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1 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Prof. Me. Ayrton Barboni (continuação) 3.4. Equações Diferenciais Exatas É conveniente lembrar que a diferencial total ( , )dF x y de uma função de duas variáveis, com derivadas ( , )F x y x e ( , )F x y y contínuas numa região do plano xy, é ( , ) ( , ) ( , ) F x y F x y dF x y dx dy x y = + . Se ( , ) , ,F x y k k= então ( , ) 0dF x y = . Daí, temos a equação diferencial: ( , ) ( , ) 0 F x y F x y dx dy x y + = ou, de outro modo, ( , ) ( , ) 0P x y dx Q x y dy+ = . Clairaut: “ F(x,y) tem derivadas parciais contínuas até 2ª ordem, então Fxy(x,y) = Fyx(x,y)” . Proposição: Se P e Q são funções contínuas com derivadas parciais contínuas numa região R, então “ ( , ) ( , ) 0P x y dx Q x y dy+ = é exata ( , ) ( , )P x y Q x y y x = ” Exemplo: Resolver a equação 2(2 1) ( ) 0xy y dx x x dy− + + − = Solução: Temos que ( , ) ( , ) 2 1 P x y Q x y x y x − = = . Logo, a equação é exata. Devemos obter F( , )x y : Temos que F ( , ) P( , ) 2 1x x y x y xy y= = − + e, daí, 2F( , ) P( , ) (2 1) ( )x y x y dx xy y dx x y xy x y= = − + = − + + ( I ) Por outro lado, F ( , ) Q( , )y x y x y= . Logo, 2 2 cte'( ) '( ) 0 ( ) 0 cx x y x x y y dx − + = − = = = ( II ) Substituindo ( II ) em ( I ), tem-se 2 cteF( , ) cx y kx y xy x= =− + + Portanto, 2 C, Cx y xy x− + = , é a solução geral. 3.4.1. Exercícios Propostos Encontre a solução geral das EDO 1) 22 ( 1) 0xydx x dy+ + = R. 2 C C0,x y y+ + = 2) 2 ' x y y x y − = − R. 32 C C+ 0, 2 3 x y xy− + = 3) 0xy xyye dx xe dy+ = R. ,xye k k= 2 4) 2[2 sen( ) cos( )] [ cos( ) sen( )] 0x xx y e y dx x y e y dy+ + − = R 2sen cosxx y e y k+ = , k 5) 2 2 3 33 (2 4 ) 0x y dx x y y dy+ + = , y(0) = 2. R. 3 2 4 16x y y+ = 6) ( sen ) ( cos 2 ) 0x y dx x y y dy+ + − = . R. 2 2(1/ 2) sen ,x x y y k k+ − = 7) ( sen cos ) ( sen 1) 0y x xy x dx x x dy+ + + = R. sen ,xy x y k k+ = 8) (sec .tg ) (sec .tg 2) 0x x y dx y y x dy− + − + = R.sec sec (2 ) ,x y y x k k+ + − =
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