Vetores e Componentes Retangulares

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Vetores
Vetores são definidos como expressões
matemáticas que tem intensidade, direção e
sentido. São representados por seta acima da letra
usada para representá-lo . Um usado vetor
usado para representar uma força que atua sobre
uma dada partícula tem um ponto de aplicação
bem definido, a saber, a partícula propriamente
dita.
Dois vetores que têm a mesma intensidade,
a mesma direção e o mesmo sentido são
considerados iguais, independentemente de terem
ou não o mesmo ponto de aplicação; vetores iguais
podem ser representados pela mesma letra.
O vetor oposto de um dado vetor P é
definido como um vetor que tem a mesma
intensidade e a mesma direção de P e um sentido
oposto ao de P; o oposto de um vetor P é
denotado por –P. Em geral nos referimos aos
vetores P e –P como vetores iguais e
opostos.Obviamente P+(-P) = 0.
Vetores iguais
Vetores opostos
Decomposição de Vetores – Componentes
Retangulares de uma Força
Em muitos problemas será desejável
decompor uma força em dois componentes que
são perpendiculares entre si. Na figura, a força F
foi decomposta em um componente Fx ao longo do
eixo x e um componente Fy ao longo do eixo y. O
paralelogramo desenhado para se obterem os dois
componentes é um retângulo, e Fx e Fy são
chamados de componentes retangulares.
Os eixos x e y são, geralmente escolhidos
na horizontal e na vertical, respectivamente, como
na Figura; podem, entretanto, ser escolhidos em
duas direções perpendiculares quaisquer.
Dois vetores de intensidade unitária,
dirigidos respectivamente ao longo dos eixos
positivos x e y, serão introduzidos nesse ponto.
Esses vetores são denominados vetores unitários
e são representados por i e j, respectivamente. Os
componentes retangulares Fx e Fy da força F
podem ser obtidos multiplicando-se
respectivamente os vetores unitários i e j pelos
escalares apropriados. Escrevemos 
Fx = Fxi Fy = Fy j
e
F = Fxi + Fy j
Para que não haja confusão, o componente
escalar Fx é positivo quando o componente vetorial
Fx tiver o mesmo sentido que o vetor unitário i (ou
seja, o mesmo sentido que o eixo x positivo) e é
negativo quando Fx tiver sentido oposto. Pode-se
chegar a uma conclusão semelhante com relação
ao sinal do componente escalar Fy.
Representando por F a intensidade da força
F e por  o ângulo entre F e o eixo x, medido no
sentido anti-horário a partir do eixo x positivo,
podemos expressar os componentes retangulares
de F da seguinte maneira:
Fx = F.cos e Fy = F.sen
Notamos que as relações obtidas valem
para qualquer valor do ângulo , de 00 a 3600, e
que elas definem tanto o sinal quanto o valor
absoluto dos componentes escalares Fx e Fy.
Quando a força F é definida pelos seus
componentes retangulares Fx e Fy , o ângulo 
definindo sua direção pode ser obtido escrevendo-
se 
x
y
F
F
tg 
.
A intensidade da força F pode ser obtida
aplicando o teorema de Pitágoras e escrevendo-
se:
F = 
22
yx FF 
.
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Exercícios:
01. Uma força de 800N é exercida no parafuso A,
como mostra a Figura. Determine os componentes
vertical e horizontal dessa força.
02. Um homem puxa com a força de 300N uma
corda amarrada a um edifício, como mostra a
figura. Quais são os componentes horizontal e
vertical da força exercida pela corda no ponto A?
03. Uma força F = (3,150N) i + (6,750N) j é
aplicada a um parafuso A. Determine a intensidade
da força e o ângulo  que ela forma com a
horizontal.
04. Determine os componentes x e y de cada uma
das forças indicadas:
(A)
 
(B) 
(C)
(D)
05. O elemento BD exerce sobre o elemento ABC
uma força P dirigida ao longo da linha BD.
Sabendo que P deve ter um componente vertical
de 960N, determine (a) a intensidade da força P e,
(b) seu componente horizontal.
06.O elemento CB de um torno de bancada
(morsa) exerce no bloco B uma força P dirigida ao
longo da linha CB. Sabendo que P deve ter um
componente horizontal de 1170N, determine (a) a
intensidade da força P, e (b) seu componente
vertical.
