Questões resolvidas sobre Distribuição de Variáveis Aleatórias

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Distribuição de Variáveis Aleatórias 
 
Questão 6: Uma firma determina o sexo de pintos de um dia com 95% de 
probabilidade. 
a) Se comprarmos 5 pintinhos tidos como do sexo feminino, qual é a 
probabilidade de que pelo menos um seja macho? 
Considerando 𝑀 = 𝑚𝑎𝑐ℎ𝑜 e 𝐹 = 𝑓ê𝑚𝑒𝑎. A probabilidade de que pelo menos um seja 
macho é 𝑃(𝑀 ≥ 1). Ou seja, 
𝑃(𝑀 ≥ 1) = 𝑃(𝑀 = 1) + 𝑃(𝑀 = 2) + 𝑃(𝑀 = 3) + 𝑃(𝑀 = 4) + 𝑃(𝑀 = 5) 
Para simplificar os cálculos, a única ocorrência que não interessa é os 5 pintinhos serem 
fêmeas 𝑃(𝐹 = 5). 
Sabe-se também que a probabilidade total é igual a 1. Logo, 
Probabilidade total = Probabilidade de sucesso + Probabilidade de fracasso 
Nesse caso, a probabilidade de fracasso é a probabilidade de os cinco pintinhos serem 
fêmeas. Então, 
𝑃(𝐹 = 5) = (
5
5
) (0,95)5(0,05)0 = 0,7737809375 
Logo, a probabilidade de que pelo menos um seja macho é dada por 
1 − 0,7737809375 = 0,2262190625 
 
b) Quantos machos espera-se encontrar num lote de 500 pintinhos tidos como 
do sexo feminino? 
A firma determina o sexo de pintos de um dia com 95% de probabilidade. 
Isto significa que, para cada pinto, há 95% de chance de serem do sexo feminino e (100 −
95)% = 5% de chance de serem do sexo masculino. 
 
500 . 0,05 = 25 
Espera-se encontrar 25 machos. 
 
Questão 09: Se 𝑿~𝑩 (𝟏𝟔, 𝟎. 𝟕𝟓) determine: 
a) A média de 𝑿 
𝐸(𝑋) = 𝑛 . 𝑝 = 16 . 0,75 = 12 
b) A variância de 𝑿 
𝜎2 = 𝑛 . 𝑝 . (1 − 𝑝) = 16 . 0,75 . 0,25 = 3 
 
c) Se 𝒁 =
(𝑿−𝟏𝟐)
√𝟑
, calcule 𝑬(𝒁) e 𝑽(𝒁) 
𝑍 =
𝑋−12
√3
 .
√3
√3
=
√3(𝑋−12)
3
=
√3
3
𝑋 − 4√3 
 
Utilizando as propriedades de esperança, temos 
𝐸(𝑍) =
√3
3
 . 𝐸(𝑋) − 4√3 =
√3
3
 . 12 − 4√3 = 0 
Utilizando as propriedades de variância, temos 
𝑉(𝑍) = (
√3
3
)
2
. 𝑉(𝑋) =
3
9
 . 3 = 1 
 
