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Sumário 1 Coordenadas Cartesianas no plano 1 1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Distância entre dois pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Divisão de um segmento numa razão dada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.4 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 Estudo da reta 6 2.1 Equação de reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.1.1 O que queremos dizer com equação de uma reta? . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.1.2 O coe�ciente angular e o coe�ciente linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.1.3 Retas horizontais e retas verticais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.1.4 Equação geral da reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.1.5 Retas paralelas e retas perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 Distância de um ponto a uma reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3 Funções lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3.1 Modelos lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.4 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3 Lugares geométricos 17 3.1 Lugar geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.2 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4 Seções cônicas 22 4.1 Seções cônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4.2 Circunferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.3 Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4.3.1 Elipse - centro na origem e eixo maior horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.3.2 Elipse - centro na origem e eixo maior vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.4 Hipérbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.4.1 Hipérbole - centro na origem e eixo principal horizontal . . . . . . . . . . . . . 29 4.4.2 Hipérbole - centro na origem e eixo principal vertical . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.4.3 Assíntotas de hipérboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.5 Parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.5.1 Equação da parábola - vértice na origem e concavidade para cima . . . . . . . . 34 4.5.2 Parábolas com vértice na origem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.5.3 Propriedade de re�exão das parábolas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.6 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 i SUMÁRIO ii 5 Seções cônicas transladadas 44 5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5.2 Translação de eixos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5.2.1 Circunferência de raio r e centro (xo, yo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.2.2 Elipses com centro em (xo, yo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5.2.3 Hipérboles com centro em (xo, yo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5.2.4 Parábolas com vértice em (xo, yo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 5.3 Esboço de seções cônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 5.4 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 A Respostas dos problemas propostos 58 Lista de Figuras 1.1 Sistema de coordenadas Cartesianas ou retangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Distância entre dois pontos e divisão de um segmento numa razão dada . . . . . . . . . . . . 2 2.1 De�nindo a equação de uma reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2 Reta pelos pontos (1, 3) e (2, 5). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.3 Coe�ciente angular e coe�ciente linear de uma reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.4 Reta horizontal e reta vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.5 Paralelismo e perpendicularismo de retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.6 Distância de um ponto a uma reta paralela a um eixo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.7 Distância de um ponto a uma reta qualquer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.1 Lugar geométrico: mediatriz do segmento AB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.2 Lugar geométrico: circunferência de centro em C(3, 2) e raio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.3 Lugar geométrico: circunferência de centro na origem e raio 2 √ 2 . . . . . . . . . . . . . . . 19 4.1 Superfície cônica e seus elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4.2 Circunferências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.3 Família de retas y = x + b e circunferência x2 + y2 = 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4.4 Elementos e medidas de uma elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.5 Elipse horizontal com centro na origem e relação entre as medidas a, b e c . . . . . . . . . . . 26 4.6 Elipse vertical com centro na origem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.7 Elementos e medidas de uma hipérbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.8 Elementos e medidas de uma hipérbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.9 Hipérbole vertical com centro na origem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.10 Assíntotas de hipérboles horizontais e verticais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.11 Elementos e medidas de uma parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.12 Família de retas y = ax− 4 e parábola y = x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.13 Parábolas com vértice na origem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.14 Parábolas dos Exemplos 4.9 e 4.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.15 Propriedade de re�exão da parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.16 Farol parabólico e seção transversal pelo seu eixo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.17 Elipses do Problema 4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5.1 Translação de eixos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5.2 Circunferências transladadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.3 Elipse horizontal transladada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5.4 Elipse com eixo maior horizontal e centro (3,−2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 iii LISTA DE FIGURAS iv 5.5 Elipse vertical transladada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5.6 Hipérboles transladadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 5.7 Parábola côncava para cima com vértice em (xo, yo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 5.8 Circunferência de centro (3,−2) e raio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5.9 Elipse com eixo maior vertical e centro (−4, 5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 5.10 Hipérbole com eixo principal horizontal e centro (2, 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 5.11 Parábola com eixo horizontale vértice (−2, 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5.12 Parábola com eixo vertical e vértice (3,−2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Capítulo 1 Coordenadas Cartesianas no plano 1.1 Introdução O sistema de coordenadas Cartesianas (também conhecido como sistema de coordenadas retangu- lares) é constituído de dois eixos reais perpendiculares que dividem o plano em 4 regiões, denominadas quadrantes. O eixo horizontal é denominado eixo das abscissas e o eixo vertical é denominado eixo das ordenadas, conforme ilustrado na Figura 1.1(a). - 6 abscissas ordenadas P = (x, y) y x (a) Sistema de coordenadas Cartesianas - 6 x y primeiro quadrante (+, +) segundo quadrante (−, +) terceiro quadrante (−,−) quarto quadrante (+,−) (b) Quadrantes e sinais das coordenadas Figura 1.1: Sistema de coordenadas Cartesianas ou retangulares Neste sistema um ponto P qualquer do plano é representado por um par ordenado da forma P (x, y). O número real x é denominado abscissa do ponto P e seu valor absoluto nos dá a distância de P ao eixo das ordenadas. O número real y é denominado ordenada do ponto P e seu valor absoluto nos dá a distância de P ao eixo das abscissas. O par ordenado (x, y) é denominado coordenadas do ponto P . Também é usual denotar o eixo das abscissas como eixo x e o eixo das ordenadas como eixo y. No sistema de coordenadas Cartesianas existe uma correspondência biunívoca entre os pontos do plano e os pares ordenados de números reais. Isto signi�ca que a cada ponto do plano associamos um único par ordenado, e reciprocamente, a cada par ordenado associa-se um único ponto do plano. A interseção dos eixos é a origem do sistema, representada pelo par ordenado (0, 0). Como os eixos são orientadas as abscissas são positivas à direita do eixo das ordenadas e negativas à esquerda do eixo 1 CAPÍTULO 1. COORDENADAS CARTESIANAS NO PLANO 2 das ordenadas. De modo análogo, as ordenadas são positivas acima do eixo das abscissas e negativas abaixo do eixo das abscissas, conforme ilustrado na Figura 1.1(b). Observe ainda que os quadrantes são ordenados no sentido anti-horário, sendo o primeiro aquele onde ambas coordenadas são positivas. 