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TEORIA DAS ESTRUTURAS I Parte 1 Notas de Aula – CIV208 Ricardo Azoubel da Mota Silveira Colaboração: A ndréa R egina D ias da Silva B runo Palhares Departamento de Engenharia Civil Escola de Minas Universidade Federal de Ouro Preto 2008 SUMÁRIO 1. Introdução 1.1. Engenharia Estrutural .................................................................................... 1 1.2. Projetos de Engenharia ................................................................................ 16 1.3. Análise Estrutural ......................................................................................... 16 1.4. Importância: Teoria das Estruturas ............................................................... 17 2. Fundamentos 2.1. Sistema de Referência: Cartesiano .............................................................. 18 2.2. Momento de uma Força/Regra da Mão Direita ............................................. 18 2.3. Equações de Equilíbrio ................................................................................ 19 2.4. Transmissão de Forças ................................................................................ 19 2.5. Idealização: Modelos ................................................................................... 20 2.6. Princípio da Superposição ........................................................................... 20 2.7. Tipos de Esforços (Forças) Atuantes ........................................................... 20 2.8. Tipos de Apoio ............................ ............................................................... 21 2.9. Reações de Apoio ........................... ........................................................... 21 2.10. Esforços (Forças) Seccionais ....................................................................... 22 2.11. Convenção Clássica de Sinais ..................................................................... 22 2.12. Classificação das Estruturas de Barras ........................................................ 23 2.13. Vigas ............................................................................................................ 24 2.13.1. Vigas Isostáticas .......................................................................................... 25 2.13.2. Vigas Gerber ................................................................................................ 26 3. Sistemas Estruturais 3.1. Tipos de Apoio ............................ ............................................................... 27 3.2. Vigas e Pórticos (Quadros) .......................................................................... 27 3.3. Arcos ........................................................................................................... 31 3.4. Treliças ........................................................................................................ 38 3.5. Grelhas ........................................................................................................ 44 4. Pórticos (Quadros) Isostáticos 4.1. Introdução .................................................................................................... 49 4.2. Pórticos Biapoiados ..................................................................................... 52 4.3. Pórticos Engastados-Livres .......................................................................... 