07. O cabo de sustentação BD exerce no poste
telefônico AC uma força P dirigida ao longo de BD.
Sabendo que P tem um componente de 450N ao
longo da linha AC, determine a intensidade da
força P,e (b) seu componente em direção
perpendicular a AC.
Adição de Forças Pela Soma dos Componetes
X e Y
Quando três ou mais forças são
adicionadas, a solução analítica do problema pode
ser obtida decompondo-se cada força em dois
componentes retangulares. Considere, por
exemplo, tres forças, P, Q e R atuando sobre uma
partícula A, a resultante é obtida pela relação:
R = P + Q + R
Decompondo cada força em seus componetes
retangulares, escrevemos
Rxi + Ry j = Pxi + Pyj + Qxi + Qyj + Rxi + Ryj
= (Px + Qx + Sx) i + (Py + Qy + Sy) j
De onde temos que
Rx = Px + Qx + Sx Ry = Py + Qy + Sy
Ou, em notação reduzida,
Rx =  Fx Ry = Fy
Concluímos que os componentes escalares
Rx e Ry da resultante R de várias forças que
atuem sobre uma partícula são obtidos
adicionando-se algebricamente os
correspondentes componentes escalares das
forças dadas.
Na prática, a determinação da resultante R
é feita em três passos. Primeiro as forças são
decompostas em seus componentes x e y de R.
Adicionado esses componentes, obtemos os
componentes x e y de R. Por fim, a resulatnte R =
Rxi + Ry j é determinada aplicando-se a lei do
paralelogramo. Este é o único método analítico
prático para a adição de três ou mais forças.
Exemplo: Determine a intensidade da força
resultante e indique sua direção, medida no
sentido anti-horário, em relação ao eixo x positivo.
 
Exercícios:
01.Determine a resultante das forças mostradas:
(A)
 
(B) 
(C)
(D)
Equilíbrio de uma Partícula
Se um ponto material estiver submetido a
um sistema de vária forças coplanares e
colineares, cada força poderá ser decomposta em
componentes x e y e para a condição de equilíbrio
é necessário que as seguintes condições sejam
atendidas.
  0xF
e
  0yF
Exercícios
01. .Dois cabos estão atados em C, onde é
aplicada uma carga. Determine as trações em AC
e BC, em cada caso:
A)
B)
C)
02.Dois cabos estão ligados em C e são
carregados tal como mostra a figura. Determine a
tração (a) no cabo AC e (b) no cabo BC.
03. Sabendo que α = 25◦, determine a tração (a) no
cabo AC e (b) na corda BC.
04.Sabendo que α = 50º e que a haste AC exerce
no pino C uma força dirigida ao longo da linha AC,
determine (a) a intensidade dessa força e (b) a
tração no cabo BC.
05. Dois cabos estão ligados em C e são
carregados tal como mostra a figura. Sabendo que
α = 30º , determine a tração (a) no cabo AC e (b)
no cabo BC.
06.Um teleférico parou na posição indicada.
Sabendo que cada, cadeira pesa 300N e que o
esquiador que está na cadeira E pesa 890N,
determine o peso do esquiador da cadeira F. 
07. Quatro elementos de madeira são unidos com
placas conectoras metálicas e estão em equilíbrio
sob a ação das quatro forças mostradas. Sabendo
que FA = 2295N e FB = 2160N, determine as
intensidades das outras duas forças.
08. Duas forças P e Q são aplicadas tal como
mostra a figura a uma conexão de uma aeronave.
Sabendo que a conexão está em equilíbrio e P =
1800N e Q = 2340N, determine as intensidades
das forçaas exercidas nas hastes A e B.
09. Dois cabos ligados em C são carregados tal
como mostra a figura. Sabendo que W = 840N,
determine a tração (a) no cabo AC e (b) no cabo
BC.
Forças no Espaço
Componentes Retangulares de uma força no
Espaço
Os problemas considerados na primeira
parte do estudo, consideraramsomente duas
dimensões; podem ser formulados e solucionados
em um único plano. A Partir deste ponto, vamos
discutir problemas que envolvem as três
dimensões do espaço.