1.2 Distância entre dois pontos A distância entre os pontos P (x1, y1) e Q(x2, y2) do plano cartesiano, denotada PQ, pode ser imedia- tamente obtida pela aplicação do Teorema de Pitágoras, como ilustrado na Figura 1.2(a). PQ 2 = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 ∴ PQ = √ (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 (1.1) - 6 x y x1 y1 x2 y2 y2 − y1 x2 − x1 P Q PQ (a) Distância entre dois pontos - 6 P1 x1 y1 x− x1 M y x P y − y1 x2 − x x2 y2 P2 N y2 − y (b) Divisão de um segmento Figura 1.2: Distância entre dois pontos e divisão de um segmento numa razão dada 1.3 Divisão de um segmento numa razão dada Sejam P1 = (x1, y1) e P2 = (x2, y2) dois pontos quaisquer do plano cartesiano. Seja P (x, y) um ponto genérico, distinto de P1 e P2, sobre a reta determinada por P1 e P2, conforme mostrado na Figura 1.2(b). Dizemos que o ponto P divide o segmento P1P2 segundo uma razão r se e somente se1 P1P PP2 = r. Vamos estabelecer uma fórmula para o cálculo das coordenadas do ponto P (x, y). Na Figura 1.2(b) observamos que os triângulos P1MP e PNP2 são semelhantes, pois possuem dois ângulos côngruos (de mesma medida). Sabemos da geometria Euclidiana que se dois triângulos são semelhantes os lados homólogos, isto é, aqueles opostos aos ângulos congruentes são proporcionais. Logo P1M PN = P1P PP2 . 1Devemos �car atentos para o seguinte fato: se P estiver sobre o segmento P1P2 a razão r é positiva. Por outro lado, se P estiver sobre o prolongamento do segmento, em qualquer dos dois sentidos, a razão r é negativa. CAPÍTULO 1. COORDENADAS CARTESIANAS NO PLANO 3 Como P1M PN = x− x1 x2 − x e P1P PP2 = r temos x− x1 x2 − x = r ∴ x = x1 + rx2 1 + r . (1.2) Analogamente PM P2N = P1P PP2 . Como PM P2N = y − y1 y2 − y e P1P PP2 = r temos y − y1 y2 − y = r ∴ y = y1 + ry2 1 + r . (1.3) Assim, as equações (1.2) e (1.3) nos fornecem, respectivamente, a abscissa e a ordenada do ponto P que divide o segmento P1P2 em uma dada razão r. Exemplo 1.1 Dados P1 = (1, 2) e P2 = (4, 5) determine as coordenadas do ponto P que divide o segmento P1P2 na razão 2. Basta substituir os valores dados nas equações (1.2) e (1.3) x = 1 + 8 1 + 2 = 3 e y = 2 + 10 1 + 2 = 4. Assim o ponto procurado é P (3, 4). O caso mais importante de divisão de um segmento é quando P (x, y) é o ponto médio do segmento P1P2. Neste caso P1P = PP2, donde r = 1. Logo as equações (1.2) e (1.3) �cam x = x1 + x2 2 e y = y1 + y2 2 (1.4) 1.4 Problemas Propostos Problema 1.1 Os pontos dados são vértices de um polígono. Esboce cada polígono no plano cartesiano e determine seu perímetro. (a) A(0, 0), B(−1, 5), C(4, 2). (b) A(−1,−1), B(1,−5), C(−3, 7). (c) A(−3, 2), B(1, 5), C(5, 3), D(1,−2). (d) A(−5, 0), B(−3,−4), C(3,−3), D(7, 2), E(1, 6). Problema 1.2 Indique através de um esboço a região do plano cartesiano nal qual os pontos (x, y) satisfazem a condição dada. CAPÍTULO 1. COORDENADAS CARTESIANAS NO PLANO 4 (a) x > 2 (b) x > 3 e y < 5 (c) −2 ≤ x < 4 (d) 1 ≤ x < 5 e y > 0 Problema 1.3 Sejam a e b dois números reais quaisquer. Discuta a posição relativa dos pontos P e Q. (a) P = (a, b) e Q = (a,−b) (b) P = (a, b) e Q = (−a, b) (c) P = (a, b) e Q = (−a,−b) (d) P = (a, b) e Q = (b, a) Problema 1.4 Veri�que, usando a fórmula da distância, que os pontos dados são colineares. (a) A = (1, 4), B = (2, 5) e C = (−1, 2) (b) A = (4,−2), B = (−6, 3) e C = (8,−4) (c) A = (−3,−2), B = (5, 2) e C = (9, 4) Problema 1.5 Veri�que, usando a fórmula da distância, que o triângulo ABC, é retângulo. Calcule também seu perímetro e sua área. (a) A = (1, 4), B = (7, 4) e C = (7, 6) (b) A = (2, 2), B = (−1, 2) e C = (−1, 5) Problema 1.6 Classi�que o triângulo ABC quanto a medida de seus lados (equilátero, isóceles ou escaleno). (a) A = (1, 0), B = (7, 3) e C = (5, 5) (b) A = (−3, 0), B = (3, 0) e C = (0, 5) (c) A = (1, 4), B = (−3,−8) e C = (2, 7) (d) A = (3, 8), B = (−11, 3) e C(−8,−2) (e) A = (2,−2), B = (−2, 2) e C = (2√2, 2√2) Problema 1.7 Determine o ponto eqüidistante de (a) A = (1, 7), B = (8, 6), C = (7,−1) (b) A = (3, 3), B = (6, 2), C = (8,−2) Problema 1.8 Determine o ponto que dista 10 unidades de (−3, 6) e tem abscissa x = 3. Problema 1.9 Os pontos A = (1,−1) e B = (5,−3) são as extremidades de um diâmetro de uma circunferência. Determine as coordenadas do centro e o raio desta circunferência. Problema 1.10 Mostre que as diagonais do paralelogramo A = (0, 0), B = (1, 4), C = (5, 4) e D = (4, 0) se interceptam ao meio. Problema 1.11 Determine as coordenadas do ponto P que divide o segmento P1P2 na razão dada (a) P1(4,−3), P2(1, 4), r = 2 CAPÍTULO 1. COORDENADAS CARTESIANAS NO PLANO 5 (b) P1(5, 3), P2(−3,−3), r = 13 (c) P1(−5, 2), P2(1, 4), r = −53 Problema 1.12 Os pontos A = (1,−1), B = (3, 3) e C = (4, 5) estão situados na mesma reta. Determine a razão r na qual o ponto B divide o segmento AC. Problema 1.13 Considere o segmento de extremos A = (2, 6) e B = (−3,−2). Determine o ponto C tal que o comprimento do segmento AC seja o quádruplo do comprimento do segmento AB. Problema 1.14 O ponto C = (1,−1) está a 25 da distância que vai de A = (−1,−5) a B = (x, y). Determine as coordenadas do ponto B. Problema 1.15 O ponto B = (−4, 1) está a 35 da distância que vai de A = (2,−2) a C = (x, y). Determine as coordenadas do ponto C. Problema 1.16 Determine o ponto médio de cada lado do triângulo ABC. (a) A = (1, 0), B = (7, 3) e C = (5, 5) (b) A = (−3, 0), B = (3, 0) e C = (0, 5) (c) A = (1, 4), B = (−3,−8) e C = (2, 7) (d) A = (3, 8), B = (−11, 3) e C(−8,−2) Problema 1.17 Sendo M = (3, 2), N = (3, 4) e P = (−1, 3) os pontos médios dos respectivos lados AB, BC e CA de um triângulo ABC, determine os vértices A, B e C. Problema 1.18 Em um triângulo denominamos de mediana o segmento que une um dado vértice ao ponto médio do lado oposto. Determinea medida das 3 medianas do triângulo ABC. (a) A = (1, 0), B = (3, 0) e C = (2, 7) (b) A = (1, 8), B = (−3,−8) e C = (2,−2) Problema 1.19 As medianas de um triângulo concorrem num ponto P (x, y) que se encontra a 23 da distância que vai de um vértice qualquer ao ponto médio do lado oposto. Esse ponto é o centro de gravidade do triângulo (denominado baricentro). Determine as coordenadas do baricentro de um triângulo de vértices A = (x1, y1), B = (x2, y2) e C = (x3, y3). Problema 1.20 Determine as coordenadas do baricentro de cada um dos triângulos de vértices: (a) (5, 7), (1,−3) e (−5, 1) (b) (2,−1), (6, 7), (−4,−3) Problema 1.21 Prove que o segmento que liga os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e possui medida igual à metade da medida deste lado. Problema 1.22 Prove que o ponto médio da hipotenusa de um triângulo retângulo é eqüidistante dos três vértices. Capítulo 2 Estudo da reta 2.1 Equação de reta Intuitivamente é fácil perceber que dois pontos distintos de�nem uma única reta. Na geometria analítica podemos determinar a equação de uma reta que passa por dois pontos distintos do plano cartesiano. Consideremos a reta de�nida pelos pontos A(x0, y0) e B(x1, y1) da Figura 2.1(a). Um ponto qualquer P (x, y) também estará sobre esta reta desde que A, B e P sejam colineares, conforme ilustrado na Figura 2.1(b). - 6 x0 y0 x1 y1 A B (a) Reta pelos pontos A e B - 6 x0 y0 x1 y1 x y A B P M N θ (b) Reta pelos pontos A, B e P Figura 2.1: De�nindo a equação de uma reta Tal condição de alinhamento é satisfeita se os triângulos ABM e APN forem semelhantes; neste caso podemos escrever PN AN = BM AM ∴ y − y0 x− x0 = y1 − y0 x1 − x0 . (2.1) Simpli�camos a equação (2.1) notando que a razão y1 − y0 x1 − x0 é constante, uma vez que (x0, y0) e (x1, y1) são as cordenadas de dois pontos conhecidos da reta, assim x0, y0, x1 e y1 são números conhecidos. Por outro lado a razão y−y0x−x0 não é constante, uma vez que x 6 CAPÍTULO 2. ESTUDO DA RETA 7 e y são as coordenadas de um ponto qualquer do plano cartesiano, logo x e y são valores incógnitos. Tal constante é chamada de coe�ciente angular da reta e doravante vamos denotá-la pela letra a. É útil observar que o coe�ciente angular de uma reta pode ser prontamente encontrado dividindo-se a variação ∆y das ordenadas dos pontos pela variação ∆x de suas abscissas; assim a = ∆y ∆x = y1 − y0 x1 − x0 = y0 − y1 x0 − x1 . (2.2) Substituindo o valor do coe�ciente angular dado em (2.2) na equação (2.1) obtemos y − y0 x− x0 = a (2.3) ou, mais apropriadamente, y − y0 = a(x− x0) (2.4) chamada equação da reta na forma ponto-coe�ciente angular. Isolando y nesta equação obtemos y = ax− ax0 + y0, onde notamos que −ax0 + y0 é uma constante, denominada coe�ciente linear da reta e a qual denotaremos pela letra b. Podemos então reescrever a equação (2.4) como y = ax + b (2.5) chamada equação da reta na forma reduzida. Exemplo 2.1 (Reta por dois pontos dados) Determine a equação da reta pelos pontos (1, 3) e (2, 5), mostrada na Figura 2.2. • Inicialmente calculamos seu coe�ciente angular: a = ∆y∆x = 5−32−1 = 3−51−2 = 2. • A seguir, usando o ponto (1, 3), obtemos a equação na forma ponto-coe�ciente: y− 3 = 2(x− 1). • Finalmente isolamos a variável y para obter sua forma reduzida: y = 2x + 1. Salientamos que esta reta tem coe�ciente angular a = 2 e coe�ciente linear b = 1. No Exemplo 2.1 poderíamos obter a equação da reta usando o ponto (2, 5), ao invés do ponto (1, 3). Neste caso a equação da reta na forma ponto-coe�ciente seria y − 5 = 2(x− 2), e a forma reduzida y = 2x + 1. Observamos que a equação da reta na forma ponto-coe�ciente não é única: mudando-se o ponto usado muda-se a equação; por outro lado a forma reduzida é única, independente de qual ponto é usado para escrever sua equação. CAPÍTULO 2. ESTUDO DA RETA 8 - 6 x y 1 3 2 5 3 7 3 9 Figura 2.2: Reta pelos pontos (1, 3) e (2, 5). 2.1.1 O que queremos dizer com equação de uma reta? Dizer que y = 2x + 1 é a equação de uma dada reta signi�ca que todo ponto da reta é dado por um par ordenado que satisfaz sua equação; reciprocamente, todo par ordenado que satisfaz sua equação é um ponto da reta. Exemplo 2.2 Considerando a reta y = 2x + 1 e a Figura 2.2 do Exemplo 2.1, concluímos que • o ponto (3, 7) pertence a esta reta, pois suas coordenadas veri�cam a equação y = 2x + 1; • o ponto (3, 9) não pertence a esta reta, pois suas coordenadas não veri�cam a equação y = 2x+1. 