52 4.4. Pórticos Triarticulados .................................................................................. 53 4.5. Pórticos Biapoiados com Articulação e Tirante (Escora) .............................. 53 4.6. Pórticos Compostos ..................................................................................... 54 4.7. Estabilidade ................................................................................................. 59 4.8. Grau de Indeterminação .............................................................................. 61 4.9. Barras Inclinadas ......................................................................................... 63 4.10. Pórticos com Barras Curvas (Arcos) ............................................................ 68 4.11. Arcos Triarticulados ..................................................................................... 68 4.12. Pórticos Espaciais ........................................................................................ 76 Referências Bibliográficas ................................................................................. 79 1. INTRODUÇÃO1. INTRODUÇÃO Teoria das Estruturas I 1 • Passarelas 1.1. ENGENHARIA ESTRUTURAL INTERFACE COM DIVERSAS DISCIPLINAS a) Exemplos de projetos que envolvem Engenharia Estrutural • Concepção • Projeto • Construção do sistema estrutural INTRODUÇÃO Teoria das Estruturas I (Av. Nossa Senhora do Carmo, BH) 2 INTRODUÇÃO Teoria das Estruturas I 3 INTRODUÇÃO Termoelétrica de Cogeração Cemig – V&M Tubes do Brasil Teoria das Estruturas I 4 • Termoelétricas INTRODUÇÃO Teoria das Estruturas I 5 • Parque de Exposições INTRODUÇÃO Teoria das Estruturas I 6 • Pontes INTRODUÇÃO Teoria das Estruturas I 7 Teoria das Estruturas I 8 INTRODUÇÃO • Galpões INTRODUÇÃO Teoria das Estruturas I 9 • Edifícios Residenciais INTRODUÇÃO Teoria das Estruturas I 10 • Edifícios Comerciais • Escolas INTRODUÇÃO Teoria das Estruturas I 11 • Barragens • Estruturas Offshore INTRODUÇÃO Teoria das Estruturas I 12 • Estruturas Offshore • Veículos INTRODUÇÃO Catedral Metropolitana - DF Oscar Niemeyer Teoria das Estruturas I Millenium Dome Greenwich Tensoestrutura 13 • Outros INTRODUÇÃO Teoria das Estruturas I Pavilhão de Exposições em Leipzig 14 INTRODUÇÃO Teoria das Estruturas I Terminal Marítimo de Ponta da Madeira – CVRD 15 INTRODUÇÃO Teoria das Estruturas I 16 • Concepção • Projeto preliminar � Importante participação do engenheiro estrutural. � Definição da construção propriamente dita (aço, concreto, madeira, bambu, alvenaria, tenso-estruturas, etc). • Seleção � Escolha da alternativa com melhor relação custo/benefício. � Papel importante do eng. calculista. • Projeto Final � Análise estrutural precisa. � Detalhamento completo com desenhos e especificações. • Construção � Fabricação e transporte quando necessário. 1.2. PROJETOS DE ENGENHARIA � Em conjunto com o cliente, arquitetos, planejadores e outros. � Época de grandes transtornos. Processo pelo qual o Engenheiro Estrutural determina a resposta da estrutura a partir de determinadas ações ou cargas. 