Apostila - Geometria Descritiva

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A
1
1’
2
2’
3
3’
4
4’
5
5’
6
6’
A’
B
B’
C
C’
D
D’
E
E’
F
F’
1’
A’
B
’
C
’
D
’
E
’
F’
2’
3’
4’
5’
6’
VG
(1)R
(2)R
(3)R
(4)R
(5)R
(6)R
Q'
Q
Q'1
P'
P
P'1
Q0
VG da abertura
angular de
 (Q) com o PH
1’
V’
V
V
’1
CURSO DE ARQUITETURA E URBANISMO
CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE PALMAS
eber nunes ferreira g
e
o
m
e
tr
ia
 d
e
s
c
ri
ti
v
a
15/11/2020
MATERIAL PROVISÓRIO
A CORREÇÃO NÃO FOI FINALIZADA
ATUALIZADO EM
3.2 SINAIS
3.1 COORDENADAS
1. INTRODUÇÃO
ÍNDICE
2. SISTEMAS DE PROJEÇÃO
3. GEOMETRIA DESCRITIVA
3.2 REPRESENTAÇÃO EM ÉPURA
3.3 VISTA DE PERFIL (TERCEIRA PROJEÇÃO)
4. ESTUDO DA RETA
4.2 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETA E PLANO
4.1 DETERMINAÇÃO DE RETAS
4.3 CLASSIFICAÇÃO DAS RETAS
4.3 PARTICULARIDADES
4.4 PERTINÊNCIA DE PONTO À RETA
4.5 PONTOS NOTÁVEIS DA RETA
4.5.1 DETERMINAÇÃO DO TRAÇO HORIZONTAL
4.5.2 DETERMINAÇÃO DO TRAÇO VERTICAL
4.5.3 TRAÇOS HORIZONTAL E VERTICAL NA RETA DE PERFIL
4.5.4 TRAÇOS HORIZONTAL E VERTICAL NAS DEMAIS RETAS
4.6 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS RETAS
4.6.1 ANÁLISE DAS POSIÇÕES RELATIVAS EM ÉPURA
4.7 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS RETAS DE PERFIL
4.8 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DO CONTEÚDO
5. ESTUDO DOS PLANOS
5.1 DETERMINAÇÃO DE PLANOS
5.2 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DOIS PLANOS
5.3 CLASSIFICAÇÃO DOS PLANOS
5.4 RETAS PERTENCENTES AOS PLANOS
5.5 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DO CONTEÚDO
5.6 PERTINÊNCIA DA RETA AO PLANO EM ÉPURA
5.6.2 RETAS DO PLANO FRONTAL OU DE FRENTE
5.6.1 RETAS DO PLANO HORIZONTAL OU DE NÍVEL
04
04
09
10
11
12
13
16
16
16
16
23
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26
26
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29
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42
38
37
35
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2
5.6.3 RETAS DO PLANO DE PERFIL
5.6.4 RETAS DO PLANO VERTICAL
5.6.5 RETAS DO PLANO DE TOPO
5.7 RETAS DE MÁXIMO DECLIVE (MD) E MÁXIMA INCLINAÇÃO (MI)
 5.7.1 QUADRO SÍNTESE DAS RETAS DE MD E MI
6. SÓLIDOS GEOMÉTRICOS
6.1 ÂNGULOS SÓLIDOS
6.3 POLIEDROS IRREGULARES
6.2 POLIEDROS REGULARES
6.4 SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO
7. SEÇÃO PLANA
7.1 EXEMPLOS
8.1 REBATIMENTO
8.2 MUDANÇA DE PLANO
8.3 ROTAÇÃO
8. MÉTODOS DESCRITIVOS
6.5 EXERCÍCIOS
6.6 DUAIS
8.1.1 EXEMPLOS
8.2.1 MUDANÇA DE PLANO DE PLANO VERTICAL
8.2.2 MUDANÇA DE PLANO HORIZONTAL
8.2.3 EXEMPLOS
9. PLANIFICAÇÃO
9.1 EXEMPLOS
10. PLANO QUALQUER E OS MÉTODOS DESCRITIVOS
11. BIBLIOGRAFIA
10.1 EXEMPLOS
5.6.6 RETAS DO PLANO PARALELO A LINHA DE TERRA
5.6.7 RETAS DO PLANO QUE PASSA PELA LINHA DE TERRA
5.6.8 RETAS DO PLANO QUALQUER
5.6.9 QUADRO SÍNTESE DE PERTINÊNCIA DE RETA A PLANOS
51
53
55
57
58
60
63
64
66
68
69
70
74
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77
82
83
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1. INTRODUÇÃO
 Gaspard Monge nasceu a 10 de maio de 1746, na cidade de Beaune e faleceu em Paris, a 28 
de julho de 1818. Com 16 anos já revelava a diversidade de suas aptidões técnicas e intelectuais, 
mostrando sua habilidade como desenhista e inventor. Era possuidor de "dedos capazes de traduzir 
com fidelidade geométrica seus pensamentos".
 Vive-se em um mundo tridimensional, onde os objetos são descritos esquematicamente, 
fazendo-se referência à altura ,largura e profundidade. Durante muitos séculos, desde quando o 
homem pré-histórico esboçava suas caças nas paredes das cavernas procurou-se a forma de como 
representar objetos de um universo tridimensional em superfícies bidimensionais
 Com o advento da Revolução Industrial, esta necessidade tornou-se ainda mais imperativa, 
pois o sistema produtivo até então, utilizava-se de mão-de-obra artesanal, onde a "comunicação 
técnica" ainda não requeria um maior grau de complexidade.
 A partir do momento em que objetos passam a ser produzidos em quantidade considerável, 
fez-se necessário o uso da de uma representação projetiva baseada não mais no "olhar humano" que 
sabidamente vê e interpreta os objetos deformando suas medidas, ângulos e formas, mas, uma 
representação que contemplasse as reais medidas do objeto, para que sua confecção fosse precisa e 
confiável.
 Em sua genialidade, Gaspar Monge, com uma idéia "escandalosamente simples", 
revoluciona a representação de objetos tridimensionais, imprimindo-lhe um caráter técnico e de 
precisão.
 Este questionamento se dá, inicialmente, ao nível da representação dos objetos já existentes, 
mas em se tratando de elementos que ainda estão na mente do seu criador, o fato se agrava, e ainda 
mais quando um é o que concebe e outro é o que materializa. Nesse caso, torna-se imprescindível 
uma maneira de transmitir a idéia do projetista ao seu realizador.
 Ao olharmos ao nosso redor, podemos perceber que estamos envolvidos por diferentes 
sistemas projetivos. Uma sessão de cinema,ou a simples sombra de um objeto que varia em função 
da direção dos raios luminosos, são suficientes para fazermos uma analogia com os diferentes 
sistemas projetivos.
 As diversas sombras ou imagens formadas se devem, entre outros fatores, a relação de 
distância com a superfície onde a sombra é projetada, à direção dos raios, e ao tipo de fonte luminosa, 
quer seja solar ou artificial.
2. SISTEMAS DE PROJEÇÃO
 Consideremos um ponto qualquer no espaço, posicionado no finito ou no infinito, como sendo 
o olho de um observador. Se fosse possível interceptarmos com um plano,os raios visuais que 
chegam ao olho observador, teríamos uma imagem correspondente ao objeto observado. Esta 
imagem recebe o nome técnico de projeção.
 Em função da grandeza do Sol, 
quando comparada a Terra, e de sua 
distância para com a mesma, podemos 
considerar seus raios paralelos entre si. Já a 
iluminação artificial é considerada puntiforme 
e sua emissão de raios luminosos se dá de 
forma radial. Tudo isto, determina diferentes 
resultados.
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 Também, ao colocarmos uma tela móvel diante dos raios luminosos de um projetor, obteremos 
distintas projeções (imagens) de acordo com a posição e o tipo de superfície da tela.
 Analisando os exemplos anteriores, podemos fazer uma analogia com os elementos de um 
sistema de projeção. Um sistema de projeção é constituído por cinco elementos básicos. São eles: 
Centro de Projeção, Linha Projetante, Objeto, Projeção e Plano de Projeção.
 Do centro de projeção (O) parte uma linha 
projetante (r) que, cortada pelo plano (a), determina a 
projeção P, do ponto (P).
(O)
( )P
P
(r)
Ângulo de Incidência
da linha Projetante
FINITO / INFINITO
Assim podemos estabelecer a seguinte relação:
Centro de Projeção
Linha Projetante
Ponto Objetivo
Projeção do Ponto (P)
Plano de Projeção
Fonte de Luz / Olho do observador
Raio Luminoso / Raio Visual
Objeto
Sombra / Imagem
Tela / Anteparo
(O)
( r )
(P)
 P
(a)
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 O centro de Projeção (P) é o ponto ou local de onde partem as linhas projetantes, podendo 
localizar-se no Finito ou Infinito, denominando-se centro Próprio ou Impróprio, respectivamente.
 Quando consideramos o centro de 
projeção PRÓPRIO, as linhas projetantes partem 
divergentes em direção ao plano de projeção 
correspondendo assim aos raios de uma lâmpada 
incandescente. Desta forma, temos o Sistema 
Cônico de Projeção.
(O)
(A)
A
A
(A)
A
(A)
 Quando consideramos o centro de 
projeção IMPRÓPRIO, as linhas projetantes 
partem paralelas em direção ao plano de projeção, 
correspondendo assim aos raios do sol.
Observe que no sistema Cilíndrico o ângulo de incidência de todas as linhas projetantes são iguais 
para uma mesma direção, e o centro de projeção não é percebido por se encontrar no infinito.
 Estudaremos agora cada um dos sistemas, percebendo suas características e 
particularidades. Inicialmente, consideraremos o objeto (bidimensional) em uma posição fixa no 
espaço equidistante (paralelo) ao plano de projeção.
 No Sistema Cônico a projeção não registra as reais dimensões 
do objeto, ou seja, ele NÃO É representado em sua verdadeira 
grandeza (VG). Observe que no exemplo da figura ao lado ocorre uma 
ampliação do objeto projetado.Neste sistema, o centro de projeção 
pode ocupar várias posições, o que interferirá no resultado da projeção.
(A)
A
(A)A
 No Sistema Cilíndrico Oblíquo o objeto é representado em 
VERDADEIRA GRANDEZA, mas devido aos diferentes valores que o 
ângulo de incidência pode assumir (em função da direção das linhas 
projetantes) teremos várias opções para a localização da projeção 
sobre o plano.
 Já no Sistema Cilíndrico Ortogonal, o objeto está expresso em 
sua VG mas, ao contrário dos sistemas anteriores, existe uma única 
projeção que o representa, pois a direção também é única.
(A)
A
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 Na figura ao lado,o sistema de projeção é o cilíndrico oblíquo; cilíndrico 
porque as linhas projetantes são paralelas entre si, e oblíquo porque o ângulo de 
incidência das linhas projetantes com o plano não é reto.
(A)
(B)
A B
(B)
(A)
A
B
(C)
C
(B)
(A)
A B
(C)
C
(B)
(A)
A B
(C)
C
 No sistema cônico, quando o objeto (bidimensional) não está paralelo ao plano, a projeção 
deixa de estar semelhante ao objeto no espaço. Já no sistema cilíndrico a projeção deixa de estar 
congruente ao objeto.
VG
VG
VG
Conhecendo melhor o Sistema Cilíndrico Ortogonal (PROJEÇÃO ORTOÉDRICA)
 A classificação oblíquo e ortogonal dentro do sistema cilíndrico não está em função do 
ângulo que a linha projetante forma com o objeto , e sim com o plano de projeção.
 Esta observação se faz necessária, pois até agora temos considerado o objeto paralelo ao 
plano, onde os ângulos que a linha projetante forma com o objeto e com o plano de projeção são 
iguais, no entanto serão diferentes quando não houver tal paralelismo.
 Observe que nos desenhos anteriores o objeto não é projetado em suas dimensões reais, pois 
no Sistema Cilíndrico o paralelismo é a condição exigida para a obtenção da projeção em 
verdadeira grandeza.
 Veja a síntese do Sistema Cilíndrico Ortogonal de Projeção que é o sistema que fundamenta a 
Geometria Descritiva.
 Na figura ao lado, o sistema de projeção é o cilíndrico ortogonal. Em ambas 
figuras o sistema é cilíndrico, classificação esta que está em função do paralelismo 
entre as projetantes.
Quanto à classificação de oblíquo ou ortogonal, depende do ângulo de incidência da 
projetante com o plano de projeção. Neste caso, sendo o referido ângulo, reto, este 
recebe a classificação de ortogonal.
(A)
(B)
A B
a - A l inha projetante sempre será 
perpendicular ao plano de projeção.
b - O objeto somente será representado em 
sua VG quando estiver paralelo ao plano de 
projeção.
