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Expressão Gráfica Aula 03 Tangência e Concordância ENGENHARIAS Professor Eduardo Maeda eduardo.maeda@portalamericas.com.br Concordância - Chama-se concordância de duas linhas curvas ou de uma reta com uma curva, a ligação entre elas, executada de tal forma, que se possa passar de uma para outra, sem ângulo, inflexão ou ponto de descontinuidade. Antes de iniciar qualquer construção com compasso, deve- se apontar, usando a lixa (pode-se usar lixa de unha). Ajusta-se a folha de papel, abrindo a régua guia da prancheta, para que o papel fique alinhado (orientado pelas margens) e preso completamente, para que não ocorra movimentos no papel. Ponta seca do compasso Lixar o grafite do compasso de modo a chanfrá-lo para dentro Nesse caso, usaremos as lapiseiras 0.5 e 0.7, além de compasso com a ponta de grafite apontada, como mostrado abaixo, para que o traço seja o mais preciso possível, evitando traços duplos. Verifiquem se o traço do grafite do compasso está na mesma espessura do traço da lapiseira 0.7, A concordância em desenho geométrico se baseia nos seguintes princípios: 1 - Tangenciar um ponto significa contê-lo no traçado; Exemplo: observe a tangência da circunferência 𝛼 e a reta r no ponto P: 𝑅𝑒𝑡𝑎 𝑟 𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑇𝑎𝑛𝑔ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑂 𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑃 𝛼1 𝛼2 𝛼1 𝛼2 𝑂1𝑂2𝑃 𝑃 𝑅1 𝑅2𝑅1 𝑅2 𝑂2 2 - Para concordar um arco com uma reta é necessário que o ponto de concordância e o centro do arco, estejam ambos sobre uma mesma perpendicular; Exemplo: tangências entre as circunferências 𝛼1 e 𝛼2 no ponto P. No ponto de Tangência (𝑄), há um ângulo de 90º entre a reta r e o segmento 𝑂𝑄. 𝑄 A tangências entre as circunferências 𝛼1 e 𝛼2 é construída de tal maneira que a interceptação entre ambas ocorre em um único ponto (P) e, a reta intercepta ambos centro, 𝑂1 e 𝑂2 𝑂1 𝑅𝑒𝑡𝑎 𝑟 𝑅𝑒𝑡𝑎 𝑟 3 - Para concordar dois arcos, o ponto de concordância assim como os centros dos arcos, devem estar sobre uma mesma reta, que é normal aos arcos no ponto de concordância. Exemplo: concordância de circunferências no mesmo sentido e em sentidos contrários. 𝛼1 𝛼2 𝑂1 𝑂2𝑃𝑅1 𝑅2 𝛼1 𝛼2 𝑂1 𝑂2 𝑃 𝑅1 𝑅2 A figura à direita mostra os arcos 𝛼, 𝛼1, 𝛼2, 𝛼3 𝑒 𝛼4 concordando entre si. Arco é um traço curvo, de raio R, que irá concordar com outra construção geométrica. Um arco sempre representa um ângulo de abertura. Construção de Tangências Caso 01 – Tangência Externa – circunferências e retas 1. Unir os pontos 𝑂1 e 𝑂2, ou seja, construir o segmento 𝑂1𝑂2. 2. Traçar a Mediatriz do segmento 𝑂1𝑂2 , marcando o ponto M, colocando a ponta seca do compasso em uma das origens, abrindo o compasso de modo que o arco seja maior que a metade do segmento 𝑂1𝑂2.3. Com o centro em M (Mediatriz) e a abertura do compasso até 𝑂1 ou 𝑂2, trace a circunferência 𝛼3; 4. Com o centro em 𝑂2, traçar a circunferência 𝛼4, com o raio 𝑅2 − 𝑅1; Para executar esse passo, trace uma reta, usando um esquadro, abra o compasso, posicionando a ponta seca em 𝑂2,marque sobre a reta 𝑅2. Faça o mesmo para 𝑅1, conforme mostrado abaixo: 0 𝑅1 𝑅2 𝑅2 − 𝑅1 5. Na intersecção de 𝛼3 e 𝛼4, determine o ponto 𝑃1; e 𝑃1′ pontos de intersecção entre essas circunferências. 6. Passe uma pelos pontos 𝑂2 e 𝑃1 e chame essa reta de 𝑡1; 7. Na intersecção da reta 𝑡1 com a circunferência 𝛼2, determine o ponto 𝑃2; 8. Traçar uma reta paralela à reta 𝑡1 , partindo de 𝑂1 e chame de 𝑡2; 9. Na intersecção da reta 𝑡2 com a circunferência 𝛼1, determine o ponto 𝑃3; reta de 𝑡1 Prolongue essa reta até que se intercepte a circunferência 𝛼2 , determinando o ponto 𝑃2. reta 𝑡2′ reta 𝑡1′ ponto 𝑃3′ Da mesma forma que foi feito no passo 8, faça a construção das retas 𝑡1′𝑒 𝑡2′ reta de 𝑡1 reta 𝑡2 Observe que foram construídos pontos opostos em 𝛼1 𝑒 𝛼2 , sendo chamados de 𝑃2′ 𝑒 𝑃3′. Esses pontos serão os pontos de tangência externa, de modo que ao ligá-los, teremos as tangências