ÁLGEBRA LINEAR

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ÁLGEBRA LINEAR.
		1.
		Uma matriz de ordem 3 x 5 apresenta número de elementos igual a :
	
	
	
	15
	
	
	20
	
	
	12
	
	
	8
	
	
	10
	
Explicação:
Uma matriz com 3 linhas e 5 colunas possui 3 x 5 = 15 elementos
		2.
		O determinante da matriz  A = [aij] , 3x3, onde: 
aij = i - j , se  i <  j  e  aij = i + j  , se i > j   é igual a
	
	
	
	0
	
	
	26
	
	
	-26
	
	
	34
	
	
	-34
	
Explicação:
a11 = 1 - 1 = 0
a12 = 1 - 2 = - 1
a13 = 1 - 3 = - 2
a21 = 2 + 1 = 3
a22 = 2 - 2 = 0
a23 = 2 - 3 = - 1
a31= 3 + 1 = 4
a32= 3 + 2 = 5
a33= 3 - 3 = 0
⎡⎢⎣0−1−20130−13045045⎤⎥⎦[0-1-20130-13045045] =
		3.
		Se  A  é uma matriz  2x3  e  B  é uma matriz  3x1, então o produto  AB = C  é uma matriz
	
	
	
	1x3
	
	
	3x3
	
	
	3x3 , porém, nula
	
	
	2x1
	
	
	1x2
	
Explicação:
Nessa questão podemos aplicar o seguinte entendimento:
Para efetuar um produto entre a matriz A e a matriz B, devemos ter o número de colunas(p) da matriz A = ao número de linhas(p) da matriz B. 
Am,p . Bp,n = Cm.n  Assim, temos p = p.
Na questão apresentada temos AB = C =>  A2,3 . B 3,1 = C2,1.
Conclusão, a matriz C é uma matriz 2 por 1 (2 x 1).
		4.
		Uma industria automobilística tem um projeto para fabricar 3 modelos de carros(Hatch , SUV e  Jeep), com  2 ou 4 portas(tipos).
Considere a matriz A = aij, onde aij representa a quantidade de dias que a industria necessita para fabricar um determinado modelo i de um deteminado tipo j.
A = ⎡⎢⎣ 302519322530⎤⎥⎦[ 302519322530]
Qual alternativa abaixo representa a quantidade total de dias necessários para fabricar 2 Jeep de 2 portas?
	
	
	
	25
	
	
	74
	
	
	60
	
	
	30
	
	
	55
	
Explicação:
Solução:
Nesse caso, podemos considerar que as linhas da matriz representam o modelo(Hatch, SUV ou Jeep) e as colunas o tipo(2 ou 4 portas).
⎡⎢⎣ 302519322530⎤⎥⎦[ 302519322530]
Com isso, como deseja-se saber quantos dias são necessários para fabricar 2 Jeeps de 2 portas.
Ou seja, 2 . A3,2 = 2 . 30 = 60 dias.
Conclusão:
São necessários 60 dias para fabricar 2 Jepps de 2 portas.
 
		5.
		Seja A uma matriz 2x4 e B uma matriz 4x3, então o produto A.B = C é uma matriz do tipo:
	
	
	
	3 x 3
	
	
	4 x 3
	
	
	4 x 2
	
	
	1 x 1
	
	
	2 x 3
	
Explicação:
A fim de efetuar o produto entre a matriz A e a matriz B, devemos ter o número de colunas da matriz A igual ao número de linhas da matriz B.
No caso A possui 4 colunas e B possui 4 linhas!
A matriz resultante terá o número de linhas de A (2 linhas) e o número de colunas de B (3 colunas), ou seja, a matriz resultante C é uma matriz 2 por 3 (2 x 3).
		6.
		Seja A uma matriz 3x3 e B uma matriz 3x1, então o produto A.B = C é uma matriz do tipo:
	
	
	
	1 x 4
	
	
	3 x 3
	
	
	3 x 1
	
	
	3 x 4
	
	
	1 x 1
	
Explicação:
A fim de efetuar o produto entre a matriz A e a matriz B, devemos ter o número de colunas da matriz A igual ao número de linhas da matriz B.
No caso A possui 3 colunas e B possui 3 linhas!
A matriz resultante terá o número de linhas de A (3 linhas) e o número de colunas de B (1 coluna), ou seja, a matriz resultante C é uma matriz 3 por 1 (3 x 1).
		7.
		Dado que a A é uma matriz 2 x 4 e B é uma matriz 4 x 1, então o produto A . B = C é uma matriz do tipo:
	
	
	
	4 x 1
	
	
	2 x 2
	
	
	4 x 4
	
	
	2 x 1
	
	
	2 x 4
	
Explicação:
Para efetuar um produto entre a matriz A e a matriz B, devemos ter o número de colunas (p) da matriz A igual ao número de linhas (p) da matriz B.
Am,p . Bp,n = Cm.n
Temos no exercício que A . B = C => A2,4 . B 4,1 = C2,1.
C é uma matriz 2 por 1 (2 x 1).
		8.
		Qual alternativa abaixo representa a matriz simétrica de A = ⎡⎢⎣ 211111112⎤⎥⎦[ 211111112]?
	