Considere a força F atuando na origem do
sistema de coordenadas retangulares x,y e z. Para
definir a direção de F, traçamos o plano vertical
OABC contendo F. Esse plano passa pelo eixo
vertical y; sua orientação é definida pelo ângulo 
que ele forma com o plano xy. A direção de F pode
ser decomposta em um componente vertical Fy e
um componente horizontal Fh; essa operação,
mostrada na figura, é feita no plano OBAC de
acordo com as regras desenvolvidas na primeira
parte do estudo. Os componentes escalares
correspondentes são:
Fy = F.cosy Fh = F.seny
Mas Fh pode ser decomposta em dois
componentes retangualres Fx e Fz ao longo dos
eixos x e z, respectivamente. Essa operação,
mostrada na figura, é feita no plano xz. Obtemos
as seguintes expressões para os componentes
escalares correspondentes:
Fx = Fh.cos = F. seny.cos 
Fz = Fh.sen = F. seny.sen
A força F dada foi então decomposta em
três componentes retangulares vetoriais Fx , Fy, Fz
que estão dirigidos ao longo dos três eixos
coordenados.
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Aplicando o teorema de Pitágoras aos
triângulos OAB e OCD da figura acima,
escrevemos:
F2 = (AO)2 = (OB)2 + (BA)2 = Fy2 + Fh2
Fh2 = (OC)2 = (OD)2 + (DC)2 = Fx2 + Fz2
Eliminando Fh2 dessas duas equações e
resolvendo para F, obtemos a seguinte relação
entre a intensidade de F e seus componentes
retangulares escalares:
F2 = Fx2 + Fy2 + Fz2
A relação existente entre a força F e seus
três componentes Fx, Fy, Fz é mais facilmente
visualizada se uma “caixa” tendo Fx, Fy, Fz como
arestas for desenhada como tal mostra a figura. A
força F é então representada pela diagonal AO
dessa caixa. 
Fx = F.cosx Fy = F.cosy Fz = F.cosz 
Os três ângulos x, y z definem a direção
da força F; eles são mais comumente usados para
essa finalidade do que os ângulos y e 
apresentados no ínicio. Os cossenos de x, y z
são conhecidos como cossenos diretores da força
F.
Introduzindo os vetores unitários i, j e K,
dirigidos respectivamente ao longo dos eixos x, y e
z, podemos expressar F na forma 
F = Fx i + Fy j + Fz k
Exemplo 01: Uma força de 500N forma ângulos de
60 0, 450 e 1200, respectivamente, com os eixos x,
y e z. Encontre os componentes Fx, Fy, Fz da força.
Exemplo 02: A força F tem os componentes Fx, =
90N, Fy, = -135N, Fz = 270 N. Determine sua
intensidade F e os ângulos x, y z que essa força
forma com os eixos coordenados.
Exemplo 03. A componente de uma força de 300N
no plano xz vale 260N e seu ângulo formado com o
eixo é de 30º, como mostra a figura. Calcule,
Força definida por sua Intensidade e por dois
pontos em sua linha de Ação
Em muitas aplicações, a direção de uma
força F é definida pela coordenada de dois pontos,
M (x1, y1, z1) e N (x2, y2, z2), localizados em sua
linha de ação. Considere o vetor ligando M e
N e de
mesmo sentido de F. Representando seus
componentes escalares por dx, dy e dz ,
respectivamente, escrevemos 
 = dx i + dy j + dz k
O vetor unitário λ ao longo da linha de ação
de F pode ser obtido dividindo-se o vetor por
sua intensidade d (MN). Substituindo por de
dx i + dy j + dz k e observando que MN é igual a
distância d e M a N, escrevemos 
Lembrando que F é igual ao produto de F e
λ, temos:
Exemplo 04: Um cabo de sustentação de
uma torre está ancorado por meio de um parafuso
em A. A tração no cabo é de 2500N. Determine (a)
os componentes Fx, Fy, Fz da força que atua sobre
o parafuso, e (b) os ângulos x, y z que definem a
direção da força.
01.Determine (a) os componentes x,y e z da força
de 900N e (b) os ângulos x, y z que forma com
os eixos coordenados.
02.Determine (a) os componentes x,y e z da força
de 1890N e (b) os ângulos x, y z que forma com
os eixos coordenados.
