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Aula 10dv--EDOL_Exatas

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1 
 
 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
 Prof. Me. Ayrton Barboni 
(continuação) 
 
3.4. Equações Diferenciais Exatas 
 
 É conveniente lembrar que a diferencial total ( , )dF x y de uma função de duas 
variáveis, com derivadas 
( , )F x y
x


 e 
( , )F x y
y


 contínuas numa região do plano xy, é 
( , ) ( , )
( , )
F x y F x y
dF x y dx dy
x y
 
= +
 
. 
 Se ( , ) , ,F x y k k=  então ( , ) 0dF x y = . Daí, temos a equação diferencial: 
( , ) ( , )
0
F x y F x y
dx dy
x y
 
+ =
 
 ou, de outro modo, ( , ) ( , ) 0P x y dx Q x y dy+ = . 
 
Clairaut: “ F(x,y) tem derivadas parciais contínuas até 2ª ordem, então Fxy(x,y) = Fyx(x,y)” . 
 
 Proposição: Se P e Q são funções contínuas com derivadas parciais contínuas numa região 
R, então 
 “ ( , ) ( , ) 0P x y dx Q x y dy+ = é exata  ( , ) ( , )P x y Q x y
y x
 
 
= ” 
Exemplo: 
 Resolver a equação 2(2 1) ( ) 0xy y dx x x dy− + + − = 
Solução: 
 Temos que 
( , ) ( , )
2 1
P x y Q x y
x
y x
 
− =
 
= . Logo, a equação é exata. 
 Devemos obter F( , )x y : 
 Temos que F ( , ) P( , ) 2 1x x y x y xy y= = − + e, daí, 
 2F( , ) P( , ) (2 1) ( )x y x y dx xy y dx x y xy x y= = − + = − + +  ( I ) 
 Por outro lado, F ( , ) Q( , )y x y x y= . 
 Logo, 
2 2 cte'( ) '( ) 0 ( ) 0 cx x y x x y y dx  − + = −  =  = = ( II ) 
 Substituindo ( II ) em ( I ), tem-se 2 cteF( , ) cx y kx y xy x= =− + + 
 Portanto, 2 C, Cx y xy x− + =  , é a solução geral. 
 
3.4.1. Exercícios Propostos 
 Encontre a solução geral das EDO 
1) 22 ( 1) 0xydx x dy+ + = R. 2 C C0,x y y+ + =  
 
2) 
2
'
x y
y
x y
−
=
−
 R. 
32
C C+ 0,
2 3
x y
xy− + =  
 
3) 0xy xyye dx xe dy+ = R. ,xye k k=  
 
2 
 
 
4) 2[2 sen( ) cos( )] [ cos( ) sen( )] 0x xx y e y dx x y e y dy+ + − = 
 R 2sen cosxx y e y k+ = , k 
 
5) 2 2 3 33 (2 4 ) 0x y dx x y y dy+ + = , y(0) = 2. R. 3 2 4 16x y y+ = 
 
6) ( sen ) ( cos 2 ) 0x y dx x y y dy+ + − = . R. 2 2(1/ 2) sen ,x x y y k k+ − =  
 
7) ( sen cos ) ( sen 1) 0y x xy x dx x x dy+ + + = R. sen ,xy x y k k+ =  
 
8) (sec .tg ) (sec .tg 2) 0x x y dx y y x dy− + − + = 
 R.sec sec (2 ) ,x y y x k k+ + − = 

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