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Arcenio Artur Munguambe - Estatistica

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Arcenio Artur Munguambe 
 
 
Departamento de Ciências de Educação 
 
 
Curso de Licenciatura em Ensino de Direito 
1º Ano 
 
 
 
 
 
 
 
Tema: Medidas de Assimetria ou Curtose 
 
 
 
 
 
 
 
Xai-Xai, Março de 2021 
 
 
Índice 
1. Introdução............................................................................................................................ 1 
1.1. Objectivo ................................................................................................................................ 1 
1.1.1. Geral ............................................................................................................................... 1 
1.1.2. Especificos ..................................................................................................................... 1 
2. Quadro teórico ..................................................................................................................... 2 
Definição .................................................................................................................................... 2 
2.1. Medidas de assimetria e curtose ......................................................................................... 3 
2.1.1. Medida de Assimetria .................................................................................................. 3 
2.1.2. Medidas de Achatamento – Curtose .......................................................................... 6 
2.2. Importancia da assimetria e curtose ................................................................................... 7 
3. Desenvolvimento ................................................................................................................. 8 
3.1. Exemplo de aplicação .......................................................................................................... 8 
4. Considerações finais .......................................................................................................... 12 
Referencias bibliográfica .......................................................................................................... 13 
 
 
1 
 
Medidas de Assimetria ou Curtose 
1. Introdução 
O presente trabalho surge no âmbito da cadeira de estatística com tema em foco, Medidas de 
Assimetria ou Curtose. 
As medidas de assimetria e curtose servem para descrever as formas e a evolução das curvas de 
distribuição. Assimetria é o grau de desvio, ou afastamento da simetria, de uma distribuição de 
freqüência em relação à curva Normal. A distribuição será simétrica se a média aritmética, 
moda e mediana forem iguais; nesse caso, o coeficiente de assimetria de Pearson será igual a 
zero. A distribuição de freqüência será assimétrica quando a média, a mediana e a moda 
recaírem em pontos diferentes da distribuição, sendo o deslocamento dos pontos para a direita 
ou para a esquerda. Se uma curva de freqüência de uma distribuição tiver uma "cauda" mais 
longa à direita da ordenada máxima do que à esquerda, diz-se que a distribuição é assimétrica 
para a direita, ou que ela tem assimetria positiva. Se ocorrer o inverso, a assimetria é negativa, 
ou seja, a distribuição é assimétrica para a esquerda. 
O objectivo deste trabalho é determinar das frequências absolutas e coeficientes de assimetria 
e curtose, verificou-se a importância do entendimento a cerca das distribuições de frequência 
dos salários, pois a partir dele pode-se estabelecer os melhores procedimentos estatísticos a 
serem utilizados na análise do comportamento desta variável. 
 
1.1.Objectivo 
1.1.1. Geral 
 Discutir as Medidas de Assimetria ou Curtose 
1.1.2. Especificos 
 Definir as medidas de assimetria e Curtose; 
 Falar da importância da assimetria e curtose; 
 Aplicar na pratica para resolução de um problema. 
 
 
 
 
2 
 
2. Quadro teórico 
Definição 
Medida de curtose 
Entende-se por curtose o grau de achatamento de uma distribuição, em comparação com uma 
distribuição padrão. Com referência ao grau de achatamento de uma curva, pode-se ter três tipos 
de curva: mesocúrtica, leptocúrtica e platicúrtica. 
A curva mesocúrtica é a curva básica que apresenta um grau de achatamento padrão 
equivalente ao da curva normal. 
Já a curva leptocúrtica apresenta um alto grau de afilamento, superior ao normal, sendo uma 
curva mais fechada ou empinada. 
Por outro lado, a curva platicúrtica apresenta um alto grau de achatamento, superior ao 
normal, sendo mais aberta. 
Medida de assimetria 
Assimetria é o grau de afastamento que uma distribuição apresenta do seu eixo de simetria. Este 
afastamento pode acontecer do lado esquerdo ou do lado direito da distribuição, chamado de 
assimetria negativa ou positiva respectivamente. 
As medidas de assimetria possibilitam analisar uma distribuição de acordo com as relações 
entre suas medidas de moda, média e mediana, quando observadas graficamente. 
Média aritmética 
A media aritimetrica ou media de um conjunto de N valores x: (x1, x2, x3, … xn) usualmente 
representado por 𝑥, é definida por: 
𝑥 =
∑ 𝑥𝑖
𝑁
𝑖=1
𝑁
 para dados não agrupados e 
𝑥 =
∑ 𝑓𝑖𝑥𝑖
𝑘
𝑖=1
𝑛
 para dados agrupados 
Mediana 
A mediana de um conjunto de número ordenados é o valor central (ocalizado no meio da 
sequencia ordenada), que divide o conjunto em, aproximadamente, 50% dos valores abaixo e 
50% acima dele. 
 