(A) (B)
A B
VG90º
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d - O que altera as dimensões da projeção em relação ao objeto é o ângulo do mesmo em relação ao 
plano de projeção.
c - A distância do objeto ao plano de projeção não interfere na dimensão da projeção, pois as linhas 
projetantes são paralelas, possuindo, portanto, um mesmo ângulo de incidência.
(A)
(B)
A B
(A)
(B)
A B B
(A)
(B)
A
(A) (B)
A B
(A) (B)
A B
(A) (B)
A B
VGVGVG
(A) (B)
A B
VG
(A) (B)
A B
(A)
(B)
A B
 Veja o exemplo do círculo inscrito em um quadrado, posicionado de maneira paralela, oblíqua 
e perpendicular ao plano de projeção. As projeções comportam-se de formas diferentes.
VISTA ORTOÉDRICA
PROJEÇÃO EM
VERDADEIRA
GRANDEZA
PERSPECTIVA
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 A linha de terra recebe duas barrinhas paralelas em suas extremidades posicionadas sobre o 
PH. Assim, a correta interpretação da linha de terra permite identificar as posições do PH e PV.
 Embora o estudo da Geometria Descritiva contemple os quatro diedros, este material didático 
dará um enfoque quase que exclusivo ao primeiro diedro. Isto facilitará a transição entre o desenho 
técnico e o desenho arquitetônico.
 A interseção dos planos horizontal e vertical determina uma reta denominada de Linha de 
Terra que os divide em semi-planos e estes, por sua vez, delimitam o espaço em quatro regiões 
denominadas de "diedros".
 A geometria descritiva (GD)promove o estudo dos objetos através de suas projeções 
ortoédricas sobre planos perpendiculares entre si. Inicialmente utiliza-se de um plano horizontal e 
outro vertical. A partir destes dois elementos, Gaspar Monge cria um sistema projetivo que permite 
registrar a tridimensionalidade dos objetos.
 Coube ao geômetra italiano Gino Lória o recurso de introduzir, no sistema mongeano de 
projeção, o terceiro plano perpendicular aos dois primeiros, plano este que recebe o nome de plano de 
perfil, PP.
 Antes de apresentarmos as coordenadas vamos estabelecer uma convenção para 
distinguirmos as diferentes projeções de um mesmo objeto em cada plano.
 Um ponto situado no espaço estabelece uma relação de distância com os planos de projeção. 
Portanto, cada ponto é definido por 3 coordenadas que são registradas através das projeções sobre 
os planos. Vale salientar que a Geometria Descritiva faz uso do Sistema Cilíndrico Ortogonal de 
Projeção, fato este que determina uma única projeção em cada plano de projeção.
A projeção do ponto (P) no 
PH é denominada projeção 
horizontal P.
A projeção do ponto (P) no 
PV é denominada projeção 
vertical P'.
A projeção do ponto (P) no 
PP é denominada projeção 
de perfil P''.
 A notação do ponto será feita com letras maiúsculas ou números do alfabeto arábico, que 
deverão estar entre parênteses. A expressão "Ponto" deve ser empregada somente para o objeto.
3. GEOMETRIA DESCRITIVA
(P)
P
P'
P"
(P)
P
(P)
P'
(P)
P"
1º
2º
3º
4º
DIEDRO
DIEDRO
DIEDRO
DIEDRO
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 IMPORTANTE: quando representarmos um objeto no diedro, estaremos utilizando somente 
os planos, Horizontal e Vertical de projeção, consequentemente o objeto será representado através 
de duas projeções; mas quando a representação for feita no triedro, estaremos inserindo o plano de 
Perfil que também é conhecido por Terceiro Plano.
 A linha imaginária, que contém as projeções P e P', é 
denominada LINHA DE CHAMADA.
 Para que possamos situar um objeto no espaço, precisamos conhecer as distâncias de seus 
pontos para com os planos de projeção. Assim, cada ponto é definido por um trio ordenado composto 
por abcissa, afastamento e cota, onde:
3.1 COORDENADAS
Cota ( ): é a distância do ponto ao plano PHct
Afastamento ( ): é a distância do ponto ao PVaf
As coordenadas e são respectivamente análogas às af ct
coordenadas x e y do Plano Cartesiano.
Abcissa ( ): é a distância do ponto ao PP.ab
Está implícito que a "distância" é a menor possível, ou seja, 
medida sobre um alinhamento perpendicular ao plano.
IDENTIFIQUEMOS ALGUMAS IGUALDADES
(P)
P
P'
P"ab
0
af
ct
A distância do ponto (P) ao PP é igual à 
distância da Linha de Chamada à 
origem (intersecção dos três planos). 
Ambas traduzem a abcissa.
A distância do ponto (P) ao PV é igual à 
distância da projeção horizontal P à LT. 
Ambas traduzem o afastamento.
A distância do ponto (P) ao PH é igual à 
distância da projeção vertical P' à LT. 
Ambas traduzem a cota.
 Logo, podemos ter duas definições para as coordenadas: uma ao nível espacial, 
relacionando o objeto ao plano, e outra ao nível projetivo, relacionando as projeções à Linha de 
Terra.
lin
h
a
 d
e
 c
h
a
m
a
d
a
linha de chamada
(P)
P
P'
P"
0
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Cota ( ): é a distância do ponto ao PH.ct
Afastamento ( ): é a distância do ponto ao PV.af
Abcissa ( ): é a distância do ponto ao PP.ab Abcissa ( ): é a distância da Linha de Chamada à origem.ab
Afastamento ( ): é a distância da projeção horizontal à LT.af
CONCEITO PROJETIVO 
Cota ( ): é a distância da projeção vertical à linha de terra.ct
abaixo do plano horizontal possuem .................................................cotas negativas;
à direita da origem possuem........................................................ abcissas positivas;
Então, os pontos (diferentes de projeções) situados:
á esquerda da origem possuem.................................................. abcissas negativas;
acima do plano horizontal possuem ...................................................cotaspositivas;
anteriores ao plano vertical possuem .................................afastamentos positivos e
posteriores ao plano vertical possuem ...............................afastamentos negativos.
 Visto que estaremos priorizando o Primeiro Diedro, estaremos excluindo os sinais negativos 
para afastamento e cota.
 Os planos de projeção, quando observados lateralmente, reduzem suas superfícies à linhas 
retas, e assemelham-se ao plano cartesiano da matemática, assumindo os mesmos valores (positivo 
e negativo), tanto para cota, quanto para o afastamento. Já a abcissa terá como referencial a origem 
marcada sobre a linha de terra.
3.2 SINAIS
 É muito importante esta dupla conceituação das coordenadas, pois é objetivo da Geometria 
Descritiva registrar os objetos através de suas projeções, e isto exige que desenhemos usando o 
"conceito projetivo", mas que visualizemos o "conceito espacial", ou seja, se tivermos um objeto no 
espaço seremos capazes de desenhá-lo, e se nos depararmos com o seu desenho seremos capazes 
de concebê-lo.
PH
PV
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 Até agora, temos utilizado a perspectiva, que não é baseada no sistema cilíndrico ortogonal, 
para apresentação e compreensão da geometria descritiva. A partir deste momento, começaremos a 
caminhar no sentido de nos valer dela própria, para a análise de figuras e objetos no espaço.
 Tomemos um ponto com coordenadas 
genéricas: (A) ( Ab ; Af ; Ct ).
 Entre o centro de projeção e o objeto, 
posicionaremos um observador que enxergue com 
"olhos do sistema cilíndrico ortogonal".
 Atente para o fato de que o observador 1 
percebe as coordenadas abcissa e afastamento, e o 
observador 2 percebe abcissa e cota. Novamente, 
uma das coordenadas não é percebida de acordo 
com a posição do observador.
Obs.: A origem sobre a linha de terra 
registra a posição a ser ocupada 
oportunamente pelo Plano de Perfil .
 Consideremos que, após o registro das 
projeções, o objeto seja retirado; com isto, o 
observador nas posições 1 e 2, estaria recebendo as 
seguintes imagens.
LINHA DE TERRA
LINHA DE TERRA
POSIÇÃO 1 POSIÇÃO 2
 Mas se unirmos as duas figuras pela Linha de 
Terra , teremos em um único desenho as 
coordenadas , e onde a linha de chamada ab af 
posiciona-se perpendicular à LT.
3.2 REPRESENTAÇÃO EM ÉPURA
PH
PV
PH
PV
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 Outra maneira de obtermos o mesmo resultado seria submeter o Plano Horizontal a um giro 
de 90º no sentido horário.
ÚNICO
OBSERVADOR
 Esta operação denomina-se REBATIMENTO. Desta forma, o observador faz "leitura" de 
todas as coordenadas em uma única posição. Esta forma de representação denomina-se ÉPURA.
 Observe que o resultado é exatamente o mesmo quando da junção das imagens vistas 
separadamente pelo observador nas posições 1 e 2 na página anterior.
 ÉPURA - Chama-se épura a representação e o estudo dos problemas descritivos das figuras 
e corpos do espaço, dados por suas projeções nos dois planos ortogonais, depois da coincidência 
desses dois planos após o rebatimento. Este rebatimento poderia acontecer também com o giro do 
plano vertical sobre o horizontal no sentido anti-horário, e teríamos o mesmo resultado final; mas por 
questões didáticas adotaremos o giro horário do plano horizontal.
 Como o plano vertical permanece fixo no espaço, as projeções verticais com cotas positivas 
continuam a ser registradas acima da LT.
 Devido ao fato dos planos horizontal e vertical receberem sobre si as três coordenadas 
necessárias ao estudo dos sólidos durante anos procurou-se desenvolver todos os estudos espaciais 
apenas com duas vistas ortogonais. No entanto, o uso sistemático do Plano de Perfil tornou a GD 
mais fácil. Então, o que acontece quando o Plano de Perfil está presente?
 De igual maneira, as abcissas não sofrem alterações em face ao rebatimento, permanecendo 
positivas à direita da origem e negativas à esquerda.
 Desta maneira, as projeções horizontais positivas, na representação em épura, após o 
rebatimento, passam a ser registradas abaixo da LT, respeitando, assim, o rebatimento.
 
 N e s t e e x e m p l o , o s 
planos foram rebatidos após o 
registro das três projeções, ou 
seja, a terceira projeção já 
existe. Mas como seria obter a 
terceira projeção à partir das 
p r o j e ç õ e s r e p r e s e n t a d a s 
apenas no diedro? Observe que 
a projeção sobre o Plano de 
Perfil é composta apenas pelas 
coordenadas afastamento e da 
cota.
 Para que tenhamos um único observador com capacidade de leitura em épura dos três planos 
simultaneamente, faz-se necessário um segundo rebatimento, agora do Plano de Perfil que sofrerá 
um giro de 90º para a direita conforme a figura a seguir.
3.3 VISTA DE PERFIL (TERCEIRA PROJEÇÃO)
A
A'
A"
af
af
ct
ct
A
A'
A"
af
af
ct
ct
E
ix
o
A"
A
A'
af
af
ct ct
ab
PV
PH
PV
PH
PP
PP
PP
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PV
PH
PPPV
PH
PPPV
PH
PP
PV
PH
PPPV
PH
PPPV
PH
PP
PV
PH
PPPV
PH
PPPV
PH
PP
A'A'A' A"
AAA
 1º PASSO
Levar as informações relativas ao 
afastamento e cota até o eixo.
Alçar a distância correspondente ao 
afastamento até a LT.
 2º PASSO
Cruzar as informações e obter a 
Vista de Perfil (3ª projeção).
 3º PASSO
 A operação alçamento deve ser feita de maneira a manter inalterada a medida da informação 
que está sendo transportada. Para isto é necessário o uso do compasso ou do esquadro de 45º, 
apoiado na régua paralela.
 A posição primitiva do plano PP é na abcissa "zero", por isto o eixo encontra-se junto à origem. 
No entanto um objeto pode possuir pontos que podem ficar à direita, à esquerda ou mesmo sobre o 
PP.
OU
A"
Centrar o compasso
A'
A
A'
A"
A
A' A"
A
A" A'
A
OU
A" A"A' A'
A A
45º
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 Podemos concluir que em relação ao eixo, os resultados são iguais. No entanto, podemos nos 
deparar com situações em que utilizar o eixo sobre a origem pode dificultar a interpretação das 
projeções, o que não é desejável.
V'
V
V"
A
B
C
D
D" A" C" B"C'D'B'A'
V'
V
V"
A
B
C
D
D" A" C" B"
C'D'B'A'
 O exemplo acima mostra o congestionamento causado pela sobreposição das projeções, 
embora ambos os desenhos estejam tecnicamente corretos. Visto que o objetivo deste material 
didático é facilitar o ensino da GD, estaremos, sempre que for conveniente, permitindo o 
deslocamento do eixo para uma abcissa diferente de zero ou ainda, utilizando um plano de perfil 
auxiliar.
 Observe que em todos os casos a vista de perfil está na mesma altura da projeção vertical. 
Tome isto como regra. Veja o exemplo a seguir.