1.3. ANÁLISE ESTRUTURAL INTRODUÇÃO Teoria das Estruturas I 17 Conceitos Fundamentais Disciplinas Eletivas 1.4. IMPORTÂNCIA: TEORIA DAS ESTRUTURAS I • Matriciais: A partir da utilização e evolução dos computadores. Por exemplo, Método dos Elementos Finitos (MEF), Método das Diferenças Finitas (MDF) e Método dos Elementos de Contorno (MEC). • Clássicos: Surgiram da necessidade da época, com certo avanço tecnológico (Método de Cross). Métodos de AnáliseMétodos de Análise Serão apresentados os métodos matriciais com as suas respectivas formas de programação. Serão obtidos através dos métodos clássicos aplicados a problemas de pequeno porte que deverão ser resolvidos manualmente. 2. FUNDAMENTOS2. FUNDAMENTOS Teoria das Estruturas I 18 2.1. SISTEMA DE REFERÊNCIA: CARTESIANO 2.2. MOMENTO DE UMA FORÇA / REGRA DA MÃO DIREITA FUNDAMENTOS a. No plano ∑ XF = 0 ∑ YF = 0 b. No espaço ∑ ∑ ∑X Y ZF = 0, F = 0, F = 0 ∑ ∑ ∑X Y ZM = 0, M = 0, M = 0 ∑ AM = 0 Estrutura coluna viga laje Fundações Teoria das Estruturas I 19 2.3. EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO 2.4. TRANSMISSÃO DE FORÇAS externos seccionais ou solicitantes internos ativos reativos permanentes acidentais estáticos dinâmicos Teoria das Estruturas I 20 FUNDAMENTOS 2.5. IDEALIZAÇÃO:MODELOS 2.6. PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO 2.7. TIPOS DE ESFORÇOS (FORÇAS) ATUANTES += P P F F Representação unifilar Eixo geométrico Seção Transversal R R R R p p Representação adotada nesta apostilageométrico deformado Tangente ao eixo Barra deformada R R p RRepresentações Denominações Reações Deslocamentos Livres Articulado móvel ou apoio de rolete (no espaço bidimensional) Vertical Horizontal e rotação Articulado fixo (no espaço bidimensional) Horizontal e vertical Rotação Engaste ou fixo (no espaço bidimensional) Horizontal, vertical e momento Nenhum Engaste no espaço tridimensional Forças e momentos segundo três eixos ortogonais Nenhum Articulado esférico fixo Forças segundo três eixos ortogonais Rotações Articulado esférico móvel Vertical Horizontais e rotações Luva ou com guia de deslizamento Vertical e momento Horizontal Patim Horizontal e momento Vertical Teoria das Estruturas I 21 Denominações Reações Articulado móvel (no plano XY) Articulado fixo (no plano XY) Engaste (no plano XY) Engaste no espaço tridimensional Articulado esférico fixo Articulado esférico móvel Luva Patim FUNDAMENTOS 2.8. TIPOS DE APOIO 2.9. REAÇÕES DE APOIO • Esforço ou força normal N • Esforço ou força cortante V • Momento fletor M • Momento de torção T a) Deformações Esforço normal Esforço cortante Momento fletor Momento de torção Esforço normal Momento fletor Esforço cortante Momento de torção Teoria das Estruturas I 22 FUNDAMENTOS Seção transversal 2.10. ESFORÇOS (FORÇAS) SECCIONAIS 2.11. CONVENÇÃO CLÁSSICA DE SINAIS • Viga • Pórtico (plano e espacial) • Grelha • Treliça (plana e espacial) • Mista com arcos, escoras, tirantes e/ou cabos (a) Viga biapoiada (b) Viga em balanço (c) Pórtico plano (d) Pórtico espacial (e) Grelha (f) Treliça plana (g) Treliça espacial Teoria das Estruturas I 23 FUNDAMENTOS 2.12. CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS DE BARRAS Em arco inferior Em arco superior (h) Mista com arcos, escoras, tirantes e/ou cabos Em arco superior Teoria das Estruturas I 24 FUNDAMENTOS 2.13. VIGAS (a) Biapoiada (b) Em balanço (c) Biengastada (d) Contínua de 2 vãos P P p p pp (e) Biapoiada com 1 balanço (f) Contínua de 2 vãos e 2 balanços (g) Biapoiada com 2 balanços (h) Contínua de 3 vãos P P P p pp p a) Diagramas Teoria das Estruturas I 25 FUNDAMENTOS 2.13.1. VIGAS ISOSTÁTICAS (a) Biapoiada P (b) Em balanço p (c) Biapoiada com 1 balanço (d) Biapoiada com 2 balanços p P p DMF DMF