3 
 
 Para dados não agrupados: quando o numero de elementos for impar, a mediana será o 
elemento do meio da sequencia ordenada. Quando o numero de elementos for par, a meana 
será a media aritmética dos valores centrais. 
 Para dados agrupados: 
𝑀𝑑 = 𝐿𝑖 +
∑ 𝑓𝑖
𝑘
𝑖=1
2 − 𝐹𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟
𝑓𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜
∗ ℎ 
 
Moda 
A moda de um conjunto é o elemento que ocorre com maior frequência, isto é, o elemento mais 
comum. A moda pode não existir (quando todos ocorrem com a mesma frequência) e, mesmo 
que exista, pode não ser única (quando há mais de um elemento com frequência máxima) 
Para dados agrupados pode se usar o método de Czuber 
𝑀𝑜 = 𝐿𝑖 +
∆𝐴𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟
∆𝑎𝑛𝑡 + ∆𝑝𝑜𝑠𝑡
∗ ℎ 
 
2.1.Medidas de assimetria e curtose 
As medidas de assimetria e curtose são utilizadas para descrever as formas e a evolução das 
curvas de distribuição em função de vários fatores (MACHADO et al., 2006). Assimetria 
denomina-se como o grau de afastamento de uma distribuição da unidade de simetria, enquanto 
a curtose refere-se ao grau de achatamento de uma determinada distribuição em comparação a 
uma distribuição padrão, ou também chamada de curva normal (CORREA, 2003). 
As medidas de assimetria e curtose, assim como as medidas de tendência central e as medidas 
de dispersão, auxiliam para a descrição e compreensão de distribuição de frequência e são úteis 
para comparar a forma das distribuições das variáveis em análise. 
2.1.1. Medida de Assimetria 
Assimetria é o grau de desvio em relação a uma distribuição simétrica. 
Ao representarmos graficamente uma distribuição de frequências, três casos são possíveis: 
1º Caso 𝑥 = 𝑀𝑒 = 𝑀𝑜 . Estamos perante uma distribuição simétrica. 
 
4 
 
Graficamente, uma distribuição simétrica tem associada a si uma curva de frequências unimodal 
apresentando duas "caudas" simétricas em relação a uma linha vertical que passa por seu ponto 
mais alto (eixo de simetria). 
 
Figure 1. Curva de distribuição simétrica 
 
2º Caso 𝑥 < 𝑀𝑒 < 𝑀𝑜 . Estamos perante uma distribuição assimetria a esquerda ou negativa. 
Uma distribuição assimétrica tem associada a si uma curva de freqüências unimodal que 
apresenta, a partir do seu ponto mais alto, uma "cauda" mais longa para a direita (assimetria 
positiva) ou para a esquerda (assimetria negativa). 
Nas distribuições assimétricas os valores da moda, da mediana e da média divergem sendo que 
a média sempre estará do mesmo lado que a cauda mais longa. 
 
Figure 2. Curva de assimetria a esquerda ounegativa 
 
3º Caso 𝑥 > 𝑀𝑒 > 𝑀𝑜 . Estamos perante uma distribuição assimétrica a direita ou positiva. 
 