VISTA SUPERIOR
VISTA FRONTAL VISTA LATERAL
VISTA LATERAL DIREITA 
(SE CONSIDERARMOS O OBJETO)
VISTA LATERAL ESQUERDA
(SE CONSIDERARMOS O OBSERVADOR)
eber nunes ferreira
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a - dois pontos distintos; b - um ponto e uma direção; c - dois planos secantes
( )a
( )b( )r
( )a ( )b ( )r(A) (B)
(A)
4.2 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETA E PLANO
(A)
A
(B)
B
VG
( )A A ( )B B
VG
(A)
A
(B)
B
(A)
A
(B)
B
a- Equidistantes:
1- paralela 2- pertencente
b- Concorrentes:
1- oblíqua 2- perpendicular
4.3 CLASSIFICAÇÕES DAS RETAS
 Grupo 1 - Grupo das retas que estão perpendiculares a um dos planos de projeção e 
consequentemente paralelas aos outros dois. Assim possuem uma projeção pontual e duas 
projeções em verdadeira grandeza. São denominadas retas PROJETANTES.
 Primeiramente estaremos reunindo-as em três grupos.
 Dois pontos distintos no espaço podem definir sete tipos genéricos de retas.
RETA VERTICAL RETA DE TOPO RETA FRONTO-HORIZONTAL
Uma reta pode ser determinada por:
4.1 DETERMINAÇÃO DAS RETAS
 Chama-se projeção de uma reta sobre um plano ao lugar geométrico das projeções de todos 
os seus pontos sobre esse plano.
4. ESTUDO DA RETA
(s) 
s'
s"
s
VG
VG
s'
s
(s) 
s"
VG
VGVG
VG
(s) 
s' s"
s
eber nunes ferreira
16
(s) 
s' s"
s
VG
VG
(s) 
s'
s'
s"
s
(s) 
s"
sVG
RETA HORIZONTAL RETA FRONTAL RETA DE PERFIL
 Grupo 2 - Grupo das retas que estão paralelas a somente um dos planosde projeção, 
consequentemente oblíqua aos outros dois. Assim possuem apenas uma projeção em verdadeira 
grandeza.
 Grupo 3 - Grupo das retas oblíquas aos três planos de projeção. Suas projeções não possuem 
verdadeira grandeza.
RETA QUALQUER
 Agora estudaremos, uma a uma, as retas. Você deverá utilizar a maquete do triedro para 
analisar a reta que será apresentada por sua perspectiva e épura.
VG
VG
(s) 
s' s"
s
VG
s' s"
s
PH
PPPV
VG
- paralela ao PV; e
- abcissas iguais;
CARACTERÍSTICAS
NO ESPAÇO a reta é:
- perpendicular ao PH;
- paralela ao PP.
OS PONTOS da reta possuem:
- afastamentos iguais; e
- cotas diferentes.
EM ÉPURA (Triedro) a projeção:
- horizontal é pontual; e a
- vertical é perpendicular à LT.
Possui VG no PV e PP.
a - RETA VERTICAL
(s) 
s'
s"
s
eber nunes ferreira
17
s' s"
s
PH
PPPV
VG
VG
s'
s
(s) 
s"
VG
VG
(s) 
s'
s"
s
VG
VG
VG
VG s' s"
s
PH
PPPV
(s) 
s"
sVG
s' s"
s
PH
PPPV
VG
s'
CARACTERÍSTICAS
- perpendicular ao PV; e
- paralela ao PH;
OS PONTOS da reta possuem:
- paralela ao PP.
E M É P U R A ( T r i e d r o ) a 
projeção:
NO ESPAÇO a reta é:
- afastamentos diferentes; e
- vertical é pontual.
Possui VG no PH e PP.
- abcissas iguais;
- cotas iguais.
- horizontal é perpendicular à LT; 
e a
CARACTERÍSTICAS
- abcissas diferentes;
- paralela ao PH;
- afastamentos iguais; e
E M É P U R A ( T r i e d r o ) a 
projeção:
- vertical é paralela à LT; e a
- projeção de perfil é pontual no 
PP.
Possui VG no PH e PV
- horizontal é paralela à LT;
- paralela ao PV; e
- perpendicular ao PP.
NO ESPAÇO a reta é:
OS PONTOS da reta possuem:
- cotas iguais.
- cotas iguais.
NO ESPAÇO a reta é:
- paralela ao PH;
- oblíqua ao PP.
CARACTERÍSTICAS
OS PONTOS da reta possuem:
- abcissas diferentes;
- oblíqua ao PV; e
- afastamentos diferentes; e
E M É P U R A ( T r i e d r o ) a 
projeção:
- horizontal é oblíqua à LT; e a
- vertical é paralela à LT.
Possui VG no PH.
b - RETA DE TOPO
c - RETA FRONTO-HORIZONTAL
d - RETA HORIZONTAL ou de NÍVEL
eber nunes ferreira
18
VG
(s) 
s'
s"
s
s'
s"
s
PH
PPPV
VG
(s) 
s' s"
s
VG
s'
s"
s
PH
PPPV
VG
s'
s
PH
PPPV
(s) 
s
s'
s"
VG
s"
VG
 Esta é a única reta que possui verdadeira grandeza somente na vista de perfil (terceira 
projeção), daí alguns autores enfatizarem o assunto "vista de perfil", quase que exclusivamente para 
a reta de perfil.
 A reta de perfil pode espacialmente tocar ou não a Linha de Terra, isto se reflete em épura 
através de suas projeções. Observe as terceiras projeções destas retas de perfil, e compare-as. A 
última delas possui afastamento nulo no mesmo ponto em que a cota também é nula, portanto é 
uma reta de perfil perpendicular à LT. A outra é ortogonal à LT.
- oblíqua ao PH;
Possui VG no PV.
OS PONTOS da reta possuem:
- oblíqua ao PP.
- horizontal é paralela à LT; e a
- afastamentos iguais; e
- cotas diferentes.
- vertical é oblíqua à LT.
NO ESPAÇO a reta é:
- paralela ao PV; e
E M É P U R A ( T r i e d r o ) a 
projeção:
CARACTERÍSTICAS
- abcissas diferentes;
CARACTERÍSTICAS
NO ESPAÇO a reta é:
- oblíqua ao PH;
- oblíqua ao PV;
OS PONTOS da reta possuem:
- abcissas iguais;
- paralela ao PP.
- cotas diferentes.
E M É P U R A ( T r i e d r o ) a 
projeção:
- horizontal é perpendicular à LT; 
e a
- afastamentos diferentes; e
 - vertical é perpendicular à LT.
Possui VG no PP.
e - RETA FRONTAL ou de FRENTE
f - RETA DE PERFIL
RETA DE PERFIL
ORTOGONAL À LT.
RETA DE PERFIL
PERPENDICULAR À LT.
eber nunes ferreira
19
(s) 
s'
s"
s
s'
s"
s
PH
PPPV
(s) 
s'
s"
s
s' s"
s
PH
PPPV
g - RETA QUALQUER
- oblíqua ao PV; e
CARACTERÍSTICAS
- oblíqua ao PH;
- cotas diferentes.
OS PONTOS da reta possuem:
- afastamentos diferentes;
NO ESPAÇO a reta é:
NÃO POSSUI PROJEÇÃO EM 
VERDADEIRA GRANDEZA
- abcissas diferentes;
- oblíqua ao PP.
- horizontal é oblíqua à LT; e
- vertical é oblíqua à LT.
E M É P U R A ( T r i e d r o ) a 
projeção:
RETA QUALQUER
REVERSA À LT.
RETA QUALQUER
CONCORRENTE À LT.
 Da mesma forma que a reta de perfil, a reta qualquer também poderá tocar ou não a LT sendo 
classificada de concorrente ou reversa à LT respectivamente. Faça com elas a mesma comparação 
que foi feita entre as retas de perfil.
- As serão as retas do 3º Grupo.diagonais do cubo
- As serão as retas do 2º Grupo.diagonais das faces
Dica: para memorizar o nome das retas utilize 
um cubo "aramado" com as faces paralelas aos 
planos de projeção.
- As serão as retas do 1º Grupo.arestas do cubo (fh) (v)
(t) (h)
(f)
(p) (q)
RETAS DO 1º GRUPO RETAS DO 2º GRUPO RETAS DO 3º GRUPO
eber nunes ferreira
20
PV
PH
PP
A B
CD
V
A' B'C' C" A" B"D'
V'
D"
V"
A B
CD
V
A' B'C' C" A" B"D'
V'
D"
V"
A B
CD
V
A' B'C' C" A" B"D'
V'
D"
V"
A B
CD
V
A' B'C' C" A"B"D'
V'
D"
V"
A B
CD
V
A' B'C' C" A" B"D'
V'
D"
V"
A B
CD
V
A' B'C' C" A" B"D'
V'
D"
V"
A B
CD
V
A' B'C' C" A" B"D'
V'
D"
V"
EXEMPLO:
Os pontos (V) e (A) determinam uma reta
Os pontos (C) e (D) determinam uma reta
Os pontos (C) e (A) determinam uma reta
Os pontos (B) e (C) determinam uma reta
qualquer (3º Grupo)I
II
III
IV
abs = afs = cts =
 Evidencie com caneta ou lápis colorido cada dupla de 
pontos nas épuras reduzidas.
 A resposta correta é desejável, porém o raciocínio 
espacial é o principal objetivo. Por isso use as maquetes.
s s s
abs =
abs =
abs =
afs =
afs =
afs =
cts =
cts =
cts =
s
s
s
s
s
s
s
s
s
I II III
IV V VI
Quando necessário, corte o sinal de igual (=) para transformá-lo em diferente (=)
 Analise pirâmide representada no triedro e preencha os espaços com o nome da reta e do 
grupo correspondente. Cada reta (segmento de reta) é determinada por dois pontos distintos.
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DO CONTEÚDO
Os pontos (C) e (V) determinam uma reta
Os pontos (V) e (G), eixo da pirâmide, determinam uma reta
V
VI
IDENTIFIQUE O PONTO (G) NO CENTRO DA BASE
Imprima esta folha de exercícios
abs =
abs =
afs =
afs =
cts =
cts =
s
s
s
s
s
s
eber nunes ferreira
21
PV
PH
PP
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DO CONTEÚDO
I
II
III
IV
V
VI
IDENTIFIQUE O PONTO (G) NO CENTRO DA BASE INFERIOR
A'D' B'C'
1'4' 2'3'
A"D"B"C"
1"4"2"3"
D 4
C 3
B 2
A 1
I II III
IV V VI
A'D' B'C'
1'4' 2'3'
A"D"B"C"
1"4"2"3"
D 4
C 3
B 2
A 1
A'D' B'C'
1'4' 2'3'
A"D"B"C"
1"4"2"3"
D 4
C 3
B 2
A 1
A'D' B'C'
1'4' 2'3'
A"D"B"C"
1"4"2"3"
D 4
C 3
B 2
A 1
A'D' B'C'
1'4' 2'3'
A"D"B"C"
1"4"2"3"
D 4
C 3
B 2
A 1
A'D' B'C'
1'4' 2'3'
A"D"B"C"
1"4"2"3"
D 4
C 3
B 2
A 1
A'D' B'C'
1'4' 2'3'
A"D"B"C"
1"4"2"3"
D 4
C 3
B 2
A 1
 Analise o hexaedro representado no triedro e preencha os espaços com o nome da reta e do 
grupo correspondente. Cada reta (segmento de reta) é determinada por dois pontos distintos.
Os pontos (4) e (B) determinam uma reta
Os pontos (A) e (3) determinam uma reta
Os pontos (B) e (2) determinam uma reta
Os pontos (1) e (3) determinam uma reta
Os pontos (4) e (1) determinam uma reta
Os pontos (G) e (4) determinam uma reta
abs =
abs =
abs =
abs =
abs =
afs =
afs =
afs =
afs =
afs =
cts =
cts =
cts =
cts =
cts =
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
Quando necessário, corte o sinal de igual (=) para transformá-lo em diferente (=)
abs = afs = cts =s s s
Imprima esta folha de exercícios
eber nunes ferreira
 A resposta correta é desejável, porém o raciocínio 
espacial é o principal objetivo. Por isso use as maquetes.
 Evidencie com caneta ou lápis colorido cada dupla de 
pontos nas épuras reduzidas.
22
4.3 PARTICULARIDADES
 Toda a reta paralela a um plano de projeção poderá pertencer a ele, bastando que a 
coordenada correspondente seja nula. Isto implica que, espacialmente, a reta se torne pertencente ao 
plano e coincidente com a própria projeção.
 O estudo das retas envolve algumas particularidades que destacaremos a seguir.
(A)
A
(B)
B
VG
paralela( )A A ( )B B
VG
pertencente
 Para evidenciarmos esta condição particular da reta vamos acrescentar por "sobrenome”, tal 
característica.
 Assim sendo, as retas do segundo grupo, horizontal, frontal e de perfil podem pertencer a 
somente um plano de projeção.
