POSIÇÃO - VELOCIDADE E ACELERAÇÃO NO SISTEMA DE COORDENADAS POLARES

Prévia do material em texto

1 Prof. Diogo Eduardo - Física 
MOVIMENTO NO SISTEMA DE COORDENADAS 
POLARES (POSIÇÃO, VELOCIDADE E ACELERAÇÃO) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sabemos que: 𝑥 = 𝑟. 𝑐𝑜𝑠𝜃 ; 𝑦 = 𝑟. 𝑠𝑒𝑛𝜃 ; e pelo teorema de Pitágoras o valor da 
diagonal r é dada por: 𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2 
Logo, 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 
𝑥
√𝑥2+𝑦2
 e 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 
𝑦
√𝑥2+𝑦2
 
 
�̂� = 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑖̂ + 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑗̂ 
𝜃 = −𝑠𝑒𝑛𝜃𝑖̂ + 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑗̂ 
 
Derivando o versor r: 
𝑑�̂�
𝑑𝜃
= −𝑠𝑒𝑛𝜃𝑖̂ + 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑗̂ ; logo 
𝑑�̂�
𝑑𝜃
= 𝜃 
Derivando o versor 𝜃: 
𝑑�̂�
𝑑𝜃
= −𝑐𝑜𝑠𝜃𝑖̂ − 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑗̂ ; logo 
𝑑�̂�
𝑑𝜃
= −�̂� 
 
- Posição: 𝑟 = 𝑟. �̂� 
 
 
2 Prof. Diogo Eduardo - Física 
- Velocidade: �⃗⃗� =
𝑑𝑟
𝑑𝑡
 ; substituindo o valor do vetor r na derivada da velocidade, 
temos; �⃗⃗� =
𝑑
𝑑𝑡
(𝑟. �̂�) derivando pela regra da cadeia; �⃗⃗� =
𝑑𝑟
𝑑𝑡
. �̂� +
𝑑�̂�
𝑑𝑡
. 𝑟 ; mas temos um 
termo desconhecido: 
𝑑�̂�
𝑑𝑡
 sendo assim, “multiplicamos por 1”: 
𝑑�̂�
𝑑𝜃
 .
𝑑𝜃
𝑑𝑡
 – desta forma 
conhecemos os dois termos. Então �⃗⃗� =
𝑑𝑟
𝑑𝑡
. �̂� +
𝑑�̂�
𝑑𝜃
 .
𝑑𝜃
𝑑𝑡
. 𝑟 iremos substituir o resultado 
da derivada do versor r; concluímos que a Velocidade em termos das coordenadas 
polares é escrita desta forma: 
�⃗⃗� =
𝑑𝑟
𝑑𝑡
. �̂� + 𝜃 .
𝑑𝜃
𝑑𝑡
. 𝑟 
A primeira parte da equação em que contém o versor r é a velocidade radial, e a 
segunda parte da equação onde contém o versor 𝜃 é a velocidade tangencial. 
 
Escrevendo a equação da Velocidade de outra forma, temos: 
�⃗⃗� = �̇�. �̂� + 𝜃. �̇�. 𝑟 
 
- Aceleração: �⃗� =
𝑑�⃗⃗⃗�
𝑑𝑡
 ou �⃗� = �⃗⃗̇� 
𝑑�⃗⃗�
𝑑𝑡
=
𝑑𝑉𝑟⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑡
+
𝑑𝑉𝜃⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑡
 