DMF Teoria das Estruturas I 26 FUNDAMENTOS 2.13.2. VIGAS GERBER 3. SISTEMAS ESTRUTURAIS 3. SISTEMAS ESTRUTURAIS EM BARRASEM BARRAS Articulado móvel (apoio do 1o gênero) Articulado fixo (apoio do 2o gênero) Engaste Teoria das Estruturas I 27 3.1. TIPOS DE APOIOS 3.2. VIGAS E PÓRTICOS (QUADROS) SISTEMAS ESTRUTURAIS EM BARRAS Teoria das Estruturas I 28 SISTEMAS ESTRUTURAIS EM BARRAS Teoria das Estruturas I 29 SISTEMAS ESTRUTURAIS EM BARRAS Teoria das Estruturas I 30 SISTEMAS ESTRUTURAIS EM BARRAS Teoria das Estruturas I 31 3.3. ARCOS SISTEMAS ESTRUTURAIS EM BARRAS Teoria das Estruturas I 32 SISTEMAS ESTRUTURAIS EM BARRAS Teoria das Estruturas I 33 SISTEMAS ESTRUTURAIS EM BARRAS Teoria das Estruturas I 34 SISTEMAS ESTRUTURAIS EM BARRAS Teoria das Estruturas I 35 SISTEMAS ESTRUTURAIS EM BARRAS Teoria das Estruturas I 36 SISTEMAS ESTRUTURAIS EM BARRAS Teoria das Estruturas I 37 SISTEMAS ESTRUTURAIS EM BARRAS Teoria das Estruturas I 38 3.4. TRELIÇAS SISTEMAS ESTRUTURAIS EM BARRAS Teoria das Estruturas I 39 SISTEMAS ESTRUTURAIS EM BARRAS Teoria das Estruturas I 40 SISTEMAS ESTRUTURAIS EM BARRAS Teoria das Estruturas I 41 SISTEMAS ESTRUTURAIS EM BARRAS Teoria das Estruturas I 42 SISTEMAS ESTRUTURAIS EM BARRAS Teoria das Estruturas I 43 SISTEMAS ESTRUTURAIS EM BARRAS Teoria das Estruturas I 44 3.5. GRELHAS (a) A grid derived from a three-way pattern (b) A grid derived from a four-way pattern(a) A grid derived from a three-way pattern (b) A grid derived from a four-way pattern (c) Removal of dotted lines gives rise to the pattern of the grid above (d) Removal of dotted lines gives rise to the pattern of the grid above SISTEMAS ESTRUTURAIS EM BARRAS Teoria das Estruturas I 45 Open or grid type paving units which allows grass to grow up through the regularly spaced openings SISTEMAS ESTRUTURAIS EM BARRAS Teoria das Estruturas I 46 SISTEMAS ESTRUTURAIS EM BARRAS Teoria das Estruturas I 47 SISTEMAS ESTRUTURAIS EM BARRAS Teoria das Estruturas I 48 4. PÓRTICOS (QUADROS) 4. PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOSISOSTÁTICOS São estruturas reticuladas formadas por várias barras situadas num único plano, com carregamento atuante no mesmo plano do sistema estrutural. • Os nós entre as barras são LIGAÇÕES RÍGIDAS ou ROTULADAS. • Esforços solicitantes numa dada seção: MOMENTO FLETOR (M), ESFORÇO CORTANTE (V) e ESFORÇO NORMAL (N). • Pórticos simples ou compostos. • Barras retilíneas ou curvas (arcos). Observações Teoria das Estruturas I 49 a) Definição a) Definição b) Exemplos Pórticos com barras retilíneas 4.1. INTRODUÇÃO (a) Biapoiado (b) Triarticulado (c) Atirantado, biapoiado e P P P p (a) Biapoiado (b) Triarticulado (c) Atirantado, biapoiado e articulação interna (d) Em balanço (e) De múltiplos vãos (f) De múltiplis andares P P P P P P p p PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS Teoria das Estruturas I 50 Pórticos com barras curvas Pórticos compostos (a) Biapoiado (b) Biengastado com articulação p p (a) Biapoiado (c) Triarticulado (b) Biengastado com articulação (d) Atirantado pp PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS 1. Momento Fletor (DMF) Teoria das Estruturas I 2. Esforços Cortantes (DEC) e Esforços Normais (DEN) 51 Pórticos espaciais c) Diagramas de esforços solicitantes Obtenção imediata dos diagramas a partir do conhecimento das reações de apoio. Obter os momentos fletores atuantes nos nós das barras e, em