2.1.2 O coe�ciente angular e o coe�ciente linear Para entendermos os signi�cados geométricos dos coe�cientes angular e linear vamos observar a Figura 2.3, que ilustra novamente a reta pelos pontos A(x0, y0) e B(x1, y1). - 6 x y x0 y0 x1 y1 A B θ θ ∆x ∆y a = ∆y∆x = tg(θ) (0, b) Figura 2.3: Coe�ciente angular e coe�ciente linear de uma reta CAPÍTULO 2. ESTUDO DA RETA 9 O ângulo θ que a reta forma com o eixo das abscissas no sentido positivo denomina-se inclinação da reta; o leitor que tem conhecimentos de trigonometria pode observar que o coe�ciente angular da reta é o valor da tangente desta inclinação. Para entendermos o signi�cado do coe�ciente linear fazemos x = 0 na equação (2.5) e obtemos y = b; isto signi�ca que a reta passa pelo ponto (0, b). Assim o coe�ciente linear é a ordenada do ponto em que a reta intercepta o eixo-y. 2.1.3 Retas horizontais e retas verticais Se uma reta for horizontal - Figura 2.4(a) - então sua inclinação é nula; conseqüentemente seu coe�ciente angular é zero, pois tg(0) = 0. Neste caso a equação (2.5) se reduz a y = b. Genericamente falando, toda equação da forma y = constante é equação de uma reta horizontal. Se uma reta for vertical - Figura 2.4(b) - então sua inclinação é de 90o; conseqüentemente seu coe�ciente angular não existe, pois tg(90)@. Neste caso sua equação é da forma x = constante. - 6 x y y = k(0, k) (a) Reta horizontal a = 0 - 6 x y x = k (k, 0) (b) Reta vertical a@ Figura 2.4: Reta horizontal e reta vertical 2.1.4 Equação geral da reta Toda equação da forma Ax + By + C = 0 (2.6) onde A, B e C são constantes reais e A e B não são simultaneamente nulas, representa um reta. Para veri�car esta a�rmação consideramos as seguintes possibilidades: • se B 6= 0, então podemos isolar y na equação (2.6), obtendo y = −A B x− C B , que é uma equação da forma (2.5); logo a equação de uma reta. Neste caso, se A = 0, a equação anterior se reduz a y = −C B , que é a equação de uma reta horizontal. • se B = 0, então podemos isolar x na equação (2.6), obtendo x = −C A , que é a equação de uma reta vertical. CAPÍTULO 2. ESTUDO DA RETA 10 2.1.5 Retas paralelas e retas perpendiculares A condição de paralelismo entre duas retas é facilmente estabelecida: duas retas paralelas formam o mesmo ângulo com o eixo das abscissas, logo seus coe�cientes angulares são iguais - Figura 2.5(a). - 6 x y y = a1x + b1 y = a2x + b2 θ θ a1 = a2 = tg(θ) (a) Retas paralelas - 6 x y r1 : y = a1x + b1 r2 : y = a2x + b2 P Q S R x0 x0 + 1 y0 y0 + a1 y0 + a2 (b) Retas perpendiculares Figura 2.5: Paralelismo e perpendicularismo de retas A condição de perpendicularismo é um pouco mais sutil. Para estabelecê-la vamos recorrer à Figura 2.5(b), que nos mostra as retas perpendiculares r1 : y = a1x + b1 e r2 : y = a2x + b2 concorrentes no ponto P (x0, y0). Como P pertence a ambas as retas, suas coordenadas satisfazem tanto a equação de r1 como a de r2, isto é y0 = a1x0 + b1 e y0 = a2x0 + b2. Na reta r1, um incremento de uma unidade na abscissa resulta a1(x0 + 1) + b1 = a1x0 + a1 + b1 = a1x0 + b1 + a1 = y0 + a1; isto é, a ordenada é incrementada de a1 unidades. Logo o segmento RQ da Figura 2.5(b) mede a1 unidades. De modo análogo, na reta r2, um incremento de uma unidade na abscissa resulta a2(x0 + 1) + b2 = a2x0 + a2 + b2 = a2x0 + b2 + a2 = y0 + a2; isto é, a ordenada é decrementada de a2 unidades1. Logo o segmento SR da Figura 2.5(b) mede −a2 unidades. Finalmente, observando queos triângulos PRQ e PRS são semelhantes (ângulo-ângulo- ângulo), podemos escrever RQ RP = RP SR ∴ a1 1 = 1 −a2 ∴ a1 a2 = −1 que é a condição de perpendicularismo entre duas retas. Assim, duas retas são perpendiculares quando o produto de seus coe�cientes angulares vale −1. 1Decrementada por que o valor numérico de a2 é negativo. CAPÍTULO 2. ESTUDO DA RETA 11 2.2 Distância de um ponto a uma reta Em muitos problemas tratados pela Geometria Analítica surge a necessidade de determinarmos a distância de um ponto a uma reta. Vamos considerar duas possibilidades: (i) a reta é paralela a um dos eixos coordenados: se a reta é horizontal a distância é simplesmente o valor absoluto de uma diferença de ordenadas, se a reta é vertical a distância é simplesmente o valor absoluto de uma diferença de abscissas, conforme ilustrado nas Figuras 2.6(a) e 2.6(b) respectivamente. - 6 x y x0 y0 P0 = (x0, y0) r : y = k d(P0, r) = |y0 − k| (a) Distância ponto a reta horizontal - 6 x y x0 y0 P0 = (x0, y0) r : x = k d(P0, r) = |x0 − k| (b) Distância ponto a reta vertical Figura 2.6: Distância de um ponto a uma reta paralela a um eixo (ii) se a reta não é paralela a nenhum dos eixos a construção da Figura 2.7 nos permite determinar a distância do ponto P0(x0, y0) à reta y = ax + b. - 6 x y x0 y0 P0 y = ax + b y1 P1 P2 α β β α 1 a √ 1 + a2 A0 A1 A2 D Figura 2.7: Distância de um ponto a uma reta qualquer A distância procurada é a medida do segmento P0P2, denotada por D. Observando que os triângulos P0P1P2 e A0A1A2 são semelhantes podemos escrever D 1 = |y0 − y1|√ 1 + a2 ∴ D = |y0 − y1|√ 1 + a2 . (2.7) CAPÍTULO 2. ESTUDO DA RETA 12 Como P1 = (x0, y1) pertence à reta temos que y1 = ax0 + b, logo a equação (2.7) �ca D = |y0 − ax0 − b|√ 1 + a2 . (2.8) Considerando a equação geral desta reta, Ax + By + C = 0, isolando y obtemos y = −A B x− C B e comparando com a forma reduzinda y = ax + b temos a = −A B e b = −C B . Substituindo estes valores na equação (2.8) obtemos D = ∣∣y0 + AB x0 + CB ∣∣ √ 1 + ( A B )2 = ∣∣By0+Ax0+C B ∣∣ √ B2+A2 B2 = 1 |B| ∣∣Ax0 + By0 + C ∣∣ 1 |B| √ A2 + B2 e �nalmente D = ∣∣Ax0 + By0 + C ∣∣ √ A2 + B2 (2.9) Exemplo 2.3 Determinar a distância do ponto P (1, 5) à reta y = −3x + 11. Basta observar que (x0, y0) = (1, 5) e que a equação geral da reta é 3x + y − 11 = 0, logo A = 3, B = 1 e C = −11. A substituição na equação (2.9) resulta D = ∣∣3× 1 + 1× 5− 11|√ 9 + 1 = 3√ 10 2.3 Funções lineares Funções lineares (ou funções polinomiais do 1o grau) são funções2 f : R→ R da forma y = f(x) = ax + b; (2.10) onde a e b são constantes reais. Comparando as equações (2.5) e (2.10) concluímos imediatamente que o grá�co de uma função linear é uma reta no plano cartesiano. A raiz3 é dada por x = −b/a. 2Lembre-se que o símbolo R denota o conjunto de todos os números reais. Assim f : R → R indica que a função f tem como domínio (o R antes da �echa) e contra-domínio (o R depois da �echa) todos os números reais. 3As raízes, ou zeros, de uma função são todos os valores do domínio que anulam sua imagem, ou seja, são todos os elementos do domínio que possuem imagem zero. Determinamos as raízes de uma função f resolvendo a equação f(x) = 0. CAPÍTULO 2. ESTUDO DA RETA 13 2.3.1 Modelos lineares A despeito de sua simplicidade, várias situações importantes são modeladas por funções lineares. Por modelo linear queremos dizer que existem duas quantidades que se relacionam algebricamente através de uma equação (ou função) linear. Os próximos exemplos ilustram alguns modelos lineares. Exemplo 2.4 (A pressão em um ponto submerso) Determine a relação entre a pressão p (me- dida em atm) e a profundidade h (medida em m) em um ponto submerso na água do mar, considerando que a pressão aumenta linearmente com a profundidade e que este aumento é de 1 atm a cada 10 m de descida. • Inicialmente observamos que quando h = 0 m (na superfície) a pressão é p = 1 atm; assim nossa reta passa pelo ponto (h, p) = (0, 1). Quando h = 10 m de profundidade a pressão aumenta para p = 2 atm; assim nossa reta também passa pelo ponto (h, p) = (10, 2). • De posse de dois pontos da reta determinamos seu coe�ciente angular a = ∆p ∆h = 2− 1 10− 0 = 1 10 . • Finalmente, usando o ponto (h, p) = (0, 1), obtemos a equação da reta p− 1 = 1 10 (h− 0) ∴ p = 1 10 h + 1; que é o modelo linear que relaciona a pressão p e a pronfundidade h da situação descrita. Exemplo 2.5 (Escalas de temperaturas) Em muitos países, incluindo o Brasil, a temperatura é medida na escala Celsius. Nos países que adotam o arcaico sistema inglês de medidas, como Inglaterra e Estados Unidos, a temperatura é medida na escala Farenheit. A escala Celsius adota as seguintes convenções: a água congela a 0 oC e ferve a 100 oC. A escala Farenheit adota as seguintes convenções: a água congela a 32F e ferve a 212F . Determine uma equação de conversão Celsius-Farenheit, sabendo que trata-se de um modelo linear. • Denotando por c a temperatura em Celsius e por f a temperatura em Farenheit observamos que a reta procurada passa pelos pontos (c1, f1) = (0, 32) (congelamento da água) e (c2, f2) = (100, 212) (ebulição da água). • De posse de dois pontos da reta determinamos seu coe�ciente angular a = ∆f ∆c = 212− 32 100− 0 = 180 100 = 9 5 . • Finalmente, usando o ponto (c1, f1) = (0, 32), obtemos a equação da reta f − 32 = 9 5 (c− 0) ∴ f = 9 5 c + 32; que é o modelo linear que relaciona a temperatura Farenheit f e a temperatura Celsius c. CAPÍTULO 2. ESTUDO DA RETA 14 2.4 Problemas Propostos Problema 2.1 Marque cada par de pontos no plano cartesiano; trace a reta que passa por eles e determine a equação reduzida desta reta. (a) (5, 0) e (1, 4) (b) (−3, 0) e (1, 4) (c) (−2, 3) e (1, 9) (d) (−1, 1) e (1, 5) (e) (−2,−4) e (−1, 1) (f) (2,−4) e (−1, 5) (g) (−2, 4) e (1,−5) (h) (2, 4) e (1,−5) (i) (−2, 4) e (−1,−5) (j) (−2,−4) e (−1,−5) (k) (0, 3) e (4, 3) (l) (1, 1) e (3, 1) (m) (1, 1) e (1, 4) (n) (3,−2) e (3, 5) Analisando os resultados obtidos o que você pode inferir sobre a posição da reta quando seu coe�- ciente angular é positivo? e quando é negativo? e quando é nulo? e quando não existe? Problema 2.2 Esboce o grá�co e determine a equação da reta que satisfaz as seguintes propriedades: (a) inclinação de 45o e passa pelo ponto P (2, 4); (b) inclinação de 60o e passa pelo ponto P (2, 4); (c) inclinação de 135o e passa pelo ponto A(3, 5); (d) inclinação de 45o e passa pelo ponto médio dos pontos (3,−5) e (1,−1); (e) paralela à reta y = 3x− 4 e passa pelo ponto P (1, 2); (f) perpendicular à reta y = 3x− 4 e passa