03.Para se estabilizar uma árvore parcialmente
arrancada durante uma tempestade, os cabos AB
e AC são amarrados na parte superior do tronco da
árvore e depois são presos a hastes de aço
ancoradas no chão. Sabendo que a tração no cabo
AB é 4,2KN, determine (a) os componentes x,y e z
da força exercida por esse cabo na árvore, e (b) os
ângulos x, y z que forma com os eixos em A
paralelos aos eixos coordenados.
04. Para se estabilizar uma árvore parcialmente
arrancada durante uma tempestade, os cabos AB
e AC são amarrados na parte superior do tronco da
árvore e depois são presos a hastes de aço
ancoradas no chão. Sabendo que a tração no cabo
AC é 3,6KN, determine (a) os componentes x,y e z
da força exercidapor esse cabo na árvore, e (b) os
ângulos x, y z que forma com os eixos em A
paralelos aos eixos coordenados.
Utilize a figura para resolver as questões 05, 06, 07
e 08.
05.Uma placa circular horizontal está suspensa,
como mostra a figura, por três fios que estão
ligados a um suporte D e forma ângulos de 300
com a vertical. Sabendo que o componente x da
força exercida pelo fio AD na placa é de 220,6N,
determine (a) a tração no fio AD e (b) os ângulos
θx, θy e θz que a força exercida em A forma com os
eixos coordenados.
06. Uma placa circular horizontal está suspensa,
como mostra a figura, por três fios que estão
ligados a um suporte D e forma ângulos de 300
com a vertical. Sabendo que o componente z da
força exercida pelo fio BD na placa é de -64,28N,
determine (a) a tração no fio BD e (b) os ângulos
θx, θy e θz que a força exercida em B forma com os
eixos coordenados.
07. Uma placa circular horizontal está suspensa,
como mostra a figura, por três fios que estão
ligados a um suporte D e forma ângulos de 300
com a vertical. Sabendo que tração no fio CD é
540N, determine (a) os componentes da força
exercida por esse fio na placa e (b) os ângulos θx,
θy e θz que a força exercida em C forma com os
eixos coordenados.
08. Uma placa circular horizontal está suspensa,
como mostra a figura, por três fios que estão
ligados a um suporte D e forma ângulos de 300
com a vertical. Sabendo que o componente x da
força exercida pelo fio CD na placa é de -180N,
determine (a) a tração no fio CD e (b) os ângulos
θx, θy e θz que a força exercida em C forma com os
eixos coordenados.
09. Determine a intensidade, a direção e o sentido
da força F = (3600N) i + (1170N) j – (1440N) k.
10. Determine a intensidade, a direção e o sentido
da força F = (400N) i - (1200N) j + (300N) k.
Utilize a figura abaixo para resolver as questões 11
e 12.
11. Uma torre de transmissão é sustentada por três
cabos de sustentação ancorados por parafusos em
B, C e D. Se a tração no cabo AD é 1260N,
determine os componentes da força exercida pelo
cabo no parafuso em D.
12. Uma torre de transmissão é sustentada por
três cabos de sustentação ancorados por
parafusos em B, C e D. Se a tração no cabo AB é
918N, determine os componentes da força
exercida pelo cabo no parafuso em B.
Utilize a figura abaixo para resolver as questões 13
e 14.
13. Uma placa retangular é sustentada por três
cabos, tal como mostra a figura. Sabendo que a
tração no cabo AB é 918N, determine os
componentes da força exercida em B.
14. Uma placa retangular é sustentada por três
cabos, tal como mostra a figura. Sabendo que a
tração no cabo AD é 918N, determine os
componentes da força exercida em D.
Utilize a figura abaixo para resolver as questões 15
e 16.
15. Uma barra de aço é curvada em forma de anel
semicircular de raio 0,96m e é sustentada, em
parte, pelos cabos BD e BE, que estão amarrados
ao anel em B. Sabendo que a tração no cabo BD é
de 220N, determine os componentes dessa força
exercida pelo cabono suporte em D.
16. . Uma barra de aço é curvada em forma de
anel semicircular de raio 0,96m e é sustentada, em
parte, pelos cabos BD e BE, que estão amarrados
ao anel em B. Sabendo que a tração no cabo BE é
de 250N, determine os componentes dessa força
exercida pelo cabo no suporte em E.