seguida, ligá-los por uma linha reta tracejada. A partir dessa linha reta, penduram-se os diagramas de vigas biapoiadas referentes aos carregamentos que atuam sobre cada uma das barras que constituem o quadro. PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS Exemplo: Pede-se as reações e os diagramas (DMF, DEC e DEN). Exemplo: Pede-se as reações e os diagramas (DMF, DEC e DEN). Teoria das Estruturas I 52 4.2. PÓRTICOS BIAPOIADOS 4.3. PÓRTICOS ENGASTADOS-LIVRES C D E H F A G H B DE F A C B PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS Exemplo: Pede-se as reações e os diagramas (DMF, DEC e DEN). Teoria das Estruturas I N N Es co ra N N Tirante 53 a) Escoras e tirantes 4.4. PÓRTICOS TRIARTICULADOS 4.5. PÓRTICOS BIAPOIADOS COM ARTICULAÇÃO E TIRANTE (OU ESCORA) Definição: Uma barra biapoiada sem carregamento aplicado diretamente sobre ela que funciona como uma ligação do primeiro gênero, na qual surgem apenas forças na direção do seu eixo (esforço normal). Quando a barra está COMPRIMIDA, diz-se que é uma ESCORA. Quando estáQuando a barra está COMPRIMIDA, diz-se que é uma ESCORA. Quando está TRACIONADA, diz-se que é um TIRANTE. PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS b) Exemplo: Pede-se as reações e os diagramas (DMF, DEC e DEN) a) Definição: São estruturas formadas através de associações de quadros simples. Quadro Composto Teoria das Estruturas I Quadros Simples 54 4.6. PÓRTICOS COMPOSTOS C D E F A C D B PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS Teoria das Estruturas I 55 b) Solução 1. Decompor o quadro composto original em quadros simples. 2. Verificar quais os quadros com e sem estabilidade própria. 3. Resolver primeiro os quadros simples sem estabilidade própria para o carregamento atuante sobre eles.carregamento atuante sobre eles. 4. Resolver em seguida os quadros simples com estabilidade própria para o carregamento atuante sobre eles, acrescidos das forças transmitidas pelas rótulas. Quadro Composto Quadros Simples Exemplos: PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOSTeoria das Estruturas I 56 Quadro Composto Quadros Simples Quadro Composto Quadros Simples PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS Teoria das Estruturas I 57 Quadro Composto Quadros Simples Quadro Composto Quadros Simples PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS c) Exemplo Quadro Composto Teoria das Estruturas I 58 : Pede-se as reações e os diagramas (DMF, DEC e DEN). Quadro Composto Quadros Simples PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS 4.7. ESTABILIDADE Está relacionado com as restrições impostas à estrutura (vigas, quadros, pórticos, etc), ou se a estrutura é geometricamente instável ou estável. Restrições Parciais Restrições Inadequadas Teoria das Estruturas I r = número de incógnitas (reações e forças) n = número de partes do sistema estrutural As reações são concorrentes (as linhas de ação das reações se interceptam um ponto em comum) ou são paralelas. Situações 59 a) Conceito Básico <r 3n ≥r 3n Restrição Parcial Restrição Inadequada Restrição Inadequada PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS Teoria das Estruturas I 60 1. Restrições Parciais: 2. Restrições Inadequadas: <r 3n ≥r 3n PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS (c) (a) (b) (d) (e) 1. Estrutura Estaticamente Determinada Teoria das Estruturas I 2. Estrutura Estaticamente Indeterminada r = número de incógnitas (reações e forças) n = número de partes do sistema estrutural 61 f) Aplicação 4.8. GRAU DE INDETERMINAÇÃO a) Conceito Básico =r 3n >r 3n Todas as forças (reações e esforços internos) podem ser avaliadas através das equações de equilíbrio da mecânica clássica. As estruturas (vigas, quadros, pórticos, etc) têm mais forças incógnitas do que equações de equilíbrio da mecânica clássica. Classifique cada uma das estruturas a seguir como estável ou instável. As estruturas são submetidas a carregamentos externos conhecidos e que podem atuar em qualquer lugar. PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS Teoria das Estruturas I 62 b) Aplicação Classifique cada uma das vigas a seguir como estaticamente determinada ou estaticamente indeterminada. Se estaticamente indeterminada avalie o grau de indeterminação. As vigas são submetidas a carregamentos externos conhecidos e que podem atuar em qualquer lugar. (e) (a) (b) (c) (d) (f) (g) (h) (i) PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS a) CASO A: Força distribuída em uma barra inclinada Teoria das Estruturas I 63 4.9. BARRAS INCLINADAS (j) (k)(j) (k) (l) 1 x y 1 p p= � � � � 1 pp xy2 =Definição de p1 e p2: Definição de p3 e p4: 3 1 2p p sen p cos= α + α 4 1 2p p cos p sen= − α + α 2 2 x y2 2 y x3 ppp � � � � += 2 yx y2 yx x4 ppp � �� � �� +−= e � � xcos =α � � y sen =α � sen =α PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS b) CASO B: Força distribuída transversal em uma barra inclinada c) Exemplo 1: Pórtico plano biapoiado com uma barra inclinada. Teoria das Estruturas I (i) Reações ∴ AR = 55,625 kN ∴ BR = 74,375 kN 64 cos 3 / 5 0,6α = = sen 4 / 5 0,8α = = � � xcos =α � � y sen =α � sen =α � � y 331 psenpp =α=Definição de p1 e p2: � � x 332 pcospp =α= y 1x pp � � = x 2y pp � � = 3 y y 3 y 1x pppp === � � � � � � 3 x x 3 x 2y pppp === � � � � � � Definição de p3 e p4: e B AM 0 R 8 30(1,5 5) 20 5 2,5 0= ∴ ⋅ − + − ⋅ ⋅ = ∴∑ Y A BF 0 R R 30 20 5 0= ∴ + − − ⋅ = ∴∑ PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS (ii) Esforços solicitantes • Momento Fletor • Esforço Cortantes e Normais Teoria das Estruturas I 65 DMF (kNm) DMF Viga auxiliar DMF � Seção A: � Seção Cd: A AV R cos 55,625 0,6 33,375 kN= α = ⋅ = A AN R sen 55,625 0,8 44,5 kN= − α = − ⋅ = − C' AV V 30cos 33,375 30 0,6 15,375 kN= − α = − ⋅ = N N 30sen 44,5 30 0,8 20,5 kN= + α = − − ⋅ = − cos 3 / 5 0,6α = = sen 4 / 5 0,8α = = � Seção Dd: � Seção B: D AV R 30 55,625 30 25,625 kN= − = − = DN 0= B D BV V 20 5 25,625 100 74,375 kN R= − ⋅ = − = − = − BN 0= DEC (kN) DEN (kN) C' AN N 30sen 44,5 30 0,8 20,5 kN= + α = − − ⋅ = − PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS Teoria das Estruturas I 66 d) Exemplo 2: Barra biapoiada inclinada sob força vertical uniformemente distribuída na horizontal. e) Exemplo 3: Barra biapoiada inclinada sob força horizontal uniformemente distribuída na vertical. DMF DEC DEN Viga auxiliar DMF DEC DEN PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS Teoria das Estruturas I 67 DMF DEC DEN f) Exemplo 4: Barra biapoiada inclinada sob força horizontal uniformemente distribuída ao longo do comprimento da barra. g) Exemplo 5: Barra biapoiada inclinada sob força vertical uniformemente distribuída ao longo do comprimento da barra DMF DEC DEN PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS Teoria das Estruturas I 68 4.10. PÓRTICOS COM BARRAS CURVAS (ARCOS) 4.11. ARCOS TRIARTICULADOS Exemplo: Pede-se as reações e os diagramas de esforços (DMF, DEC e DEN). P s A B θ R PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS Arco: X,Y, A, B, VA, VB, MS, NS, VS Viga: x, y, a, b, Va, Vb, Ms, Ns, Vs Notação Teoria das Estruturas I 69 a) Estudo b) Viga biapoiada de substituição 1. Arcos triarticulados com carregamentos atuantes em todas as direções: princípios gerais da Estática já utilizados. 