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somente duas
dimensões; podem ser formulados e solucionados
em um único plano. A Partir deste ponto, vamos
discutir problemas que envolvem as três
dimensões do espaço.
Considere a força F atuando na origem do
sistema de coordenadas retangulares x,y e z. Para
definir a direção de F, traçamos o plano vertical
OABC contendo F. Esse plano passa pelo eixo
vertical y; sua orientação é definida pelo ângulo 
que ele forma com o plano xy. A direção de F pode
ser decomposta em um componente vertical Fy e
um componente horizontal Fh; essa operação,
mostrada na figura, é feita no plano OBAC de
acordo com as regras desenvolvidas na primeira
parte do estudo. Os componentes escalares
correspondentes são:
Fy = F.cosy Fh = F.seny
Mas Fh pode ser decomposta em dois
componentes retangualres Fx e Fz ao longo dos
eixos x e z, respectivamente. Essa operação,
mostrada na figura, é feita no plano xz. Obtemos
as seguintes expressões para os componentes
escalares correspondentes:
Fx = Fh.cos = F. seny.cos 
Fz = Fh.sen = F. seny.sen
A força F dada foi então decomposta em
três componentes retangulares vetoriais Fx , Fy, Fz
que estão dirigidos ao longo dos três eixos
coordenados.
_________________________________________
_________________________________________
Aplicando o teorema de Pitágoras aos
triângulos OAB e OCD da figura acima,
escrevemos:
F2 = (AO)2 = (OB)2 + (BA)2 = Fy2 + Fh2
Fh2 = (OC)2 = (OD)2 + (DC)2 = Fx2 + Fz2
Eliminando Fh2 dessas duas equações e
resolvendo para F, obtemos a seguinte relação
entre a intensidade de F e seus componentes
retangulares escalares:
F2 = Fx2 + Fy2 + Fz2
A relação existente entre a força F e seus
três componentes Fx, Fy, Fz é mais facilmente
visualizada se uma “caixa” tendo Fx, Fy, Fz como
arestas for desenhada como tal mostra a figura. A
força F é então representada pela diagonal AO
dessa caixa. 
Fx = F.cosx Fy = F.cosy Fz = F.cosz 
Os três ângulos x, y z definem a direção
da força F; eles são mais comumente usados para
essa finalidade do que os ângulos y e 
apresentados no ínicio. Os cossenos de x, y z
são conhecidos como cossenos diretores da força
F.
Introduzindo os vetores unitários i, j e K,
dirigidos respectivamente ao longo dos eixos x, y e
z, podemos expressar F na forma 
F = Fx i + Fy j + Fz k
Exemplo 01: Uma força de 500N forma ângulos de
60 0, 450 e 1200, respectivamente, com os eixos x,
y e z. Encontre os componentes Fx, Fy, Fz da força.
Exemplo 02: A força F tem os componentes Fx, =
90N, Fy, = -135N, Fz = 270 N. Determine sua
intensidade F e os ângulos x, y z que essa força
forma com os eixos coordenados.
Exemplo 03. A componente de uma força de 300N
no plano xz vale 260N e seu ângulo formado com o
eixo é de 30º, como mostra a figura. Calcule,
Força definida por sua Intensidade e por dois
pontos em sua linha de Ação
Em muitas aplicações, a direção de uma
força F é definida pela coordenada de dois pontos,
M (x1, y1, z1) e N (x2, y2, z2), localizados em sua
linha de ação. Considere o vetor ligando M e
N e de
mesmo sentido de F. Representando seus
componentes escalares por dx, dy e dz ,
respectivamente, escrevemos 
 = dx i + dy j + dz k
O vetor unitário λ ao longo da linha de ação
de F pode ser obtido dividindo-se o vetor por
sua intensidade d (MN). Substituindo por de
dx i + dy j + dz k e observando que MN é igual a
distância d e M a N, escrevemos 
Lembrando que F é igual ao produto de F e
λ, temos:
Exemplo 04: Um cabo de sustentação de
uma torre está ancorado por meio de um parafuso
em A. A tração no cabo é de 2500N. Determine (a)
os componentes Fx, Fy, Fz da força que atua sobre
o parafuso, e (b) os ângulos x, y z que definem a
direção da força.