	
	
	⎡⎢⎣ 211111112⎤⎥⎦[ 211111112]
	
	
	[ 0][ 0]
	
	
	⎡⎢⎣ 112111211⎤⎥⎦[ 112111211]
	
	
	⎡⎢⎣ 212111212⎤⎥⎦[ 212111212]
	
	
	⎡⎢⎣ 100010001⎤⎥⎦[ 100010001]
	
Explicação:
Matriz simétrica é uma matriz onde A = At , ou seja, a matriz A é igual a sua transposta. 
Assim, as linhas são transformada em colunas para encontrar a transposta.
Conclusão:
Sendo A = ⎡⎢⎣ 211111112⎤⎥⎦[ 211111112], a sua simétrica também será ⎡⎢⎣ 211111112⎤⎥⎦[ 211111112].
 
		1.
		Dada a matriz A = [ 2111][ 2111]
determinar uma matriz X de ordem 2 de modo que AX = I2
	
	
	
	[ 1112][ 1112]
	
	
	[ −11−1−2][ −11−1−2]
	
	
	[ 11−1−2][ 11−1−2]
	
	
	[ −1−1−1−2][ −1−1−1−2]
	
	
	[ 1−1−12][ 1−1−12]
	
Explicação:
A= [ 2111][ 2111]       X = [ abcd][ abcd] I = [ 1001][ 1001]
Ax = I2
[ 2111][ 2111]. [ abcd][ abcd] = [ 1001][ 1001]. [ 1001][ 1001]
Multiplicando teremos:
[ 2a+a2b+da+ab+d][ 2a+a2b+da+ab+d] = [ 1001][ 1001]
Assim, podemos montar as equações:
1)2a + c => 1 +> c = 1 - 2a....................................... c = 1 - 2(1) => c = -1
2)a + c = 0  .................... a + (1- 2a) = 0 => a = 1
3)b + d = 1 => d = 1 - b..........................................d = 1 - (-1) => d = 2
4)2b + d = 0 ................ 2b + (1 - b) = 0 => b = -1
Dessa forma, a matriz é [ 1−1−12][ 1−1−12]
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Dado que a matriz A abaixo é a inversa de uma matriz B, então o det(B) é:
	
	
	
	20
	
	
	1/20
	
	
	1/8
	
	
	-1/14
	
	
	8
	
Explicação:
Utilizando a propriedade:
det (A-1) = 1 / det A
det (A-1) = 8
Logo det A = 1 / 8
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Se B é a matriz inversa de A, então sobre o produto AxB é correto afirmar que
	
	
	
	gera uma matriz nula
	
	
	gera uma matriz identidade de mesma ordem de A
	
	
	gera a própria matriz A
	
	
	gera a transposta de A
	
	
	gera uma matriz triangular superior
	
Explicação:
Se B é a matriz inversa de A, então sobre o produto AxB é correto afirmar que
A*B = B*A = In 
Onde In é a matriz identidade de ordem n.
	
	
	
	 
		
	
		4.
		A soma de todos os elementos de uma matriz quadrada A de ordem 2 é igual a 100. Podemos afirmar que a soma de todos os elementos da matriz 2A é igual a :
	
	
	
	300
	
	
	200
	
	
	100
	
	
	400
	
	
	500
	
Explicação:
Quando multiplicamos um número real K por uma matriz A do tipo m x n, encontramos para resultado uma matriz do tipo m x n, que representaremos por KA, obtida multiplicando K por cada elemento da matriz A.
Dessa forma a soma dos elementos passa a ser 100 . 2 = 200
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Determine a matriz inversa da matriz quadrada A de ordem 2. 
 
[ 2111][ 2111]
 
	
	
	
	[ 1001][ 1001]
	
	
	[ −1−1−1/2−1/2][ −1−1−1/2−1/2]
	
	
	[ −1−2−1/2−1/2][ −1−2−1/2−1/2]
	
	
	[ 2111][ 2111]
	
	
	[−200−2][−200−2]
	
Explicação:
Para determinar a matriz inversa de uma matriz quadrada A de ordem n, basta descobrir uma matriz B tal que a multiplicação entre elas tenha como resultado uma matriz identidade de ordem n. 
A*B = B*A = In 
[ 1−4−12][ 1−4−12]  *  [ abcd][ abcd] = [ 1001][ 1001]
 
[ a−4cb−4d−a+2c−b+2d][ a−4cb−4d−a+2c−b+2d] = [ 1001][ 1001]
Equação 1:
{a−4c=1−a+2c=0{a−4c=1−a+2c=0
-----------------------
          -2c = 1 => c = -1/2. Logo,  -a + 2c = 0 => -a + 2(-1/2) = 0 => -a -1 = 0 => a = -1.
Equação 2:
{b−4d=0−b+2d=1{b−4d=0−b+2d=1
---------------------
          -2d = 1 => d = -1/2. Logo, b - 4d = 0 => b = 4d => b = 4(-1/2) => b = -2.
 