5 
 
 
Figure 3. Curva de assimétrica a direita ou positiva 
Coeficiente de assimetria (As) 
Karl Peason propôs duas maneiras de avaliar o grau de achatamento ou de formação da curva 
de uma distribuição de frequências, cujo objectivo principal é justamente indicar a grandeza do 
afastamento em termos relativos. 
 
a) Primeiro coeficiente 
𝐴𝑠 =
𝑋 − 𝑀𝑜
𝜎
 
Onde: 
𝑋 – Media aritmética 
 𝑀𝑜 – Moda 
𝜎 – Desvio padrão da amostra 
b) Segunda coeficiente 
𝐴𝑠 =
3(𝑥 − 𝑀𝑒𝑑)
𝜎
𝑜𝑢 𝐴𝑠 =
3𝑥 − 3𝑀𝑒𝑑
𝜎
 
Onde: 
𝑀𝑒𝑑 – Media 
Em função dos resultados de (As), é possível determinar o comportamento da curva de cada 
distribuição. Assim, se: 
As = 0 – A distribuição é simétrica 
 
6 
 
As > 0 – A distribuição é Assimétrica positiva 
As < 0 – A distribuição é assimétrica negativa 
2.1.2. Medidas de Achatamento – Curtose 
Curtose nada mais é do que o grau de achatamento da curva de uma distribuição de frequências. 
Isto considerando que uma curva pode apresentar –se mais achatada ou mais afilada em relação 
a uma curva considerada curva – padrão ou curva normal. 
Assim, dentro destas especificações, uma curva normal deve apresentar um coeficiente de 
curtose igual a 0,263 (mesocurtica) , e , se o mesmo coeficiente for menor que 0,263, a curva 
devera-se apresentar mais aguda que a normal (Leptocúrtica). Graficamente, teremos: 
 
figure 4. Curvas de distribuição com divergentes graus de achatamento 
O cálculo deste coeficiente é dado pela seguinte expressão: 
𝐶 =
𝑄3−𝑄1
2
𝐶90−𝐶10
 ou 𝐶 =
𝐷𝑞
𝐶90−𝐶!0
 
Onde: 
𝐷𝑞 – Desvio quartilico 
Quando Cp ≅ 0,263 →diremos que a distribuição é mesocúrtica . 
Quando Cp < 0,263 →diremos que a distribuição é platicúrtica . 
Quando Cp > 0,263 →diremos que a distribuição é leptocúrtica . 
Coeficiente Momento de Curtose 
 
7 
 
O coeficiente momento de curtose é definido como o quociente entre o momento centrado de 
quarta ordem (m4) e o quadrado do momento centrado de segunda ordem (variância). 
𝐶𝑚 =
𝑚4
(𝑚2)2
=
𝑚4
𝑆4
 
O valor deste coeficiente para a curva normal é 3,00. Portanto: 
Quando Cm ≅ 3,00 →diremos que a distribuição é mesocúrtica . 
Quando Cm < 3,00 →diremos que a distribuição é platicúrtica . 
Quando Cm > 3,00 →diremos que a distribuição é leptocúrtica. 
2.2.Importancia da assimetria e curtose 
Assimetria é de fundamental importância na estatística, pois existem considerações teóricas que 
são relativas à inferência estatística, que são frequentemente baseadas na hipótese de população 
distribuídas normalmente. Sendo assim, útil para se precaver contra erros ao estabelecer a 
hipótese. Assimetria e suas aplicações em frequências reais Pode-se definir como assimetria o 
grau de afastamento de uma distribuição da unidade de simetria. 
Dentre tantas medidas, a mais importante é a de Pearson, que é baseada nas relações de média, 
mediana e moda. Elas variam entre positiva e negativa, onde, a positiva é quando as 
distribuições assimétricas estão à direita, e negativa quando as distribuições assimétricas estão 
à esquerda. Para que exista assimetria positiva, é necessário que a distribuição possua uma 
concentração de valores na zona de valores mais reduzidos da amostra. Então, a cauda à direita 
é mais alongada que a cauda à esquerda, pois a média, puxada pela cauda maior à direita, é 
maior que a mediana que, por sua vez, é menor que a moda. As distribuições assimétricas 
positivas são encontradas com bastante facilidade em dados econômicos, principalmente na 
produção e série de preços. Já na distribuição assimétrica negativa, os desvios negativos são 
preponderantes em relação aos positivos. 
Curtose é de suma importância que tenhamos bem memorizados estes valores de referência, a 
partir dos quais poderemos dizer em qual das situações de Curtose se encontra determinado 
conjunto. 
 