RETA HORIZONTAL do PH RETA FRONTAL do PV RETA DE PERFIL do PP
(s) s
VG
s' s"
VG
(s) s'
s"
s
(s) s"
VG
s'
s
(s) 
s' s"
s
VG
VG
(s) 
s'
s'
s"
s
(s) 
s"
sVG
RETA HORIZONTAL RETA FRONTAL RETA DE PERFIL
(s) 
s'
s"
s
A única reta que não pode 
pertencer a nenhum dos planos 
de projeção é a reta qualquer, 
pois a mesma se encontra 
oblíqua aos três planos de 
projeção.
eber nunes ferreira
23
RETA VERTICAL do PV
VG
VG
(s) s'
s"
s
RETA VERTICAL do PP
RETA VERTICAL do PV e do PP
RETA de TOPO do PH
RETA de TOPO do PP
RETA de TOPO do PH e PP
s'
(s) s"
VG
s
VG
RETA FRONTO-HORIZONTAL do PH
RETA FRONTO-HORIZONTAL do PV
RETA FRONTO-HORIZONTAL
do PH e do PV (Linha de Terra)
(s) 
s
VG
s"
s'
VG
(s) s
VG
s"
s'
(s) s
VG
s"s'
VG
s'
(s) s"
VG
s
VG
VG
(s) 
s' s"
s
(s) 
s'
s"
s
VG
VG
PH
s'
s
(s) 
s"
VG
VG
RETA VERTICAL RETA DE TOPO RETA FRONTO-HORIZONTAL
 As retas do primeiro grupo, vertical, de topo e fronto-horizontal podem pertencer a até dois 
planos de projeção.
VG (s) s's"
s
VG
VG
(s) 
s'
s"
s
s(s) VG
s"
VG
s'
eber nunes ferreira
24
 - a projeção vertical do ponto sobre a projeção vertical da reta
 - a terceira projeção do ponto sobre a terceira projeção da reta
 Um ponto pertence a uma reta quando suas projeções pertencem às projeções de mesmo 
nome da reta, ou seja:
 - a projeção horizontal do ponto sobre a projeção horizontal da reta
4.4 PERTINÊNCIA DE PONTO À RETA
(s) 
s'
s"
s
s'
s
PH
PPPV
P’
P’
P”
PP
(P)
s"
P”
(s) 
(P) 
P' P'
P"
P"
P
P
s' s'
s"
s"
s
s
VG VG
RETA DE PERFIL VISTA DE PERFIL
 Qualquer que seja a reta e um ponto pertencente a ela, estas três condições deverão ser 
satisfeitas; mas, excetuando-se a reta de perfil, as demais retas podem ser analisadas apenas no 
diedro (PH e PV), ou seja, um ponto pertencerá a reta se as projeções do ponto pertencerem as 
respectivas projeções horizontal e vertical da reta.
 Portanto, a reta de perfil deverá necessariamente ser analisada nas três projeções, o que 
implica na obtenção da terceira projeção.
eber nunes ferreira
25
 São pontos onde a reta atravessa planos notáveis. Estaremos enfocando a interseção das 
retas com os planos horizontal e vertical de projeção. Estes pontos onde a reta "fura" o plano são 
denominados de traços de reta. (Na GD traço = interseção)
4.5 PONTOS NOTÁVEIS DA RETA
 O traço de uma reta sobre um plano é sempre um ponto único. Em relação aos planos 
horizontal e vertical no ambiente do primeiro diedro a reta pode concorrer com eles em três posições 
genéricas: no PH, no PV e sobre a Linha de Terra.
 Então o que temos a fazer é a identificação da existência destes pontos na reta.
 Uma reta somente possui traço sobre um plano quando for 
concorrente a ele; estando equidistante (paralela ou pertencente) 
não possuirá o traço. Considerando o ambiente Diédrico e a posição 
da reta, ela poderá ter de um a dois traços.
 A exceção fica para a reta frontohorizontal, que é a única reta 
não concorrente ao PH e PV.
PV
PH
(V)
(H)
TRAÇOS DA RETA NOS PLANOS HORIZONTAL E VERTICAL DE PROJEÇÃO
PONTO NO PV
B
B’
PONTO NO PH
A
A’
PONTO NA LT
C C’
4.5.1 DETERMINAÇÃO DO TRAÇO HORIZONTAL
H’
H
A'
A B
B'
s’
s
 O traço horizontal (H) sempre 
pertencerá ao plano horizontal pois, 
sempre terá cota nula.
 A projeção H pertencerá a 
projeção s e a projeção H' pertencerá a 
projeção s'.
 Portanto, em épura prolonga-
se a projeção vertical até a LT (onde a 
cota se torna nula) e determina-se a 
l inha de chamada do ponto (H) 
procurado.
4.5.2 DETERMINAÇÃO DO TRAÇO VERTICAL
A'V’
V
A
B
B's’
s
 O traço vertical (V) sempre 
pertencerá ao plano vertical pois, 
sempre terá afastamento nulo.
Portanto, em épura prolonga-se a 
projeção horizontal até a LT (onde o 
afastamento se torna nulo) e 
determina-se a linha de chamada do 
ponto (V) procurado.
A projeção V pertencerá a projeção 
s e a projeção V' pertencerá a 
projeção s'.
VG
(s) 
s'
s"
s
"H
H'
H(H)
V"
(s) 
s' s"
s
V
V'(V)
eber nunes ferreira
26
VG
A
A'
B'
H’
r'
r B H
H’
V’
H
V
r'
r
VG
A
V
B
r
A' B' V’r'
Para determinarmos um traço prolonga-se inicialmente a projeção de nome contrário até que a 
mesma concorra com a LT, onde será determinada a linha de chamada correspondente ao traço 
procurado.
 Atenção: esta regra não é válida para a reta de perfil que exige a determinação de seus 
pontos na vista de perfil. Vejamos outros exemplos em épura.
 EM RESUMO TEMOS:
 Se a reta é concorrente à LT, mas possui dois traços 
(retas de perfil e qualquer), eles estarão coincidentes na 
própria LT, ou seja, o ponto de afastamento nulo, também é o 
ponto de cota nula. Atente para o fato de que dois pontos 
coincidentes não definem uma reta.
H'H(H)
VV'(V)
(s) 
s'
s"
H" V"
s
 Ou seja, V H' na LT. Tome isto como regra.
 V - projeção horizontal do traço vertical (projeção referente ao afastamento nulo);
 H' - projeção vertical do traço horizontal. (projeção referente a cota nula).
 Observe nos exemplos anteriores que duas projeções encontram-se obrigatoriamente sobre 
a LT. São elas:
 Desta maneira, temos que prolongar a terceira projeção da reta que encontrará as projeções 
H" e V" e retornar com as informações para a abcissa correspondente determinando assim as 
projeções dos traços horizontal e vertical respectivamente.
 A obtenção dos traços horizontal e vertical na reta de perfil é realizada através da utilização da 
terceira projeção (vista lateral), pois neste tipo de reta a simples análise no diedro não é suficiente 
para a identificação da pertinência do ponto à reta.
4.5.3 TRAÇOS HORIZONTAL E VERTICAL NA RETA DE PERFIL
eber nunes ferreira
27
(s) 
s'
s"
s
VG
VG
PH
PPPV
VG
VG
(s) 
s' s"
H"
H'
s H( )H
PPPV
PH
s'
s
PPPV
PH
(s) 
s"
V"
V
V'( )V
RETA VERTICAL RETA DE TOPO RETA FRONTO-HORIZONTAL
V"
(s) 
s' s"
s
V
V'(V)
PPPV
PH
VG
(s) 
s'
s"
s
"H
H'
H(H)
PPPV
PH
(s) 
s' s"
s
H"
V"
H(H)
H'V
V'(V)
PPPV
PH
RETA HORIZONTAL RETA FRONTAL RETA DE PERFIL
H'
(s) 
s' s"
s
H"
V"
V
H(H)
V'(V)
PPPV
PH
H'H(H)
VV'(V)
PPPV
PH
(s) 
s'
s"
H" V"
s
(s) 
s
s'
s"
PPPV
PH
H" V"
H'H(H)
VV'(V)
RETA QUALQUER RETA QUALQUER RETA DE PERFIL
ORTOGONAL À LT
PERPENDICULAR À LTCONCORRENTE À LTREVERSA À LT
4.5.4 TRAÇOS HORIZONTAL E VERTICAL NAS DEMAIS RETAS
eber nunes ferreira
28
(a) (b)
COINCIDENTES
CONCORRENTES
PARALELAS
PERPENDICULARES
(a)
(b)
(a)
(b)
(a)
(b)
REVERSAS
(a)
(b)
(c)
(r)
ORTOGONAIS
(a)
(b)
(r)
(c)
a - Quando coplanares podem ser:
4.6 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS RETAS
RETAS QUE ADMITEM A POSSIBILIDADE DE PERTENCEREM A UM MESMO PLANO
Quando concorrentes, e formarem um ângulo reto, 
são denominadas de retas perpendiculares.
Tanto as retas paralelas, quanto as 
concorrentes, podem pertencer a planos 
d is t in tos , mas a inda ass im são 
consideradas coplanares, pois sempre 
existirá um plano que as contenham
b - Quando não coplanares podem ser:
RETAS QUE NÃO ADMITEM A POSSIBILIDADE DE PERTENCEREM A UM MESMO PLANO
Todas as retas de um plano que não 
concorrem com uma reta perpendicular a ele 
são denominadas ortogonais em relação à 
referida reta.
Todas as retas de um plano que não 
concorrem com uma reta oblíqua a ele são 
denominadas reversas, ou ainda revessas 
em relação à referida reta.
 Duas retas podem:
- possuir mais de um ponto comum (coincidentes).
- não possuir ponto comum (paralelas e reversas);
- possuir um único ponto comum (concorrentes ou incidentes);
 Com exceção das retas de perfil, poderemos, através da análise das projeções no diedro (PH 
e PV), conhecer qual é a posição relativa entre ambas, isto porque a reta de perfilnecessita de ser 
analisada no triedro.
 Teorema: duas retas concorrentes projetam-se em geral, segundo projeções concorrentes.
 a- Retas Concorrentes: duas retas coplanares que possuem um único ponto comum são 
denominadas concorrentes ou incidentes.
4.6.1 ANÁLISE DAS POSIÇÕES RELATIVAS EM ÉPURA
eber nunes ferreira
29
b’
PRIMEIRO CASO
AS PROJEÇÕES DE MESMO NOME
SÃO PARALELAS ENTRE SI.
DUAS PROJEÇÕES DE MESMO NOME
SE CONFUNDEM E AS OUTRAS DUAS
SÃO PARALELAS.
DUAS PROJEÇÕES PONTUAIS DE
MESMO NOME SÃO DISTINTAS.
SEGUNDO CASO TERCEIRO CASO
a’
b
a
b’
a’
ba
b’
a’
b
a
b’
PRIMEIRO CASO
AS PROJEÇÕES DE MESMO NOME,
DAS DUAS RETAS, NÃO CONCORREM EM
UMA MESMA LINHA DE CHAMADA.
UMA PROJEÇÃO PONTUAL NÃO
PERTENCE À PROJEÇÃO DE MESMO
NOME DA OUTRA RETA.
SEGUNDO CASO
a’
b
a
b’
a’
b
a
b’
PRIMEIRO CASO
AS PROJEÇÕES DE MESMO NOME,
DAS DUAS RETAS, CONCORREM EM
UMA MESMA LINHA DE CHAMADA.
DUAS PROJEÇÕES DE MESMO NOME,
SE CONFUNDEM, E AS OUTRAS DUAS
SÃO CONCORRENTES.
UMA PROJEÇÃO PONTUAL PERTENCE
A PROJEÇÃO DE MESMO NOME DA
OUTRA RETA.
SEGUNDO CASO TERCEIRO CASO
a’
b
a
b’
a’
ba
b’
a’
b
a
 b- Retas Paralelas: duas retas coplanares, que não possuem ponto comum são 
denominadas, retas paralelas.
 Teorema: duas retas paralelas projetam-se em geral, segundo projeções paralelas.
 c- Retas Reversas: duas retas são reversas quando não possuírem ponto comum e não 
forem paralelas; portanto, poderemos identificá-las por exclusão, ou observando os dois casos 
abaixo.
 Duas retas concorrentes podem ser perpendiculares. Veja o teorema de Monge na página 
seguinte
 Duas retas reversas podem 
ser ortogonais.
eber nunes ferreira
30
ORTOGONAIS
(s)
r
s
(r)
PERPENDICULARES
(s)
(r)
r
s
VG
PERPENDICULARES
(s)
(r)
rs
VG
b’
b’
a’
a’
A’
A
B’
B
R’
R
S’
S
b
b
a
a
 d- Retas Coincidentes: duas retas são coincidentes quando suas projeções de mesmo nome 
se confundem. Na prática, é uma única reta com dois nomes. Atenção: podemos ter segmentos não 
coincidentes sobre retas coincidentes.
 e- Perpendicularismo
Teorema de Monge: "Quando duas retas são perpendiculares entre si no espaço, sendo uma 
delas paralela a um plano dado, sem que a outra seja perpendicular ao plano, as projeções destas 
duas retas sobre o plano são perpendiculares entre si.