pelo ponto P (1, 2); Problema 2.3 Determine se os três pontos dados são colineares (resolva este problema de dois modos: usando o coe�ciente angular e a fórmula da distância). (a) (1,−4); (−2,−13) e (5, 8); (b) (1,−7); (4, 2) e (2, 1); (c) (12 ,−32); (14 ,−138 ) e (−12 ,−2); Problema 2.4 Determine se os três pontos dados formam um triângulo retângulo (resolva este pro- blema de dois modos: usando o coe�ciente angular e o Teorema de Pitágoras). (a) (1,−3); (2, 7) e (−2, 5); (b) (1, 2); (0, 1) e (−1, 2); (c) (0, 0); (3, 6) e (−4, 2); Problema 2.5 Esboce cada par de retas no plano cartesiano e determine o ponto de interseção. (a) y = x− 2 e y = −2x + 4; (b) y = 2x− 7 e y = −2x + 1; (c) y = 3x− 1 e y = −5x + 2; (d) y = 2x− 5 e y = 2x + 5; Problema 2.6 Determine o(s) valor(es) de k para que a reta (k + 4)x + (9− k2)y + (k − 6)2 = 0 CAPÍTULO 2. ESTUDO DA RETA 15 (a) seja paralela ao eixo-x; (b) seja paralela ao eixo-y; (c) passe pela origem. Problema 2.7 O conjunto de todos os pontos eqüidistantes de dois pontos A e B dados é chamado reta mediatriz do segmento AB. Esboce e determine a equação reduzida da mediatriz do segmento AB de dois modos: (i) igualando a distância do ponto P (x, y) a A e B e simpli�cando a equação obtida; (ii) usando o ponto médio do segmento AB e um coe�ciente angular adequado. (a) A(−1,−3) e B(5,−1) (b) A(2, 4) e B(−6,−2) (c) A(−3,−2) eB(−3, 5) (d) A(3,−2) e B(3, 7) Problema 2.8 Determine a distância do ponto P0 à reta r nos casos: (a) P0(2, 5) e r : y = 1 (b) P0(−3, 4) e r : x + 2 = 0 (c) P0(1,−3) e r : 4x− y2 + 2 = 0 (d) P0(−3, 5) e r : y = 5x− 3 Problema 2.9 Mostre que a distância da origem (0, 0) à reta Ax + By + C = 0 vale D = |C|√ A2 + B2 . Problema 2.10 Mostre que a distância entre as retas paralelas Ax+By+C1 = 0 e Ax+By+C2 = 0 vale D = |C1 − C2|√ A2 + B2 . Problema 2.11 Determine a distância entre as retas r e s (a) { r : 2x + 3y = 15 s : 2x + 3y − 10 = 0 (b) { r : 3x− y + 7 = 0 s : −3x + y + 7 = 0 (c) { r : x + y − 1 = 0 s : 3x + 3y − 7 = 0 (d) { r : y = 5x− 7 s : y = 5x + 3 Problema 2.12 Determine a equação da reta paralela à reta 3x + 4y + 15 = 0 e que dista da mesma 3 unidades. Problema 2.13 Determine a equação da reta equidistante de 3x + y − 10 = 0 e 3x + y − 4 = 0. Problema 2.14 Dada a função f : R→ R, tal que y = f(x) = 2x− 10, (a) determine as coordenadas do ponto onde seu grá�co corta o eixo-x; (b) determine as coordenadas do ponto onde seu grá�co corta o eixo-y; CAPÍTULO 2. ESTUDO DA RETA 16 (c) utilize as informações obtidas para esboçar seu grá�co. Problema 2.15 Voltando ao Exemplo 2.4 (a) qual a unidade do coe�ciente angular da reta obtida? qual é o seu signi�cado? (b) qual a unidade do coe�ciente linear da reta obtida? qual é o seu signi�cado? Problema 2.16 Voltando ao Exemplo 2.5 (a) qual o signi�cado do coe�ciente angular da reta obtida? (b) qual o signi�cado do coe�ciente linear da reta obtida? Problema 2.17 Dada a função f : R → R, tal que f(x) = 3x − 4, determine as constantes a e b sabendo-se que f(a) = 2b e f(b) = 9a− 28. Problema 2.18 Uma função linear é tal que f(3) = 2 e f(4) = 2f(2). Determine f . Problema 2.19 Uma função linear é tal que f(0) = 1 + f(1) e f(−1) = 2− f(0). Determine f(3). Problema 2.20 Um avião parte de um ponto P no instante t = 0 e viaja para o oeste a uma velocidade constante de 450Km/h. (a) Escreva uma expressão para a distância d (em Km) percorrida pelo avião em função do tempo t (em horas). (b) Trace o grá�co d× t. (c) qual o signi�cado do coe�ciente angular da reta obtida? Problema 2.21 A equação da reta na forma (2.3) tem a vantagem da conexão direta com o raciocínio geométrico utilizado para obtê-la, ilustrado na Figura 2.1(b). Porém, rigorosamente falando, a equação de uma reta não pode ser deixada nesta forma. Por quê? Capítulo 3 Lugares geométricos 3.1 Lugar geométrico A geometria analítica trata da representação de lugares geométricos (tais como pontos, retas, circunfe- rências, parábolas etc) através de representações algébricas (tais como pares ordenados, equações, inequações, sistemas de equações etc). Fundamentalmente ela lida com dois tipos problemas [Joseph H. Kindle- Geometria Analítica - Coleção Schawm] (i) dada uma equação, determinar o lugar geométrico correspondente; (ii) dado um lugar geométrico, cujos pontos satisfazem certas condições, determinar sua equação. Neste momento abordaremos o segundo problema: determinar a equação de um lugar geométrico que satisfaz certas condições estabelecidas. Nossas principais ferramentas serão a fórmulas da distância entre dois pontos e da distância de um ponto a uma reta, além, evidentemente, de algum raciocínio sobre a geometria do problema. Exemplo 3.1 Determine a equação do lugar geométrico cujos pontos são eqüidistantes dos pontos A(0, 3) e B(3, 0). - 6yy P (x, y) A B PA PB PA = PB (a) P ponto qualquer - 6 x y P A B PA PB (b) Lugar geométrico procurado Figura 3.1: Lugar geométrico: mediatriz do segmento AB 17 CAPÍTULO 3. LUGARES GEOMÉTRICOS 18 Se P (x, y) é um ponto qualquer do lugar geométrico procurado então P deve satisfazer à condição PA = PB, conforme ilustrado na Figura 3.1(a). Usando a fórmula da distância obtemos √ (x− 0)2 + (y − 3)2 = √ (x− 3)2 + (y − 0)2 x2 + y2 − 6y + 9 = x2 − 6x + 9 + y2 y = x Assim y = x é a equação do lugar geométrico procurado. O leitor pode observar que se trata da equação da reta mediatriz do segmento AB, conforme ilustrado na Figura 3.1(b). Exemplo 3.2 Determine a equação do lugar geométrico dos pontos cuja distância ao ponto C(3, 2) seja 5. - 6 x y 3 2 P (x, y) 5 C PC = 5 (a) P ponto qualquer - 6 x y 3 2 P (x, y) C 5 (b) Lugar geométrico procurado Figura 3.2: Lugar geométrico: circunferência de centro em C(3, 2) e raio 5 Se P (x, y) é um ponto qualquer do lugar geométrico procurado então P deve satisfazer à condição PC = 5, conforme ilustrado na Figura 3.2(a). Usando a fórmula da distância obtemos √ (x− 3)2 + (y − 2)2 = 5 (x− 3)2 + (y − 2)2 = 25 É fácil perceber que o lugar geométrico procurado é a circunferência de centro no ponto C(3, 2) e raio 5, ilustrada na Figura 3.2(b). Assim (x− 3)2 + (y − 2)2 = 25 é a equação desta circunferência. Exemplo 3.3 Determine a equação do lugar geométrico dos pontos cuja distância ao ponto A(4, 4) seja o dobro da distância ao ponto B(1, 1). Se P (x, y) é um ponto qualquer do lugar geométrico procurado então P deve satisfazer à condição PA = 2PB, conforme ilustrado na Figura 3.3(a). Usando a fórmula da distância obtemos CAPÍTULO 3. LUGARES GEOMÉTRICOS 19 - 6 x y 4 4 A 1 1 B P PA = 2PB (a) P ponto qualquer - 6 x y 4 4 A 1 1 B P (b) Lugar geométrico procurado Figura 3.3: Lugar geométrico: circunferência de centro na origem e raio 2 √ 2 √ (x− 4)2 + (y − 4)2 =2 √ (x− 1)2 + (y − 1)2 x2 − 8x + 16 + y2 − 8y + 16 =4(x2 − 2x + 1 + y2 − 2y + 1) x2 − 8x + 16 + y2 − 8y + 16 =4x2 − 8x + 4 + 4y2 − 8y + 4 24 =3x2 + 3y2 x2 + y2 =8 Conforme estudaremos adiante, seção 4.2, este lugar geométrico é a circunferência de centro na origem e raio 2 √ 2, ilustrada na Figura 3.3(b). O leitor deve observar que este lugar geométrico, apesar de bastante simples, não é facilmente reconhecido pela propriedade enunciada. Exemplo 3.4 Determine a equação do lugar geométrico dos pontos cuja razão das distâncias aos pontos A(−1, 3) e B(3,−2) seja 2. Se P (x, y) é um ponto qualquer do lugar geométrico procurado então P deve satisfazer à condição PA PB = 2. Usando a fórmula da distância obtemos √ (x + 1)2 + (y − 3)2 = 2 √ (x− 3)2 + (y + 2)2 x2 + 2x + 1 + y2 − 6y + 9 = 4(x2 − 6x + 9 + y2 + 4y + 4) x2 + 2x + 1 + y2 − 6y + 9 = 4x2 − 24x + 36 + 4y2 + 16y + 16 3x2 + 3y2 − 26x + 22y − 42 = 0 Conforme estudaremos adiante, seção 4.2, este lugar geométrico também é uma circunferência, mas isto não é facilmente reconhecível pela propriedade enunciada. CAPÍTULO 3. LUGARES GEOMÉTRICOS 20 Exemplo 3.5 Determine a equação do lugar geométrico dos pontos tais que o produto dos coe�cientes angulares das retas que os ligam aos pontos A(2,−1) e B(−2, 1) seja 1. Se P (x, y) é um ponto qualquer do lugar geométrico procurado então P deve satisfazer à condição mPAmPB = 1. Da de�nição de coe�ciente angular temos ( y + 1 x− 2 )( y − 1 x + 2 ) = 1 (y + 1)(y − 1) = (x− 2)(x + 2) y2 − 1 = x2 − 4 x2 − y2 = 4 Conforme estudaremos adiante, seção 4.4, este lugar geométrico é uma curva denominada hipérbole. 