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Arcenio Artur Munguambe Departamento de Ciências de Educação Curso de Licenciatura em Ensino de Direito 1º Ano Tema: Medidas de Assimetria ou Curtose Xai-Xai, Março de 2021 Índice 1. Introdução............................................................................................................................ 1 1.1. Objectivo ................................................................................................................................ 1 1.1.1. Geral ............................................................................................................................... 1 1.1.2. Especificos ..................................................................................................................... 1 2. Quadro teórico ..................................................................................................................... 2 Definição .................................................................................................................................... 2 2.1. Medidas de assimetria e curtose ......................................................................................... 3 2.1.1. Medida de Assimetria .................................................................................................. 3 2.1.2. Medidas de Achatamento – Curtose .......................................................................... 6 2.2. Importancia da assimetria e curtose ................................................................................... 7 3. Desenvolvimento ................................................................................................................. 8 3.1. Exemplo de aplicação .......................................................................................................... 8 4. Considerações finais .......................................................................................................... 12 Referencias bibliográfica .......................................................................................................... 13 1 Medidas de Assimetria ou Curtose 1. Introdução O presente trabalho surge no âmbito da cadeira de estatística com tema em foco, Medidas de Assimetria ou Curtose. As medidas de assimetria e curtose servem para descrever as formas e a evolução das curvas de distribuição. Assimetria é o grau de desvio, ou afastamento da simetria, de uma distribuição de freqüência em relação à curva Normal. A distribuição será simétrica se a média aritmética, moda e mediana forem iguais; nesse caso, o coeficiente de assimetria de Pearson será igual a zero. A distribuição de freqüência será assimétrica quando a média, a mediana e a moda recaírem em pontos diferentes da distribuição, sendo o deslocamento dos pontos para a direita ou para a esquerda. Se uma curva de freqüência de uma distribuição tiver uma "cauda" mais longa à direita da ordenada máxima do que à esquerda, diz-se que a distribuição é assimétrica para a direita, ou que ela tem assimetria positiva. Se ocorrer o inverso, a assimetria é negativa, ou seja, a distribuição é assimétrica para a esquerda. O objectivo deste trabalho é determinar das frequências absolutas e coeficientes de assimetria e curtose, verificou-se a importância do entendimento a cerca das distribuições de frequência dos salários, pois a partir dele pode-se estabelecer os melhores procedimentos estatísticos a serem utilizados na análise do comportamento desta variável. 1.1.Objectivo 1.1.1. Geral Discutir as Medidas de Assimetria ou Curtose 1.1.2. Especificos Definir as medidas de assimetria e Curtose; Falar da importância da assimetria e curtose; Aplicar na pratica para resolução de um problema. 