2. Arcos triarticulados com carregamentos verticais: Viga biapoiada de substituição. PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS = ⇒ α − α = ∴ = =∑ ' ' ' ' 'X A B A BF 0 H cos H cos 0 H H H Y A B i i F 0 V V P 0 = ⇒ + − = ∑ ∑ ( ) ( ) = ⇒ + − + − = ∴ ∑ ∑M 0 V l l P l l x 0 (1) (2) ( ) ( ) ( ) ( ) = ⇒ + − + − = ∴ + − = + ∑ ∑ ∑ B A 1 2 i 1 2 i i i 1 2 i i A 1 2 M 0 V l l P l l x 0 P l l x V l l (3) Substituindo (3) em (1): ( ) ( ) i 1 2 i i B i A B i i i 1 2 P l l x V P V V P l l + − = − ∴ = − + ∑ ∑ ∑ (4) ( ) ( ) e A 1 i 1 i ' ' i A 1 i 1 iG i V l P l x M 0 V l H cos f P l x 0 H f cos − − = ⇒ − α − − = ∴ = α ∑ ∑ ∑ (5) y a b i i F 0 V V P 0 = ⇒ + − = ∑ ∑ (6) (7) Substituindo (7) em (6): ( ) ( ) ( ) ( ) b a 1 2 i 1 2 i i i 1 2 i i a 1 2 M 0 V l l P l l x 0 P l l x V l l = ⇒ + − + − = ∴ + − = + ∑ ∑ ∑ Teoria das Estruturas I Substituindo (7) em (6): (8) ( )g a 1 i 1 i i M V l P l x = − − ∑ (9) Momento fletor no ponto g: ( ) ( ) i 1 2 i i b i a b i i i 1 2 P l l x V P V V P l l + − = − ∴ = − + ∑ ∑ ∑ 70 c) Equações de equilíbrio Arco Viga de substituição PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS Comparações: Arco x Viga de Substituição Equações (3) e (7): VA = Va Equações (4) e (8): VB = Vb Equações (5) e (9): = g' M H f cosα (10) (11) (12) Conclusão Teoria das Estruturas I Simplificando as expressões (14) e (15), tem-se: 71 d) Esforços solicitantes numa seção genérica S Arco As reações do arco triarticulado podem ser obtidas analisando-se apenas a viga de substituição. ( ) 'S A i i i M V x P x x H cos y= − − − α∑ ' ' S A i i V V cos P cos H cos sen Hsen cos= ϕ − ϕ − α ϕ + α ϕ∑ ' ' S A iN V sen P sen H cos cos Hsen sen= − ϕ + ϕ − α ϕ − α ϕ∑ (13) (14) (15) ( ) 'S A i i i M V x P x x H cos y= − − − α∑ ( )'S A i i V V P cos H sen = − ϕ − ϕ − α ∑ ( )'S A i i N V P sen H cos = − − ϕ − ϕ − α ∑ (16) (17) (18) PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS Análise dos esforços VA e H’: ( )s a i i i M V x P x x= − −∑ s a i i V V P= − ∑ sN 0= Comparações: Arco x Viga de Substituição (19) (20) (21) Teoria das Estruturas I Observação: essas expressões permanecem válidas se ocorrerem também cargas verticais distribuídas. 72 Viga VA Seção S N V ϕ ϕ ϕ VA N = - V sen ϕ V = V cos ϕ A A H’ H’ cos αααα: Seção S H' cos α ϕ NN V ϕ N = - H' cos α cos ϕ V = - H' cos α sen ϕ H’ sen αααα: H' sen α N V ϕ N = - H' sen α sen ϕ V = H' sen α cos ϕϕ ϕ H’ Seção S = − 'S sM M H cos yαααα ( )= − −'S sV V cos H senϕ ϕ αϕ ϕ αϕ ϕ αϕ ϕ α ( )− − −'S sN = V sen H cosϕ ϕ αϕ ϕ αϕ ϕ αϕ ϕ α (22) (23) (24) PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS Solução: Na expressão (22), fazendo-se MS = 0, chega-se a: = ssss''''MMMMyyyy H cosH cosH cosH cosαααα (25) Demonstraçãoque VS = 0 Derivando-se (25): E levando-se em conta que: (26) Teoria das Estruturas I (27) Chega-se, após a substiuição de (27) em (23), a: 73 e) Linha de Pressões: determinação e definição Problema: Qual a forma de um triarticulado AGB tal que, para um dado carregamento, todas