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Aula 03 - Tangência e Concordância

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Expressão 
Gráfica
Aula 03
Tangência e 
Concordância
ENGENHARIAS 
Professor Eduardo Maeda
eduardo.maeda@portalamericas.com.br
Concordância - Chama-se concordância de duas linhas curvas ou de uma reta com uma curva, a ligação entre
elas, executada de tal forma, que se possa passar de uma para outra, sem ângulo, inflexão ou ponto de
descontinuidade.
Antes de iniciar qualquer construção com compasso, deve-
se apontar, usando a lixa (pode-se usar lixa de unha).
Ajusta-se a folha de papel, abrindo a régua guia da
prancheta, para que o papel fique alinhado (orientado
pelas margens) e preso completamente, para que não
ocorra movimentos no papel.
Ponta seca do 
compasso
Lixar o grafite do compasso de 
modo a chanfrá-lo para dentro
Nesse caso, usaremos as lapiseiras 0.5 e 0.7, além de compasso
com a ponta de grafite apontada, como mostrado abaixo, para
que o traço seja o mais preciso possível, evitando traços duplos.
Verifiquem se o traço do grafite do
compasso está na mesma
espessura do traço da lapiseira 0.7,
A concordância em desenho geométrico se baseia nos seguintes princípios:
1 - Tangenciar um ponto significa contê-lo no traçado;
Exemplo: observe a tangência da circunferência 𝛼 e a reta r no ponto P:
𝑅𝑒𝑡𝑎 𝑟
𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑇𝑎𝑛𝑔ê𝑛𝑐𝑖𝑎
𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑂
𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑃
𝛼1
𝛼2
𝛼1
𝛼2
𝑂1𝑂2𝑃 𝑃 𝑅1 𝑅2𝑅1 𝑅2
𝑂2
2 - Para concordar um arco com uma reta é
necessário que o ponto de concordância e o
centro do arco, estejam ambos sobre uma
mesma perpendicular;
Exemplo: tangências entre as circunferências
𝛼1 e 𝛼2 no ponto P. No ponto de Tangência (𝑄),
há um ângulo de 90º entre a
reta r e o segmento 𝑂𝑄.
𝑄
A tangências entre as circunferências
𝛼1 e 𝛼2 é construída de tal maneira
que a interceptação entre ambas
ocorre em um único ponto (P) e, a
reta intercepta ambos centro, 𝑂1 e 𝑂2
𝑂1
𝑅𝑒𝑡𝑎 𝑟 𝑅𝑒𝑡𝑎 𝑟
3 - Para concordar dois arcos, o ponto de concordância assim como os centros dos arcos, devem estar sobre uma
mesma reta, que é normal aos arcos no ponto de concordância.
Exemplo: concordância de circunferências no mesmo sentido e em sentidos contrários.
𝛼1
𝛼2
𝑂1 𝑂2𝑃𝑅1 𝑅2
𝛼1
𝛼2
𝑂1 𝑂2
𝑃 𝑅1
𝑅2
A figura à direita mostra
os arcos 𝛼, 𝛼1, 𝛼2, 𝛼3 𝑒 𝛼4
concordando entre si.
Arco é um traço curvo, de
raio R, que irá concordar com
outra construção geométrica.
Um arco sempre representa
um ângulo de abertura.
Construção de Tangências
Caso 01 – Tangência Externa – circunferências e retas
1. Unir os pontos 𝑂1 e 𝑂2,
ou seja, construir o
segmento 𝑂1𝑂2.