 
 
8 
 
3. Desenvolvimento 
3.1.Exemplo de aplicação 
Um hospital tem o interesse em determinar a renda dos pacientes de uma determinada área e 
relacioná-la com a incidência de determinada anomalia ortopédica. Foram selecionados 60 
pacientes e as rendas em euro podem ser encontradas na tabela abaixo. 
Desse modo pede se determinar: 
a) Agrupar os elementos em classes. Faça K=6 e h=3 
b) Calcule a média e a mediana. 
c) Calcule a medida que deixa 25% das rendas. 
d) Determine Q3, Q4, P47 e, interprete o resultado. 
e) Determine o desvio padrão. 
f) Determine a variância e o desvio padrão. 
g) Qual é o valor do coeficiente de variação. 
h) A distribuição é simétrica? 
i) A distribuição é curtose? 
 
Resolução 
CLASSES fi Fi xi fi*xi fi|xi-média| fi(xi-média)
2 
0 3 
3 6 
6 9 
 9 12 
12 15 
15 18 
6 
17 
11 
10 
11 
5 
6 
23 
34 
44 
55 
60 
1,5 
4,5 
7,5 
10,5 
13,5 
16,5 
9,0 
76,5 
82,5 
105,0 
148,5 
82,5 
41,4 
66,3 
9,9 
21,0 
56,1 
40,5 
285,66 
258,57 
8,91 
44,1 
286,11 
328,05 
∑ 60 1,5 504,0 235,2 1211,40 
 
a) Calculo da mediana, Média e Moda 
Media 
𝑥 =
∑ 𝑓𝑖𝑥𝑖
𝑘
𝑖=1
𝑛
 𝑥 =
504,0
60
 𝑥 = 8,4 
 
 
9 
 
Mediana 
𝑀𝑑 = 𝐿𝑖 +
∑ 𝑓𝑖
𝑘
𝑖=1
2 − 𝐹𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟
𝑓𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜
∗ ℎ 
𝑀𝑑 = 6 +
60
2 − 23
11
∗ 3 
𝑀𝑑 = 7,9 
 
Moda de Czuber 
𝑀𝑜 = 𝐿𝑖 +
∆𝐴𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟
∆𝑎𝑛𝑡 + ∆𝑝𝑜𝑠𝑡
∗ ℎ 
𝑀𝑜 = 3 +
17 − 6
(17 − 6) + (17 − 11)
∗ 3 
𝑀𝑜 = 3 +
11
11 + 6
∗ 3 
𝑀𝑜 = 4,94 
 
b) Calcule da medida que deixa 25% das rendas: 
𝑄1 = 𝑙𝑄1 +
(
𝑛
4 − 𝐹𝑄1−1)
𝑛𝑄1
∗ ℎ𝑄1 
𝑄1 = 3 +
(15 − 6)
17
∗ 3 
𝑄1 = 4,6 
 
c) Determine Q3, Q4, P47 e, interprete o resultado. 
𝑄3 = 𝑙𝑄3 +
(
3𝑛
4 − 𝐹𝑄3−1)
𝑛𝑄3
∗ ℎ𝑄3 
𝑄3 = 12 +
(45 − 44)
11
∗ 3 
𝑄3 = 12,3 
𝑄4 = 𝑙𝑄4 +
(
4𝑛
10 − 𝐹𝑄4−1)
𝑛𝑄4
∗ ℎ𝑄4 
 
10 
 
𝑄4 = 6 +
(24 − 23)
11
∗ 3 
𝑄4 = 6,3 
𝑃47 = 𝑙𝑃47 +
(
𝐾𝑛
100 − 𝐹𝑃47−1)
𝑛𝑃47
ℎ𝑃47 
𝑃47 = 6 +
(28,2 − 23)
11
∗ 3 
𝑃47 = 7,4 
 
d) Calculo do desvio padrão: 
𝜎2 =
∑ 𝑓𝑖 ∗ (𝑥𝑖 − 𝑥)
𝑘
𝑖=1
𝑛 − 1
 
𝜎2 =
1211,4
60 − 1
 
𝜎2 = 20,5 
𝜎 = √20,5 
𝜎 = 4,5 
 
e) calculo do coeficiente de variação. 
𝐶𝑉 =
𝑠
𝑥
∗ 100 
𝐶𝑉 =
4,5
8,4
∗ 100 
𝐶𝑉 = 53,6% 
f) calculo da simetria 
 Segundo coeficiente 
𝐴𝑠 =
3(𝑥 − 𝑀𝑒𝑑)
𝜎
 