2 2. Quadro teórico Definição Medida de curtose Entende-se por curtose o grau de achatamento de uma distribuição, em comparação com uma distribuição padrão. Com referência ao grau de achatamento de uma curva, pode-se ter três tipos de curva: mesocúrtica, leptocúrtica e platicúrtica. A curva mesocúrtica é a curva básica que apresenta um grau de achatamento padrão equivalente ao da curva normal. Já a curva leptocúrtica apresenta um alto grau de afilamento, superior ao normal, sendo uma curva mais fechada ou empinada. Por outro lado, a curva platicúrtica apresenta um alto grau de achatamento, superior ao normal, sendo mais aberta. Medida de assimetria Assimetria é o grau de afastamento que uma distribuição apresenta do seu eixo de simetria. Este afastamento pode acontecer do lado esquerdo ou do lado direito da distribuição, chamado de assimetria negativa ou positiva respectivamente. As medidas de assimetria possibilitam analisar uma distribuição de acordo com as relações entre suas medidas de moda, média e mediana, quando observadas graficamente. Média aritmética A media aritimetrica ou media de um conjunto de N valores x: (x1, x2, x3, … xn) usualmente representado por 𝑥, é definida por: 𝑥 = ∑ 𝑥𝑖 𝑁 𝑖=1 𝑁 para dados não agrupados e 𝑥 = ∑ 𝑓𝑖𝑥𝑖 𝑘 𝑖=1 𝑛 para dados agrupados Mediana A mediana de um conjunto de número ordenados é o valor central (ocalizado no meio da sequencia ordenada), que divide o conjunto em, aproximadamente, 50% dos valores abaixo e 50% acima dele. 3 Para dados não agrupados: quando o numero de elementos for impar, a mediana será o elemento do meio da sequencia ordenada. Quando o numero de elementos for par, a meana será a media aritmética dos valores centrais. Para dados agrupados: 𝑀𝑑 = 𝐿𝑖 + ∑ 𝑓𝑖 𝑘 𝑖=1 2 − 𝐹𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑓𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 ∗ ℎ Moda A moda de um conjunto é o elemento que ocorre com maior frequência, isto é, o elemento mais comum. A moda pode não existir (quando todos ocorrem com a mesma frequência) e, mesmo que exista, pode não ser única (quando há mais de um elemento com frequência máxima) Para dados agrupados pode se usar o método de Czuber 𝑀𝑜 = 𝐿𝑖 + ∆𝐴𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 ∆𝑎𝑛𝑡 + ∆𝑝𝑜𝑠𝑡 ∗ ℎ 2.1.Medidas de assimetria e curtose As medidas de assimetria e curtose são utilizadas para descrever as formas e a evolução das curvas de distribuição em função de vários fatores (MACHADO et al., 2006). Assimetria denomina-se como o grau de afastamento de uma distribuição da unidade de simetria, enquanto a curtose refere-se ao grau de achatamento de uma determinada distribuição em comparação a uma distribuição padrão, ou também chamada de curva normal (CORREA, 2003). As medidas de assimetria e curtose, assim como as medidas de tendência central e as medidas de dispersão, auxiliam para a descrição e compreensão de distribuição de frequência e são úteis para comparar a forma das distribuições das variáveis em análise. 2.1.1. Medida de Assimetria Assimetria é o grau de desvio em relação a uma distribuição simétrica. Ao representarmos graficamente uma distribuição de frequências, três casos são possíveis: 1º Caso 𝑥 = 𝑀𝑒 = 𝑀𝑜 . Estamos perante uma distribuição simétrica. 4 Graficamente, uma distribuição simétrica tem associada a si uma curva de frequências unimodal apresentando duas "caudas" simétricas em relação a uma linha vertical que passa por seu ponto mais alto (eixo de simetria). Figure 1. Curva de distribuição simétrica 2º Caso 𝑥 < 𝑀𝑒 < 𝑀𝑜 . Estamos perante uma distribuição assimetria a esquerda ou negativa. Uma distribuição assimétrica tem associada a si uma curva de freqüências unimodal que apresenta, a partir do seu ponto mais alto, uma "cauda" mais longa para a direita (assimetria positiva) ou para a esquerda (assimetria negativa). Nas distribuições assimétricas os valores da moda, da mediana e da média divergem sendo que a média sempre estará do mesmo lado que a cauda mais longa. Figure 2. Curva de assimetria a esquerda ounegativa 3º Caso 𝑥 > 𝑀𝑒 > 𝑀𝑜 . Estamos perante uma distribuição assimétrica a direita ou positiva. 