as seções tenham MF nulo (MS = 0). Isto é, adotando-se a notação empregada, obter a ordenada y para cada seção S tal que MS = 0. São dados l1, l2, f e α. ' S sM M H cos y 0= − α = s s ' ' dM Vdy dx dx H cos H cos = = α α * * dy dY dy dyy Y y tg tg= − ∴ = − ∴ = ϕ − α∴* dy dY dy dy y Y y tg tg dx dx dx dx = − ∴ = − ∴ = ϕ − α∴ ( ) 's s' Vdy tg tg V tg tg H cos dx H cos = ϕ − α = ∴ = ϕ − α α α ( ) ( )' 'SV tg tg H cos cos H sen= ϕ − α α ϕ − ϕ − α ∴ (28)( ) ( )' 'SV H sen H sen 0= ϕ − α − ϕ − α = PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS Inclinação da tangente ao eixo do arco triarticulado na seção S (ver figura ou Eq. 27): (29) triarticulado na seção S (ver figura ou Eq. 27): Conclusão: quando um arco triarticulado AGB, para um dado carregamento, está submetido apenas a esforços normais, dizemos que sua forma é a da linha de pressões desse carregamento. (30) Observações Finais: Teoria das Estruturas I 2. Arcos triarticulados com concavidade voltada para baixo e carregamento de cima para baixo: ESFORÇOS NORMAIS sempre de 3. Arcos triarticulados com concavidade voltada para cima e carregamento de cima para baixo: ESFORÇOS NORMAIS sempre de TRAÇÃO (caso dos CABOS 74 1. No caso da reta AB ser horizontal: COMPRESSÃO. ). ( ) ( )= + + 2 2' ' S sN V H sen Hcosα αα αα αα α + = ' s ' V H sen tg Hcos αααα ϕϕϕϕ αααα Avaliação de NS g' M H f = s ' M y H = sVtgϕ = (32) (31) (33) ' tg H ϕ = 2 '2 S sN V H= + (33) (34) PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS Teoria das Estruturas I 75 4. Linha de pressões: forma ideal para um arco triarticulado (forma mais econômica de trabalho estrutural). 5. Linha de pressões para carregamento uniforme: PARÁBOLA do 2º GRAU. 6. Construtores da antiguidade: notável intuição estática (venceram grandes vãos com arcos e abóbadas de alvenaria de pedra). 7. Arcos triarticulados: encontrados em várias construções. Arcos biengastados (hiperestáticos): mais utilizados na prática. f) Aplicação Deseja-se construir uma estrutura cujo eixo coincida com a linha de pressões do carregamento indicado na figura a seguir. Pede-se: a. A linha de pressões. b. Os esforços normais máximo e mínimo atuantes. c. A inclinação da tangente ao eixo da estrutura na seção de abscissa x = 2,5 m. PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS Viga de substituição…?? Viga de substituiçãoArco triarticulado Calcule as reações e os esforços internos do pórtico espacial mostrado abaixo: Teoria das Estruturas I 76 Solução 4.12. PÓRTICOS ESPACIAIS a) Aplicação PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS Solução 1: Reações Forças Momentos Solução 2: Esforços Internos Elemento 3, Nó 3 ao Nó 4 Elemento 2, Nó 2 ao Nó 3 Teoria das Estruturas I 77 x y z F 0 F 0 F 0 = = = ∑ ∑ ∑ x y z M 0 M 0 M 0 = = = ∑ ∑ ∑ PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS Elemento 1, Nó 1 ao Nó 2 Teoria das Estruturas I 78 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Süssekind, J.C., Curso de Análise Estrutural, Vol. 1, 12ª edição, Editora Globo, Porto Alegre, 1994. Soriano, H.L. Estática das Estruturas, 1ª Edição, Editora Ciência Moderna, 2007. Hibbeler, R.C., Structural Analysis, 7ª edição, Prentice Hall, 2008. Gonçalves, P.B, Conceitos Básicos de Análise Estrutural, Notas de aula, Departamento de Engenharia Civil, PUC-Rio, Rio de Janeiro, 2003. Teoria das Estruturas I 79
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