Questão 10: Um determinado artigo é vendido em caixas a 8 u.m. por caixa. Sabe-se 
que 20% dos artigos vendidos apresentam algum defeito de fabricação. Um 
comprador faz a seguinte proposta: pede para poder amostrar, ao acaso, 10 artigos 
por caixa. Ele pagará, por caixa, 10 u.m. se nenhum dos artigos amostrados for 
defeituoso; 5 u.m. se um ou dois artigos amostrados forem defeituosos e 4 u.m. se 
três ou mais artigos da amostra forem defeituosos. O que é mais lucrativo para o 
vendedor: manter o seu preço de 8 u.m. por caixa ou aceitar a proposta do 
comprador? Mostre porquê. 
(Sugestão: considere a variável aleatória X = nº de artigos defeituosos, 
binominalmente distribuída, e utilize também a variável Y = valor pago por caixa). 
Sabe-se que um determinado artigo é vendido em caixas a 8 u.m por caixa e que a 
probabilidade de um item selecionado na caixa tenha defeito é de 20%. 
São três situações possíveis: 
1ª) Probabilidade de nenhum artigo ser defeituoso 
𝑃(𝑋 = 0) = (
10
0
) (0,20)0 ( 0,80)10 = 0,1073741824 
Caso isso ocorra o cliente paga 10 u.m, então 
𝐸(𝑌 = 10) = 0,1073741824 . 10 = 1,073741824 
2ª) Probabilidade de um ou dois artigos defeituosos 
𝑃(𝑋 = 1) + 𝑃(𝑋 = 2) 
𝑃(𝑋 = 1) = (
10
1
) (0,20)1(0,80)9 = 10 . 0,20 . 0,134217728 = 0,268435456 
𝑃(𝑋 = 2) = (
10
2
) (0,20)2(0,80)8 = 45 . 0,04 . 0,16777216 = 0,301989888 
𝑃(𝑋 = 1) + 𝑃(𝑋 = 2) = 0,268435456 + 0,301989888 = 0,570425344 
Nesse caso o cliente pagará 5 u.m, então 
𝐸(𝑌 = 5) = 0,570425344 . 5 = 2,85212672 
3ª) Probabilidade de três ou mais artigos defeituosos 
𝑃(𝑋 = 3) + 𝑃(𝑋 = 4) + 𝑃(𝑋 = 5) + ⋯ + 𝑃(𝑋 = 9) + 𝑃(𝑋 = 10) 
Para simplificar os cálculos, 
1 − 𝑃(𝑋 = 0) − 𝑃(𝑥 = 1) − 𝑃(𝑥 = 2) é a probabilidade de obter três ou mais artigos 
defeituosos. 
1 − 0,1073741824 − 0,268435456 − 0,301989888 = 0,3222004736 
Aqui o cliente pagará 4 u.m, então 
𝐸(𝑌 = 4) = 0,3222004736 . 4 = 1,2888018944 
Para o vendedor aceitar a proposta do comprador, a soma dos valores esperados pagos 
por caixa deveria superar o preço atual de 8 u.m. 
Somando os valores esperados pagos por caixa temos 
1,073741824 + 2,85212672 + 1,2888018944 = 5,2146704384 
Arredondando, 𝐸(𝑌) = 5,21 u.m. 
Como a probabilidade de que pelo menos um item na caixa seja defeituoso é muito alta, 
o vendedor não deve aceitar a proposta do cliente. 
 
Questão 15: Estima-se em 1% a proporção de canhotos numa população. Qual a 
probabilidade de termos pelo menos um canhoto numa classe de 30 alunos? 
A fórmula para se determinar a probabilidade de um dado número 𝑋 de sucessos em uma 
distribuição de Poisson é 
𝑃(𝑋 = 𝐾) =
𝑒−𝜆 . 𝜆𝐾
𝐾!
 
Em que 
𝜆 = 𝑛 . 𝑝 
Seja 𝑋 = nº de canhotos numa população 
Sabe-se que a probabilidade de ter canhotos numa população é 0,01. 
O valor de 
𝜆 = 30 . 0,01 = 0,3 
Queremos calcular a probabilidade de termos pelo menos um canhoto numa população 
𝑃(𝑋 ≥ 1) = 1 − 𝑃(𝑋 = 0). 
𝑃(𝑋 = 0) =
𝑒−0,3 . (0,3)0
0!
= 𝑒−0,3 = 0,7408182207 
𝑃(𝑋 ≥ 1) = 1 − 0,7408182207 = 0,2591817793 
Arredondando, temos que 
𝑃(𝑋 ≥ 1) = 0,2592 
 
