A maior rede de estudos do Brasil

Grátis
69 pág.
apostila CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

Pré-visualização | Página 10 de 16

uma abordagem intuitiva para concluir 
que . Primeiro vamos observar o 
gráfico da função . 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
36 
 
 
Evidentemente esta função não está 
definida para 𝑥 = 0, ainda que os softwares 
gráficos não explicitem isso, como foi o caso 
desta representação feita com o Winplot. 
Entretanto, parece razoável, pelo que vemos no 
gráfico, supor que quando 𝑥 se aproxima de zero, 
temos se aproximando de 1. E por que 
1? 
Observemos o que acontece 
numericamente. Para isso, vamos atribuir valores 
para 𝑥 (em radianos) fazendo com que se 
aproximem de zero. 
 
Notemos que à medida que 𝑥 se 
aproxima de zero, os valores de 𝑥 e 𝑠𝑒𝑛 (𝑥) vão 
se aproximando, de maneira que o quociente 
entre eles tende a 1. 
Exemplo 1: Calcule . 
 
Fazendo 4𝑥 = 𝑦 temos que: se 𝑥 → 0 então 4𝑥 → 
0 e, logo, 𝑦 → 0. 
Assim, 
 . 
Exemplo 2: Calcule . 
 
Exemplo 3: Calcule 
 
Exemplo 4: Calcule 
 
 
Exercício proposto: 
Calcule os limites. 
 
 
DOIS LIMITES FUNDAMENTAIS 
Agora trataremos de outros dois limites, 
um deles consequência do outro, também 
chamados de limites fundamentais. 
O primeiro deles é o limite 
 que tem como resultado o 
número irracional 𝑒 ≅ 2,7183. 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
37 
 
O gráfico da função nos 
mostra que quando 𝑥 tende a infinito (positivo ou 
negativo), o valor da função tende a um número 
real entre 2 e 3, mais próximo do 3. 
 
De fato, este é o número irracional 𝑒 ≅ 
2,7183, conforme vemos nas tabelas seguintes. 
 
 
O outro limite fundamental, 
consequência do anterior, é que 
também tem como resultado o número irracional 
𝑒. 
Apesar da função não estar 
definida para 𝑥 = 0 o software nos dá uma 
indicação de que o limite que procuramos é 
também um número real entre 2 e 3. 
 
Novamente, este é mesmo o número 
irracional 𝑒 ≅ 2,7183, conforme vemos na tabela. 
 
Exemplo 1: Calcule 
 
Exemplo 2: Calcule . 
Fazendo , temos que se 𝑥 → ∞ então 𝑦 → 
∞ já que . Logo: 
 
Exemplo 3: Calcule . 
Fazendo , temos que se 𝑥 → ∞ então 𝑦 
→ ∞ já que 𝑦 = 2𝑥. Logo: 
 
Exercício proposto: 
Calcule os limites. 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
38 
 
 
ASSÍNTOTAS 
Nesta aula trataremos das assíntotas 
horizontais e verticais de uma função e 
aplicaremos este conhecimento ao traçado de 
gráficos de funções. 
 
Assíntotas horizontais 
Exemplo 1: Consideremos o gráfico da função 
dada por 𝑓(𝑥) = 
Observemos que, quando 𝑥 tende a +∞, a função 
𝑓 tende a zero, ou seja, Vemos 
também que Observamos que 
o gráfico de 𝑓 fica cada vez mais próximo da reta 
𝑥 = 0 quando 𝑥 tende a +∞ e a −∞. A reta 𝑥 = 0 é 
denominada assíntota horizontal. 
Assíntotas verticais 
Agora consideremos o gráfico da função 
dada por 4. Observemos que, 
quando 𝑥 tende a 5 por valores maiores que 5 ou, 
ainda, pela direita, 𝑓 tende a +∞ e quando 𝑥 tende 
a 5 pela esquerda, 𝑓 tende a −∞. 
 
 
 
Temos que 
assume valores arbitrariamente grandes e 
positivos quando 𝑥 se aproxima de 5 pela direita) 
e assume valores 
arbitrariamente grandes e negativos quando 𝑥 se 
aproxima de 5 pela esquerda). 
Dizemos que a reta 𝑥 = 5 é uma 
assíntota vertical. 
Exemplo 2: Determine as assíntotas da função 
dada por . 
Determinamos as assíntotas horizontais 
estudando os limites 
 
 
Portanto, a reta 𝑦 = 3 é uma assíntota 
horizontal. 
Determinamos as assíntotas verticais estudando 
se há pontos que anulem o denominador da 
função. Neste caso, temos que 𝑥 = ±2 são os 
valores que anulam o denominador. Portanto, as 
retas 𝑥 = −2 e 𝑥 = 2 são assíntotas verticais. 
Vamos determinar os limites laterais de 𝑓 quando 
𝑥 se aproxima de 2. 
 . Para obter este limite 
devemos pensar em 𝑥 se aproximando de 
−2 pela esquerda. Usando inicialmente um valor 
arbitrário para 𝑥, por exemplo −2,1, veremos que 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
39 
 
𝑥² será maior que 4 e, portanto, o denominador 
será positivo. Como o numerador também é 
positivo, concluímos que, à medida que à medida 
que 𝑥 se aproxima de −2 pela esquerda, o valor 
da fração cresce indefinidamente e com 
valores positivos, ou seja, tende a +∞. 
Evidentemente, o 3 não interfere neste resultado, 
já que ∞ + 3 = ∞. De maneira análoga, 
calculamos os demais limites que se seguem. 
 
