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ÁLGEBRA LINEAR

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ÁLGEBRA LINEAR.
		1.
		Uma matriz de ordem 3 x 5 apresenta número de elementos igual a :
	
	
	
	15
	
	
	20
	
	
	12
	
	
	8
	
	
	10
	
Explicação:
Uma matriz com 3 linhas e 5 colunas possui 3 x 5 = 15 elementos
		2.
		O determinante da matriz  A = [aij] , 3x3, onde: 
aij = i - j , se  i <  j  e  aij = i + j  , se i > j   é igual a
	
	
	
	0
	
	
	26
	
	
	-26
	
	
	34
	
	
	-34
	
Explicação:
a11 = 1 - 1 = 0
a12 = 1 - 2 = - 1
a13 = 1 - 3 = - 2
a21 = 2 + 1 = 3
a22 = 2 - 2 = 0
a23 = 2 - 3 = - 1
a31= 3 + 1 = 4
a32= 3 + 2 = 5
a33= 3 - 3 = 0
⎡⎢⎣0−1−20130−13045045⎤⎥⎦[0-1-20130-13045045] =
		3.
		Se  A  é uma matriz  2x3  e  B  é uma matriz  3x1, então o produto  AB = C  é uma matriz
	
	
	
	1x3
	
	
	3x3
	
	
	3x3 , porém, nula
	
	
	2x1
	
	
	1x2
	
Explicação:
Nessa questão podemos aplicar o seguinte entendimento:
Para efetuar um produto entre a matriz A e a matriz B, devemos ter o número de colunas(p) da matriz A = ao número de linhas(p) da matriz B. 
Am,p . Bp,n = Cm.n  Assim, temos p = p.
Na questão apresentada temos AB = C =>  A2,3 . B 3,1 = C2,1.
Conclusão, a matriz C é uma matriz 2 por 1 (2 x 1).
		4.
		Uma industria automobilística tem um projeto para fabricar 3 modelos de carros(Hatch , SUV e  Jeep), com  2 ou 4 portas(tipos).
Considere a matriz A = aij, onde aij representa a quantidade de dias que a industria necessita para fabricar um determinado modelo i de um deteminado tipo j.
A = ⎡⎢⎣ 302519322530⎤⎥⎦[ 302519322530]
Qual alternativa abaixo representa a quantidade total de dias necessários para fabricar 2 Jeep de 2 portas?
	
	
	
	25
	
	
	74
	
	
	60
	
	
	30
	
	
	55
	
Explicação:
Solução:
Nesse caso, podemos considerar que as linhas da matriz representam o modelo(Hatch, SUV ou Jeep) e as colunas o tipo(2 ou 4 portas).
⎡⎢⎣ 302519322530⎤⎥⎦[ 302519322530]
Com isso, como deseja-se saber quantos dias são necessários para fabricar 2 Jeeps de 2 portas.
Ou seja, 2 . A3,2 = 2 . 30 = 60 dias.
Conclusão:
São necessários 60 dias para fabricar 2 Jepps de 2 portas.
 
		5.
		Seja A uma matriz 2x4 e B uma matriz 4x3, então o produto A.B = C é uma matriz do tipo:
	
	
	
	3 x 3
	
	
	4 x 3
	
	
	4 x 2
	
	
	1 x 1
	
	
	2 x 3
	
Explicação:
A fim de efetuar o produto entre a matriz A e a matriz B, devemos ter o número de colunas da matriz A igual ao número de linhas da matriz B.
No caso A possui 4 colunas e B possui 4 linhas!
A matriz resultante terá o número de linhas de A (2 linhas) e o número de colunas de B (3 colunas), ou seja, a matriz resultante C é uma matriz 2 por 3 (2 x 3).
		6.
		Seja A uma matriz 3x3 e B uma matriz 3x1, então o produto A.B = C é uma matriz do tipo:
	
	
	
	1 x 4
	
	
	3 x 3
	
	
	3 x 1
	
	
	3 x 4
	
	
	1 x 1
	
Explicação:
A fim de efetuar o produto entre a matriz A e a matriz B, devemos ter o número de colunas da matriz A igual ao número de linhas da matriz B.
No caso A possui 3 colunas e B possui 3 linhas!
A matriz resultante terá o número de linhas de A (3 linhas) e o número de colunas de B (1 coluna), ou seja, a matriz resultante C é uma matriz 3 por 1 (3 x 1).
		7.
		Dado que a A é uma matriz 2 x 4 e B é uma matriz 4 x 1, então o produto A . B = C é uma matriz do tipo:
	
	
	
	4 x 1
	
	
	2 x 2
	
	
	4 x 4
	
	
	2 x 1
	
	
	2 x 4
	
Explicação:
Para efetuar um produto entre a matriz A e a matriz B, devemos ter o número de colunas (p) da matriz A igual ao número de linhas (p) da matriz B.
Am,p . Bp,n = Cm.n
Temos no exercício que A . B = C => A2,4 . B 4,1 = C2,1.
C é uma matriz 2 por 1 (2 x 1).
		8.
		Qual alternativa abaixo representa a matriz simétrica de A = ⎡⎢⎣ 211111112⎤⎥⎦[ 211111112]?
	
	
	
	⎡⎢⎣ 211111112⎤⎥⎦[ 211111112]
	
	
	[ 0][ 0]
	
	
	⎡⎢⎣ 112111211⎤⎥⎦[ 112111211]
	
	
	⎡⎢⎣ 212111212⎤⎥⎦[ 212111212]
	
	
	⎡⎢⎣ 100010001⎤⎥⎦[ 100010001]
	
Explicação:
Matriz simétrica é uma matriz onde A = At , ou seja, a matriz A é igual a sua transposta. 
Assim, as linhas são transformada em colunas para encontrar a transposta.
Conclusão:
Sendo A = ⎡⎢⎣ 211111112⎤⎥⎦[ 211111112], a sua simétrica também será ⎡⎢⎣ 211111112⎤⎥⎦[ 211111112].
 