resolvendo por partes: 
𝒅𝑽𝒓⃗⃗ ⃗⃗ ⃗
𝒅𝒕
=
𝑑
𝑑𝑡
(
𝑑𝑟
𝑑𝑡
. �̂�) novamente resolvendo a derivação pela regra da cadeia, temos: 
𝑑𝑉𝑟⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑡
=
𝑑2𝑟
𝑑𝑡2
. �̂� +
𝑑𝑟
𝑑𝑡
.
𝑑�̂�
𝑑𝑡
 – Vemos que temos um termo desconhecido: 
𝑑�̂�
𝑑𝑡
 – faremos o 
mesmo que fizemos acima, “multiplicamos por 1”: 
𝑑�̂�
𝑑𝜃
.
𝑑𝜃
𝑑𝑡
 – substituindo na equação: 
𝑑𝑉𝑟⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑡
=
𝑑2𝑟
𝑑𝑡2
. �̂� +
𝑑𝑟
𝑑𝑡
.
𝑑�̂�
𝑑𝜃
.
𝑑𝜃
𝑑𝑡
 – Então 
𝑑𝑉𝑟⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑡
=
𝑑2𝑟
𝑑𝑡2
. �̂� +
𝑑𝑟
𝑑𝑡
. 𝜃.
𝑑𝜃
𝑑𝑡
 
 
𝒅𝑽𝜽⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝒅𝒕
=
𝑑
𝑑𝑡
(𝜃 .
𝑑𝜃
𝑑𝑡
. 𝑟) novamente resolvendo a derivação pela regra da cadeia, temos: 
𝑑𝑉𝜃⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗
𝑑𝑡
= [
𝑑�̂�
𝑑𝑡
.
𝑑𝜃
𝑑𝑡
. 𝑟] + [𝜃 .
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
. 𝑟] + [𝜃 .
𝑑𝜃
𝑑𝑡
.
𝑑𝑟
𝑑𝑡
] – Vemos que tem um termo desconhecido 
𝑑�̂�
𝑑𝑡
 
 
3 Prof. Diogo Eduardo - Física 
faremos o mesmo que fizemos acima, “multiplicamos por 1”: 
𝑑�̂�
𝑑𝜃
.
𝑑𝜃
𝑑𝑡
 – substituindo na 
equação: 
𝑑𝑉𝜃⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗
𝑑𝑡
= [
𝑑�̂�
𝑑𝜃
.
𝑑𝜃
𝑑𝑡
.
𝑑𝜃
𝑑𝑡
. 𝑟] + [𝜃 .
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
. 𝑟] + [𝜃 .
𝑑𝜃
𝑑𝑡
.
𝑑𝑟
𝑑𝑡
] e sabemos que a derivada do 
versor de 𝜃; 
𝑑�̂�
𝑑𝜃
= −�̂� substituindo, 
𝑑𝑉𝜃⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑡
= [−�̂�. (
𝑑𝜃
𝑑𝑡
)2. 𝑟] + [𝜃 .
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
. 𝑟] + [𝜃 .
𝑑𝜃
𝑑𝑡
.
𝑑𝑟
𝑑𝑡
] 
Juntando os resultados parciais, teremos: 
𝑑�⃗⃗�
𝑑𝑡
=
𝑑2𝑟
𝑑𝑡2
. �̂� +
𝑑𝑟
𝑑𝑡
. 𝜃.
𝑑𝜃
𝑑𝑡
+ [−�̂�. (
𝑑𝜃
𝑑𝑡
)2. 𝑟] + [𝜃 .
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
. 𝑟] + [𝜃 .
𝑑𝜃
𝑑𝑡
.
𝑑𝑟
𝑑𝑡
] 
Organizando a equação conforme os versores r e 𝜃. 
�⃗� = [−(
𝑑𝜃
𝑑𝑡
)2. 𝑟 +
𝑑2𝑟
𝑑𝑡2
] �̂� + [2(
𝑑𝑟
𝑑𝑡
.
𝑑𝜃
𝑑𝑡
) + 
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
. 𝑟] 𝜃 
 
A primeira parte da equação em que contém o versor r é a aceleração radial, e a 
segunda parte da equação onde contém o versor 𝜃 é a aceleração tangencial. 
Escrevendo a equação da Velocidade de outra forma, temos: 
�⃗� = (−�̇�2. 𝑟 + �̈�)�̂� + (2. �̇�. �̇� + �̈�. 𝑟) 𝜃