Conclusão:
A inversa da matriz A= [ 1−4−12][ 1−4−12]  é  [ −1−2−1/2−1/2][ −1−2−1/2−1/2] .
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Qual é a matriz X tal que:
(5141).x=(97)(5141).x=(97)
	
	
	
	X=(−21)X=(-21)
	
	
	X=(21)X=(21)
	
	
	X=(−12)X=(-12)
	
	
	X=(−2−1)X=(-2-1)
	
	
	X=(2−1)X=(2-1)
	
Explicação:
Só podemos multiplicar duas matrizes quando o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda matriz.
A matriz produto terá o número de linhas da primeira matriz e o número de colunas da segunda matriz.
No caso temos uma matriz 2x2 e a matriz produto 2x1 o que nos leva a concluir que a matriz x é do tipo 2x1, que hipoteticamente tem os elementos X1 e X2.
Neste caso temos então que:
5X1 + X2 = 9
4X1 + X2 = 7
Resolvendo o sistema X1 = 2 e X2 = -1
	
	
	
	 
		
	
		7.
		As matrizes A=[1m13][1m13] e B=[p−2−11][p-2-11] são inversas.Calcule os valores de m e p.
	
	
	
	m=1 e p=2
	
	
	m=3 e p=1
	
	
	m=2 e p=1
	
	
	m=2 e p=3
	
	
	m=3 e p=2
	
Explicação:
Seja A uma matriz quadrada de ordem n, e X uma matriz tal que A.X = In e X.A = In. Caso isso ocorra, denominamos a matriz X de matriz inversa de A, tendo como notação A(-1).
Como temos como resultante do produto a matriz identidade podemos então estabelecer que:
1 . (-2) + m . 1 = 0  que nos leva a m = 2
1 . p + 3 . (-1) = 0   que nos leva a p = 3
 
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Considere que o valor de um determinante é 24. Se dividirmos a 3ª linha por 6 e multiplicarmos a 3ª coluna por 4, o novo determinante valerá:
	
	
	
	24
	
	
	96
	
	
	16
	
	
	12
	
	
	4
	
Explicação:
Quando se multiplica (ou se divide) uma fila de um determinante por um número, o novo determinante fica multiplicado (ou dividido) por esse número.
No caso temos:
(24 / 6) . 4 = 16
 
	
	
	
		1.
		Carlos e sua irmã Andreia foram com seu cachorro Bidu à farmácia de seu avô. Lá encontraram uma velha balança com defeito que só indicava corretamente pesos superiores a 60 kg. Assim eles se pesaram dois a dois e obtiveram as seguintes marcas: Carlos e o cão pesam juntos 87 kg; Carlos e Andreia pesam 123 kg; e Andreia e Bidu pesam 66 kg. Podemos afirmar que:
	
	
	
	Andreia é a mais pesada dos três.
	
	
	Dois deles pesam mais que 60 kg.
	
	
	Cada um deles pesa menos que 60 kg.
	
	
	O peso de Andreia é a média aritmética dos pesos de Carlos e Bidu.
	
	
	Carlos é mais pesado que Andreia e Bidu juntos.
	
	
	
	 
		
	
		2.
		De acordo com a classificação de um sistema de equações lineares, qual alternativa abaixo é verdadeira?
	
	
	
	Sistema Possível e Indeterminado (SPI) possui apenas uma única solução.
	
	
	Sistema Possível e Determinado(SPD) possui infinitas soluções.
	
	
	Sistema Possível e Determinado(SPD) possui apenas uma única solução.
	
	
	Sistema Impossível (SI) possui apenas uma única solução.
	
	
	Sistema Possível e Indeterminado (SPI) não possui  solução.
	
Explicação:
Classifica-se um sistema linear de acordo com o tipo de solução. De forma geral, um sistema de equações lineares pode ser classificado como:
· Sistema Possível e Determinado (SPD): possui apenas uma única solução.
· Sistema Possível e Indeterminado (SPI): possui infinitas soluções.
· Sistema Impossível (SI): não possui solução.
Conclusão:
A resposta correta é o Sistema Possível e Determinado (SPD) possui apenas uma única solução.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Sabendo-se que, em uma lanchonete, 2 sanduíches e 1 refrigerante custam R$ 12,60 e 1 sanduíche e 2 refrigerantes custam R$ 10,20. Quanto custa 1 sanduíche e 1 refrigerante?
	
	
	
	R$ 9,80
	
	
	R$ 6,50
	
	
	R$ 8,70
	
	
	R$ 7,60
	
	
	R$ 5,40
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Coma base na matriz ampliada a seguir indique a alternativa que representa as equações correspondentes?
⎡⎢⎣1111113−2124−3⎤⎥⎦[1111113-2124-3]
	
	
	
	x + 2y + z = 6
x + 2y + 3z = 3
2x + 3y + 4z = -2
	
	
	x + y + z = 1
x + y + 3z = -2
x + 2y + 4z = -3
	
	
	x + y + z = -5
2x + 2y + 3z = 6
3x + 3y + 4z = -5
	
	
	x + y + 4z = -5
3x + 2y + 3z = 6
x + 3y + 4z = -4
	
	
	2x + y + z = 3
x + y + 3z = 4
x+ 3y + z = -5
	
Explicação:
Cabe observar que a matriz ampliada deve ser obtida com o acréscimo de uma coluna, com os termos independentes, à matriz dos coeficientes.
Dessa forma podemos estruturar as seguintes equações:
x + y + z = 1
x + y + 3z = -2
x + 2y + 4z = -3
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Um sistema linear está associado a uma equação matircial conforme a descrição na figura abaixo.
Com base na definição acima, assinale a afirmativa verdadeira.
	
	
	
	O "A" é denominado de matriz ampliada e o "X" vetor dos termos independentes.
	