... e ortogonais se forem reversas.
Mas quando uma for paralela e a outra perpendicular 
ao plano, basta a projeção pontual pertencer à outra 
projeção e serão perpendiculares entre si no espaço ...
... contudo, se a projeção pontual estiver fora, 
serão ortogonais.
 Observação: quando duas retas perpendiculares ou ortogonais no espaço (casos particulares 
de retas concorrentes e retas reversas respectivamente) estiverem oblíquas a um plano dado, 
somente serão identificadas, com o uso de métodos descritivos,mas por hora poderemos identificá-
las como concorrentes ou reversas.
PERPENDICULARES
(s)
(r)
r
s
VG
Em épura, isto significa que, se uma projeção de uma 
reta forma um ângulo reto com a projeção em VG de 
uma outra, as retas serão perpendiculares se 
concorrentes...
eber nunes ferreira
31
PARALELAS COICIDENTES CONCORRENTES PERPENDICULARES
PP PP
PP
PPPV PV PV PV
PH PH PH PH
(a)
(a) (a)
(b)
(b)
(b)
(a)
a"
a"
a"
a"
b" b"
b"
b"(b)
a" b"
PARALELAS
PPPV
PH
(a)
(b)
a" b"
PV
PARALELAS
PPPV
PH
(a)
(b) a"
b"
ORTOGONAIS
PPPV
PH
(b)
(a)
PP
a"
b"
REVERSAS
PV
PH
(b)
(b)
(a)
4.7 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS RETAS DE PERFIL
 No estudo das posições relativas entre duas retas de perfil, iremos recorrer ao uso da terceira 
projeção, também conhecida por vista lateral. Podemos encontrá-las em duas situações genéricas: 
quando possuírem a mesma abcissa e quando as abcissas forem distintas.
a - Duas Retas de Perfil em uma mesma abcissa.
POSSUINDO A MESMA ABCISSA JAMAIS SERÃO REVERSAS OU ORTOGONAIS.
b - Duas Retas de Perfil em abcissas diferentes
POSSUINDO ABCISSAS DIFERENTES, JAMAIS SERÃO CONCORRENTES OU PERPENDICULARES.
projeções de perfil
paralelas
projeções de perfil
coincidentes
projeções de perfil
concorrentes
projeções de perfil
perpendiculares
projeções de perfil
paralelas
projeções de perfil
coincidentes
projeções de perfil
concorrentes
projeções de perfil
perpendiculares
eber nunes ferreira
32
A B
CD
V
A' B'C' C" A" B"D'
V'
D"
V"
A B
CD
V
A' B'C' C" A"B"D'
V'
D"
V"
PV
PH
PP
A B
CD
V
A' B'C' C" A" B"D'
V'
D"
V"
 Analise a pirâmide representada no triedro e preencha os espaços com o nome da posição relativa 
entre cada dupla de retas. As posições relativas entre duas retas distintas podem ser: paralelas, concorrentes, 
perpendiculares, reversas, ortogonais. Lembre-se que retas perpendiculares e retas ortogonais são casos 
particulares das retas concorrentes e retas reversas respectivamente.
A B
CD
V
A' B'C' C" A" B"D'
V'
D"
V"
4.8 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DO CONTEÚDO
A B
CD
V
A' B'C' C" A" B"D'
V'
D"
V"
A B
CD
V
A' B'C' C" A" B"D'
V'
D"
V"
A B
CD
V
A' B'C' C" A" B"D'
V'
D"
V"
EXEMPLOS:
I II III
IV V VI
concorrentes
paralelas
(1º caso)
(2º caso)
I
II
III
IV
V
VI
IDENTIFIQUE O PONTO (G) NO CENTRO DA BASE
As retas dadas pelos pontos (V)(A) e (V)(B) são
As retas dadas pelos pontos (A)(B) e (C)(D) são
As retas dadas pelos pontos (A)(C) e (B)(D) são
As retas dadas pelos pontos (A)(B) e (C)(V) são
As retas dadas pelos pontos (A)(D) e (V)(B) são
As retas dadas pelos pontos (V)(G) e (C)(B) são
Imprima esta folha de exercícios
eber nunes ferreira
 Evidencie com caneta ou lápis colorido cada dupla de 
retas (segmentos) nas épuras reduzidas.
33
PV
PH
PP
A'D' B'C'
1'4' 2'3'
A"D"B"C"
1"4"2"3"
D 4
C 3
B 2
A 1
A'D' B'C'
1'4' 2'3'
A"D"B"C"
1"4"2"3"
D 4
C 3
B 2
A 1
A'D' B'C'
1'4' 2'3'
A"D"B"C"
1"4"2"3"
D 4
C 3
B 2
A 1
A'D' B'C'
1'4' 2'3'
A"D"B"C"
1"4"2"3"
D 4
C 3
B 2
A 1
A'D' B'C'
1'4' 2'3'
A"D"B"C"
1"4"2"3"
D 4
C 3
B 2
A 1
A'D' B'C'
1'4' 2'3'
A"D"B"C"
1"4"2"3"
D 4
C 3
B 2
A 1
A'D' B'C'
1'4' 2'3'
A"D"B"C"
1"4"2"3"
D 4
C 3
B 2
A 1
 Analise o hexaedro representado no triedro e preencha os espaços com o nome da posição 
relativa entre cada dupla de retas. As posições relativas entre duas retas distintas podem ser: 
paralelas, concorrentes, perpendiculares, reversas, ortogonais. Lembre-se que retas 
perpendiculares e retas ortogonais são casos particulares das retas concorrentes e retas reversas 
respectivamente.
I
II
III
IV
V
VI
IDENTIFIQUE O PONTO (G) NO CENTRO DA BASE INFERIOR
As retas dadas pelos pontos (A)(4) e (D)(1) são
As retas dadas pelos pontos (4)(B) e (A)(C) são
As retas dadas pelos pontos (G)(1) e (D)(4) são
As retas dadas pelos pontos (D)(2) e (4)(B) são
As retas dadas pelos pontos (A)(D) e (2)(3) são
As retas dadas pelos pontos (C)(3) e (B)(2) são
I II III
IV V VI
Imprima esta folha de exercícios
eber nunes ferreira
 Evidencie com caneta ou lápis colorido cada dupla de 
retas (segmentos) nas épuras reduzidas.
34
(A)
(B)
(C)
TRÊS PONTOS DISTINTOS
NÃO COLINEARES
UMA RETA E UM PONTO
EXTERIOR A ELA
DUAS RETAS
CONCORRENTES
DUAS RETAS
PARALELAS
UMA RETA E
UMA DIREÇÃO
5.1 DETERMINAÇÃO DE PLANOS
Na geometria elementar temos planos definidos por:
5. ESTUDO DOS PLANOS
 A GD representa os planos, além dos modos fornecidos pela geometria elementar, pelos seus 
traços.
 Assim como as retas, os planos podem ocupar várias posições em relação aos planos de 
projeção, recebendo por isso nomes diferentes.
 Traço de plano é a reta resultante da interseção deste em outro plano.
(A)
(B)
(C)
(A)
(B) (C)
(A)
(B)
(C)
eber nunes ferreira
35
TRAÇO HORIZONTAL
TRAÇO HORIZONTAL
TRAÇO VERTICAL
TRAÇO VERTICAL
TRAÇO DE PERFIL
TRAÇO DE PERFIL
Q'
Qo
Q
 Denominaremos de TRAÇO DE PERFIL ou TERCEIRO TRAÇO, a interseção do plano 
com o plano de perfil. Este traço será uma reta de abcissa constante.
 O traço de um plano sobre o plano vertical de projeção é uma reta de afastamento nulo, sendo 
denominadade TRAÇO VERTICAL.
 O traço de um plano sobre o plano horizontal de projeção é uma reta de cota nula, sendo 
denominada de TRAÇO HORIZONTAL.
 Estaremos adotando as iniciais dos nomes genéricos dados aos planos na língua portuguesa. 
Utilizando por exemplo o plano (Q) temos:
 As posições dos traços de um plano em relação à LT são variáveis, isto é, podem os traços 
ocupar posições diferentes, conforme a situação do plano, mas quando um plano for oblíquo à LT, 
determinará sobre ela um único ponto de concorrência. Deste ponto nascem os traços horizontal e 
vertical.
 O valor da abcissa deste ponto, permite 
determinar os traços dos planos à partir do 
conhecimento da angulação destes com a LT.
 Este ponto recebe a notação em épura de Qo 
para um plano (Q), To para um plano (T) e assim por 
diante. Lembre-se que ele possui afastamento e cota 
nulos, mas, sua abcissa pode assumir diferentes 
valores.
eber nunes ferreira
36
PARALELOS COINCIDENTES
b) - quando oblíquos:
CONCORRENTES PERPENDICULARES
 Denominaremos o traço (interseção) resultante do perpendicularismo entre dois planos de 
traço projetante. (Um dos dois é plano de projeção).
 Na GD quando um plano está perpendicular a um plano de projeção, ele é denominado de 
plano projetante. Esta particularidade, se bem entendida, facilitará em muito o estudo dos planos. 
Antes de classificarmos os planos segundo suas posições no triedro, detalharemos melhor as 
características dos planos projetantes.
 Quando um plano é projetante, seu traço representa, não somente a si 
próprio, mas, toda infinita superfície plana.
 Observe que as linhas projetantes, ao incidirem perpendicularmente sobre 
o plano de projeção, têm suas trajetórias sobre o plano (a), o que implica na 
localização das projeções dos elementos pertencentes a este plano, sobre o próprio 
traço projetante.
 Então podemos concluir que:
 Quando um plano não é projetante, seu traço traduz tão somente sua 
interseção com o plano de projeção, portanto todos os demais elementos do plano 
projetam-se fora dele.
 O traço projetante recebe sobre si todas as projeções de 
mesmo nome, dos elementos pertencentes ao plano. Tome isto como 
regra.
 - o traço de perfil, quando projetante, recebe as projeções de perfil dos elementos 
pertencentes ao plano.
 Isto significa que:
 - o traço horizontal, quando projetante, recebe as projeções horizontais dos elementos 
pertencentes ao plano;
 - o traço vertical, quando projetante, recebe as projeções verticais dos elementos 
pertencentes ao plano; e
Um plano em relação a outro plano poderá estar oblíquo ou equidistante.
a) - quando equidistantes:
5.2 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DOIS PLANOS
(B)
(A)
A
B
(C)
C
Projeções de Figuras sobre
Planos NÃO Projetantes
(NÃO Perpendiculares)
Projeções fora
do Traço
(A)
(B)
(C)
C
Projeções de Figuras sobre
Planos Projetantes (Perpendiculares)
Projeções sobre
o Traço
eber nunes ferreira
37
PORÇÃO ÚTIL
DO PLANO NO
1º DIEDRO
PLANO DE PERFILPLANO HORIZONTAL PLANO FRONTAL
3º GRUPO1º GRUPO 2º GRUPO
PLANO QUALQUERPLANO DE TOPO PLANO PARALELO À LTPLANO VERTICAL PLANO QUE PASSA
 PELA LT
5.3 CLASSIFICAÇÃO DOS PLANOS
 Os planos são ilimitados, o que permite que os mesmos 
alcancem mais de um diedro. Contudo, priorizaremos o estudo dos 
planos às suas porções úteis no primeiro diedro, ou seja, todos os 
pontos que possuam afastamentos e cotas iguais ou superiores a zero.
Analisados em relação aos três planos de projeção, os planos podem ser classificados em três grupos.
 Grupo 2 - Grupo dos planos que são 
perpendiculares a somente um dos planos de 
projeção, e consequentemente, oblíquos aos 
outros dois.
 Grupo 1 - Grupo dos planos que são paralelos a um dos planos de projeção, e 
consequentemente, perpendiculares (projetantes) aos outros dois.
 Grupo 3 - Grupo dos planos 
que são oblíquos aos três planos de 
projeção, consequentemente, jamais 
será paralelo ou perpendicular a 
qualquer um dos planos de projeção.
 O entendimento do conceito de plano projetante é estendido as 
figuras planas no espaço. Sempre que uma figura plana estiver 
perpendicular a um plano sua projeção sobre ele, será um segmento de 
linha reta.
- Os Planos do 3º. Valem-se de uma diagonal de três faces do cubo.
Dica: para memorizar o nome dos plano utilize um cubo "aramado" 
com as faces equidistantes aos planos de projeção.
- Os Planos do 1º Grupo são análogos as faces do Cubo. (Valem-se das arestas)
- Os Planos do 2º. Valem-se de duas arestas e de duas diagonais da face do cubo.