3.2 Problemas Propostos Problema 3.1 Determine a equação e esboce o lugar geométrico dos pontos eqüidistantes dos pontos A(−3, 1) e B(7, 5) Problema 3.2 Determine a equação do lugar geométrico dos pontos cuja distância ao ponto A(2,−1) vale 5. Problema 3.3 Determine a equação do lugar geométrico dos pontos cuja soma dos quadrados de suas distâncias aos pontos A(0, 0) e B(2,−4) vale 20. Problema 3.4 Um segmento de reta com 12 unidades de comprimento se desloca de modo que seus extremos se encontram sempre apoiados sobre os eixos coordenados. Determine a equação do lugar geométrico descrito por seu ponto médio. Problema 3.5 Considere os pontos A(2, 4) e B(5,−3). Determine a equação do lugar geométrico dos pontos P sabendo que o coe�ciente angular da reta por A e P é uma unidade maior que o coe�ciente angular da reta por B e P . Problema 3.6 Determine a equação do lugar geométrico dos pontos equidistantes do ponto A(3, 5) e da reta y = 1. Problema 3.7Determine a equação do lugar geométrico dos pontos equidistantes do ponto A(−2, 1) e da reta x = 3. Problema 3.8 Determine a equação do lugar geométrico dos pontos equidistantes do ponto A(1, 1) e da reta y = −x. Problema 3.9 Determine a equação do lugar geométrico dos pontos cuja soma das distâncias aos pontos A(−5, 0) e B(5, 0) vale 10. Problema 3.10 Determine a equação do lugar geométrico dos pontos cuja soma das distâncias aos pontos A(0, 2) e B(6, 2) vale 6. CAPÍTULO 3. LUGARES GEOMÉTRICOS 21 Problema 3.11 Determine a equação do lugar geométrico dos pontos cujo módulo da diferença das distâncias aos pontos A(−5, 0) e B(5, 0) vale 10. Problema 3.12 Determine a equação do lugar geométrico de um ponto que se move de maneira que a diferença entre os quadrados de suas distâncias os pontos (2,−2) e (4, 1) vale 12. Capítulo 4 Seções cônicas 4.1 Seções cônicas Uma superfície cônica é uma superfície gerada da seguinte maneira: tomamos uma circunferência C (diretriz) e um ponto �xo V (vértice) que não pertença ao plano que contém C. Tomamos uma reta (geratriz) que passa por V e seja tangente à C e fazemos esta reta se deslocar por C. A Figura 4.1 ilustra uma superfície cônica e seus elementos. vértice −→ folha superior −→ folha inferior −→ diretriz geratriz −→ −→ folha inferior Figura 4.1: Superfície cônica e seus elementos Ressaltamos que a superfície cônica é in�nita. O sólido denominado cone que muitos leitores estudaram na geometria elementar é na verdade um tronco da superfície cônica. As curvas obtidas pela interseção de uma superfície cônica com um plano secante são denominadas seções cônicas: circunferências, elipses, parábolas e hipérboles, ou ainda suas respectivas degenerações. A circunferência é a seção cônica obtida pela interseção da superfície cônica com um plano secante perpendicular ao seu eixo; se tal plano intercepta a superfície cônica sobre seu vértice temos um único ponto, que é a degeneração da circunferência. Se o plano secante é paralelo a uma geratriz a seção cônica obtida é uma parábola; se tal plano for tangente a uma geratriz temos uma única reta, que é a degeneração da parábola Caso o plano secante não seja perpendicular ao eixo nem paralelo a uma geratriz e intercepte uma 22 CAPÍTULO 4. SEÇÕES CÔNICAS 23 única folha da superfície cônica obtemos uma elipse; aqui, novamente, se o plano secante intercepta a superfície cônica sobre seu vértice temos um único ponto, que também é a degeneração da elipse. Caso o plano secante não seja perpendicular ao eixo nem paralelo a uma geratriz e intercepte ambas as folhas da superfície cônica obtemos uma hipérbole; neste caso se o plano secante intercepta ambas as folhas e passa pelo vértice temos um par de retas concorrentes, que é a degeneração da hipérbole. Neste capítulo estudaremos as seções cônicas como lugares geométricos no plano. 4.2 Circunferência De�nição 1 (Circunferência como lugar geométrico no plano) circunferência é o lugar geométrico dos pontos do plano cuja distância a um ponto �xo é constanteinado centro da circunferência e a dis- tância de seus pontos ao centro é denominada raio da circunferência - Figura 4.2(a). centro raio (a) Centro e raio - 6 O x y P (x, y) r (b) Centro na origem e raio r Figura 4.2: Circunferências Consideremos uma circunferência de raio r e centro na origem (0, 0), conforme ilustrado na Figura 4.2(b). Se P (x, y) é um ponto da circunferência então PO = a, então, pela fórmula da distância entre dois pontos, √ (x− 0)2 + (y − 0)2 = r ∴ x2 + y2 = r2 (4.1) Exemplo 4.1 Determine o valor da constante b para que a reta y = x+b seja tangente à circunferência x2 + y2 = 8. Inicialmente determinamos a interseção da reta com a circunferência. Temos x2 + (x + b)2 = 8 x2 + x2 + 2bx + b2 = 8 2x2 + 2bx + b2 − 8 = 0 (4.2) Neste ponto observamos que as raízes da equação (4.2) nos dão as abscissas dos pontos de interseção da reta com a circunferência. Para que a reta seja tangente à circunferência deve haver um único CAPÍTULO 4. SEÇÕES CÔNICAS 24 ponto de interseção, logo a equação (4.2) deve possuir uma raiz dupla, e para isto seu discriminante (delta) deve valer zero. Assim 4b2 − 8(b2 − 8) = 0 ∴ −4b2 + 64 = 0 ∴ b2 = 16 e lembrando que √ b2 = |b| temos |b| = 4 ∴ b = ±4. Assim as retas y = x + 4 e y = x− 4 são tangentes à circunferência x2 + y2 = 8, conforme ilustrado na Figura 4.3. - 6 b = 0 b = −4b = 4b = 8 b = −8 Figura 4.3: Família de retas y = x + b e circunferência x2 + y2 = 8 Neste exemplo ressaltamos as duas outras possibilidades, também ilustradas na Figura 4.3 • para que a reta seja secante à circunferência devemos ter dois pontos de interseção, logo a equação (4.2) deve possuir duas raízes reais distintas. Para isto seu discriminante (delta) deve ser positivo, isto é 4b2 − 8(b2 − 8) > 0 ∴ −4b2 + 64 > 0 ∴ b2 − 16 < 0 ∴ −4 < b < 4. • para que a reta não possua interseção com a circunferência a equação (4.2) nâo deve possuir raízes reais. Para isto seu discriminante (delta) deve ser negativo, isto é 4b2 − 8(b2 − 8) < 0 ∴ −4b2 + 64 < 0 ∴ b2 − 16 > 0 ∴ b < −4 ou b > 4. 4.3 Elipse De�nição 2 (Elipse como lugar geométrico no plano) Elipse é o lugar geométrico dos pontos cuja soma das distâncias a dois pontos �xos, denominados focos, é constante. A Figura 4.4(a) ilustra uma elipse e seus diversos elementos: • Focos: pontos F1 e F2. • Eixo maior: segmento de reta V1V2 que passa pelos focos. CAPÍTULO 4. SEÇÕES CÔNICAS 25 • Vértices: pontos V1 e V2. Os vértices são as extremidades do eixo maior. • Centro: ponto C. O centro é o ponto médio dos focos e também dos vértices. • Eixo menor: segmento de reta P1P2 que passa pelo centro e é perpendicular ao eixo maior. C V1 V2 F1 F2 P1 P2 P (a) Elementos da elipse C V1 V2 F1 F2 b b c c a a (b) Medidas a, b e c Figura 4.4: Elementos e medidas de uma elipse Conforme ilustrado na Figura 4.4(b), no estudo da elipse adotamos as seguintes convenções para suas medidas: (onde a, b e c são números reais positivos, a > b e a > c) • Distância entre os vértices (comprimento do eixo maior): 2a. • Comprimento do eixo menor: 2b. • Distância entre os focos (distância focal): 2c. 4.3.1 Elipse - centro na origem e eixo maior horizontal Consideremos uma elipse de eixo maior horizontal de comprimento 2a e centro na origem (0, 0), con- forme ilustrado na Figura 4.5(a). Neste caso, usando as medidas convencionadas anteriormente, ob- servamos que • os vértices são os pontos V1(−a, 0) e V2(a, 0); • os focos são os pontos F1(−c, 0) e F2(c, 0); • as extremidades do eixo menor são os pontos P1(0, b) e P2(0,−b). Pela de�nição de elipse como lugar geométrico, o ponto P (x, y) pertence à elipse se e somente se PF1 + PF2 = constante. (4.3) Surge uma questão: qual o valor desta constante? Podemos obtê-la aplicando a de�nição para um dos vértices, digamos para o vértice V1. Temos V1F1 + V1F2 = constante ∴ (a− c) + (a + c) = constante ∴ 2a = constante CAPÍTULO 4. SEÇÕES CÔNICAS 26 6 - (0, 0)V1(−a, 0) V2(a, 0)F1(−c, 0) F2(c, 0) P1(0, b) P2(0,−b) P (x, y) (a) Elipse horizontal com centro na origem F1 F2 P1 cc b aa a2 = b2 + c2 (b) Relação entre a, b, c Figura 4.5: Elipse horizontal com centro na origem e relação entre as medidas a, b e c ou seja, esta constante é exatamente o comprimento do eixo maior. Assim a equação (4.3) torna-se PF1 + PF2 = 2a. Pela fórmula da distância entre dois pontos, obtemos √ (x + c)2 + (y − 0)2 + √ (x− c)2 + (y − 0)2 = 2a√ (x + c)2 + y2 + √ (x− c)2 + y2 = 2a. Isolamos uma das raízes no membro esquerdo e elevamos ao quadrado √ (x + c)2 + y2 = 2a− √ (x− c)2 + y2 [√ (x + c)2 + y2 ]2 = [ 2a− √ (x− c)2 + y2 ]2 (x + c)2 + y2 = 4a2 − 4a √ (x− c)2 + y2 + (x− c)2 + y2 x2 + 2cx + c2 + y2 = 4a2 − 4a √ (x− c)2 + y2 + x2 − 2cx + c2 + y2. Cancelando os termos comuns em ambos os membros e agrupando os termos restantes obtemos 4cx− 4a2 = −4a √ (x− c)2 + y2 a2 − cx = a √ (x− c)2 + y2 CAPÍTULO 4. SEÇÕES CÔNICAS 27 Elevando ao quadrado novamente e simpli�cando temos [a2 − cx ]2 = [ a √ (x− c)2 + y2 ]2 a4 − 2a2cx + c2x2 = a2(x2 − 2cx + c2 + y2) a4 − 2a2cx + c2x2 = a2x2 − 2a2cx + a2c2 + a2y2 c2x2 − a2x2 − a2y2 = +a2c2 − a4 (c2 − a2)x2 − a2y2 = a2(c2 − a2) (a2 − c2)x2 + a2y2 = a2(a2 − c2) Pela Figura 4.5(b) observamos1 que a2 = b2 + c2 ∴ b2 = a2 − c2. Assim a equação anterior torna-se b2x2 + a2y2 = a2b2 e �nalmente dividindo ambos os membros da equação por a2b2, temos x2 a2 + y2 b2 = 1 (4.4) que é a equação reduzida da elipse mostrada na Figura 4.5(a). Exemplo 4.2 Determine a equação da elipse de centro na origem, eixo maior horizontal de compri- mento 10 e eixo menor de comprimento 6. Temos que 2a = 10, donde a = 5, e 2b = 6, donde b = 3. Assim a equação desta elipse é x2 25 + y2 9 = 1 Como a2 = b2 + c2 temos 25 = 9 + c2 donde c2 = 16 e c = 4 (lembramos que a, b e c são sempre positivos). Finalmente concluímos que os vértices desta elipse são os pontos V1(−5, 0) e V2(5, 0), os focos são os pontos F1(−4, 0) e F2(4, 0) e as extremidades do eixo menor são os pontos P1(0, 3) e P2(0,−3). 4.3.2 Elipse - centro na origem e eixo maior vertical Consideremos uma elipse de eixo maior vertical de comprimento 2a e centro na origem (0, 0), conforme ilustrado na Figura 4.6. Neste caso observamos que: • os vértices são os pontos V1(0, a) e V2(0,−a); • os focos são os pontos F1(0, c) e F2(0,−c); • as extremidades do eixo menor são os pontos P1(b, 0) e P2(−b, 0). 