	
	O "X" é denominado de matriz ampliada e o "b" de matriz dos coeficientes.
	
	
	O "X" é denominado o vetor dos termos independente e o "b"vetor das incógnitas.
	
	
	O "A" é denominado de matriz ampliada e o "X" matriz dos coeficientes.
	
	
	O "A" é denominado de matriz dos coeficientes e o "b" o vetor dos termos independentes.
	
Explicação:
Solução:
A forma matricial da figura apresenta é um sistema linear com "m" equações e "n" incógnitas fica representado pelo equação matricial AX=B.
Assim, a matriz "A" é denominada de matriz dos coeficientes, "X"é o vetor das incógnitas e 'b" vetor dos termos independentes.
Conclusão:
O "A" é denominado de matriz dos coeficientes e o "b" o vetor dos termos independentes.
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Perguntado sobre a idade de seu filho Júnior, José respondeu o seguinte: "Minha idade quando somada à idade de Júnior é igual a 47 anos; e quando somada à idade de Maria é igual a 78 anos. As idades de Maria e Júnior somam 39 anos." Qual a idade de Júnior?
	
	
	
	4 anos
	
	
	5 anos
	
	
	6 anos
	
	
	2 anos
	
	
	3 anos
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Coma base na matriz ampliada abaixo, qual opção representa as suas equações ?
⎛⎜⎝2−13511−123250⎞⎟⎠(2−13511−123250)
	
	
	
	2x + y + 3z + 5 
-x + y + 2z + 2 
3x -y + 5z +0 
	
	
	A.A-1 = I
	
	
	2x - y + 3z = 5
x + y - z = 2
3x + 2y + 5z = 0
 
	
	
	6x + 2y + 7z = 7
	
	
	2x + y + 3z = 5
-x + y + 2z = 2
3x -y + 5z = 0
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Coma base na matriz ampliada abaixo, qual opção representa as suas equações ?
⎛⎜⎝11131230134−2⎞⎟⎠(11131230134−2)
	
	
	
	x+y+z = 3
x+2y+3z = 0
x+3y+4z = -2
	
	
	3x = 3
6y = 0
8z = -2
 
	
	
	2y+x+z = 3
2y+2x+3z = 0
y+3x+4z = -2
	
	
	x+y+z = 0
x+2y+3z = 0
x+3y+4z = 0
	
	
	x+y+z
x+2y+3z
x+3y+4z
	
Explicação:
A matriz ampliada é obtida quando você acrescenta a matriz dos coeficientes uma coluna com os termos independentes.
Assim, na mariz apresentada ⎛⎜⎝11131230134−2⎞⎟⎠(11131230134−2), os elementos 3, 0 e -2 da última coluna são os termos independentes.
Conclusão:
Com base na matriz ampliada acima, podemos montar as seguintes equações:
x+y+z = 3
x+2y+3z = 0
x+3y+4z = -2
		1.
		O determinante de um produto de duas matrizes é igual...
	
	
	
	Ao produto de seus determinantes.
	
	
	Sempre será igual a zero.
	
	
	Ao quociente de seus determinantes.
	
	
	A soma de seus determinantes.
	
	
	A diferença de seus determinantes.
	
Explicação: O determinante de um produto de duas matrizes é igual ao produto de seus determinantes.
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Dada as equações lineares:
x + y = 4
x + y = -4
Qual afirmativa abaixo está correta?
	
	
	
	São duas retas paralelas e  sua matriz ampliada é (11411−4)(11411−4).
	
	
	São duas curvas e sua matriz ampliada é (10401−4)(10401−4).
	
	
	 
A primeira é uma reta , a segunda uma curva e sua matriz ampliada é (400−4 )(400−4 ).
	
	
	São duas retas perpendiculares e sua matriz ampliada é (1001 )(1001 ).
	
	
	São duas retas perpendiculares e  sua matriz ampliada é (10401−4)(10401−4).
	
Explicação:
Com base nas equações:
 x + y = 4
x + y = -4
E, na equação x + y = 4, para x=0 obtemos y = 4 e o par (x,y) = (0,4). E , para y=0 obtemos x=4 e o par (x,y)=(4,0).
E, na equação x + y = -4, para x = 0 obtemos y = -4 e o par (x,y) = (0,-4). para y=0 obtemos x=-4 e o par (x,y)=(-4,0).
Pode-se chegar as seguintes retas:
Conclusão:
São duas retas paralelas e  sua matriz ampliada é (11411−4)(11411−4).
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Se A e B são matrizes quadradas tais que AxB seja possível, e que det(A) = 3 e det(B) = 5, então o det (AxB) será:
	
	
	
	3/5
	
	
	5/3
	
	
	2
	
	
	15
	
	
	8
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Com base nas equações a seguir:
x + y = 5
x - y = -7
Qual alternativa abaixo representa a matriz ampliada e a matriz escalonada, respectivamente?
	