2. Traçar a Mediatriz do segmento
𝑂1𝑂2 , marcando o ponto M,
colocando a ponta seca do
compasso em uma das origens,
abrindo o compasso de modo que
o arco seja maior que a metade do
segmento 𝑂1𝑂2.3. Com o centro em M (Mediatriz)
e a abertura do compasso até 𝑂1
ou 𝑂2, trace a circunferência 𝛼3;
4. Com o centro em 𝑂2, traçar a circunferência 𝛼4, com o raio 𝑅2 − 𝑅1;
Para executar esse passo, trace uma reta, usando um esquadro, abra o
compasso, posicionando a ponta seca em 𝑂2,marque sobre a reta 𝑅2. Faça
o mesmo para 𝑅1, conforme mostrado abaixo:
0 𝑅1 𝑅2
𝑅2 − 𝑅1
5. Na intersecção de 𝛼3 e 𝛼4, determine o ponto 𝑃1; e 𝑃1′
pontos de intersecção entre essas circunferências.
6. Passe uma pelos pontos 𝑂2 e 𝑃1
e chame essa reta de 𝑡1;
7. Na intersecção da reta 𝑡1 com a
circunferência 𝛼2, determine o ponto 𝑃2;
8. Traçar uma reta paralela à
reta 𝑡1 , partindo de 𝑂1 e
chame de 𝑡2;
9. Na intersecção da reta 𝑡2 com a
circunferência 𝛼1, determine o ponto 𝑃3;
reta de 𝑡1
Prolongue essa reta
até que se intercepte
a circunferência 𝛼2 ,
determinando o
ponto 𝑃2.
reta 𝑡2′
reta 𝑡1′
ponto 𝑃3′
Da mesma forma que foi feito 
no passo 8, faça a construção 
das retas 𝑡1′𝑒 𝑡2′
reta de 𝑡1
reta 𝑡2
Observe que foram construídos pontos opostos em 𝛼1 𝑒 𝛼2 , sendo
chamados de 𝑃2′ 𝑒 𝑃3′.
Esses pontos serão os pontos de tangência externa, de modo que ao
ligá-los, teremos as tangências externas às circunferências 𝛼1 𝑒 𝛼2.
Obs.: é muito comum que o traço da lapiseira, a traçar as tangências
não estejam na mesma espessura do traço do compasso, então,
verifiquem a ponta do compasso e apontem, usando a lixa.
10. Ligar os pontos 𝑃2 e 𝑃3.
Caso 02 – Tangência Interna – Circunferência e Reta
Para a construção, seguiremos os passos:
1. Unir os pontos 𝑂1 e 𝑂2;
2. Traçar a Mediatriz
do segmento 𝑂1𝑂2 ,
marcando o ponto M;
3. Com o centro do compasso
em 𝑂1 e Raio (𝑅1 + 𝑅2), traça-
se a circunferência auxiliar;
4. Com a ponta seca do
compasso em M, construa a
circunferência de Raio, 𝑅 = 𝑀𝑂1,
que corta com a reta auxiliar 𝑇1;
5. O segmento 𝑂2𝑇1 é tangente
à circunferência auxiliar, sendo
𝑂2𝑇1 paralela e igual à tangente
procurada AB;
𝑅1
𝑅2
0 𝑅1
𝑅2
𝑅1 + 𝑅2
Construção para determinar a soma de raios, ou seja 𝑹𝟏 + 𝑹𝟐 - usa-se o compasso para determinar os raios 𝑅1 e
𝑅2, marcando os pontos que representam os raios, um, seguido do outro e, finalmente, do ponto 0 ao ponto 𝑅2,
teremos a soma 𝑅1 + 𝑅2.
Com essa abertura, construa a
circunferência 𝛼4
Observe que, ao construir o arco 𝛼4, na intersecção com 𝛼3, determina-se o ponto A. E como dois pontos, A e 𝑂1, 
traça-se uma reta (reta r) uma reta para determinar o ponto 𝑇1, sobre a intersecção de 𝛼1 com a reta r.
Todos os traços para a construção do desenho
(tangências), usa-se a lapiseira 0.5 e, no final, quando
for traçar a tangência, usa-se a lapiseira 0.7, pois
trata-se da linha de desenho.