1Na Figura 4.5(b) observamos, pela simetria da elipse, que o ponto P1 é equidistante dos dois focos. Lembrando que a soma das distância de um ponto da elipse aos seus focos vale 2a concluímos imediatamente que ambos os segmentos P1F1 e P1F2 medem a. Daí a relação a2 = b2 + c2 ) b2 = a2 − c2 CAPÍTULO 4. SEÇÕES CÔNICAS 28 - 6 (0, 0) V1(0, a) V2(0,−a) F1(0, c) F2(0,−c) P2(−b, 0) P1(b, 0) P (x, y) Figura 4.6: Elipse vertical com centro na origem De modo análogo ao caso de elipse com eixo maior horizontal, usando a de�nição de elipse como lugar geométrico pode-se mostrar que a equação reduzida da elipse mostrada na Figura 4.6 é dada por x2 b2 + y2 a2 = 1 (4.5) Observe que esta equação é bastante parecida com a equação (4.4), bastando permutar as constantes a e b. Em particular devemos observar atenciosamente que se a elipse possui eixo maior horizontal então a constante a (que é a medida do semi eixo maior) ocorre no denominador da variável x. Por outro lado, se a elipse possui eixo maior vertical a constante a ocorre no denominador da variável y. Exemplo 4.3 Consideremos a elipse de equação 25x2 + 9y2 = 225. (a) Sua equação reduzida é obtida dividindo todos seus termos por 225, de modo que o membro direito seja 1. Logo 25x2 225 + 9y2 225 = 225 225 ∴ x 2 9 + y2 25 = 1 (b) Pela equação reduzida observamos que a = 5 e b = 3. Logo esta elipse possui eixo maior de comprimento 2a = 10 e eixo menor de comprimento 2b = 6. Além disto o eixo maior é vertical. (c) Como a2 = b2 + c2 temos 25 = 9 + c2 donde c2 = 16 e c = 4. Logo a distância focal vale 2c = 8. (d) Finalmente observamos que os seus vértices são V1(0, 5) e V2(0,−5), os focos são os pontos F1(0, 4) e F2(0, 4) e as extremidades do eixo menor são os pontos P1(3, 0) e P2(0,−3). CAPÍTULO 4. SEÇÕES CÔNICAS 29 4.4 Hipérbole De�nição 3 (Hipérbole como lugar geométrico no plano) Hipérbole é o lugar geométrico dos pontos cujo módulo da diferença das distâncias a dois pontos �xos, denominados focos, é constante. A Figura 4.7(a) ilustra uma hipérbole e seus diversos elementos2: • Focos: pontos F1 e F2. • Eixo principal: reta que passa pelos focos. • Vértices: pontos V1 e V2. Os vértices são as interseções do eixo principal com a hipérbole. • Centro: ponto C. O centro é o ponto médio dos focos e também dos vértices. • Eixo conjugado: reta que passa pelo centro e é perpendicular ao eixo maior. • Assíntotas: par de retas concorrentes (concorrem no centro da hipérbole) eixo conjugado eixo principal assíntotaassíntota V1 V2F1 F2 (a) Elementos da hiperbole V1 a V2 a F1 F2 c c (b) Medidas a e c Figura 4.7: Elementos e medidas de uma hipérbole Conforme ilustrado na Figura 4.7(b), no estudo da hipérbole adotamos as seguintes convenções para suas medidas: (onde a e c são números reais positivos e c > a) • distância entre os vértices: 2a; • distância entre os focos (distância focal): 2c. 4.4.1 Hipérbole - centro na origem e eixo principal horizontal Consideremos uma hipérbole de eixo principal horizontal e centro na origem (0, 0), conforme ilustrado na Figura 4.8(a). Neste caso, usando as medidas convencionadas anteriormente, observamos que • os vértices são os pontos V1(−a, 0) e V2(a, 0); CAPÍTULO 4. SEÇÕES CÔNICAS 30 - 6 x y V1(−a, 0) V2(a, 0)F1(−c, 0) F2(c, 0) P (x, y) (a) Hipérbole horizontal com centro na origem 6 - y xV (a, 0) F (c, 0)a c b (b) Relação entre a, b, c Figura 4.8: Elementos e medidas de uma hipérbole • os focos são os pontos F1(−c, 0) e F2(c, 0). Pela de�nição de hipérbole como lugar geométrico, o ponto P (x, y) pertence à hipérbole se e somente se ∣∣PF1 − PF2 ∣∣ = constante. (4.6) Como no caso da elipse determinamos o valor da constante aplicando a de�nição de hipérbole para um dos vértices, digamos para o vértice V1. Temos ∣∣V1F1 − V1F2 ∣∣ = constante∣∣(c− a)− (a + c) ∣∣ = constante∣∣−2a∣∣ = constante 2a = constante ou seja, esta constante é exatamente a distância entre os vértices (como no caso da elipse). Assim a equação (4.6) torna-se ∣∣PF1 − PF2 ∣∣ = 2a. Procedendo de modo análogo à dedução da equação da elipse, após simpli�cações, obtemos (c2 − a2)x2 − a2y2 = a2(c2 − a2). (4.7) Pela Figura 4.8(b) observamos3 que c2 = a2 + b2 ∴ b2 = c2 − a2. Assim a equação anterior torna-se b2x2 − a2y2 = a2b2 2O leitor deve estar atento para o fato de a hipérbole possuir dois ramos, mas trata-se de uma única curva. 3A Figura 4.8(b), que mostra apenas uma parte do ramo direito de uma hipérbole, é construída da seguinte maneira: traçamos uma circunferência de mesmo centro da hipérbole e passando pelo seu foco; logo o raio desta circunferência vale c. No triângulo retângulo mostrado a hipotenusa vale c e um cateto vale a. Convencionando-se a medida do outro cateto como b temos que c2 = a2 + b2 ) b2 = c2 − a2. É importante ressaltar que a medida b não se refere a nenhuma medida da hipérbole, ela é usado para simpli�cação da equação e também, como veremos adiante, na determinação de suas assíntotas. CAPÍTULO 4. SEÇÕES CÔNICAS 31 e �nalmente dividindo ambos os membros da equação por a2b2, temos x2 a2 − y 2 b2 = 1 (4.8) que é a equação reduzida da hipérbole mostrada na Figura 4.8(a). Exemplo 4.4 Determine a equação da hipérbole de vértices (±4, 0) e focos (±5, 0). Como os vértices são (−4, 0) e (4, 0) concluímos que trata-se de uma hipérbole com eixo principal horizontal (o próprio eixo x) e centro na origem (uma vez que o centro da hipérbole é o ponto médio de seus vértices). A distância entre os vértices é de 8 unidades, logo 2a = 8 e a = 4; a distância focal é de 10 unidades, logo 2c = 10 e c = 5. Pela relação c2 = a2 + b2 temos que b2 = 25− 16 donde b = 3. Assim, substituindo os valores das constantes a e b em (4.8), a equação desta hipérbole é x2 16 − y 2 9 = 1 4.4.2 Hipérbole - centro na origem e eixo principal vertical - 6 x y V1(0,−a) V2(0, a) F1(0,−c) F2(0, c) P (x, y) Figura 4.9: Hipérbole vertical com centro na origem Consideremos uma hipérbole de eixo principal vertical, centro na origem (0, 0) e distância entre os vértices 2a, conforme ilustrado na Figura 4.9. Neste caso observamos que: • os vértices são os pontos V1(0,−a) e V2(0, a); • os focos são os pontos F1(0,−c) e F2(0, c). CAPÍTULO 4. SEÇÕES CÔNICAS 32 De modo análogo ao caso de hipérboles com eixo principal horizontal, usando a de�nição de hipér- bole como lugar geométrico pode-se mostrar que a equação reduzida da hipérbole da Figura 4.9 é dada por y2 a2 − x 2 b2 = 1 (4.9) Exemplo 4.5 Consideremos a hipérbole de equação 36y2 − 9x2 = 324. (a) Sua equação reduzida é obtida dividindotodos seus termos por 324, de modo que o membro direito seja 1. Logo 36y2 324 − 9x 2 324 = 324 324 ∴ y 2 9 − x 2 36 = 1 (b) Comparando-se a equação obtida com a equação (4.9) concluímos que se trata de uma hipérbole com eixo principal vertical, centro na origem, a = 3 e b = 6. (c) Como c2 = a2 + b2 temos que c2 = 9 + 36 = 45 ∴ c = √ 45 = 3 √ 5. Logo a distância focal vale 2c = 6 √ 5. (d) Finalmente observamos que os seus vértices são (0,±3) e os focos são (0,±3√5). Voltemos às equações das hipérboles com eixo principal horizontal, dada em (4.8), e com eixo principal vertical, dada em (4.9); repetidas aqui para �ns de comparação: Hipérbole com eixo principal horizontal : x 2 a2 − y 2 b2 = 1 Hipérbole com eixo principal vertical : y 2 a2 − x 2 b2 = 1 Observe que: • a variável que ocorre no termo positivo nos indica a direção do eixo principal da hipérbole; • a raiz quadrada do denominador do termo positivo nos dá a distância do centro ao vértice. Convém ainda ressaltar que, diferentemente das equações de elipses onde sempre a > b, nas equações de hipérboles podemos ter a > b, a = b ou a < b (no caso em que a = b a hipérbole é dita equilátera). 4.4.3 Assíntotas de hipérboles Uma reta é dita assíntota de uma curva se a distância de um ponto que se move sobre a parte extrema da curva à reta se aproxima de zero. As assíntotas ocorrem com certa freqüência nos grá�cos de algumas funções racionais, algébricas e transcendentes. No caso das seçôes cônicas, as únicas que apresentam comportamento assíntótico são as hipérboles4, conforme ilustrado na Figura 4.10. Ainda CAPÍTULO 4. SEÇÕES CÔNICAS 33 - 6 x y assíntotaassíntota F1 F2 a b (a) Hipérbole horizontal - 6 x y assíntotaassíntota F1 F2 b a (b) Hipérbole vertical Figura 4.10: Assíntotas de hipérboles horizontais e verticais nesta Figura observamos que cada hipérbole possui um par de assíntotas, que se cruzam no centro da própria hipérbole. Conforme sugerido na Figura 4.10(a) as assíntotas de uma hipérbole com eixo principal horizontal possuem coe�ciente angular ±b/a, e como tais retas concorrem na origem, suas equações são assíntota ascendente: y = b a x assíntota descendente: y = − b a x De modo análogo, conforme sugerido na Figura 4.10(b) as assíntotas de uma hipérbole com eixo principal vertical possuem coe�ciente angular ±a/b, e como tais retas concorrem na origem, suas equações são assíntota ascendente: y = a b x assíntota descendente: y = −a b x A argumentação anterior é bastante intuitiva e geométrica e não se trata de uma demonstração rigorosa do comportamento assíntótico de uma hipérbole. Para os leitores interessados nestes detalhes faremos aqui um comentário adicional de tal comportamento assíntótico para a hipérbole mostrada na Figura 4.10(a), cuja equação é (é necessário o conhecimento de limites) x2 a2 − y 2 b2 = 1 4Muitos estudantes conjecturam que as parábolas apresentam comportamento assíntótico, uma vez que tal curva parece se aproximar de uma reta em suas extremidades. Isto é falso: as parábolas não possuem assíntotas, o que ocorre é uma diminuição de sua curvatura em suas extremidades. CAPÍTULO 4. SEÇÕES CÔNICAS 34 Iniciamos isolando y nesta equação y2 b2 = x2 a2 − 1 ∴ y 2 b2 = x2 − a2 a2 ∴ y2 = b 2 a2 (x2 − a2) ∴ y = ± b a √ x2 − a2 Considerando agora apenas o primeiro quadrante, a distância vertical da hipérbole à reta de equação y = ba x é dada por b a √ x2 − a2 − b a x e simpli�cando b a (√ x2 − a2 − x) = b a (√ x2 − a2 − x)(√x2 − a2 + x)(√ x2 − a2 + x) = b a ( x2 − a2 − x2)(√ x2 − a2 + x) = ab(√ x2 − a2 + x) . Tomando-se o limite desta distância quando x → +∞, temos lim x→+∞ ab(√ x2 − a2 + x ) = lim x→+∞ ab(√ x2 ( 1− a2 x2 ) + x ) = lim x→+∞ ab( |x| √( 1− a2 x2 ) + x ) = 0. 4.5 Parábola De�nição 4 (Parábola como lugar geométrico no plano) parábola é o lugar geométrico dos pon- tos do plano eqüidistantes de um ponto �xo, denominado foco, e de uma reta �xa, denominada diretriz. A Figura 4.11(a) ilustra uma parábola e seus diversos elementos. • Foco: ponto F . • Diretriz. • Eixo: reta perpendicular à diretriz e que passa pelo foco. • Vértice: ponto V . É a interseção da parábola com seu eixo. A distância do vértice da parábola ao seu foco, o segmento FV na Figura 4.11(a), será denotada por p (este valor p muitas vezes é denominado parâmetro da parábola; como se trata de uma distância é sempre positivo). Observe, pela de�nição de parábola como lugar geométrico, que esta é a mesma distância do vértice à diretriz. 