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Apostila de Geometria Analitica(pucminas)

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Sumário
1 Coordenadas Cartesianas no plano 1
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Distância entre dois pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Divisão de um segmento numa razão dada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Estudo da reta 6
2.1 Equação de reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.1 O que queremos dizer com equação de uma reta? . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.2 O coe�ciente angular e o coe�ciente linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.3 Retas horizontais e retas verticais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.4 Equação geral da reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.5 Retas paralelas e retas perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Distância de um ponto a uma reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Funções lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3.1 Modelos lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Lugares geométricos 17
3.1 Lugar geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4 Seções cônicas 22
4.1 Seções cônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.2 Circunferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.3 Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.3.1 Elipse - centro na origem e eixo maior horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.3.2 Elipse - centro na origem e eixo maior vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.4 Hipérbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.4.1 Hipérbole - centro na origem e eixo principal horizontal . . . . . . . . . . . . . 29
4.4.2 Hipérbole - centro na origem e eixo principal vertical . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.4.3 Assíntotas de hipérboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.5 Parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.5.1 Equação da parábola - vértice na origem e concavidade para cima . . . . . . . . 34
4.5.2 Parábolas com vértice na origem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.5.3 Propriedade de re�exão das parábolas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.6 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
i
SUMÁRIO ii
5 Seções cônicas transladadas 44
5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.2 Translação de eixos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.2.1 Circunferência de raio r e centro (xo, yo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.2.2 Elipses com centro em (xo, yo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.2.3 Hipérboles com centro em (xo, yo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.2.4 Parábolas com vértice em (xo, yo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.3 Esboço de seções cônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.4 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
A Respostas dos problemas propostos 58
Lista de Figuras
1.1 Sistema de coordenadas Cartesianas ou retangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Distância entre dois pontos e divisão de um segmento numa razão dada . . . . . . . . . . . . 2
2.1 De�nindo a equação de uma reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Reta pelos pontos (1, 3) e (2, 5). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Coe�ciente angular e coe�ciente linear de uma reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4 Reta horizontal e reta vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.5 Paralelismo e perpendicularismo de retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.6 Distância de um ponto a uma reta paralela a um eixo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.7 Distância de um ponto a uma reta qualquer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.1 Lugar geométrico: mediatriz do segmento AB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 Lugar geométrico: circunferência de centro em C(3, 2) e raio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3 Lugar geométrico: circunferência de centro na origem e raio 2
√
2 . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.1 Superfície cônica e seus elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.2 Circunferências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.3 Família de retas y = x + b e circunferência x2 + y2 = 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.4 Elementos e medidas de uma elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.5 Elipse horizontal com centro na origem e relação entre as medidas a, b e c . . . . . . . . . . . 26
4.6 Elipse vertical com centro na origem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.7 Elementos e medidas de uma hipérbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.8 Elementos e medidas de uma hipérbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.9 Hipérbole vertical com centro na origem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.10 Assíntotas de hipérboles horizontais e verticais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.11 Elementos e medidas de uma parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.12 Família de retas y = ax− 4 e parábola y = x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.13 Parábolas com vértice na origem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.14 Parábolas dos Exemplos 4.9 e 4.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.15 Propriedade de re�exão da parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.16 Farol parabólico e seção transversal pelo seu eixo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.17 Elipses do Problema 4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.1 Translação de eixos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.2 Circunferências transladadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.3 Elipse horizontal transladada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.4 Elipse com eixo maior horizontal e centro (3,−2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
iii
LISTA DE FIGURAS iv
5.5 Elipse vertical transladada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.6 Hipérboles transladadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.7 Parábola côncava para cima com vértice em (xo, yo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.8 Circunferência de centro (3,−2) e raio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.9 Elipse com eixo maior vertical e centro (−4, 5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.10 Hipérbole com eixo principal horizontal e centro (2, 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.11 Parábola com eixo horizontal