbrio e P =
1800N e Q = 2340N, determine as intensidades
das forçaas exercidas nas hastes A e B.
09. Dois cabos ligados em C são carregados tal
como mostra a figura. Sabendo que W = 840N,
determine a tração (a) no cabo AC e (b) no cabo
BC.
Forças no Espaço
Componentes Retangulares de uma força no
Espaço
Os problemas considerados na primeira
parte do estudo, consideraram