Aula_02_RESMAT(1)

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ECT ECT -- Escola de Ciências e TecnologiaEscola de Ciências e Tecnologia
Resistência dos MateriaisResistência dos Materiais
Prof. Marco Antônio
marcoaman@unigranrio.edu.br
Aula 02Aula 02
Propriedades dos Materiais: E e ν
Período
2017/2
Ensaio de Tração/Compressão Simples
Ensaio de tração:
O corpo de prova com área A e
comprimento L, é solicitado por
acréscimos de força normal N de
tração, e anotados suas variaçõestração, e anotados suas variações
de comprimento ∆L.
estricção
Ensaio de Tração
[1] Beer e Johnston
Corpo de Prova
[1] Beer e Johnston 2Prof. Marco Antônio
Ensaio de Tração/Compressão Simples
Dados:
- área (A)
- comprimento (L)- comprimento (L)
Anotam-se:
- força normal (N)
-var. de comprim. (∆L)
Calculam-se σ e ε:
Prensa com leitor
[3] Hibbeler A
N
=σ
0L
L∆
=ε
3Prof. Marco Antônio
Diagrama Tensão Deformação
σr = tensão de
ruptura, ou tensão
última σu
σ = tensão deσe = tensão de
escoamento, ou σy
Região elástica: as deformações são retornáveis e há uma proporção entre
tensões e deformações.
Região plástica: as deformações são permanentes e há mudança na
configuração molecular. 4Prof. Marco Antônio
Diagrama Tensão Deformação
Ex: - Cerâmica
- Vidro
- Concreto à Tração
Ex: - Aço
- Madeira
- Concreto à Compressão
Material Frágil
adaptado de [1] Beer e Johnston
Apresenta pouco ou nenhum
escoamento antes de romper.
Material Dúctil
adaptado de [1] Beer e Johnston
Apresenta considerável
escoamento antes de romper 
5Prof. Marco Antônio
Diagrama Tensão Deformação
6Diagrama tensão-deformação segundo NBR6118 para aços passivos CA-25, 50 e 60Prof. Marco Antônio
Diagrama Tensão Deformação
Diagrama tensão-deformação segundo NBR6118 para concreto classes C20 a C507Prof. Marco Antônio
Diagrama Tensão Deformação
Diagrama Tensão-Deformação: aço de baixo teor carbono
[1] Beer e Johnston
8Prof. Marco Antônio
Diagrama Tensão Deformação
Diagrama tensão-deformação para aços utilizados em perfis metálicos
[1] Beer e Johnston
9Prof. Marco Antônio
Módulo de Elasticidade (E)
Também conhecido como módulo de Young (Thomas Young 1773-1829). É
a proporcionalidade entre as tensões e as deformações na região elástica.
Esta relação obedece a Lei de Hooke (Robert Hooke 1635-1703) que
assemelhou a elasticidade dos materiais com a rigidez das molas (F=k.x).
NPa ε≠ELNA
Nσ obs:
2m
N
1
Pa
=
ε≠E
L
L
.
A
N
L
L
A
N
E 0
0
∆
=∆=ε
σ
=
obs:
Não confundir módulo de
elasticidade com deformação!
unidade:
α
ε∆
σ∆
=
α= tanE
σ∆
ε∆
10Prof. Marco Antônio
Exercício 1) Inicialmente uma barra de seção circular tem um
comprimento L0=155cm e diâmetro d=3cm. A mesma é submetida a uma
força trativa N=180kN, aumentando seu comprimento para Lf=160cm.
Determine o módulo de elasticidade E deste material:
σ
=E
m55,1
.
N10.180 3
−pi
=
L
.
NL
.
NAN 00
===
ε
=E
2m
N177.085.894.7=
11
Pa177.085.894.7=
GPa89,7=
m)55,160,1(.)m015,0.( 2 −pi=)LL(.AL.ALL 0f
00
0 −
=
∆
=
∆
=
Prof. Marco Antônio
Exercício 2) Inicialmente uma barra de seção triangular tem um
comprimento L0=856mm, base b=5cm e altura h=12cm. A mesma é
submetida a uma força compressiva N=-360kN, diminuindo seu
comprimento para Lf=852mm. Determine o módulo de elasticidade E
deste material:
σ
=E
m856,0
.
N10.360 3−
=
L
.
NL
.
NAN 00
===
ε
σ
=E
2m
N000.000.680.25=
12
Pa000.000.680.25=
GPa7,25=
m)856,0852,0(
m856,0
.
2
m12,0.m05,0
N10.360
−
−
=
)LL(
L
.
A
N
L
L
.