4.5.1 Equação da parábola - vértice na origem e concavidade para cima Consideremos uma parábola com vértice na origem (0, 0) e concavidade voltada para cima, conforme ilustrado na Figura 4.11(b). Neste caso observamos que • o foco é o ponto F (0, p); • a diretriz é a reta horizontal y = −p; • o eixo da parábola é o próprio eixo y. CAPÍTULO 4. SEÇÕES CÔNICAS 35 diretriz eixo da parábola V : vértice F : foco p p (a) Elementos da parábola - 6 x y diretriz y = −p eixo da parábola V (0, 0) F (0, p) P (x, y) (b) Parábola vértice na origem Figura 4.11: Elementos e medidas de uma parábola Pela de�nição de parábola como lugar geométrico, o ponto P (x, y) pertence à parábola se e somente se PF = distância de P à diretriz. Usando as fórmulas da distância entre dois pontos e a de um ponto a uma reta temos √ (x− 0)2 + (y − p)2 = |y + p |√ x2 + (y − p)2 = |y + p | Elevando ao quadrado, temos x2 + (y − p)2 = (y + p)2 x2 + y2 − 2py + p2 = y2 + 2py + p2 Cancelando os termos comuns em ambos os membros e agrupando os termos restantes obtemos x2 = 4py (4.10) que é a equação reduzida da parábola mostrada na Figura 4.11(b). Exemplo 4.6 Determine a equação da parábola com vértice na origem, concavidade para cima e que passa pelo ponto Q(6, 3). Inicialmente observamos que toda parábola com vértice na origem e concavidade para cima tem equação da forma (4.10), isto é, x2 = 4py. Necessitamos simplesmente determinar o valor do parâmetro p; como o ponto Q pertence à parábola suas coordenadas devem satisfazer sua equação. Substituindo as coordenadas do ponto Q na equação da parábola obtemos 62 = 12p ∴ p = 3. Logo a equação desta parábola é x2 = 12y. CAPÍTULO 4. SEÇÕES CÔNICAS 36 Exemplo 4.7 Determine a equação da parábola com vértice na origem e foco no ponto F (0, 4). Pelas localizações do vértice e do foco trata-se de uma parábola com concavidade para cima, e como o vértice situa-se na origem sua equação é da forma (4.10), isto é, x2 = 4py. Neste caso basta observar que sendo a distância do vértice ao foco de 4 unidades então p = 4. Logo a equação desta parábola é x2 = 16y. Exemplo 4.8 Determine o valor da constante a para que a reta y = ax− 4 seja tangente à parábola y = x2. Inicialmente determinamos a interseção da reta com a parábola. Temos x2 = ax− 4 x2 − ax + 4 = 0 (4.11) Neste ponto observamos que as raízes da equação (4.11) nos dão as abscissas dos pontos de interseção da reta com a parábola. Para que a reta seja tangente à parábola deve haver um único ponto de interseção, logo a equação (4.11) deve possuir uma raiz dupla, e para isto seu discriminante (delta) deve valer zero. Assim a2 − 16 = 0 ∴ a2 = 16 ∴ |a| = 4 ∴ a = ±4 Assim as retas y = 4x − 4 e y = −4x − 4 são tangentes à parábola y = x2, conforme ilustrado na Figura 4.12. Observe que todas as retas da família y = ax− 4 passam pelo ponto (0,−4). - 6 x y (0,−4) a = 4a = −4 0 < a < 4−4 < a < 0 a > 4a < −4 Figura 4.12: Família de retas y = ax− 4 e parábola y = x2 Neste exemplo ressaltamos as duas outras possibilidades, também ilustradas na Figura 4.12 • para que a reta seja secante à parábola devemos ter dois pontos de interseção, logo a equação (4.11) deve possuir duas raízes reais distintas. Para isto seu discriminante (delta) deve ser positivo, isto é a2 − 16 > 0 ∴ a < −4 ou a > 4. CAPÍTULO 4. SEÇÕES CÔNICAS 37 • para que a reta não possua interseção com a parábola (4.11) nâo deve possuir raízes reais. Para isto seudiscriminante (delta) deve ser negativo, isto é a2 − 16 < 0 ∴ −4 < a < 4. 4.5.2 Parábolas com vértice na origem A Figura 4.13 ilustra a quatro possibilidades de parábolas com vértice na origem5: - 6 x y x2 = 4py diretriz y = −p V (0, 0) F (0, p) (a) Côncava para cima - 6 x y x2 = −4py diretriz y = p V (0, 0) F (0,−p) (b) Côncava para baixo - 6 x y y2 = 4px diretriz x = −p V (0, 0) F (0, p) (c) Côncava para direita - 6 x y y2 = −4px diretriz x = p V (0, 0)F (0, p) (d) Côncava para esquerda Figura 4.13: Parábolas com vértice na origem 5Não estamos considerando aqui parábolas com eixos rotacionados, mas somente parábolas com eixo sobre um dos eixos cartesianos CAPÍTULO 4. SEÇÕES CÔNICAS 38 • Parábola com vértice na origem e concavidade para cima - Figura 4.13(a): conforme vimos anteriormente o foco é o ponto F (0, p), a diretriz é a reta horizontal y = −p e o eixo é o próprio eixo y. A equação desta parábola é x2 = 4py. (4.12a) • Parábola com vértice na origem e concavidade para baixo - Figura 4.13(b): neste caso observamos que o foco é o ponto F (0,−p), a diretriz é a reta horizontal y = p e o eixo é o próprio eixo y. A equação desta parábola é x2 = −4py, (4.12b) que o leitor deve deduzir de modo semelhante à dedução da equação (4.10). • Parábola com vértice na origem e concavidade para a direita - Figura 4.13(c): neste caso observamos que o foco é o ponto F (p, 0), a diretriz é a reta vertical x = −p e o eixo é o próprio eixo x. A equação desta parábola é y2 = 4px, (4.12c) que o leitor deve deduzir de modo semelhante à dedução da equação (4.10). • Parábola com vértice na origem e concavidade para a esquerda - Figura 4.13(d): neste caso observamos que o foco é o ponto F (−p, 0), a diretriz é a reta vertical x = p e o eixo é o próprio eixo x. A equação desta parábola é y2 = −4px, (4.12d) que o leitor deve deduzir de modo semelhante à dedução da equação (4.10). Exemplo 4.9 Determine o foco e a diretriz da parábola y2 = −12x, mostrada na Figura 4.14(a). Comparando a equação dada com as equações na Figura 4.13 observamos que esta é uma parábola de vértice na origem, eixo horizontal e concavidade voltada para a esquerda (indicada pelo sinal negativo). Temos que 4p = 12 ∴ p = 3. Assim o foco é o ponto (−3, 0) e a diretriz é a reta vertical x = 3. Exemplo 4.10 Determine a equação da parábola com vértice na origem, eixo horizontal e que passa pelo ponto (4, 8). Pelas informações dadas observamos que trata-se de uma parábola com concavidade para a direita. Assim, pela Figura 4.13 a equação desta parábola é da forma y2 = 4px. Devemos simplesmente determinar o valor do parâmetro p obrigando a parábola passar pelo ponto dado, isto é, 64 = 16p ∴ p = 4. Assim a equação desta parábola, mostrada na Figura 4.14(b), é y2 = 16x. CAPÍTULO 4. SEÇÕES CÔNICAS 39 - 6 x y x = 3 V (0, 0)F (0,−3) (a) Parábola do Exemplo 4.9 - 6 x y x = −4 V (0, 0) F (0, 4) (4,8) (b) Parábola do Exemplo 4.10 Figura 4.14: Parábolas dos Exemplos 4.9 e 4.10 4.5.3 Propriedade de re�exão das parábolas Muitas das aplicações das parábolas se baseiam em sua propriedade de re�exão: seja P um ponto qualquer da parábola. Considere os segmentos PF e PQ, onde PQ é paralelo ao eixo da parábola. Os ângulos α e β formados pela tangente em P com estes segmentos, são iguais, conforme ilustrado na Figura 4.15(a). Esta propriedade é utilizada na construção de faróis da seguinte maneira: girando-se um arco de parábola em torno de seu eixo obtemos uma superfície cuja forma é o espelho de um farol parabólico. Quando a fonte de luz é colocada sobre o foco todas os raios luminosos que se re�etirem na parábola o farão paralelamente ao seu eixo. De modo análogo o princípio é também aplicado na construção de antenas parabólicas, nas quais os receptores são colocado sobre o foco. Exemplo 4.11 Um farol parabólico tem abertura circular cujo diâmetro é de 48 cm e profundidade, sobre seu eixo, de 18 cm, conforme ilustrado na Figura 4.16(a). A que distância, sobre o eixo, a lâmpada deverá ser posicionada? Pela propriedade de re�exão das parábolas a lâmpada deve ser posicionado sobre o foco. A solução do problema consiste então em determinar a distância do foco ao vértice, isto é, o valor de p; e para tal selecionamos uma seção transversal do farol que contenha seu eixo: uma parábola conforme ilustrado na Figura 4.16(b). (Observamos que esta seção transversal pode ser posicionada em qualquer posição sobre o sistema de eixos cartesianos, escolhemos uma de nossa conveniência). Pelas medidas fornecidas observamos ainda que a parábola da Figura 4.16(b), cuja equação é da forma y2 = 4px, passa pelo ponto (18, 24). Substituindo as coordenadas deste ponto na equação da parábola obtemos 242 = 72p ∴ p = 8. Logo a lâmpada deverá ser posicionada sobre o eixo a 8 cm do vértice. CAPÍTULO 4. SEÇÕES CÔNICAS 40 V F P Q α β α = β (a) Princípio de re�exão V F P (b) Propriedade de re�exão Figura 4.15: Propriedade de re�exão da parábola 4.6 Problemas Propostos Problema 4.1 Esboce e determine a área da região do plano cartesiano delimitada por x2 + y2 ≤ 64, x + y ≥ 4 x ≥ 0 e y ≥ 0. Problema 4.2 Escreva as equações das elipses mostradas na Figura 4.17 e determine as coordenadas de sues focos. Problema 4.3 Dada a elipse x2169 + y2 144 = 1, esboce seu grá�co e determine: (a) o comprimento do semi-eixo maior (b) o comprimento do semi-eixo menor (c) as coordenadas dos focos (d) as coordenadas dos vértices Problema 4.4 Dada a elipse 225x2 + 289y2 = 65025, esboce seu grá�co e determine: (a) o comprimento do semi-eixo maior (b) o comprimento do semi-eixo menor (c) as coordenadas dos focos (d) as coordenadas dos vértices Problema 4.5 Dada a elipse x24 + y2 9 = 1, esboce seu grá�co e determine: (a) o comprimento do semi-eixo maior (b) o comprimento do semi-eixo menor (c) as coordenadas dos focos (d) as coordenadas dos vértices Problema 4.6 Determine a equação da elipse de focos (±3, 0) e que passa pelo ponto (0, 4). Problema 4.7 Determine a equação da elipse com centro na origem, um foco em (0, 3) e eixo maior medindo 10 unidades. CAPÍTULO 4. SEÇÕES