	
	
	   (1100−10 )(1100−10 )  e (1101−10 )(1101−10 )
	
	
	(1151−1−7 )(1151−1−7 )  e   (115016 )(115016 )
	
	
	   (1100−20 )(1100−20 )  e (1101−10 )(1101−10 )
	
	
	(1151−1−7 )(1151−1−7 )   e   (100010 )(100010 )
	
	
	   (1110−20 )(1110−20 )  e (1101−10 )(1101−10 )
	
Explicação:
Equações:
x + y = 5
x - y = -7
A matrizampliada das equaçõs acima é represenada por:
(1151−1−7 )(1151−1−7 )   
 
A matriz escalonada da matriz ampliada acima é cálculada da seguinte forma:
(1151−1−7 )(1151−1−7 )   L2 = L2 - L1 .....   L2 = 1 -1 = 0.    L2 = -1 - 1 = -2.    L2 = -7 - 5 = -12.
Assim, ficamos com : (1150−2−12 )(1150−2−12 ) .   L2 = L2 / -2.
 Com isso, temos: (115016 )(115016 )
Conclusão:
A matriz ampliada e a matriz escalonada são respectivamente:
(1151−1−7 )(1151−1−7 )  e   (115016 )(115016 ).
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Considere que o valor de um determinante é 36. Se dividirmos a 2ª linha por 6 e multiplicarmos a 1ª coluna por 4, o novo determinante valerá:
	
	
	
	24
	
	
	144
	
	
	6
	
	
	36
	
	
	4
	
Explicação:
Quando se multiplica (ou se divide) uma fila de um determinante por um número, o novo determinante fica multiplicado (ou dividido) por esse número.
No caso temos:
(36 / 6) . 4 = 24
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Considerando o triângulo de Pascal da figura abaixo, é correto afirmar que o valor de X será:
	
	
	
	18
	
	
	17
	
	
	21
	
	
	20
	
	
	19
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Considere que o valor de um determinante é 18. Se dividirmos a 1ª linha por 6 e multiplicarmos a 3ª coluna por 4, o novo determinante valerá:
	
	
	
	18
	
	
	12
	
	
	27
	
	
	24
	
	
	3
	
Explicação:
Quando se multiplica (ou se divide) uma fila de um determinante por um número, o novo determinante fica multiplicado (ou dividido) por esse número.
No caso temos:
(18 / 6) . 4 = 12
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Sejam A e B matrizes de ordem n tais que Det A = 3 e Det B = 5 , podemos afirmar que o Det (AB) é igual a :
	
	
	
	-2
	
	
	2
	
	
	4
	
	
	8
	
	
	15
		1.
		Considere os vetores u = (-1, -2, 3, -4, 5) e v = (6, 7, -8, 9, -10). Então o vetor u + v vale:
	
	
	
	(5, -5, -5, -5, 5)
	
	
	(5, -5, 11, -13, 15)
	
	
	(7, -5, 5, 5, -15)
	
	
	(7, 9, 11, -5, 15)
	
	
	(5, 5, -5, 5, -5)
	
Explicação:
Se u = (u1, u2, u3, u4, u5) e v = (v1, v2, v3, v4, v5) então u + v = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3, u4 + v4, u5 + v5)
u + v = (5, 5, -5, 5, -5)
	
	
	 
		
	
		1.
		Qual dos vetores abaixo é uma combinação linear do vetor v = (1, 2, -3)?
	
	
	
	u = (3, 10, -15)
	
	
	u = (-2, -4, 6)
	
	
	u = (-1, 2, 3)
	
	
	u = (-3, 8, 9)
	
	
	u = (4, 8, -9)
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Resolva o sistema linear, utilizando a técnica de escalonamento.
  x  +  y  -   z =  0
  x - 2y + 5z = 21
4x +  y + 4z = 31
 
	
	
	
	S = { (0, 1, 2) }
	
	
	S = { (5, 3, 1) }
	
	
	S = { (1, 3, 2) }
	
	
	S = { (6, 2, 5) }
	
	
	S = { (2, 3, 5) }
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Se os vetores u = (1, 2, -1) e v = (3, k, -3) são Linearmente Independentes, então:
	
	
	
	k é maior que 6
	
	
	K é diferente de 6
	
	
	k é par
	
	
	k = 6
	
	
	k é menor que 6
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Para que valor de m os vetores (2,5,7), (m,1,0) e (1,1,2) são LD?
	
	
	
	2
	
	
	1
	
	
	0
	
	
	-1
	
	
	3
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Após dispor os vetores como linhas de uma matriz A e seguindo a forma prática de descobrir se um vetor é Linearmente Independente(LI) ou Linearmente Dependente(LD), qual afirmativa abaixo indica que um vetor é LI?
	
	
	
	Se a matriz A dos vetores não for quadrada e  o posto de A > = número de vetores envolvidos.
	
	
	Se a matriz A dos vetores for quadrada e o det(A) =0.
	
	
	Se posto A = 0 e o det(A) = 0.
	
	
	Se a matriz A dos vetores não for quadrada e o det(A) ≠≠0.
	
	
	Se a matriz A dos vetores não for quadrada e o posto de A < número de vetores envolvidos.
	
Explicação:
Conclusão:
Se a matriz A dos vetores não for quadrada e  o posto de A > = número de vetores envolvidos.
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Quais os valores dos escalares para que o vetor v = (-4, -18, 7) seja combinação linear dos vetores v1 = (1, -3, 2) e v2 = (2, 4, -1).
	
	
	
	2 e 3
	
	
	-3 e -2
	
	
	-2 e 3
	
	
	2 e -3
	
	
	2 e 4
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Após dispor os vetores como linhas de uma matriz A e seguindo a forma prática de descobrir se um vetor é Linearmente Independente(LI) ou Linearmente Dependente(LD), qual afirmativa abaixo indica que um vetor é LI?
	