A
N
LL
AN
0f
00
0 −
=
∆
=
∆
=
Prof. Marco Antônio
Coeficiente de Poisson (ν)
É a proporcionalidade entre a deformação lateral e a deformação axial em
um corpo quando solicitado a força normal N, em sua fase elástica. No
início do século XIX, o cientista Frances S.D Poisson percebeu esta
proporção. Símbolo: ν = Nu (grego).
ε
−=ν lateral
ε
ε
−=ν lateral
L
L
.
d
d
L
L
d
d
0
0
0
0
∆
∆
−=∆
∆
−=
00f
LL
L
.
d
dd
−
−
−=
1
1
1
=
(adimensional)
Variabilidade:
- teórica: 0 < ν ≤ 0,50
- na natureza: 0,25 < ν < 0,35
13
0f0 LL
.
d −
−=
unidade:
Prof. Marco Antônio
Exercício 3) Inicialmente uma barra de seção circular tem um
comprimento L0=115cm e diagonal d0=2,0cm. A mesma é submetida a
uma força de tração aumentando seu comprimento para Lf=120cm e
diminuindo seu diâmetro para df=1,97cm. Determine o coeficiente de
Poisson ν deste material:
ε
ε
−=ν lateral
345,0
m)15,120,1(
m15,1
.
m0200,0
m)0200,00197,0(
=
−
−
−=
14
)LL(
L
.
d
)dd(
L
L
.
d
d
LL
dd
0f
0
0
0f0
00
0
−
−
−=
∆
∆
−=
∆
∆
−=
Prof. Marco Antônio
Exercício 4) Inicialmente uma barra de seção retangular tem um
comprimento L0=450cm e altura h0=15cm. A mesma é submetida a uma
força de compressão diminuindo seu comprimento para Lf=443cm e
aumentando sua altura para hf=15,1cm. Determine o coeficiente de
Poisson ν deste material:
15
ε
ε
−=ν lateral
429,0
m)50,443,4(
m50,4
.
m15,0
m)150,0151,0(
=
−
−
−=
)LL(
L
.
h
)hh(
L
L
.
h
h
LL
hh
0f
0
0
0f0
00
0
−
−
−=
∆
∆
−=
∆
∆
−=
Prof. Marco Antônio
Exercício 5) Uma barra quadrada com 550mm de comprimento e 18mm de
aresta, é submetida a uma força axial de 13kN. Assim barra aumenta seu
comprimento em 350µm e diminui a aresta em 3µm. Determine o módulo
de elasticidade e coeficiente de Poisson deste material.
( ) GPa0,63m10.350
m550,0
.
m018,0
N10.13
L
L
.
A
N
L/L
A/NE 62
3
==
∆
=
∆
=
ε
σ
=
−
262,0
m10.350
m550,0
.
m018,0
m10.3
L
L
.
d
d
L/L
d/d
6
6
lat
=
−
−=
∆
∆
−=
∆
∆
−=
ε
ε
−=ν
−
−
Exercício 6) Em uma barra de alumínio com 5/8” de diâmetro são colocadas
duas marcações afastadas entre si de 260mm. A mesma é ensaiada por
uma força axial de 10kN aumentando o afastamento das marcas para
260,17mm, determine o módulo de elasticidade do alumínio.
16
260,17mm, determine o módulo de elasticidade do alumínio.
( )
GPa0,77
mm17,0
mm260
.
m0159,0
4
N10.10
L
L
.
A
N
L/L
A/NE
2
3
=
pi
=
∆
=
∆
=
ε
σ
=
m0159,0mm875,15mm4,25.
8
5d ===
Prof. Marco Antônio
Exercício 7) Inicialmente, uma barra de seção triangular tem comprimento
L0=5,35m, altura h0=20cm e base b0=10cm. A mesma é solicitada por uma
força de tração N=720kN, aumentando seu comprimento para Lf=5,40m e
diminuindo a altura para hf=19,95cm. Determine:
a) O módulo de elasticidade E do material
b) O coeficiente de Poisson ν do material
c) A medida final da base b desta barrac) A medida final da base bf desta barra
ε
ε
−=ν .lat
m)35,540,5(
m35,5
.
cm20
cm)2095,19(
−
−
−=
L
L
.
h
h
LL
hh 0
00
0
∆
∆
−=
∆
∆
−=
ε
σ
=E GPa70,7=
m)35,540,5(
m35,5
.
2
m10,0.m20,0
N10.720 3
−
=
L
L
.