Figuras Planas do
Grupo 1
Figuras Planas do
Grupo 2
Figuras Planas do
Grupo 3
PROJEÇÕES EM FORMA DE:
FIGURA (EM VG) - LINHA - LINHA
PROJEÇÕES EM FORMA DE:
FIGURA - FIGURA - LINHA
PROJEÇÕES EM FORMA DE:
FIGURA - FIGURA - FIGURA
VG
Posições Relativos de Figuras Planas no Triedro
DICAS
PLANO DE PERFILPLANO HORIZONTALPLANO FRONTAL PLANO DE TOPO PLANO PARALELO À LTPLANO VERTICAL PLANO QUE PASSA
 PELA LT
PLANO QUALQUER
Aresta do Cubo sobre LT
eber nunes ferreira
38
a - PLANO HORIZONTAL ou DE NÍVEL (PLANO PROJETANTE NO PV E NO PP)
b - PLANO FRONTAL ou DE FRENTE (PLANO PROJETANTE NO PH E NO PP)
c - PLANO DE PERFIL (PLANO PROJETANTE NO PH E NO PV)
P'
P
Po
(F)
F
F"
F
CARACTERÍSTICAS NO ESPAÇO:
- perpendicular ao PH;
- paralelo ao PV; e
- perpendicular ao PP.
CARACTERÍSTICAS NO ESPAÇO:
- paralelo ao PP.
- perpendicular ao PV; e
- perpendicular ao PH;
(L)
L' L''
L'
CARACTERÍSTICAS NO ESPAÇO:
- perpendicular ao PV; e
- paralelo ao PH;
- perpendicular ao PP.
C A R A C T E R Í S T I C A S E M É P U R A 
(DIEDRO)
- possui apenas o traço vertical paralelo à LT.
C A R A C T E R Í S T I C A S E M É P U R A 
(DIEDRO):
possui apenas o traço horizontal paralelo à LT
CARACTERÍSTICAS EM ÉPURA (DIEDRO)
- os t r aços ho r i zon ta l e ve r t i ca l são 
perpendiculares à LT.
L''
F''
(P)
P
P'
Po
eber nunes ferreira
39
K"
K'
K
- perpendicular ao PH;
- oblíquo ao PV; e
CARACTERÍSTICAS NO ESPAÇO:
- oblíquo ao PP.
- perpendicular ao PP.
CARACTERÍSTICAS NO ESPAÇO:
- oblíquo ao PH;
- oblíquo ao PV; e
- oblíquo ao PH;
- perpendicular ao PV; e
- oblíquo ao PP.
CARACTERÍSTICAS NO ESPAÇO:
- traço vertical oblíquo à LT; e
- traço horizontal perpendicular à LT.
C A R A C T E R Í S T I C A S E M É P U R A 
(DIEDRO):
- traço horizontal oblíquo à LT; e
C A R A C T E R Í S T I C A S E M É P U R A 
(DIEDRO)
- traço vertical perpendicular à LT.
- traços horizontal e vertical paralelos à LT.
CARACTERÍSTICAS EM ÉPURA (DIEDRO)
d - PLANO DE TOPO (PLANO PROJETANTE NO PV)
e - PLANO VERTICAL (PLANO PROJETANTE NO PH)
f - PLANO PARALELO A LT (PLANO PROJETANTE NO PP)
Z'
Zo
Z''
T
To
T'
T''
(Z)
Z
Z"Z'
(K)
K
K'
K''
(T)
T'
T"
T
eber nunes ferreira
40
X 
 X
'
X" (A)
A'
A
(X)
X"
X X'
A’ A”
A
(Q)
Q"Q'
Q
Qo
Q'
Q
Qo
- oblíquo ao PV; e
- oblíquo ao PH;
- oblíquo ao PP.
CARACTERÍSTICAS NO ESPAÇO
CARACTERÍSTICAS NO ESPAÇO:
- oblíquo ao PH;
- oblíquo ao PV; e
- perpendicular ao PP.
C A R A C T E R Í S T I C A S E M É P U R A 
(DIEDRO)
- traços horizontal e vertical coincidentes na LT.
C A R A C T E R Í S T I C A S E M É P U R A 
(DIEDRO)
- traços horizontal e vertical oblíquos à LT.
h - PLANO QUALQUER (ÚNICO PLANO NÃO PROJETANTE)
g - PLANO QUE PASSA PELA LT (PLANO PROJETANTE NO PP)
 Este plano não consegue ser definido por seus traços no diedro, pois para os mesmos traços 
pode o plano assumir diferentes angulações com o PV e o PH, necessitando portanto, de um ponto 
que o fixe no espaço. No exemplo abaixo o ponto (A) é o ponto auxiliar.
Q''
eber nunes ferreira
41
( )t
(v)
(p)
(t)
(f)
(q)
(fh)
(h)
(t)
(fh)
(v)
( )f
(fh)
(p)
(q)
(v)
(q)
(h)
(q)
(f)
(p)
(h)(fh)
q)(
p)(
 Antes de analisarmos em épura, a pertinência das retas aos planos, apresentaremos os tipos 
de retas genéricas que cada plano pode conter. Atente para o fato de que o plano qualquer é o único 
plano que contém quatro tipos diferentes de retas, enquanto os demais,apenas três. Lembre-se que 
os traços dos planos (que são retas), já revelam tipos de retas pertencentes ao plano. 
5.4 RETAS PERTENCENTES AOS PLANOS
PLANO FRONTAL PLANO DE PERFILPLANO HORIZONTAL
PLANO VERTICAL PLANO PARALELO À LTPLANO DE TOPO
PLANO QUALQUERPLANO QUE PASSA PELA LT
h- horizontal f - frontal v - vertical t - de topo fh - fronto-horizontal p - de perfil q - qualquer
Abreviações dos nomes das retas:
eber nunes ferreira
42
A B
CD
V
A' B'C' C" A" B"D'
V'
D"
V"
 Analise a pirâmide representada no triedro e preencha os espaços com o nome do plano 
definido pelos três pontos indicados. Lembre-se de que três pontos distintos não colineares no 
espaço determinam um Plano.
5.5 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DO CONTEÚDO
A B
CD
V
A' B'C' C" A" B"D'
V'
D"
V"
A B
CD
V
A' B'C' C" A" B"D'
V'
D"
V"
A B
CD
V
A' B'C' C" A" B"D'
V'
D"
V"
EXEMPLOS:
I II III
IV V VI
I
II
III
IV
V
VI
IDENTIFIQUE O PONTO (G) NO CENTRO DA BASE
 Evidencie com caneta ou lápis colorido 
cada triângulo formado pelas retas (segmentos) 
nas épuras reduzidas.
Os pontos (V),(C) e (B) determinam um plano
Os pontos (A),(B) e (C) determinam um plano
Os pontos (A),(G) e (V) determinam um plano
Os pontos (V),(A) e (D) determinam um plano
Os pontos (V),(D) e (B) determinam um plano
Os pontos (A),(B) e (V) determinam um plano
de TOPO
VERTICAL
PARALELO a LT
FIGURA - FIGURA - LINHA
FIGURA - FIGURA - LINHA
FIGURA - FIGURA - LINHA
A B
CD
V
A' B'C' C" A"B"D'
V'
D"
V"
A B
CD
V
A' B'C' C" A" B"D'
V'
D"
V"
A B
CD
V
A' B'C' C" A" B"D'
V'
D"
V"
Imprima esta folha de exercícios
Posições Relativos de Figuras Planas no Triedro
Figuras Planas do
Grupo 1
Figuras Planas do
Grupo 2
Figuras Planas do
Grupo 3
PROJEÇÕES EM FORMA DE:
FIGURA (EM VG) - LINHA - LINHA
PROJEÇÕES EM FORMA DE:
FIGURA - FIGURA - LINHA
PROJEÇÕES EM FORMA DE:
FIGURA - FIGURA - FIGURA
VG
PV
PH
PP
eber nunes ferreira
43
PV
PH
PP
 Analise o hexaedro (cubo) representado no triedro e preencha os espaços com o nome do 
plano definido pelos três pontos indicados. Lembre-se de que três pontos distintos não colineares no 
espaço determinam um Plano.
I
II
III
IV
V
VI
IDENTIFIQUE O PONTO (G) NO CENTRO DA BASE INFERIOR
A'D' B'C'
1'4' 2'3'
A"D"B"C"
1"4"2"3"
D 4
C 3
B 2
A 1
Os pontos (A),(2) e (4) determinam um plano
Os pontos (4),(B) e (2) determinam um plano
Os pontos (A),(D) e (2) determinam um plano
Os pontos (1),(3) e (C) determinam um plano
Os pontos (D),(1) e (3) determinam um plano
Os pontos (D),(1) e (G) determinam um plano
I II III
IV V VI
A'D' B'C'
1'4' 2'3'
A"D"B"C"
1"4"2"3"
D 4
C 3
B 2
A 1
A'D' B'C'
1'4' 2'3'
A"D"B"C"
1"4"2"3"
D 4
C 3
B 2
A 1
A'D' B'C'
1'4' 2'3'
A"D"B"C"
1"4"2"3"
D 4
C 3
B 2
A 1
A'D' B'C'
1'4' 2'3'
A"D"B"C"
1"4"2"3"
D 4
C 3
B 2
A 1
A'D' B'C'
1'4' 2'3'
A"D"B"C"
1"4"2"3"
D 4
C 3
B 2
A 1
A'D' B'C'
1'4' 2'3'
A"D"B"C"
1"4"2"3"
D 4
C 3
B 2
A 1
 Evidencie com caneta ou lápis colorido 
cada triângulo formado pelas retas (segmentos) 
nas épuras reduzidas.
Imprima esta folha de exercícios
Posições Relativos de Figuras Planas no Triedro
Figuras Planas do
Grupo 1
Figuras Planas do
Grupo 2
Figuras Planas do
Grupo 3
PROJEÇÕES EM FORMA DE:
FIGURA (EM VG) - LINHA - LINHA
PROJEÇÕES EM FORMA DE:
FIGURA - FIGURA - LINHA
PROJEÇÕES EM FORMA DE:
FIGURA - FIGURA - FIGURA
VG
eber nunes ferreira
44
x’
x
s’ s’
s s
r’ r’
r r
A' A'
A A
1’
1
2’
2
(s) 
(r) 
(x) 
s’ s’
x’
x
s s
r’ r’
r r
A' A'
A A
1’
1
(s) 
(r) 
(x) 
5.6 PERTINÊNCIA DA RETA AO PLANO EM ÉPURA
 De maneira prática uma reta pertence a um plano quando possui dois pontos distintos sobre 
ele. Apresentaremos cinco condições para uma reta pertencer a um plano para analise em épura.
As condições a e b não requerem a utilização dos traços do plano.
a - Toda reta concorrente com duas retas de um plano, em pontos distintos, pertence ao plano
b - Toda reta concorrente com uma reta de um plano e paralela a outra do mesmo plano está 
contida no plano.
eber nunes ferreira
45
Qo
Q(H)
)(V
(s) 
Q’
H'
A'
s'
s
A
B'
Q'
Q
Qo
B
V'
H
V
Qo
Q
( )A
(V) (H)º
(s) 
Q'
Qo
Q(H)
(s) 
Q'
Q'
Q
Qo
s'
A’
B'
B
H'
A
s
H
 As condições c e d utilizam-se dos traços do plano
c - Toda reta que tem seus traços (V) e (H) distintos, sobre os traços de mesmo nome do plano, 
está contida no plano.
 Neste caso, faz-se necessário a utilização de um 
ponto auxiliar sobre o plano.
 Quando uma reta (qualquer ou perfil) possuir os 
dois traços, e estes forem coincidentes (isto só acontece 
na LT), embora sejam nominalmente dois pontos se 
constituem geometricamente em um único ponto, o que 
não é suficiente para determinar a pertinência da reta 
sobre o plano.
d - Toda reta que se apóia em um dos traços do plano e é paralela ao outro, está contida no plano.
eber nunes ferreira
46
PLANO PARALELO À LT
PROJETANTE NO PP
K"
K’
K
A'
H’ H”
V”
s'
s
AH
B'
V’
B
V
s”
A”
B"
 B 
 a' 
a
A'
A
B'
T'
T
To
 B 
r
A
 r' A' B'
T'
T
To
PLANO DE TOPO
(a)
a
T
To
a'T'
Os demais planos poderão ser analisados no diedro, exceto os planos paralelos à LT e os 
planos que passam pela LT, que deverão ser analisados no triedro (uso da terceira projeção).
 e - CASOS IMEDIATOS (PLANOS PROJETANTES) - Toda reta (neste caso válido para 
qualquer ente geométrico possível de pertencer a um plano) que possui sua projeção sobre o traço 
projetante de mesmo nome, pertence ao plano. (Ver páginas 34)
O único plano não projetante é o plano qualquer, portanto ele está fora desta análise.
