ANÁLISE MAT PARA ENG III AULA 17 DE AGOSTO 2020 RESOLVIDA

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AULA DO DIA 17/08/20 
ANÁLISE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA III 
•Classificação da Equação Diferencial; 
 
•Soluções de uma Equação Diferencial; 
 
•Técnicas de resolução de uma EDO. 
 
Profa. Ana Lucia 
Email: analuciamat@yahoo.com.br 
CONTEÚDO DA AULA 
Objetivos 
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• Identificar uma Equação Diferencial 
• Classificar quanto a Ordem uma Equação Diferencial 
• Identificar o grau de uma Equação Diferencial 
• Verificar se uma solução dada é solução para determinada ED 
• Identificar os tipos de solução das Equações Diferenciais 
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EQUAÇÃO DIFERENCIAL (ED) 
Chamamos de equação diferencial toda equação em que aparece 
pelo menos uma derivada ou diferencial da função incógnita. 
032  yx
dx
dy
Exemplos: 
0)()( 22  dyyxdxyx
senxyy  3)'(''
0
2
2
2
2






y
z
x
z
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EQUAÇÕES DIF. ORDINÁRIAS E PARCIAIS 
Uma Eq. Dif. Ordinária (EDO) envolve funções de uma 
variável e suas derivadas, enquanto uma Eq. Dif. Parcial 
envolve funções de muitas variáveis e suas derivadas. 
Exemplos: 
032  yx
dx
dy
0
2
2
2
2






y
z
x
z
EDO 
EDP 
CLASSIFICAÇÃO DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL 
ANÁLISE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA III 
ORDEM DA EQ.DIFERENCIAL 
Essa equação diferencial é de 
segunda ordem. 
ANÁLISE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA III 
GRAU DA EQ.DIFERENCIAL 
Portanto, essa equação 
diferencial 
é de segunda ordem e primeiro 
grau 
ANÁLISE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA III 
ATIVIDADE: Determine a ordem e o grau das equações diferenciais. 
Quarta ordem e terceiro grau 
Terceira ordem e segundo grau 
Primeira ordem e primeiro grau 
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SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL 
Consideremos a equação diferencial y” + 4y = 0. 
 
Será que y = cos2x – 3sen2x é solução da 
Equação diferencial dada? 
 
Precisamos determinar todas as derivadas e 
Substituir cada resultado na equação diferencial dada 
 inicialmente. Devemos verificar a existência de uma 
 identidade. 
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Equação diferencial y” + 4y = 0. 
y = cos2x – 3sen2x 
y’ = -sen2x.(2x)’ - 3.cos2x.(2x)’ 
Y’ = -sen2x.2 – 3.cos2x.2 
Y’ = -2sen2x – 6cos2x 
Y’’ = -2cos2x.(2x)’ – 6.(-sen2x).(2x)’ 
Y’’ = -2cos2x.2 + 6sen2x.2 
Y’’ = -4cos2x + 12sen2x 
y” + 4y = 0 
 
-4cos2x + 12sen2x + 4.(cos2x – 3sen2x) = 0 
 
-4cos2x + 12sen2x + 4cos2x – 12sen2x = 0 
 0 = 0 
 
Logo, y = cos2x – 3sen2x é solução da EDO. 
ANÁLISE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA III 
ATIVIDADE: Verifique se y(x) = e-3x + ex é solução da equação diferencial 
y’’ + 2y’ – 3y = 0. 
Solução: 
y = e-3x + ex 
y’ = e-3x.(-3x)’ + ex .(x)’ 
y’ = e-3x.(-3) + ex .(1) 
y’ = -3e-3x + ex 
y’’ = -3e-3x .(-3x)’ + ex .(x)’ 
y’’ = -3e-3x .(-3) + ex .(1) 
y’’ = 9e-3x + ex 
y’’ + 2y’ – 3y = 0. 
y = e-3x + ex 
y’ = -3e-3x + ex 
y’’ = 9e-3x + ex 
 
9e-3x + ex + 2(-3e-3x + ex) – 3(e-3x + ex ) = 0 
9e-3x + ex - 6e-3x + 2ex – 3e-3x - 3ex = 0 
9e-3x - 9e-3x + 3ex - 3ex = 0 
 0 = 0 
Portanto, y = e-3x + ex é solução da equação diferencial dada. 
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TIPOS DE SOLUÇÃO DE UMA EQ.DIFERENCIAL 
Solução geral 
é a solução que contém tantas constantes 
arbitrárias quantas são as unidades da ordem da 
equação. 
Exemplos: y(x) = x2 + C 
 y(x) = C1.e
x + C2.e
2x 
 
Solução particular ou PVI – Probl. de valor inicial 
é toda solução obtida da solução geral, quando 
atribuímos valores particulares às constantes. 
ATIVIDADE: Seja y = C1e
-3t + C2e
3t a solução geral da EDO y” - 9y = 0. Encontre 
a solução do problema de valor inicial (PVI) considerando y(0) = -1 e 
y’(0) = 2. 
O problema solicita uma solução particular a partir da solução geral dada. Vamos 
considerar as condições dadas inicialmente: y(0) = -1 e y’(0) = 2. 
Vamos determinar o valor de C1 e C2. 
Devemos começar com y(0) = -1 => t = 0 e y = -1 
Agora vamos substituir esses valores em y = C1e
-3t + C2e
3t 
-1 = C1e
-3.0 + C2e
3.0 => -1 = C1e
0 + C2e
0 => -1 = C1 + C2 => C1 + C2 = -1 
SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL 
y = C1e
-3t + C2e
3t 
y’(0) = 2. 
y’(0) = 2 => t = 0 e y’ = 2 
Agora vamos calcular primeiro a derivada de y = C1e
-3t + C2e
3t 
y’ = C1e
-3t .(-3t)’ + C2e
3t .(3t)’ 
y’ = C1e
-3t .(-3) + C2e
3t .(3) 
y’ = -3C1e
-3t + 3C2e
3t 
Agora vamos substituir nessa derivada y’ = 2 e t = 0. 
2 = -3C1e
-3.0 + 3C2e
3.0 
2 = -3C1e
0 + 3C2e
0 
2 = -3C1 + 3C2 => -3C1 + 3C2 = 2 
 
AGORA VAMOS RESOLVER UM SISTEMA DE EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU PARA 
ENCONTRARMOS O VALOR DE C1 E C2. 
 
 C1 + C2 = -1 multipl por 3 
-3C1 + 3C2 = 2 
 
3C1 + 3C2 = - 3 
-3C1 + 3C2 = 2 
 6C2 = -1 => C2 = -1/6 
 
Vamos substituir na primeira equação para encontrarmos C1. (pode escolher qualquer 
equação) 
C1 + C2 = -1 => C1 -1/6 = -1 => C1 = -1 + 1 => C1 = -5/6 
 6 
 
y = C1e
-3t + C2e
3t solução geral 
y = (-5/6)e-3t – (1/6)e3t solução particular 
 
 
 
ANÁLISE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA III 
ATIVIDADE: Seja y = C1e
-2t + C2e
-3t a solução geral da EDO y” + 5y´ + 6y = 0. 
Encontre a solução particular para o problema considerando y(0) = 2 e y’(0) = 3. 
Solução: 
TÉCNICAS DE RESOLUÇÃO DE UMA EDO 
 
Vamos estudar inicialmente as equações diferenciais ordinárias de primeira ordem 
e primeiro grau. 
 
1. Equações de Variáveis Separáveis 
 
2. Equações Diferenciais Exatas 
 
3. Equações Diferenciais não exatas 
 
4. Equações Lineares