6. Ligar os pontos 𝑂1 e 𝑇1 e
prolongar para se obter o ponto A;
7. Traçar a reta paralela até o ponto A.
Dessa forma, vocês podem,
observando passo a passo,
construir os desenhos das
Folhas 05 e 06.
Folha 05 Folha 06 
Tangência Externa – Circunferências
Essa tangente é assim denominada, pois o centro do arco tangente às duas circunferências é externo a ambas, como
veremos na construção, através das seguintes instruções:
1. Traçar duas circunferências 𝛼3 e 𝛼4 com
raios (𝑅1 + 𝑅3) e (𝑅2 + 𝑅3) com o centro em
𝑂1 e 𝑂2, respectivamente;
2. Os pontos de intersecção 𝑃1 e 𝑃2
entre as circunferências 𝛼3 e 𝛼4
determinam o centro do raio 𝑅3;
3. Passar a reta 𝑡1 pelos pontos 𝑃1
até 𝑂1 e determinar o ponto 𝑃3 na
intersecção de 𝛼1;
4. Passar uma reta 𝑡2 pelos pontos 𝑃1
até o ponto 𝑂2 e determinar o ponto 𝑃4
na intersecção de 𝑡2 com 𝛼2;
𝑅1
𝑅2
𝛼3
𝛼4
Na intersecção dos arcos
𝛼3 𝑒 𝛼4 , marque os pontos
𝑃1 𝑒 𝑃2.
Régua
0 𝑅3 = 25𝑚𝑚
𝟐𝟓𝒎𝒎 = 𝟐, 𝟓𝒄𝒎
𝑅1
𝑅3 + 𝑅1
𝑅2
𝑅3 + 𝑅2
Tangência Externa, com o
raio dado R25, ou seja, o
Raio = 25mm
Tangência Externa, com o
raio dado R25, ou seja, o
Raio = 25mm
Tangência interna, com o
raio dado R80, ou seja, o
Raio = 80mm
5. 𝑃3 e 𝑃4 serão os pontos de tangência
entre as circunferências.
Através das orientações, você poderá
construir o desenho da Folha 07.
Tangência externa às circunferências.
Tangência Interna – Circunferências
Essa tangente é assim denominada, pois o centro do arco tangente às duas circunferências é interno a ambas, como
veremos na construção, através das seguintes instruções:
1. Traçar uma circunferência 𝛼3 de raio (𝑅3 − 𝑅1)
com o centro 𝑂1 em uma circunferência 𝛼3 de
raio (𝑅3 − 𝑅2) com o centro 𝑂2;
2. Na intersecção entre as
circunferências 𝛼3 e 𝛼4 determinar
os pontos 𝑃1 e 𝑃2;
3. Passar a reta 𝑡1 pelos pontos 𝑃1 e 𝑂1 e
outra reta 𝑡2 com os pontos 𝑃1 e 𝑂2;
O raio 3, 𝑅3 é dado e vale 50mm.
𝑅1
𝑅2
𝛼3 𝛼4
𝛼4
Régua
0 𝑅3 = 50𝑚𝑚𝑅1
𝑅3 − 𝑅2
𝑅2
𝑅3 − 𝑅1
𝑅3 = 50𝑚𝑚 = 5,0𝑐𝑚Subtração de Raio, a partir de um raio dado, a fim de construir o arco tangência interno às
circunferências 𝛼1 𝑒 𝛼2.
Obs.: para construir o desenho d Folha 09, observem a
construção do desenho da Folha 05 , pois você usará as
mesmas regras.
Folha 05 
Folha 09 
4. Na intersecção da reta 𝑡1 com 𝛼1 e a reta 𝑡2
com 𝛼2 teremos os pontos de tangência𝑃3 e
𝑃4, respectivamente;
5. Com o centro em 𝑃1 e abertura do compasso até 𝑃3, traçar
um arco que irá tangenciar 𝛼1 e 𝛼2.
Dessa forma, siga as instruções e
construa o desenho da folha 08.

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