	
	
	Se a matriz A dos vetores não for quadrada e o posto de A = 0.
	
	
	Posto de A = 0 e det(A) =0.
	
	
	Se a matriz A dos vetores for quadrada e o det(A) =0.
	
	
	Se a matriz A dos vetores for quadrada e o det(A) ≠≠ 0.
 
	
	
	Se a matriz A dos vetores não for quadrada e o posto de A < número de vetores envolvidos.
	
Explicação:
Conclusão:
Se a matriz A dos vetores for quadrada e o det(A) ≠≠ 0.
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Com base na vetor M = {[10],[01],[11][10],[01],[11]} , qual alternativa abaixo é verdadeira?
	
	
	
	A vetor M é LI(Linearmente Independente).
	
	
	A vetor M é LD(Linearmente Dependente).
	
	
	A vetor M é base R2.
	
	
	Dim(M) = 6.
	
	
	A vetor M é base R3.
	
Explicação:
Podemos perceber que dos três elementos, um  é combinação linear dos outros dois.
 
[11][11] = [10][10]  + [01][01].
Se fizermos uma operação de adição nas matrizes da direita [10][10]  + [01][01] , nós chegaremos a matriz da esquerda [11][11].
Isto é, 
1 + 0 = 1  e
0 + 1 = 1. 
Conclusão:
O vetor M = {[10],[01],[11][10],[01],[11]}  é LD(Linearmente Dependente), pois um é combinação dos outros dois.
	
	
	 
		
	
		2.
		Determine o valor de a para que o vetor u = (-1,a,-7) seja combinação linear dos vetores de S = {(1,-3,2),(2,4,-1)}.
	
	
	
	a = 16
	
	
	a = 14
	
	
	a = 15
	
	
	a = 17
	
	
	a = 13
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Se u = ( x, 5, 11),  v = (1, -3, z) e w = (1, y, 5), os  seus  escaleres  x, y e z para a operação w + v =  2u  são respectivamente ?
	
	
	
	x = 0, y = 2 e z =16.
	
	
	x = 1, y = -13 e z = 1.
	
	
	x = 1, y = 5 e z = 11.
	
	
	x = 1, y =-13 e z =1.
	
	
	x = 1, y =13 e z = 17.
	
Explicação:
Sendo
w + v =  2u.
(1, y, 5) + (1, -3, z) = 2(x, 5, 11).
(1, y, 5) + (1, -3, z) = (2x, 10, 22)
1 + 1 = 2x => x = 1.
Y - 3 = 10 => y = 10 + 3 => y = 13.
5 + z = 22 => z = 22 - 5 => z = 17.
Conclusão:
Os valores escalares são x = 1, y = 13 e z = 17.
 
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Qual dos vetores abaixo não é uma combinação linear do vetor v=(2,4,8)?
	
	
	
	(20,40,80)
	
	
	(1,2,4)
	
	
	(8,16,32)
	
	
	(20,40,90)
	
	
	(4,8,16)
	
	
	
	 
		
	
		5.
		As matrizes A(3x5), B(mxn) e C(mx4) são tais que a operação A x (B + C) é possível. Nessas condições, é CORRETO afirmar que o valor de m é:
	
	
	
	6
	
	
	5
	
	
	2
	
	
	3
	
	
	4
	
	
	
	 
		
	
		6.
		No sistema linear homogêneo temos:
	
	
	
	sempre soluções infinitas e portanto ele é SPI
	
	
	soluções vazias, portanto o sistema é impossível (SI)
	
	
	a solução trivial quando ele é sistema possível indeterminado (SPI)
	
	
	a solução trivial quando ele é sistema possível determinado (SPD)
	
	
	sempre soluções infinitas e portanto ele é SPD
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Considere os vetores u = (1, 2, 3, 4, 5) e v = (-6, -7, 8, 9, 10) de R5. Então o vetor u + v vale:
	
	
	
	(7, -5, 5, 5, -15)
	
	
	(5, -5, 11, -13, 5)
	
	
	(-5, -5, 11, 13, 15)
	
	
	(5, -5, -5, -5, 5)
	
	
	(7, 9, 11, -5, 15)
	
Explicação:
Se u = (u1, u2, u3, u4, u5) e v = (v1, v2, v3, v4, v5) então u + v = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3, u4 + v4, u5 + v5)
u + v = (-5, -5, 11, 13, 15)
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Considere os vetores u = (1, 2, 3, 4, 5) e v = (6, 7, -8, 9, -10) de R5. Então o vetor u + v vale:
	
	
	
	(5, -5, -5, -5, 5)
	
	
	(7, -5, 5, 5, -15)
	
	
	(7, 9, 11, -5, 15)
	
	
	(7, 9, -5, 13, -5)
	
	
	(5, -5, 11, -13, 15)
	
Explicação:
Se u = (u1, u2, u3, u4, u5) e v = (v1, v2, v3, v4, v5) então u + v = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3, u4 + v4, u5 + v5)
u + v = (7, 9, -5, 13, -5)
	
	
	
		1.
		
Qual opção a seguir é verdadeira em relação a afirmativa acima?
	
	
	
	O vetor V é somente LI(LinearmenteIndependente).
	