CÔNICAS 41 V 24 24 18 (a) Farol parabólico - 6 x y V (18, 24) (18,−24) (b) Seção transversal Figura 4.16: Farol parabólico e seção transversal pelo seu eixo Problema 4.8 Determine o lugar geométrico dos pontos do plano cuja soma das distâncias aos pontos (0,±5) vale 26. Problema 4.9 Determine os pontos em que a reta 5x + y = 5 intercepta a elipse 25x2 + y2 = 25. Problema 4.10 Determine os pontos em que a reta x + 2y = 6 intercepta a elipse x2 + 4y2 = 20. Esboce ambos os grá�cos no mesmo sistema de coordenadas e assinale os pontos de interseção. Problema 4.11 A orbita da Terra é uma elipse e o sol ocupa um dos focos. Problema 4.12 Esboce cada uma das parábolas, indicando as coordenadas do foco e a equação da diretriz. (a) y = 8x2 (b) y = 2x2 (c) y = −4x2 (d) y = 18x2 (e) x = 6y2 (f) x = −8y2 (g) x2 = 2y (h) y2 = 3x Problema 4.13 Determine o valor de k para que a parábola y = kx2 tenha foco no ponto (3, 0). Problema 4.14 Determine os pontos em que a reta x + y = 1 intercepta a parábola x2 − y = 0. Problema 4.15 Em um farol parabólico a abertura tem diâmetro de 80 cm e profundidade, sobre seu eixo, de 20 cm. Determine a distância, em relação ao vértice do farol, em que a lâmpada deve ser posicionada. Problema 4.16 Um telescópio re�etor tem um espelho parabólico para o qual a distância do vértice ao foco é 3 m. Se o diâmetro da abertura do espelho for 64 cm, qual a profundidade do espelho no centro?. Problema 4.17 Suponha que a órbita de um planeta tenha a forma de uma elipse com eixo maior cujo comprimento é 500 milhões de quilômetros. Se a distância entre os focos for de 400 milhões de quilômetros, ache a equação da órbita. Problema 4.18 Escreva as equações das assíntotas de cada uma das hipérboles. CAPÍTULO 4. SEÇÕES CÔNICAS 42 6y - x 4 6 (a) 6y - x 4 1 (b) Figura 4.17: Elipses do Problema 4.2 (a) 9x2 −y2 = 9 (b) 4x2 − 7y2 = 28 (c) 4y2 − 9x2 = 36 Problema 4.19 Para cada hipérbole dada determine as coordenadas dos vértices e dos focos, escreva as equações de suas assíntotas e esboce-a (juntamente com suas assíntotas) no sistema de eixos. (a) x29 − y 2 4 = 1 (b) y 2 − 4x2 = 16 (c) x2 − y2 = 1 (d) y29 − x 2 4 = 1 Problema 4.20 Determine a equação da hipérbole que satisfaz as condições dadas. (a) Focos (0,±4) e vértices (0,±1). (b) Focos (±5, 0) e vértices (±3, 0). (c) Vértices (±3, 0) com assíntotas y = ±2x. Problema 4.21 Determine a equação da hipérbole com centro na origem, eixo principal vertical e que passa pelos pontos (4, 6) e (1,−3). Problema 4.22 Determine a equação de cada seção cônica. (a) Hipérbole de vértices (0,±7) e b = 3. (b) Parábola de foco (0,−10) e diretriz y = 10. (c) Elipse de vértices (0,±10) e focos (0,±5). (d) Hipérbole de vértices (0,±6) e assíntotas y = ±9x. Problema 4.23 Determine o valor da constante m para que a reta y = mx + 8 seja tangente à elipse 16x2 + 25y2 = 400. Problema 4.24 Prove o princípio de re�exão das parábolas, isto é, na Figura 4.15(a) mostre que α = β. CAPÍTULO 4. SEÇÕES CÔNICAS 43 Problema 4.25 Seja Q um ponto interior de uma dada circunferência (diferente do centro). Con- sidere um ponto P que se move mantendo-se eqüidistante de Q e da circunferência. Mostre que o lugar geométrico da trajetória de P é uma elipse. Problema 4.26 Mostre que, para que a reta ax+by+c = 0 seja tangente à parábola y2 = kx, devemos ter 4ac = kb2. Capítulo 5 Seções cônicas transladadas 5.1 Introdução No Capítulo anterior estudamos as seções cônicas posicionadas de forma conveniente em relação à origem do sistema Cartesiano. O leitor se recordará que os vértices das parábolas e os centros das circunferências, elipses e hipérboles sempre se localizavam na origem. Entretanto este não é sempre o caso; podemos estudar parábolas com vértices locados em qualquer ponto do sistema de eixos, e o mesmo pode ocorrer com centros das demais seções cônicas. Estudaremos agora como as equações das seções cônicas se alteram quando as localizamos em posições diferentes daquelas vistas anteriormente. 5.2 Translação de eixos A idéia de uma translação de eixos é substituir um dado sistema de eixos por um outro sistema, mantendo-se as respectivas direções dos eixos dados1 e cuja origem se localiza em um ponto de nossa conveniência. - 6 - 6 x y u v xo yo (a) Sistemas de eixos xy e uv - 6 - 6 xo yo P u x vy (b) Ponto P qualquer Figura 5.1: Translação de eixos 1Se as direções de ambos os eixos são alteradas por um mesmo ângulo ocorre uma rotação de eixos, conforme veremos em Capítulo posterior. 44 CAPÍTULO 5. SEÇÕES CÔNICAS TRANSLADADAS 45 A Figura 5.1(a) ilustra o sistema de coordenadas uv com origem no ponto (xo, yo) do sistema de coordenadas xy. Na Figura 5.1(b) assinalamos um ponto P qualquer do plano. No sistema uv as cordenadas deste ponto são P (u, v), enquanto no sistema xy suas coordenadas são P (x, y). Nesta Figura observamos facilmente as relações entre as coordenadas do sistema xy e as coordenadas do sistema uv: { x = xo + u y = yo + v ∴ { u = x− xo v = y − yo (5.1) As equaçãoes dadas em (5.1) são denominadas equações de translação de eixos. 5.2.1 Circunferência de raio r e centro (xo, yo) A Figura 5.2(a) mostra uma circunferência de raio r e centro no ponto C(xo, yo). A equação desta circunferência pode ser facilmente obtida: se P é um ponto qualquer da circunferência então PC = r. Usando a fórmula da distância entre dois pontos obtemos PC = r ∴ √ (x− xo)2 + (y − yo)2 = r ∴ (x− xo)2 + (y − yo)2 = r2 que é a equação reduzida de uma circunferência de raio r e centro no ponto (xo, yo). - 6 x y xo yo C(xo, yo) r P (x, y) (a) Circunferência com centro (xo, yo) - 6 - 6 x y u v xo yo C r P (b) Centro na origem do sistema uv Figura 5.2: Circunferências transladadas Uma maneira alternativa, e mais simples, para obtermos a equação desta circunferência está ilustrada na Figura 5.2(b). Nesta Figura introduzimos um novo sistema de eixos uv cuja origem se localiza no centro da circunferência dada. Assim, em relação ao sistema uv, temos uma circunferência de centro na origem e raio r, cuja equação, de acordo com a seção 4.2, é u2 + v2 = r2 Substituindo as variáveis u e v pela equações de translação de eixos dadas em (5.1) obtemos (x− xo)2 + (y − yo)2 = r2 (5.2) que é exatamente a equação de uma circunferência de raio r e centro no ponto (xo, yo) em relação ao sistema xy. CAPÍTULO 5. SEÇÕES CÔNICAS TRANSLADADAS 46 5.2.2 Elipses com centro em (xo, yo) Eixo maior horizontal A Figura 5.3(a) mostra uma elipse de eixo maior horizontal e centro no ponto C(xo, yo). Nesta Figura introduzimos um novo sistema de eixos uv cuja origem se localiza no centro da elipse dada. Assim, em relação ao sistema uv, temos uma elipse de eixo maior horizontal e centro na origem, cuja equação, de acordo com a seção 4.3, é u2 a2 + v2 b2 = 1 Substituindo as variáveis u e v pela equações de translação de eixos dadas em (5.1) obtemos (x− xo)2 a2 + (y − yo)2 b2 = 1 (5.3a) que é a equação de uma elipse de eixo maior horizontal e centro no ponto (xo, yo) em relação ao sistema xy. - 6 - 6 x y u v xo yo C (a) Elipse horizontal com centro (xo, yo) - 6 x y xo yo CV1 V2 P2 P1 F1 F2 (b) Vértices e focos da elipse horizontal Figura 5.3: Elipse horizontal transladada Lembrando que na elipse o comprimento do eixo maior é 2a, do eixo menor é 2b e a distância focal é 2c, na Figura 5.3(b) observamos que para uma elipse de eixo maior horizontal e centro no ponto (xo, yo) temos (em relação ao sistema xy): • os focos são os pontos F1(xo − c, yo) e F2(xo + c, yo), • os vértices são os pontos V1(xo − a, yo) e V2(xo + a, yo), • as extremidades do eixo menor são os pontos P1(xo, yo − b) e P2(xo, yo + b). Exemplo 5.1 Consideremos a elipse de equação (x−3)225 + (y+2)2 9 = 1. (a) Comparando-se a equação desta elipse com a equação (5.3a) concluímos que seu centro é o ponto (3,−2) CAPÍTULO 5. SEÇÕES CÔNICAS TRANSLADADAS 47 (b) Também pela equação da elipse observamos que a = 5 e b = 3. Como a2 = b2 + c2 temos que c = 4. Logo a distância focal vale 2c = 8. (c) A Figura 5.4 ilustra esta elipse. Como se trata de uma elipse com eixo maior horizontal com os pontos assinalados na Figura 5.4 podem ser obtidos da seguinte maneira: • a partir do centro (3,−2) deslocamos a = 5 unidades para a esquerda e a = 5 unidades para a direita para obtermos as coordenadas dos vértices, que respectivamente são (−2,−2) e (8,−2); • a partir do centro (3,−2) deslocamos c = 4 unidades para a esquerda e c = 4 unidades para a direita para obtermos as coordenadas dos focos, que respectivamente são (−1,−2) e (7,−2); • a partir do centro (3,−2) deslocamos b = 3 unidades acima e b = 3 unidades abaixo para obtermos as coordenadas das extremidades do eixo menor, que respectivamente são (3, 1) e (3,−5). - 6 x y (-2,-2) (8,-2) (3,-5) (3,1) (3,-2)(-1,-2) (7,-2) Figura 5.4: Elipse com eixo maior horizontal e centro (3,−2) Eixo maior vertical A Figura 5.5(a) mostra uma elipse de eixo maior vertical e centro no ponto C(xo, yo). De modo análogo ao caso anterior, a equação desta elipse no sistema de eixos uv, de acordo com a seção 4.3, é v2 a2 + u2 b2 = 1 Substituindo as variáveis u e v pela equações de translação de eixos dadas em (5.1) obtemos (y − yo)2 a2 + (x− xo)2 b2 = 1 (5.3b) que é a equação de uma elipse de eixo maior vertical e centro no ponto (xo, yo) em relação ao sistema xy. Na Figura 5.5(b) observamos que para uma elipse de eixo maior vertical e centro no ponto (xo, yo) temos (em relação ao sistema xy): CAPÍTULO 5. SEÇÕES CÔNICAS TRANSLADADAS 48 - 6 - 6 x y xo yo C u v (a) Elipse vertical com centro (xo, yo) - 6 x y xo yo C V1 V2 P1 P2 F1 F2 (b) Vértices e focos da elipse vertical Figura 5.5: Elipse vertical transladada • os focos são os pontos F1(xo, yo − c) e F2(xo, yo + c), • os vértices são os pontos V1(xo,
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