01.Determine (a) os componentes x,y e z da força
de 900N e (b) os ângulos x, y z que forma com
os eixos coordenados.
02.Determine (a) os componentes x,y e z da força
de 1890N e (b) os ângulos x, y z que forma com
os eixos coordenados.
03.Para se estabilizar uma árvore parcialmente
arrancada durante uma tempestade, os cabos AB
e AC são amarrados na parte superior do tronco da
árvore e depois são presos a hastes de aço
ancoradas no chão. Sabendo que a tração no cabo
AB é 4,2KN, determine (a) os componentes x,y e z
da força exercida por esse cabo na árvore, e (b) os
ângulos x, y z que forma com os eixos em A
paralelos aos eixos coordenados.
04. Para se estabilizar uma árvore parcialmente
arrancada durante uma tempestade, os cabos AB
e AC são amarrados na parte superior do tronco da
árvore e depois são presos a hastes de aço
ancoradas no chão. Sabendo que a tração no cabo
AC é 3,6KN, determine (a) os componentes x,y e z
da força exercidapor esse cabo na árvore, e (b) os
ângulos x, y z que forma com os eixos em A
paralelos aos eixos coordenados.
Utilize a figura para resolver as questões 05, 06, 07
e 08.
05.Uma placa circular horizontal está suspensa,
como mostra a figura, por três fios que estão
ligados a um suporte D e forma ângulos de 300
com a vertical. Sabendo que o componente x da
força exercida pelo fio AD na placa é de 220,6N,
determine (a) a tração no fio AD e (b) os ângulos
θx, θy e θz que a força exercida em A forma com os
eixos coordenados.
06. Uma placa circular horizontal está suspensa,
como mostra a figura, por três fios que estão
ligados a um suporte D e forma ângulos de 300
com a vertical. Sabendo que o componente z da
força exercida pelo fio BD na placa é de -64,28N,
determine (a) a tração no fio BD e (b) os ângulos
θx, θy e θz que a força exercida em B forma com os
eixos coordenados.
07. Uma placa circular horizontal está suspensa,
como mostra a figura, por três fios que estão
ligados a um suporte D e forma ângulos de 300
com a vertical. Sabendo que tração no fio CD é
540N, determine (a) os componentes da força
exercida por esse fio na placa e (b) os ângulos θx,
θy e θz que a força exercida em C forma com os
eixos coordenados.
08. Uma placa circular horizontal está suspensa,
como mostra a figura, por três fios que estão
ligados a um suporte D e forma ângulos de 300
com a vertical. Sabendo que o componente x da
força exercida pelo fio CD na placa é de -180N,
determine (a) a tração no fio CD e (b) os ângulos
θx, θy e θz que a força exercida em C forma com os
eixos coordenados.
09. Determine a intensidade, a direção e o sentido
da força F = (3600N) i + (1170N) j – (1440N) k.
10. Determine a intensidade, a direção e o sentido
da força F = (400N) i - (1200N) j + (300N) k.
Utilize a figura abaixo para resolver as questões 11
e 12.
11. Uma torre de transmissão é sustentada por três
cabos de sustentação ancorados por parafusos em
B, C e D. Se a tração no cabo AD é 1260N,
determine os componentes da força exercida pelo
cabo no parafuso em D.
12. Uma torre de transmissão é sustentada por
três cabos de sustentação ancorados por
parafusos em B, C e D. Se a tração no cabo AB é
918N, determine os componentes da força
exercida pelo cabo no parafuso em B.
Utilize a figura abaixo para resolver as questões 13
e 14.
13. Uma placa retangular é sustentada por três
cabos, tal como mostra a figura. Sabendo que a
tração no cabo AB é 918N, determine os
componentes da força exercida em B.
14. Uma placa retangular é sustentada por três
cabos, tal como mostra a figura. Sabendo que a
tração no cabo AD é 918N, determine os
componentes da força exercida em D.
Utilize a figura abaixo para resolver as questões 15
e 16.
15. Uma barra de aço é curvada em forma de anel
semicircular de raio 0,96m e é sustentada, em
parte, pelos cabos BD e BE, que estão amarrados
ao anel em B. Sabendo que a tração no cabo BD é
de 220N, determine os componentes dessa força
exercida pelo cabo