5 Figure 3. Curva de assimétrica a direita ou positiva Coeficiente de assimetria (As) Karl Peason propôs duas maneiras de avaliar o grau de achatamento ou de formação da curva de uma distribuição de frequências, cujo objectivo principal é justamente indicar a grandeza do afastamento em termos relativos. a) Primeiro coeficiente 𝐴𝑠 = 𝑋 − 𝑀𝑜 𝜎 Onde: 𝑋 – Media aritmética 𝑀𝑜 – Moda 𝜎 – Desvio padrão da amostra b) Segunda coeficiente 𝐴𝑠 = 3(𝑥 − 𝑀𝑒𝑑) 𝜎 𝑜𝑢 𝐴𝑠 = 3𝑥 − 3𝑀𝑒𝑑 𝜎 Onde: 𝑀𝑒𝑑 – Media Em função dos resultados de (As), é possível determinar o comportamento da curva de cada distribuição. Assim, se: As = 0 – A distribuição é simétrica 6 As > 0 – A distribuição é Assimétrica positiva As < 0 – A distribuição é assimétrica negativa 2.1.2. Medidas de Achatamento – Curtose Curtose nada mais é do que o grau de achatamento da curva de uma distribuição de frequências. Isto considerando que uma curva pode apresentar –se mais achatada ou mais afilada em relação a uma curva considerada curva – padrão ou curva normal. Assim, dentro destas especificações, uma curva normal deve apresentar um coeficiente de curtose igual a 0,263 (mesocurtica) , e , se o mesmo coeficiente for menor que 0,263, a curva devera-se apresentar mais aguda que a normal (Leptocúrtica). Graficamente, teremos: figure 4. Curvas de distribuição com divergentes graus de achatamento O cálculo deste coeficiente é dado pela seguinte expressão: 𝐶 = 𝑄3−𝑄1 2 𝐶90−𝐶10 ou 𝐶 = 𝐷𝑞 𝐶90−𝐶!0 Onde: 𝐷𝑞 – Desvio quartilico Quando Cp ≅ 0,263 →diremos que a distribuição é mesocúrtica . Quando Cp < 0,263 →diremos que a distribuição é platicúrtica . Quando Cp > 0,263 →diremos que a distribuição é leptocúrtica . Coeficiente Momento de Curtose 7 O coeficiente momento de curtose é definido como o quociente entre o momento centrado de quarta ordem (m4) e o quadrado do momento centrado de segunda ordem (variância). 𝐶𝑚 = 𝑚4 (𝑚2)2 = 𝑚4 𝑆4 O valor deste coeficiente para a curva normal é 3,00. Portanto: Quando Cm ≅ 3,00 →diremos que a distribuição é mesocúrtica . Quando Cm < 3,00 →diremos que a distribuição é platicúrtica . Quando Cm > 3,00 →diremos que a distribuição é leptocúrtica. 2.2.Importancia da assimetria e curtose Assimetria é de fundamental importância na estatística, pois existem considerações teóricas que são relativas à inferência estatística, que são frequentemente baseadas na hipótese de população distribuídas normalmente. Sendo assim, útil para se precaver contra erros ao estabelecer a hipótese. Assimetria e suas aplicações em frequências reais Pode-se definir como assimetria o grau de afastamento de uma distribuição da unidade de simetria. Dentre tantas medidas, a mais importante é a de Pearson, que é baseada nas relações de média, mediana e moda. Elas variam entre positiva e negativa, onde, a positiva é quando as distribuições assimétricas estão à direita, e negativa quando as distribuições assimétricas estão à esquerda. Para que exista assimetria positiva, é necessário que a distribuição possua uma concentração de valores na zona de valores mais reduzidos da amostra. Então, a cauda à direita é mais alongada que a cauda à esquerda, pois a média, puxada pela cauda maior à direita, é maior que a mediana que, por sua vez, é menor que a moda. As distribuições assimétricas positivas são encontradas com bastante facilidade em dados econômicos, principalmente na produção e série de preços. Já na distribuição assimétrica negativa, os desvios negativos são preponderantes em relação aos positivos. Curtose é de suma importância que tenhamos bem memorizados estes valores de referência, a partir dos quais poderemos dizer em qual das situações de Curtose se encontra determinado conjunto. 8 3. Desenvolvimento 3.1.Exemplo de aplicação Um hospital tem o interesse em determinar a renda dos pacientes de uma determinada área e relacioná-la com a incidência de determinada anomalia ortopédica. Foram selecionados 60 pacientes e as rendas em euro podem ser encontradas na tabela abaixo. Desse modo pede se determinar: a) Agrupar os elementos em classes. Faça K=6 e h=3 b) Calcule a média e a mediana. c) Calcule a medida que deixa 25% das rendas. d) Determine Q3, Q4, P47 e, interprete o resultado. e) Determine o desvio padrão. f) Determine a variância e o desvio padrão. g) Qual é o valor do coeficiente de variação. h) A distribuição é simétrica? i) A distribuição é curtose? Resolução CLASSES fi Fi xi fi*xi fi|xi-média| fi(xi-média) 2 0 3 3 6 6 9 9 12 12 15 15 18 6 17 11 10 11 5 6 23 34 44 55 60 1,5 4,5 7,5 10,5 13,5 16,5 9,0 76,5 82,5 105,0 148,5 82,5 41,4 66,3 9,9 21,0 56,1 40,5 285,66 258,57 8,91 44,1 286,11 328,05 ∑ 60 