É importante salientar que nesta condição de análise, não se necessita dos traços da reta, 
mas quando determinados obedecerão às condições respectivas expostas anteriormente.
 A seguir apresentaremos através da perspectiva e da épura as retas pertencentes a 
cada plano, observe que os traços das retas pertencem aos traços de mesmo nome do plano.
K"K'
K
H'
(s) s'
s"
s
H"
V"
V
H( )H
V'( )V
(K)
PROJETANTE NO PV
eber nunes ferreira
47
PPPV
PH
L'
(L)
L"
(s) 
s"
s
"V
V
s' º
V'
(V)
º
L'
L"
(s) 
s'
s"
s
PPPV
PH
(L)
PLANO HORIZONTAL
reta de topo
PLANO HORIZONTAL
reta fronto-horizontal
PLANO HORIZONTAL / reta de topo
L'
B
A
s
V
L"s"A" B"s' A' B' V' V" VG
VG
5.6.1 RETAS DO PLANO HORIZONTAL OU DE NÍVEL
A's'
s A
B'L' L"
B VG
VG
PLANO HORIZONTAL / reta fronto-horizontal
s" A" B"
PV
PH
PP
PV
PH
PP
eber nunes ferreira
48
L"L'
(s) 
s' s"
s
V
V'(V)º
PPPV
PH
(L)
PLANO HORIZONTAL
reta horizontal
(s) 
s
s' s"
PPPV
PH
F
F"
(F)
PLANO FRONTAL
reta fronto-horizontal
A's'
s A
B'
F"
F
B
VG
VG
PLANO FRONTAL / reta fronto-horizontal
s” A" B"
5.6.2 RETAS DO PLANO FRONTAL OU DE FRENTE
A's'
s
s" A"
A
B'L' L"B"
B
VG
V' V"
V
PLANO HORIZONTAL / reta horizontal
RETAS DO PLANO HORIZONTAL OU DE NÍVEL (Continuação)
PV
PH
PP
PV
PH
PP
eber nunes ferreira
49
PPPV
PH
(s) 
F
F"
(F)
s'
s
s"
H(H)ºº
s'
s"
PPPV
PH
F
F"
s
H(H)º
H'
(F)
(s) 
PLANO FRONTAL
reta vertical
PLANOFRONTAL
reta frontal
PLANO FRONTAL / reta vertical
F
F''
B' B"
A' A"
s' s"
H"
s A B H
VG VG
H'
PLANO FRONTAL / reta frontal
A'
s'
sA
B'
F"
F
B
VG
H'
H
s"
A"
B"
H"
 RETAS DO PLANO FRONTAL ou DE FRENTE (Continuação)
PV
PH
PP
PV
PH
PP
eber nunes ferreira
50
(s) 
s
s' s"
PPPV
PH
V"
Po
P'
P
V
V'(V) º
º
º (P)
PLANO DE PERFIL
reta vertical
PLANO DE PERFIL
reta de topo
P'
P
Po
VG VG
s A B H
H'
A' A”
s"
B' B”
H"
PLANO DE PERFIL / reta vertical
s’
5.6.3 RETAS DO PLANO DE PERFIL
PLANO DE PERFIL / reta de topo
B
A
s
V
s"A" B"s' A' B' V' V" VG
VG
P'
Po
P
H(H)º º
(s) 
s
PPPV
PH
H"
P'
P
(P)
s"
s'
Po
H'
PV
PH
PP
PV
PH
PP
eber nunes ferreira
51
(s) 
s
s' s"
PPPV
PH
H" V"º
Po
P'
P
H'H(H)º º
VV'(V)º º
(P)
P"
(s) 
s' s"
s
PoP'
P
H"
V"
H(H)º
H'V º
V'(V)º
PPPV
PH
(P)
PLANO DE PERFIL
reta de perfil perpendicular
a linha de terra
PLANO DE PERFIL
reta de perfil ortogonal
a linha de terra
P'
P
Po
A'
s'
s
A
PLANO DE PERFIL / reta de perfil perp. a LT
s"
A"
V" H"V V' H H'
VG
A'
H"
V"
s'
s
A
H
B'
V'
B
PLANO DE PERFIL / reta de perfil ort. a LT
A"
V H'
s"
B"
VG
Po
P'
P
 RETAS DO PLANO DE PERFIL (Continuação)
PV
PH
PP
PV
PH
PP
eber nunes ferreira
52
Z
Z'
Z"
Zo
(Z)(s) 
s' s"
H"H'
s H(H)ºº
PPPV
PH
Z
Z' V"
Z"
(Z)
(s) 
s' s"
s
Zo
V
V'(V)º
PPPV
PH
PLANO VERTICAL
reta vertical
PLANO VERTICAL
reta horizontal
A' s'
s
s"A"
A
B'
Z'
Z
Zo
Z"
B"
B
V' V"
V
PLANO VERTICAL / reta horizontal
VG
VG VG
s A B H
H'
A' A"
s"
B' B"
Z'
Z
Zo
Z"
H"
PLANO VERTICAL / reta vertical
s'
5.6.4 RETAS DO PLANO VERTICAL
PV
PH
PP
PV
PH
PP
eber nunes ferreira
53
H'
(s) 
s'
s"
sZo
Z'
Z"
(Z)
Z
H"
V"
V
H(H)º
V'(V)º
PPPV
PH
Z
Z'
Z"
(Z)
(s) 
s'
s"
s
Zo
H"
V'' º
PPPV
PH
H'H(H)º º
VV'(V)º º
PLANO VERTICAL
reta qualquer reversa
a linha de terra
PLANO VERTICAL
reta qualquer concorrente
a linha de terra
A'
s
s’ s"
A"
A
B'
Z'
Z
Zo
Z"
B"
B
PLANO VERTICAL / reta qualquer conc. a LT
V V’ H H’
V” H”
H'
A'
s
s"
A"
A
B'
Z'
Z
Zo
Z"
B"
B
H"
V' V"
H
V
PLANO VERTICAL / reta qualquer reversa a LT
s'
RETAS DO PLANO VERTICAL (Continuação)
PV
PH
PP
PV
PH
PP
eber nunes ferreira
54
T ''
T
To
T'
(s) 
s'
s"
s
H"
H'
H(H)
PPPV
PH
(T)
T
To
T'
T ''
(s) 
s'
s"
s
V"
V
(T)
PLANO DE TOPO
reta de topo
PLANO DE TOPO
reta frontal
VG
VG
T
To
T"
s"A" B"
B
PLANO DE TOPO / reta de topo
A
s
T'
V"
V
s'A' B' V'
5.6.5 RETAS DO PLANO DE TOPO
VG
T
To
T"
s"
A"
B"
B
H"
PLANO DE TOPO / reta frontal
A sH
T'
s'
A'
B'
H'
PV
PH
PP
PV
PH
PP
eber nunes ferreira
55
T
To
T '
T ''H"
V"
(s) 
s'
s"
s
PPPV
PHH'H(H)
VV'(V)
(T)
PLANO DE TOPO
reta qualquer reversa
a linha de terra
PLANO DE TOPO
reta qualquer concorrente
a linha de terra
H'
A'
s'
s
s"
A"
A
B'
T'
T
To
T"
B"
B
H"
V' V"
H
V
PLANO DE TOPO / reta qualquer reversa a LT
A'
s'
s
s"
A"
A
B'
T'
T
To
T"
B"
B
PLANO DE TOPO / reta qualquer conc. A LT
V V’ H H’ V” H”
T ''
T
To
'T
V"
V (s) 
s' s"
s H"
H'
H(H)
V'
PPPV
PH
(T)
(V)
RETAS DO PLANO DE TOPO (Continuação)
PV
PH
PP
PV
PH
PP
eber nunes ferreira
56
K"
K'
(K)
K
(s) 
s' s"
s
PPPV
PH
K"K'
K
H'
(s) s'
s"
s
H"
V"
V
H(H)º
V'(V)º
PPPV
PH
(K)
PLANO PARALELO À LT
reta fronto-horizontal
PLANO PARALELO À LT
reta qualquer reversa
a linha de terra
5.6.6 RETAS DO PLANO PARALELO A LINHA DE TERRA
A'
H’ H”
V”
s'
s
AH
B'
V’
K"
K'
K
B
V
PLANO PARALELO A LT / reta qualquer reversa a LT
s”
A”
B"
A' s'
sA
B'
K"
K’
K
B
VG
VG
PLANO PARALELO A LT / reta fronto-horizontal
s” A" B"
PV
PH
PP
PV
PH
PP
eber nunes ferreira
57
K'
K"
K
(s) 
s' s"
s
H"
V"
H(H)º
H'V'º
V'
(V)
º
PPPV
PH
(K)
PLANO PARALELO À LT
reta de perfil ortogonal
a linha de terra
X"
X
X' (s) 
s'
s"
s
(X)
PPPV
PH
PLANO QUE PASSA PELA L.T.
reta fronto-horizontal
A' s'
sA
B'
X"
B
VG
VG
PLANO QUE PASSA PELA LT / reta fronto-horizontal
ponto auxiliar (M)
M’ M"
M
s" A" B"
X X'
5.6.7 RETAS DO PLANO QUE PASSA PELA LINHA DE TERRA
PV
PH
PP
A'
H''
V''
s'
s
A
H
B'
V'
K"
K'
K
B
PLANO PARALELO A LT / reta de perfil ort. a LT
s''
A''
B"
V H'
VG
RETAS DO PLANO PARALELO A LINHA DE TERRA (Continuação)
Faz-se necessário o uso de 
uma reta e um ponto auxiliar
(M)
M'
M
M"
PV
PH
PP
eber nunes ferreira
58
X"
X
X'
(X)
(s) 
s'
s"
s
H" V"
PPPV
PH
H'H(H)
VV'(V)
X"
X
X'
H"
V"
(s) 
s'
s"
s
PPPV
PH
H'H(H)
VV'(V)
(X)
PLANO QUE PASSA PELA LT
reta de perfil
perpendicular a linha de terra
PLANO QUE PASSA PELA LT
reta qualquer concorrente
a linha de terra
s'
X"
M'
M
X X'
A'
s
s"
A"
A
PLANO PARALELO A LT / reta qualquer conc. A LT
V V' H H'
V" H"
M"
A'
s'
s
A
X"
PLANO QUE PASSA PELA LT / reta de perfil perp. a lt
ponto auxiliar (M)
s"
A"
M’ M"
M
V" H"
V V’ H H’
VG
X X'
Faz-se necessário o uso de 
uma reta e um ponto auxiliar
RETAS DO PLANO QUE PASSA PELA LINHA DE TERRA (Continuação)
Faz-se necessário o uso de 
uma reta e um ponto auxiliar
PV
PH
PP
PV
PH
PP
eber nunes ferreira
59
Q'
Q
H'
(s) 
s'
s"
sQo
H"
H(H)
PPPV
PH
(Q)
PLANO QUALQUER
reta frontal
PLANO QUALQUER
reta horizontal
A's'
s
s" A"
A
B'
Q'
Q
Qo
Q"
B"
B
VG
V' V"
V
PLANO QUALQUER / reta horizontal
Q'
Q
Qo
Q"
s' s"
A"
A’
B'
VG
B"
B
H"H'
PLANO QUALQUER / reta frontal
A
s
H
5.6.8 RETAS DO PLANO QUALQUER
Q'
Q
PPPV
PH
(s) 
s' s"
sQo
Q"
V"
V
V'
(Q)
(V)
No plano Qualquer todas as retas horizontais são paralelas ao traço horizontal do plano.
No plano Qualquer todas as retas frontais são paralelas ao traço vertical do plano.
PV
PH
PP
PV
PH
PP
eber nunes ferreira
60
Qo
Q'
Q"
Q
(Q)
(s) 
s' s"
s H"
V"
H(H)º
H'
V
V'(V)º
PPPV
PH
Qo
Q'
Q"
Q
(Q)
(s) 
s' s"
s
H"
V"
H(H)º
H'V º
V'(V)º
PPPV
PH
PLANO QUALQUER
reta de perfil ortogonal
a linha de terra
PLANO QUALQUER
reta qualquer reversa
a linha de terra
A'
s'
s
s"
A"
VG
A
B'
Q'
Q
Qo
Q"
B"
B
H
V' V"
H"V H'
PLANO QUALQUER / reta de perfil ort. à LT
H'
A'
s'
s
s"
A"
A
B'Q'
Q
Qo
Q"
B"
B
H"
V' V"
H
V
PLANO QUALQUER / reta qualquer reversa a LT
RETAS DO PLANO QUALQUER (Continuação)
No plano Qualquer todas as retas de perfil são paralelas ao traço de perfil do plano.