𝐴𝑠 =
3(8,4 − 7,9)
4,5
 
𝐴𝑠 = 0,3 
O grau de afastamento de uma distribuição é assimétrica a direita ou positiva. 
Porque 𝑥 = 8,4 > 𝑀𝑑 = 7,9 > 4,94 e As > 0 
Primeiro coeficiente 
𝐴𝑠 =
𝑋 − 𝑀𝑜
𝜎
 
𝐴𝑠 =
8,4 − 4,9
4,5
 
𝐴𝑠 =0,8 
 
11 
 
g) Calculo da Curtose 
𝑃10 = 0 +
(6 − 0)
6
∗ 3 = 3 
𝑃10 = 12 +
(54 − 44)
11
∗ 3 = 14,7 
𝑃10 = 14,7 
 
 𝐶 =
𝑄3 − 𝑄1
2
𝐶90 − 𝐶10
 
𝐶 =
12,3 − 4,6
2
14,7 − 3
= 0,329 (> 0.273, 𝑝𝑙𝑎𝑡𝑖𝑐𝑢𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎) 
O que implica um alto grau de achatamento, superior ao normal, sendo mais aberta. 
 
Determinação da simetria e curtose por analise gráfica de frequência 
Graficamente pode ser observado que estamos perante uma assimétrica a direita ou positiva, 
pela calda da direita que é maior, onde a media da distribuição é maior que a mediana, ou seja, 
a maior parte dos nossos dados estão abaixo da media. 
Para o caso da curtose também pode se notar que estamos perante um curose platicúrtica pela 
distribuição que é mais achatada do que a distribuição normal 
 
Figure 5.Histograma e o polígono de frequência 
 
 
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0 ⊢3 3 ⊢6 6 ⊢9 9 ⊢12 12 ⊢15 15 ⊢18
F
re
q
u
ên
ci
a
F
re
q
u
ên
ci
a
Classe
histograma e o polígono de frequências
f f
 
12 
 
4. Considerações finais 
Aplicar na pratica para resolução de um problema. 
As medidas de assimetria e curtose são utilizadas para descrever as formasne a evolução das 
curvas de distribuição em função de vários fatores (Machado et al., 2006). Assimetria 
denomina-se como o grau de afastamentode uma distribuição da unidade de simetria, enquanto 
a curtose refere-se ao grau de achatamento de uma determinada distribuição em comparação a 
uma distribuição padrão, ou também chamada de curva normal (Correa, 2003). 
Assimetria é impotente na estatística, pois existem considerações teóricas que são relativas à 
inferência estatística, que são frequentemente baseadas na hipótese de população distribuídas 
normalmente. Sendo assim permite precaver contra erros ao estabelecer a hipótese. Curtose é 
de suma importância que tenhamos bem memorizados estes valores de referência, a partir dos 
quais poderemos dizer em qual das situações de Curtose se encontra determinado conjunto. 
A aplicação dos coeficientes de Assimetria e Curtose neste estudo se mostrou satisfatória, uma 
vez que tais valores complementam as medidas de posição e dispersão, auxiliando na 
compreensão mais detalhada das distribuições de frequências de dados salarios e técnicas de 
construções de classes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
 
Referencias bibliográfica 
Crespo, A.A. Estatística Fácil. 16. ed. São Paulo: Saraiva, 1998. 207 p. 
Correa, S. M. B. B. Probabilidade e Estatística. 2. ed. Belo Horizonte: PUC Minas Virtual, 
2003. 116 p. 
Machado, S. A.; Bartoszeck, A. C. P. S.; Figueiredo Filho, A.; Oliveira, E. B. de. Dinâmica da 
distribuição diamétrica de bracatingais na região metropolitana de Curitiba. Árvore, v. 30, n. 5, 
p. 759-768, 2006. 
Pereira, W.; Tanaka, O.K. Estatística - conceitos básicos. 2. ed. São Paulo: Makron Books, 
1990. 371 p.

Outros materiais