1,5 504,0 235,2 1211,40 a) Calculo da mediana, Média e Moda Media 𝑥 = ∑ 𝑓𝑖𝑥𝑖 𝑘 𝑖=1 𝑛 𝑥 = 504,0 60 𝑥 = 8,4 9 Mediana 𝑀𝑑 = 𝐿𝑖 + ∑ 𝑓𝑖 𝑘 𝑖=1 2 − 𝐹𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑓𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 ∗ ℎ 𝑀𝑑 = 6 + 60 2 − 23 11 ∗ 3 𝑀𝑑 = 7,9 Moda de Czuber 𝑀𝑜 = 𝐿𝑖 + ∆𝐴𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 ∆𝑎𝑛𝑡 + ∆𝑝𝑜𝑠𝑡 ∗ ℎ 𝑀𝑜 = 3 + 17 − 6 (17 − 6) + (17 − 11) ∗ 3 𝑀𝑜 = 3 + 11 11 + 6 ∗ 3 𝑀𝑜 = 4,94 b) Calcule da medida que deixa 25% das rendas: 𝑄1 = 𝑙𝑄1 + ( 𝑛 4 − 𝐹𝑄1−1) 𝑛𝑄1 ∗ ℎ𝑄1 𝑄1 = 3 + (15 − 6) 17 ∗ 3 𝑄1 = 4,6 c) Determine Q3, Q4, P47 e, interprete o resultado. 𝑄3 = 𝑙𝑄3 + ( 3𝑛 4 − 𝐹𝑄3−1) 𝑛𝑄3 ∗ ℎ𝑄3 𝑄3 = 12 + (45 − 44) 11 ∗ 3 𝑄3 = 12,3 𝑄4 = 𝑙𝑄4 + ( 4𝑛 10 − 𝐹𝑄4−1) 𝑛𝑄4 ∗ ℎ𝑄4 10 𝑄4 = 6 + (24 − 23) 11 ∗ 3 𝑄4 = 6,3 𝑃47 = 𝑙𝑃47 + ( 𝐾𝑛 100 − 𝐹𝑃47−1) 𝑛𝑃47 ℎ𝑃47 𝑃47 = 6 + (28,2 − 23) 11 ∗ 3 𝑃47 = 7,4 d) Calculo do desvio padrão: 𝜎2 = ∑ 𝑓𝑖 ∗ (𝑥𝑖 − 𝑥) 𝑘 𝑖=1 𝑛 − 1 𝜎2 = 1211,4 60 − 1 𝜎2 = 20,5 𝜎 = √20,5 𝜎 = 4,5 e) calculo do coeficiente de variação. 𝐶𝑉 = 𝑠 𝑥 ∗ 100 𝐶𝑉 = 4,5 8,4 ∗ 100 𝐶𝑉 = 53,6% f) calculo da simetria Segundo coeficiente 𝐴𝑠 = 3(𝑥 − 𝑀𝑒𝑑) 𝜎 𝐴𝑠 = 3(8,4 − 7,9) 4,5 𝐴𝑠 = 0,3 O grau de afastamento de uma distribuição é assimétrica a direita ou positiva. Porque 𝑥 = 8,4 > 𝑀𝑑 = 7,9 > 4,94 e As > 0 Primeiro coeficiente 𝐴𝑠 = 𝑋 − 𝑀𝑜 𝜎 𝐴𝑠 = 8,4 − 4,9 4,5 𝐴𝑠 =0,8 11 g) Calculo da Curtose 𝑃10 = 0 + (6 − 0) 6 ∗ 3 = 3 𝑃10 = 12 + (54 − 44) 11 ∗ 3 = 14,7 𝑃10 = 14,7 𝐶 = 𝑄3 − 𝑄1 2 𝐶90 − 𝐶10 𝐶 = 12,3 − 4,6 2 14,7 − 3 = 0,329 (> 0.273, 𝑝𝑙𝑎𝑡𝑖𝑐𝑢𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎) O que implica um alto grau de achatamento, superior ao normal, sendo mais aberta. Determinação da simetria e curtose por analise gráfica de frequência Graficamente pode ser observado que estamos perante uma assimétrica a direita ou positiva, pela calda da direita que é maior, onde a media da distribuição é maior que a mediana, ou seja, a maior parte dos nossos dados estão abaixo da media. Para o caso da curtose também pode se notar que estamos perante um curose platicúrtica pela distribuição que é mais achatada do que a distribuição normal Figure 5.Histograma e o polígono de frequência 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 0 ⊢3 3 ⊢6 6 ⊢9 9 ⊢12 12 ⊢15 15 ⊢18 F re q u ên ci a F re q u ên ci a Classe histograma e o polígono de frequências f f 12 4. Considerações finais Aplicar na pratica para resolução de um problema. As medidas de assimetria e curtose são utilizadas para descrever as formasne a evolução das curvas de distribuição em função de vários fatores (Machado et al., 2006). Assimetria denomina-se como o grau de afastamentode uma distribuição da unidade de simetria, enquanto a curtose refere-se ao grau de achatamento de uma determinada distribuição em comparação a uma distribuição padrão, ou também chamada de curva normal (Correa, 2003). Assimetria é impotente na estatística, pois existem considerações teóricas que são relativas à inferência estatística, que são frequentemente baseadas na hipótese de população distribuídas normalmente. Sendo assim permite precaver contra erros ao estabelecer a hipótese. Curtose é de suma importância que tenhamos bem memorizados estes valores de referência, a partir dos quais poderemos dizer em qual das situações de Curtose se encontra determinado conjunto. A aplicação dos coeficientes de Assimetria e Curtose neste estudo se mostrou satisfatória, uma vez que tais valores complementam as medidas de posição e dispersão, auxiliando na compreensão mais detalhada das distribuições de frequências de dados salarios e técnicas de construções de classes. 13 Referencias bibliográfica Crespo, A.A. Estatística Fácil. 16. ed. São Paulo: Saraiva, 1998. 207 p. Correa, S. M. B. B. Probabilidade e Estatística. 2. ed. Belo Horizonte: PUC Minas Virtual, 2003. 116 p. Machado, S. A.; Bartoszeck, A. C. P. S.; Figueiredo Filho, A.; Oliveira, E. B. de. Dinâmica da distribuição diamétrica de bracatingais na região metropolitana de Curitiba. Árvore, v. 30, n. 5, p. 759-768, 2006. Pereira, W.; Tanaka, O.K. Estatística - conceitos básicos. 2. ed. São Paulo: Makron Books, 1990. 371 p.
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