PV
PH
PP
PV
PH
PP
eber nunes ferreira
61
H'H(H)
VV'(V)
PPPV
PH
s'
s"
Qo
Q'
Q"
Q
H" V"
s (Q)
(s) 
PLANO QUALQUER
reta qualquer concorrente
a linha de terra
 Quando uma reta qualquer possuir os dois traços coincidentes (isto só acontece na LT), 
embora nominalmente sejam dois pontos, geometricamente se constituem em um único ponto, o que 
não é suficiente para determinar a pertinência da reta sobre o plano. Assim, faz-se necessária a 
utilização de um ponto auxiliar sobre o plano (P) que por sua vez necessita de uma reta auxiliar 
(preferencialmente as retas horizontal e frontal do plano).
Faz-se necessário o uso de 
uma reta e um ponto auxiliar
P'
s'
a' a"
a
s
s"
P"
P
Q'
Q
Q"
Va
V'a V"a
PLANO QUALQUER / reta qualquer conc. a LT
(reta horizontal auxiliar)
Qo V" H"
V V' H H'
RETAS DO PLANO QUALQUER (Continuação)
PV
PH
PP
eber nunes ferreira
62
R
E
T
A
S
PLANOS
5.7 QUADRO SÍNTESE DE PERTINÊNCIA DE RETA A PLANOS
Lembre-se dos conceitos de Planos Projetantes
PERSPECTIVA
VISTA ORTOÉDRICA
PH
PV PP
PH
PV PP
PH
PV PP
PH
PV PP
PH
PV PP
PH
PV PP
PH
PV PP
PH
PV PP
PH
PV PP
PH
PV PP
PH
PV PP
PH
PV PP
PH
PV PP
PH
PV PP
PH
PV PP
PH
PV PP
PH
PV PP
PH
PV PP
PH
PV PP
PH
PV PP
PH
PV PP
PH
PV PP
PH
PV PP
PH
PV PP
PH
PV PP
(B)
(A)
A
B
(C)
C
Projeções de Figuras sobre
Planos NÃO Projetantes
(NÃO Perpendiculares)
Projeções fora
do Traço
(A)
(B)
(C)
C
Projeções de Figuras sobre
Planos Projetantes (Perpendiculares)
Projeções sobre
o Traço
Posições Relativos de Figuras Planas no Triedro
Figuras Planas do
Grupo 1
Figuras Planas do
Grupo 2
Figuras Planas do
Grupo 3
PROJEÇÕES EM FORMA DE:
FIGURA (EM VG) - LINHA - LINHA
PROJEÇÕES EM FORMA DE:
FIGURA - FIGURA - LINHA
PROJEÇÕES EM FORMA DE:
FIGURA - FIGURA - FIGURA
VG
eber nunes ferreira
63
5.7 RETAS DE MÁXIMO DECLIVE (MD) E MÁXIMA INCLINAÇÃO (MI)
 São as retas de um plano que formam o maior ângulo possível com os planos Horizontal e/ou 
Vertical de projeção respectivamente, ou seja, formam o mesmo ângulo que o plano, ao qual 
pertencem, forma com o PV e ou com o PH.
 Sendo a reta (i) o traço (interseção) entre os planos genéricos (A) e (B), que formam entre si 
umângulo a, podemos fazer as seguintes considerações. (Tomemos a = 45º, por exemplo)
(s)
(i)
(A)
(B)
(t)
(u)
(t)
(u)
(s)
 A reta (t), oblíqua ao traço entre os planos, forma com o plano (B) um ângulo superior a 0º e 
inferior a 45º.
 O plano (A) pode conter infinitas retas sobre si. Estas retas poderão formar com o plano (B) 
diferentes ângulos que podem variar de 0º a 45º (neste caso o valor de a=45º).
 A reta (s), perpendicular ao traço entre os planos, forma com o plano (B) um ângulo de 45º.
 A reta (u), paralela ao traço entre os planos, forma um ângulo igual a 0º com o plano (B), 
estando, portanto equidistante em relação ao referido plano.
 Se esta análise for estendida aos planos que possuem traços sobre o Plano Horizontal de 
projeção (PH), podemos afirmar que: toda reta do plano, que formar um ângulo reto com o traço 
horizontal também formará o maior ângulo possível com o PH. Estas retas são denominadas de 
Retas de Máximo Declive.
 Observando a reta (s), podemos concluir que toda reta pertencente ao plano (A) que formar 
um ângulo reto como o traço (i), formará o maior ângulo possível com o plano (B), que é o valor de alfa.
(s)
PH
TRAÇO HORIZONTAL
RETA DE MÁXIMO DECLIVE RETA DE MÁXIMA INCLINAÇÃO
(s)
PV
TR
A
Ç
O
 V
E
R
TI
C
A
L
 Em relação aos planos que possuem traços sobre o Plano Vertical de projeção (PV), podemos 
afirmar que: toda reta do plano, que formar um ângulo reto com o traço vertical também formará o 
maior ângulo possível com o PV. Estas retas são denominadas de Retas de Máxima Inclinação
eber nunes ferreira
64
 Todo este raciocínio exemplificado através de planos não projetantes é extensivo aos planos 
projetantes em relação ao PH e PV (Os planos projetantes são aqueles perpendiculares aos planos 
de projeção). O fato de o plano ser ou não ser projetante interfere apenas na representação em épura.
 Observe que nos planos NÃO PROJETANTES, a reta perpendicular ao traço do plano gera 
sobre o PH ou PV, uma projeção também perpendicular ao traço.
 Já nos planos PROJETANTES, a reta perpendicular ao traço, também é perpendicular ao PH 
ou PV, gerando assim, uma projeção pontual sobre o traço correspondente.
 Vejamos estas retas de MD e MI no plano Qualquer.
 Em épura a reta de máximo declive de planos não projetantes no PH, é caracterizada por 
possuir sua projeção horizontal também perpendicular ao traço horizontal.
 Na página seguinte, apresentamos um quadro síntese com todos os Planos e suas 
respectivas retas de máximo declive e/ou máxima inclinação.
H'
A'
s
A
Q'
Q
Qo
B
V
H(H)
V’(V)
s'
B'
90º
H'
A'
s
A
Q'
Q
B
V
H(H)
V’(V)
s'
B'
Qo
90
º
(s) (s)
(A)
(A)
(s)
(s)
(A)
(A)
PH
PV
TRAÇO HORIZONTAL
TRAÇO HORIZONTAL
TR
A
Ç
O
 V
E
R
TI
C
A
L
TR
A
Ç
O
 V
E
R
TI
C
A
L
PV
PH
eber nunes ferreira
65
(q)
(q)
PH
PV
(t)
(v)
(v)
(t)
(f)
(h)
(t)
(v)
(p)
p)(
Q
s'
s
Q'
Q
Qo
s
s'
Q'
Q
Qo
s
s'
Q
Qo
s
Q'
s'
Q
Qo
Q'
s'
s
s
Q'
Q
Qo
s'
Q
s'
V’
V H’
H
s
Q'
s'
s
Q'
Q
Qo
s
Q'
Q
Qo
s'
90º
s
Q'
Q
s'
Qo
90
º
Q'
s
s'
MÁX. INCLINAÇÃOMÁXIMO DECLIVE MÁX. INCLINAÇÃOMÁXIMO DECLIVE
 5.7.1 QUADRO SÍNTESE DAS RETAS DE MÁXIMO DECLIVE E MÁXIMA INCLINAÇÃO
P
L
A
N
O
 H
O
R
IZ
O
N
T
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A
 
L
T
P
L
A
N
O
 Q
U
E
 P
A
S
S
A
 P
/ 
 L
T
- Não existe reta de MD;
- Todas as retas de topo
do plano são retas de MI;
- Sobre este plano, todas as
retas de MD são perpendiculares
as retas fronto-horizontais.
- Sobre este plano, todas as
retas de MI são perpendiculares
as retas fronto-horizontais.
- Sobre este plano, todas as
retas de MD são perpendiculares
as retas de de topo.
- Sobre este plano, as retas de
MD são perpendiculares a todas
as retas de topo. As retas de MI
são perpendiculares a todas
as retas frontais.
- Sobre este plano, as retas de
MD são perpendiculares a todas
as retas horizontais. As retas de
MI são perpendiculares a todas
as retas verticais
- Sobre este plano, as retas de
MD são perpendiculares a todas
as retas horizontais. As retas de
MI são perpendiculares a todas
as retas frontais.
- Não existe reta de MI;
- Todas as retas verticais
do plano são retas de MD;
- Todas as retas verticais
do plano são retas de MD;
- Todas as retas frontais do
plano são retas de MD;
- Todas as retas verticais do
plano são retas de MD;
- Sobre este plano todas as retas
de MD são simultaneamente
retas de MI.
- Todas as retas de perfil do
plano são retas de MD e MI
simultaneamente.
- Todas as retas de topo
do plano são retas de MI;
- Todas as retas de topo do
plano são retas de MI;
- Todas as retas horizontais do
plano são retas de MI;
P
L
A
N
O
 H
O
R
IZ
O
N
T
A
L
P
L
A
N
O
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P
L
A
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P
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A
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O
 V
E
R
T
IC
A
L
P
L
A
N
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 Q
U
A
L
Q
U
E
R
P
L
A
N
O
 
P
A
R
A
L
E
L
O
 
A
 
L
T
P
L
A
N
O
 Q
U
E
 P
A
S
S
A
 P
/ 
 L
T
OBSERVAÇÕES
(PERSPECTIVA) (PERSPECTIVA) (ÉPURA) (ÉPURA)
A'
s'
s
A
Q"
s'' A''
M'
M''
M
Q' Q
PH
PV
PH
PV
PH
PV
PH
PV
PH
PV
PH
PV
PH
PV
PH
PV
PH
PV
PH
PV
eber nunes ferreira
66
 Se soltarmos uma moeda sobre um plano, o percurso da mesma será correspondente ao de 
uma reta de MD. A reta de MD também determina o ângulo que o Plano (X) forma com o PH.
O ângulo que a reta (r) forma 
com o plano PH é menor do 
que o ângulo que (X) forma 
com o PH.
PH
(X)
(s)
PH
(X)
(r)
s
Q'
Q
Qo
s'
90º
s
s'
90º
A' 
B' 
C'
A B 
C
O ângulo que a reta (s) forma 
com o plano PH é igual ao 
ângulo que (X) forma com o PH.
 As retas de MD e MI podem ser determinadas sem a necessidade de recorrer aos traços do 
Plano. Veja os desenhos abaixo. Uma reta de MD de um plano qualquer definido por seus traços e 
outro definido por uma figura triangular. Veja as observações no quadro da página anterior.
 O ângulo que uma reta de MD forma com o PH é o mesmo formado pelo plano (X) com o PH. 
Se esta reta for uma qualquer será necessário o uso de um método descritivo para o obtenção de sua 
VG.
 O triângulo (ABC) é uma porção de plano Qualquer. O lado (AC) é uma reta horizontal, 
portanto, é paralela ao traço do horizontal do Plano. Se apoiarmos uma reta sobre o triângulo de 
forma que a projeção horizontal s seja perpendicular a projeção horizontal AC, podemos afirmar que 
(1B) é uma reta de MD da figura.
1'
1
1' 
1 
2 
2' 
s'
s
s'
s
A 
B
A
C 
C'A'
B' B'
A' C'
B
C 
A figura acima é um telhado de quatro águas. O 
segmento (12) é a reta de MD. Por ser uma reta 
frontal a projeção vertical expressa a VG do 
ângulo com o PH.
1 2 
1' 
2' 
em VG
não é a VG do ângulo
A figura acima é o mesmo telhado de quatro águas 
em uma posição que o triângulo (ABC) é um plano 
Qualquer. O segmento (12) é a reta de MD. Por ser 
uma reta qualquer a projeção vertical não 
expressa a VG do ângulo com o PH.
eber nunes ferreira
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6. SÓLIDOS GEOMÉTRICOS
S
ó
lid
o
s
G
e
o
m
é
tr
ic
o
s
P
o
li
e
d
ro
s
Regulares
Tetraedro (4 Faces)
Hexaedro (6 Faces)
Octaedro (8 Faces)
Dudecaedro (12 Faces)
Icosaedro (20 Faces)
Prisma
Regular
Regular
Reto
Reto
Reto
Reta
Oblíquo
Oblíquo
Oblíquo
OblíquaPirâmide
Irregulares
Cone
Cilindro
Esfera
S
ó
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d
o
s
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R
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lu
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eber nunes ferreira
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 Um feixe de três semi-retas não coplanares partem de um ponto (P) no espaço. Cada dupla 
sucessiva de semi-retas determina o que denominamos "Ângulo Sólido", onde temos a = ângulo da 
face e b= ângulo diedro.
( )P
( )r
( )s
( )t
11
1 = Ângulo entre (Pr) e (Ps)
2
3
= Ângulo entre (Ps) e (Pt)
= Ângulo entre (Pt) e (Pr)
1 = Ângulo Diedro entre as faces que contém (Pr)
2
3
= Ângulo Diedro entre as faces que contém (Ps)
= Ângulo Diedro entre as faces que contém (Pt)
 Os ângulos sólidos