externas às circunferências 𝛼1 𝑒 𝛼2. Obs.: é muito comum que o traço da lapiseira, a traçar as tangências não estejam na mesma espessura do traço do compasso, então, verifiquem a ponta do compasso e apontem, usando a lixa. 10. Ligar os pontos 𝑃2 e 𝑃3. Caso 02 – Tangência Interna – Circunferência e Reta Para a construção, seguiremos os passos: 1. Unir os pontos 𝑂1 e 𝑂2; 2. Traçar a Mediatriz do segmento 𝑂1𝑂2 , marcando o ponto M; 3. Com o centro do compasso em 𝑂1 e Raio (𝑅1 + 𝑅2), traça- se a circunferência auxiliar; 4. Com a ponta seca do compasso em M, construa a circunferência de Raio, 𝑅 = 𝑀𝑂1, que corta com a reta auxiliar 𝑇1; 5. O segmento 𝑂2𝑇1 é tangente à circunferência auxiliar, sendo 𝑂2𝑇1 paralela e igual à tangente procurada AB; 𝑅1 𝑅2 0 𝑅1 𝑅2 𝑅1 + 𝑅2 Construção para determinar a soma de raios, ou seja 𝑹𝟏 + 𝑹𝟐 - usa-se o compasso para determinar os raios 𝑅1 e 𝑅2, marcando os pontos que representam os raios, um, seguido do outro e, finalmente, do ponto 0 ao ponto 𝑅2, teremos a soma 𝑅1 + 𝑅2. Com essa abertura, construa a circunferência 𝛼4 Observe que, ao construir o arco 𝛼4, na intersecção com 𝛼3, determina-se o ponto A. E como dois pontos, A e 𝑂1, traça-se uma reta (reta r) uma reta para determinar o ponto 𝑇1, sobre a intersecção de 𝛼1 com a reta r. Todos os traços para a construção do desenho (tangências), usa-se a lapiseira 0.5 e, no final, quando for traçar a tangência, usa-se a lapiseira 0.7, pois trata-se da linha de desenho. 6. Ligar os pontos 𝑂1 e 𝑇1 e prolongar para se obter o ponto A; 7. Traçar a reta paralela até o ponto A. Dessa forma, vocês podem, observando passo a passo, construir os desenhos das Folhas 05 e 06. Folha 05 Folha 06 Tangência Externa – Circunferências Essa tangente é assim denominada, pois o centro do arco tangente às duas circunferências é externo a ambas, como veremos na construção, através das seguintes instruções: 1. Traçar duas circunferências 𝛼3 e 𝛼4 com raios (𝑅1 + 𝑅3) e (𝑅2 + 𝑅3) com o centro em 𝑂1 e 𝑂2, respectivamente; 2. Os pontos de intersecção 𝑃1 e 𝑃2 entre as circunferências 𝛼3 e 𝛼4 determinam o centro do raio 𝑅3; 3. Passar a reta 𝑡1 pelos pontos 𝑃1 até 𝑂1 e determinar o ponto 𝑃3 na intersecção de 𝛼1; 4. Passar uma reta 𝑡2 pelos pontos 𝑃1 até o ponto 𝑂2 e determinar o ponto 𝑃4 na intersecção de 𝑡2 com 𝛼2; 𝑅1 𝑅2 𝛼3 𝛼4 Na intersecção dos arcos 𝛼3 𝑒 𝛼4 , marque os pontos 𝑃1 𝑒 𝑃2. Régua 0 𝑅3 = 25𝑚𝑚 𝟐𝟓𝒎𝒎 = 𝟐, 𝟓𝒄𝒎 𝑅1 𝑅3 + 𝑅1 𝑅2 𝑅3 + 𝑅2 Tangência Externa, com o raio dado R25, ou seja, o Raio = 25mm Tangência Externa, com o raio dado R25, ou seja, o Raio = 25mm Tangência interna, com o raio dado R80, ou seja, o Raio = 80mm 5. 𝑃3 e 𝑃4 serão os pontos de tangência entre as circunferências. Através das orientações, você poderá construir o desenho da Folha 07. Tangência externa às circunferências. Tangência Interna – Circunferências Essa tangente é assim denominada, pois o centro do arco tangente às duas circunferências é interno a ambas, como veremos na construção, através das seguintes instruções: 1. Traçar uma circunferência 𝛼3 de raio (𝑅3 − 𝑅1) com o centro 𝑂1 em uma circunferência 𝛼3 de raio (𝑅3 − 𝑅2) com o centro 𝑂2; 2. Na intersecção entre as circunferências 𝛼3 e 𝛼4 determinar os pontos 𝑃1 e 𝑃2; 3. Passar a reta 𝑡1 pelos pontos 𝑃1 e 𝑂1 e outra reta 𝑡2 com os pontos 𝑃1 e 𝑂2; O raio 3, 𝑅3 é dado e vale 50mm. 𝑅1 𝑅2 𝛼3 𝛼4 𝛼4 Régua 0 𝑅3 = 50𝑚𝑚𝑅1 𝑅3 − 𝑅2 𝑅2 𝑅3 − 𝑅1 𝑅3 = 50𝑚𝑚 = 5,0𝑐𝑚Subtração de Raio, a partir de um raio dado, a fim de construir o arco tangência interno às circunferências 𝛼1 𝑒 𝛼2. Obs.: para construir o desenho d Folha 09, observem a construção do desenho da Folha 05 , pois você usará as mesmas regras. Folha 05 Folha 09 4. Na intersecção da reta 𝑡1 com 𝛼1 e a reta 𝑡2 com 𝛼2 teremos os pontos de tangência𝑃3 e 𝑃4, respectivamente; 5. Com o centro em 𝑃1 e abertura do compasso até 𝑃3, traçar um arco que irá tangenciar 𝛼1 e 𝛼2. Dessa forma, siga as instruções e construa o desenho da folha 08.
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