	
	O vetor V é LD(Linearmente Dependente) e Det(V) = 0.
	
	
	O vetor V é LD(Linearmente Dependente) e V gera V.
	
	
	O vetor V é LI(Linearmente Independente) e V gera V.
	
	
	Det(V) = 0 e V gera V.
	
Explicação:
Para ser uma base do espaço vetorial, o  vetor de V deve ser escrito por uma combinação linear dos vetores v1, v2, ..., vn .
Assim, o conjunto V = {v1, v2, ..., vn} é uma base do espaço vetorial V quando:
· O conjunto V é LI(Linearmente Independente).
· o conjunto formado por todas as combinações lineares de v1, v2, ..., vn = V, ou seja,  V gera V.
Conclusão:
Para ser base o vetor V deve ser LI(Linearmente Independente) e V gera V.
 
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Determine a imagem do vetor v = (1, -2) pela Transformação Linear T(x,y) = (8x + 3y, x - y).
	
	
	
	(1,2)
	
	
	(1, 8)
	
	
	(3,5)
	
	
	(2,4)
	
	
	(2,3)
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Determine a imagem do vetor v = (2, 7) pela Transformação Linear T(x,y) = (2x - 2y, 4x - y).
	
	
	
	(-11, 2)
	
	
	(12,-7)
	
	
	(12,-3)
	
	
	(-10,1)
	
	
	(11,-2)
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Com base no conceito de dimensão do Espaço Vetorial, define-se que qualquer base de um espaço vetorial tem sempre o mesmo número de vetores. Podemos representar a dimensão de V por dim V = n.
Dentro desse conceito, assinale nas opções abaixo a dimensão de V = R3 / {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} ?
	
	
	
	0.
	
	
	(1,0,0).
	
	
	3
	
	
	1
	
	
	2.
	
Explicação:
Dimensão(dimensão finita) é o número de vetores de V, ou seja, o número de elementos de um espaço vetorial.
Por exemplo: em R2 eu tenho dois vetores e em R3 eu tenho três vetores.
Conclusão:
V = R3 / {(1,0,0), (0,1,0),  (0,0,1)} , nós temos dim V = 3.
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Determine a imagem do vetor v = (2, -5) pela Transformação Linear T(x,y) = (x + 3y, x - 5y).
	
	
	
	(13,27)
	
	
	(-13,-27)
	
	
	(-13,27)
	
	
	(13,-27)
	
	
	(-12,26)
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Determine a imagem do vetor v = (2, 5) pela Transformação Linear T(x,y) = (5x + 3y, 3x +5y).
	
	
	
	(22,34)
	
	
	(25,31)
	
	
	(25,33)
	
	
	(21,32)
	
	
	(21,28)
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Com base no conceito de dimensão do Espaço Vetorial, define-se que qualquer base de um espaço vetorial tem sempre o mesmo número de vetores. Podemos representar a dimensão de V por dim V = n.
Dentro desse conceito, assinale nas opções abaixo a dimensão de V = R2 / {(1,0), (0,1), (1,1), (0,1)} ?
	
	
	
	4
	
	
	(1,1)
	
	
	2
	
	
	0
	
	
	3
	
Explicação:
Dimensão(dimensão finita) é o número de vetores de V, ou seja, o número de elementos de um espaço vetorial.
Por exemplo: em R2 eu tenho dois vetores e em R3 eu tenho três vetores.
Conclusão:
V = R2 / {(1,0), (0,1), (1,1), (0,1)} , nós temos dim V = 2.
 
 
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Com base no conceito de geometria espacial, assinale a opção que identifica um vetor  que representa, na geometria espacial do conjunto  ,  todos os vetores no espaço.
	
	
	
	→v=→a+→b+→cv→=a→+b→+c→
	
	
	v = ax + by + cz
	
	
	→v=a→i+b→jv→=ai→+bj→
	
	
	x = a - b
	
	
	→v=a→i+b→j+c→kv→=ai→+bj→+ck→
	
Explicação:
Conclusão:
→v=a→i+b→j+c→k
	
	 
		
	
		1.
		Determine a imagem do vetor v = (-2, 1, -1) pela Transformação Linear T(x,y,z) = (2x, y+z, x - y - z).
	
	
	
	(4, -3, -2)
	
	
	(2, 0, -3)
	
	
	(-4, 1, 2)
	
	
	(-1, 0, 1)
	
	
	(-4, 0, -2)
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Determine a imagem do vetor v = (2, -3) pela Transformação Linear T(x,y) = (x - 2y, 2x).
	
	
	
	(4, 6)
	
	
	(-2, 8)
	
	
	(-4, -6)
	
	
	(8,4)
	
	
	(8, -6)
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Determine a imagem do vetor v = (-2, 1, 2) pela Transformação Linear T(x,y,z) = (x+y, y+z, z+ x).
	
	
	
	(2, -1, 4)
	
	
	(1, 0, 4)
	
	
	(0, 2, 3)
	
	
	(-1, 3, 0)
	
	
	(1, 2, 1)
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Determine a imagem do vetor v = (-1, 2, 0) pela Transformação Linear T(x,y,z) = (z, 0, x).
	