 
 
 
Exercício proposto: Determine os limites 
 
e identifique as assíntotas horizontais e verticais. 
 
RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DAS 
AULAS 14 ATÉ 16 
Exercícios da Aula 14 
 
 
 
 5) Conforme o exemplo anterior, 
. 
Exercícios da Aula 15: 
 
3) Fazendo , temos que se 𝑥 → ∞ 
então 𝑦 → ∞ já que . Logo, 
 
 
4) Fazendo temos que se 𝑥 → ∞ 
então 𝑦 → ∞ já que 𝑦 = −𝑥. Logo, 
 
5) Fazendo , temos que se 𝑥 → 
∞ então 𝑦 → ∞ já que 𝑦 = −2𝑥. Logo: 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
40 
 
 
 
6) Fazendo 2𝑥 = 𝑦, temos que se 𝑥 → 0 
então 𝑦 → 0. Logo, 
 
 
7) 
 
8) 
 
9) Fazendo −𝑥 = 𝑦, temos que se 𝑥 → 0 
então 𝑦 → 0. Logo, 
 
 
10) fazendo −3𝑥 = 𝑦, temos que se 𝑥 → 0 
então 𝑦 → 0. Logo, 
 
Exercícios da Aula 16: 
Determine os limites 
 
e identifique as assíntotas horizontais e verticais. 
 
 é uma assíntota vertical. 
é uma 
assíntota horizontal. 
 
é uma assíntota vertical. 
é uma 
assíntota horizontal. 
 
 
é uma assíntota vertical. 
 
 
é uma assíntota vertical 
 
é uma assíntota horizontal. 
DERIVADAS 
Quando um automóvel percorre 200 𝑘𝑚 
em 2 horas dizemos que sua velocidade média é 
de 100 𝑘𝑚/ℎ. 
 
Esta velocidade é denominada 
Velocidade Média. 
A Velocidade Instantânea corresponde 
ao limite da Velocidade Média quando fazemos o 
tempo decorrido entre duas medições do espaço 
percorrido tender a zero. 
Simbolicamente temos: 
 
Podemos transferir a ideia de velocidade 
de um móvel para avaliarmos a velocidade de 
uma função qualquer. A este conceito mais geral 
denomina-se Taxa de Variação Média de uma 
função. 
De maneira geral, seja uma função 𝑓 
dada por 𝑦 = 𝑓(𝑥) e sejam 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
41 
 
e fazendo a Taxa de 
Variação Média será dada pela razão: 
 
 
Portanto, a Taxa de Variação 
Instantânea será: 
 
Exemplo 1: Considere a função dada por 𝑓(𝑥) = 
5𝑥² − 2𝑥 + 3. 
a) Determine a taxa de variação média de 𝑓 nos 
intervalos [1, 1 + Δx] e [3, 3 + Δx]. 
b) Determine a taxa de variação instantânea nos 
pontos onde 𝑥 = 1 e 𝑥 = 3. 
 
a) Em [1, 1 + ∆𝑥]. 
 
 
 
 
Em [3, 3 + ∆𝑥] 
 
 
 
 
b) Avaliação da taxa de variação instantânea no 
ponto de abscissa 1: 
Tomamos o resultado da Taxa de Variação 
Média no intervalo [1, 1 + ∆𝑥] e com Δx 
tendendo a zero. 
 . 
Avaliação da taxa de variação instantânea no 
ponto de abscissa 3: 
 
• Reta Tangente, Derivada de uma Função 
num Ponto 
Agora veremos como encontrar a 
equação da reta tangente à curva num ponto 
dado, a partir da definição da inclinação da curva 
𝑦 = 𝑓(𝑥). Consideremos o gráfico a seguir de uma 
função 𝑓. 
 
 
 
Observe o comportamento das retas 
secantes (𝑟1, 𝑟2 𝑒 𝑟3) à medida que os pontos 
𝑃1, 𝑃2 𝑒 𝑃3 se aproximam do ponto P. As retas 
secantes tornam-se cada vez mais próximas da 
reta tangente ao ponto P. 
• Coeficiente Angular da Reta Tangente 
No gráfico anterior, consideremos que as 
coordenadas do ponto 𝑃 sejam (𝑥0, 𝑦0) e que as 
coordenadas dos pontos 𝑃1, 𝑃2 𝑒 𝑃3 sejam (𝑥1, 
𝑦1), (𝑥2, 𝑦2) e (𝑥3, 𝑦3) respectivamente. Se 
quisermos saber a inclinação da reta 𝑟1, ou seja, 
o ângulo que ela forma com o eixo 𝑥, devemos 
calcular a tangente deste ângulo que é 
(aqui ∆𝑥 = 𝑥1 − 𝑥0). De maneira análoga, a 
inclinação da reta 𝑟2 é dada por 
e assim 
sucessivamente. 
Logo, a inclinação da reta tangente é o 
limite das inclinações das retas secantes quando 
∆𝑥 tende a zero. Chamando

Crie agora seu perfil grátis para visualizar sem restrições.