Questão 17: O departamento de trânsito registrou num certo ano, numa 
determinada via pública, 30 acidentes fatais, com um movimento médio diário de 
200 veículos. Qual é a probabilidade de que num determinado mês, do próximo ano, 
ocorram 3 acidentes fatais? 
Seja 𝑋 = nº de acidentes fatais em um mês 
O número médio de acidentes fatais em um mês é 𝜆 =
30
12
= 2,5 
Vamos encontrar a probabilidade de num determinado mês, do próximo ano, ocorram 3 
acidentes fatais. 
𝑃(𝑋 = 3) =
𝑒−2,5. (2,5)3
3!
= 0,2137630172 
Arredondando, temos que 
𝑃(𝑋 = 3) = 0,2138 
 
Questão 19: Na fabricação de peças de determinado tecido aparecem defeitos ao 
acaso, um a cada 250m. 
a) Qual a probabilidade de que não haja defeitos na produção de 1 000m de 
tecido? 
Seja 𝑋 = nº de defeitos em um comprimento de 1 000m 
O número médio de defeitos em um comprimento de 1 000m é 𝜆 =
1000
250
= 4 
Vamos encontrar a probabilidade de que não haja defeitos na produção de 1 000m de 
tecido 
𝑃(𝑋 = 0) =
𝑒−4 . 40
0!
= 0,0183 
b) Se a produção diária é de 625m, num período de 80 dias de trabalho, em 
quantos desses dias poderemos esperar uma produção diária na qual não 
haja defeitos? 
Seja 𝑋 = nº de defeitos em uma produção diária num período de 80 dias de trabalho 
O número médio de defeitos em uma produção diária num período de 80 dias de trabalho 
é 𝜆 =
625
250
= 2,5. 
𝑃(𝑋 = 0) =
𝑒−2,5 . 2,50
0!
= 0,0820849986 
𝐸(𝑋 = 0) = 80 . 0,0820849986 = 6,5667998899 
Poderemos esperar 6,57 dias para uma produção diária sem defeitos. 
 
Questão 22: A observação dos pesos 𝑋, de um grande número de espigas de milho, 
mostrou que essa variável é normalmente distribuída com média 𝜇 =120𝑔 e desvio 
padrão 𝜎 = 10𝑔. Num programa de melhoramento genético da cultura do milho, 
entre outras características, uma linhagem deve satisfazer à condição 112 ≤ 𝑋 ≤ 140. 
Num programa envolvendo 450 linhagens, qual deve ser o número provável de 
linhagens que atende à essa condição? 
 
𝑋 = pesos espigas de milho → 𝑋 ~ 𝑁(120, 102) 
𝑃(112 ≤ 𝑋 ≤ 140) = 𝑃 (
112 − 120
10
≤ 𝑍 ≤
140 − 120
10
) = 𝑃(−0,8 ≤ 𝑍 ≤ 2) 
 
𝑃(𝑍 ≤ 2) − 𝑃(𝑍 ≤ −0,8) = 𝑃(𝑍 ≤ 2) − (1 − 𝑃(𝑍 ≥ 0,8)) 
= 0,9772 − (1 − 0,7881) 
= 0,9772 − 0,2119 
= 0,7653 
Espera-se que o número provável de linhagens que atenda à essa condição seja 
0,7653 . 450 = 344,385 
 
 
Questão 23: Sabe-se que o peso médio, em arrobas, de abate de bovinos é 
normalmente distribuído com média 18 e variância 2,25. Um lote de 5.000 cabeças, 
com essa característica, foi destinado ao frigorífico que abate só a partir de um peso 
mínimo W. Sabendo-se que foram abatidas 4.200 cabeças, pede-se: 
a) O número esperado de bovinos com peso entre 17 e 19 arrobas. 
𝑋 = peso médio, em arrobas, de abate de bovinos → 𝑋 ~ 𝑁(18, 2.25) 
𝑃(17 < 𝑋 < 19) = 𝑃 (
17 − 18
1,5
< 𝑍 <
19 − 18
1,5
) = 𝑃(−0, 6 < 𝑍 < 0, 6 ) 
 