	
	
	(2, 0, 1)
	
	
	(1, 0, -1)
	
	
	(0, 1, 1)
	
	
	(0, 0, -1)
	
	
	(0, 0, 0)
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Determine a imagem do vetor v = (1, -2, 1) pela Transformação Linear T(x,y, z) = (x+y+2z, 2x - y, 0).
	
	
	
	(1, 1, 2)
	
	
	(-1, 2, 0)
	
	
	(-2, 4, 0)
	
	
	(2, 3, 0)
	
	
	(1, 4, 0)
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Determine a imagem do vetor v = (-1, 2) pela Transformação Linear T(x,y) = (-2y, 0).
	
	
	
	(2,2)
	
	
	(0, -2)
	
	
	(2,0)
	
	
	(0,0)
	
	
	(-2, 2)
	
		1.
		Qual é o valor do determinante 3x3 a seguir:
2  3   5
4 -2  0
1 0  0
	
	
	
	11
	
	
	-14
	
	
	6
	
	
	10
	
	
	9
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Calcule os valores de x, y e z nos sistemas e responda qual o valor de x + y + z?
	
	
	
	0
	
	
	8
	
	
	6
	
	
	2
	
	
	11
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Considere no espaço vetorial R3 os vetores u = (1, 2, 1), v = (3, 1, -2) e w = (4, 1, 0). Marque a alternativa que indica a solução da equação 3u + 2x = v + w.
	
	
	
	x = (2, -2, 0)
	
	
	x = (2, -2, -5/2)
	
	
	x = (2, -2, -5)
	
	
	x = (-2, 2, 5/2)
	
	
	x = (-5/2, -2, -2)
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Sabe-se que uma matriz A3x3 é formada por elementos aij, tais que aij=i2/j.
Em relação ao determinantes da matriz A é correto afirmar que:
	
	
	
	det(A)=1/4
	
	
	det(A)=1/9
	
	
	det(A)=-1
	
	
	det(A)=0
	
	
	det(A)=1
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Considere no espaço vetorial R3 os vetores u = (1, 2, 1), v = (3, 1, -2) e w = (4, 1, 0). Marque a alternativa que indica a solução da equação 3u + 2x = v + w.
	
	
	
	x = (-2, 2, 5/2)
	
	
	x = (2, -2, 0)
	
	
	x = (-5/2, -2, -2)
	
	
	x = (2, -2, -5)
	
	
	x = (2, -2, -5/2)
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Se duas linhas (colunas) de A são iguais, então det(A) = ?
	
	
	
	0
	
	
	2
	
	
	-2
	
	
	-1
	
	
	1
	
	 
		
	
		1.
		Determine a imagem do vetor v = (4, 1) pela Transformação Linear T(x,y) = (6x -y, 3x +5y).
	
	
	
	(23,17)
	
	
	(31,25)
	
	
	(21,31)
	
	
	(11,22)
	
	
	(21, 28)
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Determine a imagem do vetor v = (3, 4) pela Transformação Linear T(x, y) = (x - y, 3x + y).
	
	
	
	(-7, 13)
	
	
	(1, 4)
	
	
	(-7, 4)
	
	
	(-1, 13)
	
	
	(-1, 9)
	
Explicação:
x - y = 3 - 4 = -1
3x + y = 3.3 + 4 = 13
(-1, 13)
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Seja T (x, y) = (5x, -2y - 3x) uma transformação linear T:R2→R2. Determine a imagem do vetor v = (5, 1).
	
	
	
	(5, -13)
	
	
	(25, -2)
	
	
	(25, -15)
	
	
	(5, - 17)
	
	
	(25, -17)
	
Explicação:
5x = 5.5 = 25
-2y - 3x = -2.1 - 3.5 = -17
(25, -17)
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Seja T (x, y) = (5x, -2y-3x) uma transformação linear T:R2→R2. Determine a imagem do vetor v = (3, 4).
	
	
	
	(15, -8)
	
	
	(-15, -9)
	
	
	(20, -9)
	
	
	(-20, -8)
	
	
	(15, -17)
	
Explicação:
5x = 5.3 = 15
-2y - 3x = -2.4 -3.3 = -17
(15, -17)
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Seja T (x, y) = (5x, -2y - 3x) uma transformação linear T:R2→R2. Determine a imagem do vetor v = (4, 1).
	
	
	
	(-12, 14)
	
	
	(-20, -12)
	
	
	(20, 12)
	
	
	(20, -14)
	
	
	(-12, -14)
	
Explicação:
5x = 5.4 = 20
-2y - 3x = - 2.1 - 3.4 = -14
(20, -14)
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Encontre o polinômio característico da matriz 2X2 abaixo:
1 3
2 4
	
	
	
	λ²-5λ+6
	
	
	λ²-3λ+2
	
	
	λ²-5λ-2
	
	
	λ²-5λ+4
	
	
	λ²-3λ+5
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Encontre o polinômio característico da matriz 2X2 abaixo:
4 3
2 1
	
	
	
	λ²-3λ+6
	
	
	λ²-3λ-3
	
	
	λ²-5λ+5
	
	
	λ²-3λ-4
	
	
	λ²-5λ-2
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Encontre o polinômio característico da matriz 2X2 abaixo:
3 1
1 2
	
	
	
	λ²-3λ+3
	
	
	λ²-2λ+2
	
	
	λ²-4λ+4
	
	
	λ²-5λ+2
	
	
	λ²-5λ+5