A
N
LL
AN 0
0 ∆
=
∆
=a)
b) 2675,0=
17
ε
ε
−=ν .lat
L
L
.
b
b
LL
bb 0
00
0
∆
∆
−=
∆
∆
−=
0
0
L
L.b
.b ∆ν−=∆⇒
( )
cm97,9m09975,0
m35,5
m35,5m40,5.m10,0
.2675,010,0
L
L.b
.bb
0
0
0f ==
−
−=
∆
ν−=
c)
0
0
0f L
L.b
.bb ∆ν−=⇒
Prof. Marco Antônio
Exercício 8) Um fio com 55m de comprimento está submetido a uma força
de tração de 5500N. Sabendo que o fio é feito em aço (Eaço=210GPa) e que
o comprimento do mesmo pode aumentar no máximo 45mm, determine:
a) A tensãonormal no fio.
b) O menor diâmetro que pode ser adotado para o fio.
MPa8,171m045,0.N10.210L.E.EE 9 ==σ∴∆=ε=σ∴σ=a) MPa8,171
m55
m045,0
.
m
N10.210
L
L
.E.EE 2
9
==σ∴
∆
=ε=σ∴
ε
σ
=
σpi
=∴
σpi
=∴
σ
=
pi
∴
σ
=∴=σ
N
.
4dN.4dNd
4
NA
A
N 22
a)
b)
mm38,6N10.8,171.
N5500.4N
.
4d
6
=
pi
=
σpi
=
18
m
N10.8,171. 2
6piσpi
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Exercício 9) Um tubo de aço com diâmetro externo de 310mm, espessura
de 10mm e comprimento de 2m, é comprimido por uma força de 1400kN.
Considere para o aço: E=210GPa e ν=0,3. Para o tubo, determine:
a) A variação no comprimento;
b) A variação do diâmetro externo;
c) A variação da espessura da parede.
( )pi
mm41,1
m
N10.210.m009425,0
m2.N10.1400
E.A
L.NL
L.A
L.N
L/L
A/NE
2
92
3
===∆∴
∆
=
∆
=
ε
σ
=
L
.d.dL.dd/d extextextlat ∆ν−=∆∴∆−=∆−=ε−=ν
a)
b)
( ) 222int m009425,029,031,0.4Amm29010.2310d =−
pi
=∴=−=
19
L
.d.d
L
.
dL/L extextext
extextextlat ν−=∆∴
∆
−=
∆
−=
ε
−=ν
mm0656,0
mm2000
mm41,1
.mm310.3,0
L
L
.d.d extext =
−
−=
∆
ν−=∆
mm00211,0
mm2000
mm41,1
.mm10.3,0
L
L
.e.e =
−
−=
∆
ν−=∆
b)
c)
Prof. Marco Antônio
Exercício 10) A treliça “ideal” abaixo é feita em aço (E=210GPa, ν=0,3 e
σe=250MPa). Considere que o aço tenha as mesmas propriedades tanto no
ensaio a tração como a compressão. O banzo inferior tem seção quadrada
com aresta de 50mm, já as diagonais e o montante tem seção quadrada
com aresta de 40mm. Considere os nós da treliça rotulados, pois possuem
apenas um parafuso em suas ligações, permitindo assim a rotação desses
nós. Determine:nós. Determine:
a) As tensões normais em todas as barras.
b) Se alguma barra escoa? Considere um coefic. de segurança de 1,7.
c) A deformação normal e lateral do banzo inferior.
Treliça “ideal”:
- todos os nós são rotulados;
20
- todos os nós são rotulados;
- todas as cargas são nodais;
- apresenta apenas o DEN.
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Cálculo das reações de apoio: 3 equações de equilíbrio estático:
kN150C
05.30010.C0M
0A0F
Y
YA
XX
=
=−∴=
=→=
∑
∑
+
+
( ) 857,0cose514,0senº315/3tan 1 =α=α∴==α −
kN150A
0300CA0F
Y
YYY
=
=−+∴=∑
Método das Seções/ Nós: 2 equações de equilíbrio estático:
+
21kN250857,0.292N
0Ncos.N0F
kN5,291514,0/150N
0150sen.N0F
AB
ABADX
AD
ADY
=−−=
=+α∴=
−=−=
=+α∴=
∑
∑
+
+
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514,0cose857,0senº59º90 =α=α∴=α−=β
Método das Seções/ Nós: 2 equações de equilíbrio estático:
0514,0.5,291.2300N
0Ncos.5,291.23000F
BD
BDY
=+−=
=−β+−∴=
∑
∑
+
+
000cos.5,291cos.5,2910FX =∴=β−β∴=∑
ou: Modelo no Ftool: DEN - Diagrama de Esforço Normal (kN):
+
22Prof. Marco Antônio
( ) MPa182m04,0
N10.5,291
A
N
2
3
.diag −=
−
==σ
a) Tensões normais nas barras: 
( ) MPa100m05,0
N10.250
A
N
2
3
.inf.banzo ===σ
MPa147
7,1
MPa250
e ==σ
( ) 0m04,0
0
A
N
2.mont ===σ
b) Alguma barra escoa? 