		1.
		Dada a matriz A = [ 2111][ 2111]
determinar uma matriz X de ordem 2 de modo que AX = I2
	
	
	
	[ 1112][ 1112]
	
	
	[ −11−1−2][ −11−1−2]
	
	
	[ 11−1−2][ 11−1−2]
	
	
	[ −1−1−1−2][ −1−1−1−2]
	
	
	[ 1−1−12][ 1−1−12]
	
Explicação:
A= [ 2111][ 2111]       X = [ abcd][ abcd] I = [ 1001][ 1001]
Ax = I2
[ 2111][ 2111]. [ abcd][ abcd] = [ 1001][ 1001]. [ 1001][ 1001]
Multiplicando teremos:
[ 2a+a2b+da+ab+d][ 2a+a2b+da+ab+d] = [ 1001][ 1001]
Assim, podemos montar as equações:
1)2a + c => 1 +> c = 1 - 2a....................................... c = 1 - 2(1) => c = -1
2)a + c = 0  .................... a + (1- 2a) = 0 => a = 1
3)b + d = 1 => d = 1 - b..........................................d = 1 - (-1) => d = 2
4)2b + d = 0 ................ 2b + (1 - b) = 0 => b = -1
Dessa forma, a matriz é [ 1−1−12][ 1−1−12]
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Dado que a matriz A abaixo é a inversa de uma matriz B, então o det(B) é:
	
	
	
	20
	
	
	1/20
	
	
	1/8
	
	
	-1/14
	
	
	8
	
Explicação:
Utilizando a propriedade:
det (A-1) = 1 / det A
det (A-1) = 8
Logo det A = 1 / 8
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Se B é a matriz inversa de A, então sobre o produto AxB é correto afirmar que
	
	
	
	gera uma matriz nula
	
	
	gera uma matriz identidade de mesma ordem de A
	
	
	gera a própria matriz A
	
	
	gera a transposta de A
	
	
	gera uma matriz triangular superior
	
Explicação:
Se B é a matriz inversa de A, então sobre o produto AxB é correto afirmar que
A*B = B*A = In 
Onde In é a matriz identidade de ordem n.
	
	
	
	 
		
	
		4.
		A soma de todos os elementos de uma matriz quadrada A de ordem 2 é igual a 100. Podemos afirmar que a soma de todos os elementos da matriz 2A é igual a :
	
	
	
	300
	
	
	200
	
	
	100
	
	
	400
	
	
	500
	
Explicação:
Quando multiplicamos um número real K por uma matriz A do tipo m x n, encontramos para resultado uma matriz do tipo m x n, que representaremos por KA, obtida multiplicando K por cada elemento da matriz A.
Dessa forma a soma dos elementos passa a ser 100 . 2 = 200
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Determine a matriz inversa da matriz quadrada A de ordem 2. 
 
[ 2111][ 2111]
 
	
	
	
	[ 1001][ 1001]
	
	
	[ −1−1−1/2−1/2][ −1−1−1/2−1/2]
	
	
	[ −1−2−1/2−1/2][ −1−2−1/2−1/2]
	
	
	[ 2111][ 2111]
	
	
	[−200−2][−200−2]
	
Explicação:
Para determinar a matriz inversa de uma matriz quadrada A de ordem n, basta descobrir uma matriz B tal que a multiplicação entre elas tenha como resultado uma matriz identidade de ordem n. 
A*B = B*A = In 
[ 1−4−12][ 1−4−12]  *  [ abcd][ abcd] = [ 1001][ 1001]
 
[ a−4cb−4d−a+2c−b+2d][ a−4cb−4d−a+2c−b+2d] = [ 1001][ 1001]
Equação 1:
{a−4c=1−a+2c=0{a−4c=1−a+2c=0
-----------------------
          -2c = 1 => c = -1/2. Logo,  -a + 2c = 0 => -a + 2(-1/2) = 0 => -a -1 = 0 => a = -1.
Equação 2:
{b−4d=0−b+2d=1{b−4d=0−b+2d=1
---------------------
          -2d = 1 => d = -1/2. Logo, b - 4d = 0 => b = 4d => b = 4(-1/2) => b = -2.
 
Conclusão:
A inversa da matriz A= [ 1−4−12][ 1−4−12]  é  [ −1−2−1/2−1/2][ −1−2−1/2−1/2] .
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Qual é a matriz X tal que:
(5141).x=(97)(5141).x=(97)
	
	
	
	X=(−21)X=(-21)
	
	
	X=(21)X=(21)
	
	
	X=(−12)X=(-12)
	
	
	X=(−2−1)X=(-2-1)
	
	
	X=(2−1)X=(2-1)
	
Explicação:
Só podemos multiplicar duas matrizes quando o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda matriz.
A matriz produto terá o número de linhas da primeira matriz e o número de colunas da segunda matriz.
No caso temos uma matriz 2x2 e a matriz produto 2x1 o que nos leva a concluir que a matriz x é do tipo 2x1, que hipoteticamente tem os elementos X1 e X2.
Neste caso temos então que:
5X1 + X2 = 9
4X1 + X2 = 7
Resolvendo o sistema X1 = 2 e X2 = -1
	
	
	
	 
		
	
		7.
		As matrizes A=[1m13][1m13] e B=[p−2−11][p-2-11] são inversas.

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