Equilíbrio de uma Partícula no Espaço
De acordo com a definição dada, uma
partícula A estará em equilíbrio se a resultante de
todas as forças que atuam em A for zero. Os
componentes Rx, Ry e Rz da resultante são dados
pelas relações Fx = Rx, Fy = Ry, e Fz = Rz.;
expressando que os componentes da resultante
são zero, escrevemos 
Fx =0 , Fy = 0, e Fz = 0.
As Equações representam as condições
necessárias e suficientes para o equilíbrio de uma
partícula no espaço. Podem ser usadas na
resolução de problemas relacionados ao equilíbrio
de uma partícula que envolvam não mais do que
três incógnitas.
Para resolver tais problemas, deve-se
primeiro desenhar um diagrama de corpo livre
representando a partícula em equilíbrio e todas as
forças que atuam nela.
01) Um caixote de 750 kg é sustentado por três
cabos, como mostra a figura. Determine a tração
em cada cabo.
02. Um recipiente de peso P=1160N está suspenso
por três cabos, como ilustrado. Determine a tração
em cada cabo.
03. Três cabos são usados para amarrar uma
balão, tal como mostra a ilustração. Determine a
força vertical P exercida pelo balão em A, sabendo
que a tração no cabo AB é 270N.
04. O conjunto de apoios mostrado na ilustração é
aparafusado no local em B, C e D, e sustenta uma
força P para baixo em A. sabendo que as força nos
elementos AB, AC e AD são dirigidas ao longo dos
seus respectivos elementos e que a força no
elemento AB é 146N, determine a intensidade de
P.
Trabalho de Estática
01. Determine a resultante das forças mostradas:
(A)
 
(B) 
02. Dois cabos estão ligados em C e são
carregados tal como mostra a figura. Determine a
tração (a) no cabo AC e (b) no cabo BC.
03. Se a intensidade da força resultante deve ser
9KN direcionada ao longo do eixo x positivo,
determine a intensidade da força T que atua sobre
a argola e seu ângulo .
=30,6o e T = 6,6,KN
04.A caminhoneta precisa ser rebocada usando
duas cordas. Determine as intensidades das forças
FA e FB que atuam em cada corda para produzir
uma força de intensidade de 950N, orientada ao
longo do eixo x positivo. Considere  = 50◦.
FA = 774N e FB = 346 N
05. Sabendo que α = 30◦, determine a tração (a) no
cabo AC e (b) na corda BC.
06. Se a intensidade da força resultante que atua
sobre a argola é de 600N e sua direção no sentido
horário do eixo x positivo é  = 30o, determine a
intensidade de F1 e o ângulo .
R: =42,4o F1=730,9N 
07.Se os cabos BD e BC podem suportar uma
força de tração máxima de 20KN, determine a
massa da viga que pode ser suspensa pelo cabo
AB, de modo que nenhum cabo se rompa. O
centro de massa da viga está localizado ao ponto
G.
R=2785Kg
08.O pendente de reboque AB está submetido à
força de 50KN exercida por um rebocador.
Determine a força em cada um dos cabos de
amarração, BC e BD, se o navio está se movendo
para a frente em velocidade constante.
TBC = 22,3 KN e TBD = 32,6KN
09. Se o bloco D pesa 1,5KN e o bloco B pesa
1,375 KN, determine o peso do bloco C e o ângulo
 para o equilíbrio.
Pc=1,2KN e  = 40,90
10.Determine a tração desenvolvida em cada um
dos fios usados para sustentar o candelabro de
50Kg.
R: FCD = 359N ; FBD = 440N ; FAB = 622N ; FBC =
228N
11. Se a tração desenvolvida em cada um dos
quatro fios não pode exceder 600N, determine a
maior massa do candelabro que pode ser
suportada.
R: 48,2 Kg.
12.Determine o peso máximo do balde que o
sistema de fios pode suportar, de modo que
nenhum fio desenvolva uma tração maior que
0,5KN.
R: W = 0,289 KN
13.A esfera D possui uma massa de 20Kg. Se uma
força F = 100 N é aplicada horizontalmente no anel
A, determine a dimensão d, de modo que a força
no cabo AC seja zero.
R: 2,42m