Sim, as diagonais, pois σdiag. < σe.
000
0
9
6
76,4000476,0
Pa10.210
Pa10.100
E
E ===σ=ε∴
ε
σ
=
23
000
0
.lat
.lat 43,1000143,0000476,0.3,0. −=−==εν−=ε∴
ε
ε
−=ν
c) Deformações normal e lateral no banzo inferior:
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Exercício 11) Uma barra de seção quadrada é feita em aço e tem
comprimento L0=5,35m e aresta a0=2cm. Considere para o aço, durante um
ensaio de tração: E=210GPa, ν=0,3, σe=250MPa e σu=350MPa. Determine:
a) A força normal necessária para fazer a barra escoar?
b) A força normal necessária para fazer a barra romper?
c) A variação de comprimento da barra, no final da região elástica?
d) A variação de comprimento da barra, se for tracionada por N=75kN?d) A variação de comprimento da barra, se for tracionada por N=75kN?
e) A variação de comprimento da barra, no final do escoamento.
Considere que durante o escoamento a barra deforma 8‰.
f) A variação de aresta da seção, se for aplicada uma tração de N=90kN
a) A.N ee σ=⇒A
N
=σ ( ) kN100m020,0.
m
N10.250 22
6
==
24
b) ( ) kN140m020,0.
m
N10.350 22
6
==
A
N
=σ
m00637,0
Pa10.210
m35,5.Pa10.250
E
L.L 9
6
0e
==
σ
=∆⇒c)
A.N uu σ=⇒
0
e
LL
E
∆
σ
=
ε
σ
=
Prof. Marco Antônio
0L
L∆
=εe) m0428,0m35,5.
1000
8L.L 0escoa.escoa ==ε=∆⇒
0LL
ANE
∆
=
ε
σ
=d) ( )
m00478,0
m
N10.210.m02,0
m35,5.N10.75
E.A
L.NL
2
92
6
0
===∆⇒
0
m04917,0m0428,0m00637,0LLL
.escoa.elastfinal =+=∆+∆=∆
∆∆ε aaa
f)
ε
σ
=E
( ) 001071,0
m
N10.210
m02,0N10.90
E
AN
E
2
9
23
===
σ
=ε⇒
(item c)
25
εν−=∆⇒
ε
∆
−=
ε
∆
−=
ε
ε
−=ν .a.a
.a
aaa
0
0
0.lat
cm000643,0001071,0.cm2.3,0.a.a 0 −=−=εν−=∆
Prof. Marco Antônio
Exercício 12) Um tubo de ferro fundido é utilizado para suportar uma força
de compressão. Sabendo que Eferro=67GPa e que a deformação máxima é de
0,03%, determine:
a) O tensão normal máxima no tubo.
b) A espessura mínima da parede para uma carga de 8kN se o diâmetro
externo do tubo for de 60mm.
03,0Nσ MPa1,20
100
03,0
.
m
N10.67.EE 2
9
==ε=σ→
ε
σ
=
( )e.ed.e.d.e.pA extmed −pi=pi==
( )
σpi
=−∴
σ
=−pi∴
σ
=∴=σ
.
N
ee.dNe.ed.NA
A
N 2
extext
8000
Obs:
p = perímetro
e = espessura
a)
b)
26
00001267,0e.06,0e0
10.1,20.
8000
e.060,0e 26
2
=+−∴=
pi
+−
=±=−±−−= 0278,003,0
1.2
0001267,0.1.406,006,0
e
2
m0022,0
m0578,0
mm2,2e = (raiz possível) Prof. Marco Antônio
Exercício 13) Para o sistema estático abaixo, considere o cabo CB feito em
aço (E=210GPa) e com 5mm de diâmetro. Considere para o cabo que a
tensão não pode exceder 250MPa e que a deformação não pode exceder
1‰. Determine a força máxima F que pode ser aplicada.
27
Sistema em equilíbrio
DCL : Diagrama de 
corpo livre da barra AC
Prof. Marco Antônio
MPa250≤σ
00
01≤ε
1ª limitação:
N4909005,0
4
.10.250NMPa250
A
N 26
=
pi≤∴≤=σ
2ª limitação:
Limitações no cabo:
1N piσ
DCL:
0sen.NFAF XX =α+−=Σ
N412310.210.005,0
4
.
1000
1N1
E.A
N
E
92
00
0
=
pi≤∴≤=σ=ε
Equações de equilíbrio:
+
+ 0cos.NAF YY =α−=Σ
28
m543L 22 =+=
N825
3
1.6,0.4123
3
1.sen.NP ==α=6,05
3
sen ==α
+
+ 0cos.NAF YY =α−=Σ
01.sen.N3.PMA =α−=Σ
Prof. Marco Antônio