APX2 2020 2-gabarito

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Geometria Espacial Solução da APX2 Página 1 de 2
Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Solução da APX2 de Geometria Espacial 2020.2
Texto para as questões 1 e 2
Considere um tetraedro regular. Dele foram retiradas 4 pirâmides, cada uma contendo um dos vértices do
tetraedro original, restando um novo poliedro P . As pirâmides retiradas podem ser definidas a partir de seções
do tetraedro por planos. A partir de cada vértice do tetraedro retira-se a pirâmide determinada pela seção do
tetraedro pelo plano determinado pelos pontos médios das arestas que incidem neste vértice.
Questão 1. (2,5 pts) O poliedro P é um:
a) tetraedro regular.
b) tetraedro, mas não é regular.
c) octaedro regular.
d) octaedro, mas não é regular.
e) nenhuma das demais opções.
Solução: Em cada uma das faces originais do tetraedro sobrará o triângulo medial, isto é, o triângulo
formado pelos pontos médios das arestas da face original, portanto, são 4 triângulos equiláteros. A interseção
com os 4 planos originará 4 novos triângulos cujas arestas coincidem com arestas dos triângulos formados
nas faces. Portanto, o novo poliedro é um octaedro (possui 8 faces) e suas faces são todas triângulos
equiláteros congruentes. Logo, um octaedro regular.
Questão 2. (2,5 pts) Calcule o volume do poliedro P . Chame de a a aresta do poliedro original.
Solução: O volume do poliedro é igual ao volume do tetraedro regular de aresta a - 4 volume do tetraedro
regular de aresta a/2. Fica
a3
√
2
12
− 4 · (a/2)
3
√
2
12
=
a3
√
2
24
.
Substituindo a por 10 e fazendo as contas, obtém-se aproximadamente 58,925cm3. As soluções com precisão
de 1 décimo de cm3 são aquelas que estao entre 58,825 e 59,025.
Questão 3. (2,5 pts) Um tanque inicialmente vazio tem a forma de um cone circular reto de altura 10m e raio
da base 4m e tem sua base apoiada numa região plana e horizontal. Seja V (a), o volume de água no tanque em
função da altura a do ńıvel da água no tanque. Determine, na ordem, os valores de V (2), V (4), V (6), V (8) e
V (10) com representação decimal e precisão de um décimo de m3.
Solução: Observe que V (a) é o volume de um tronco do cone original com altura a. Portanto, é dado
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pela diferença entre os volumes do cone original e o cone determinado por uma seção paralela à base e que
dista a desta mesma base.
Vtronco = Vcone − Vcone menor.
Vcone =
π42
3
10 =
160π
3
m3.
Por outro, lado para calcular o raio r da base do cone menor, basta observar os triângulos semelhantes que
surgem na seção meridiana do cone: Dois triângulos retângulos com catetos 10m e 4m e o outro 10 − am
e r metros. De onde se conclui que r = 25 (10 − a)m. Calculando o volume do cone menor obtemos:
Vcone menor =
π( 25 (10−a))
2
3 (10− a) =
4π
75 (10− a).
Fazendo as diferença obtem-se Vtronco =
160π
3 −
4π
75 (10− a)
3m3
Substituindo-se os valores de a, ficam V (2) = 81,765, V (4) = 131,36, V (6) = 156,828, V (8) = 166,211 e
V (10) = 167,552.
Questão 4. (2,5 pts) Um recipiente é formado por dois cubos interligados, o maior fica por baixo e o menor
por cima, apoiado sobre o maior. O comprimento da aresta do cubo menor é metade da aresta do cubo maior.
Usando uma torneira com vazão constante, foi posśıvel encher metade do cubo de baixo em 8 minutos. Quantos
minutos essa torneira levará para terminar de encher o recipiente?
a) 8
b) 10
c) 16
d) 18
e) 24
Solução: Digamos que a aresta do cubo maior seja 2a e a do cubo menor seja a. O volume total do
recipiente é (2a)3 + a3 = 9a3. Em 8 minutos foi enchido metade do volume do cubo maior, isto é, 4a3,
então para se encher os 5a3 restantes serão gastos 8 · 54 = 10 minutos.
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