𝑃(𝑍 < 0, 6 ) − 𝑃(𝑍 < −0, 6 ) = 𝑃(𝑍 < 0, 6 ) − (1 − 𝑃(𝑍 > 0, 6 )) 
= 0,7486 − (1 − 0,7486) 
= 0,7486 − 0,2514 
= 0,4972O número esperado de bovinos com peso entre 17 e 19 arrobas é 
0,4972 . 5000 = 2486 
b) Qual o valor de W? 
𝑃(𝑋 ≥ 𝑊) = 𝑃 (𝑍 ≥
𝑊 − 18
1,5
) =
4200
5000
= 0,84 
𝑃 (𝑍 ≥
𝑊 − 18
1,5
) = 0,84 
𝑧 é tal que 𝐴(𝑧) = 0,16. Pela tabela 𝑧 = −0,99 
𝑤 − 18
1,5
= −0,99 → 𝑤 − 18 = −1,485 → 𝑤 = 16,515 
 
 
Questão 26: Numa indústria a montagem de certo item é feita em duas etapas. Os 
tempos necessários para cada etapa são independentes e têm as seguintes 
distribuições: 
𝑿𝟏~𝑵 (𝟕𝟓𝒔𝒆𝒈; 𝟏𝟔𝒔𝒆𝒈²), 𝑿𝟏 𝒕𝒆𝒎𝒑𝒐 𝒅𝒂 𝟏ª 𝒆𝒕𝒂𝒑𝒂 
𝑿𝟐~𝑵 (𝟏𝟐𝟓𝒔𝒆𝒈; 𝟏𝟎𝟎𝒔𝒆𝒈²), 𝑿𝟐 𝒕𝒆𝒎𝒑𝒐 𝒅𝒂 𝟐ª 𝒆𝒕𝒂𝒑𝒂 
Qual a probabilidade de que sejam necessários, para montar a peça: 
a) Mais de 210seg? 
𝑋 = tempo para montagem da peça 
𝑋 ~𝑁(𝜇1 + 𝜇2, 𝜎1 + 𝜎2) → 𝑁(200, 10,7) 
𝑃(𝑋 > 210) = 𝑃 (𝑍 >
210 − 200
10,7
) = 𝑃(𝑍 > 0,93) 
𝑃(𝑍 > 0,92) = 1 − 𝑃(𝑍 < 0,93) 
1 − 0,8238 = 0,1762 
b) Menos de 180 seg? 
𝑃(𝑋 < 180) = 𝑃 (𝑍 <
180 − 200
10,7
) = 𝑃(𝑍 < −1,86) 
𝑃(𝑍 < −1,86) = 𝑃(𝑍 > 1,86) = 1 − 𝑃(𝑍 < 1,86) = 1 − 0,9686 = 0,0314 
 
Questão 27: Suponha que 𝑋, a carga de ruptura de um cabo (kg), tenha distribuição 
𝑁(100; 16). Cada rolo de 100m de cabo dá um lucro de 25 u.m., desde que 𝑋 > 95. Se 
𝑋 ≤ 95, o cabo poderá ser utilizado para uma finalidade diferente, a um lucro de 10 
u.m. por rolo. Determine o lucro esperado por rolo. 
𝑋 = carga de ruptura de um cabo (Kg) → 𝑋 ~ 𝑁(100, 16) 
𝑃(𝑋 > 95) = 𝑃 (𝑍 >
95 − 100
4
) = 𝑃(𝑍 > −1,25) 
𝑃(𝑍 > −1,25) = 𝑃(𝑍 < 1,25) = 0,8944 
𝐿𝑢𝑐𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 (𝑋 > 95) = 0,8944 . 25 = 22,36 𝑢. 𝑚. 
 
𝑃(𝑋 ≤ 95) = 𝑃(𝑍 ≤ −1,25) 
𝑃(𝑍 ≤ −1,25) = 𝑃(𝑍 ≥ 1,25) = 1 − 𝑃(𝑍 ≤ 1,25) 
= 1 − 0,8944 = 0,1056 
𝐿𝑢𝑐𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 (𝑋 ≤ 95) = 0,1056 . 10 = 1,056 𝑢. 𝑚. 
O lucro esperado por rolo é 22,36 + 1,056 = 23,416 𝑢. 𝑚.