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apostila CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

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CÁLCULO DIFERENCIAL E 
INTEGRAL I 
BELO HORIZONTE / MG 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
2 
 
SUMÁRIO 
INTRODUÇÃO ÀS FUNÇÕES ............................................................................................... 3 
A FUNÇÃO AFIM................................................................................................................... 5 
A FUNÇÃO QUADRÁTICA .................................................................................................... 7 
RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DAS AULAS 01 ATÉ 03 ................................................. 9 
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS .........................................................................................15 
FUNÇÕES EXPONENCIAIS .................................................................................................18 
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS ..............................................................................................19 
RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DAS AULAS 05 ATÉ 07 ..................................................20 
 DISPOSITIVO PRÁTICO DE BRIOT-RUFFINI ....................................................................24 
 LIMITES .............................................................................................................................26 
LIMITES LATERAIS E CONTINUIDADE ...............................................................................29 
LIMITES INFINITOS E NO INFINITO ....................................................................................31 
RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DA AULA 09 ATÉ 12 .......................................................33 
UM LIMITE FUNDAMENTAL ................................................................................................35 
DOIS LIMITES FUNDAMENTAIS .........................................................................................36 
ASSÍNTOTAS .......................................................................................................................38 
RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DAS AULAS 14 ATÉ 16 ..................................................39 
DERIVADAS .........................................................................................................................40 
REGRAS DE DERIVAÇÃO ...................................................................................................42 
REGRA DA CADEIA .............................................................................................................44 
RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DAS AULAS 18 ATÉ 20 ..................................................45 
REGRA DE L’HOSPITAL ......................................................................................................48 
DERIVADAS SUCESSIVAS E INTERVALOS DE CRESCIMENTO .......................................51 
APLICAÇÕES DAS DERIVADAS .........................................................................................53 
PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO ...........................................................................................54 
RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DAS AULAS 22 ATÉ 25 ..................................................55 
INTEGRAL INDEFINIDA .......................................................................................................59 
MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO .............................................................................................60 
INTEGRAL DEFINIDA ..........................................................................................................61 
ÁREAS .................................................................................................................................63 
ÁREAS ENTRE CURVAS .....................................................................................................64 
RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DAS AULAS 27 ATÉ 31 ..................................................65 
BIBLIOGRAFIA BÁSICA .......................................................................................................69 
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR: .....................................................................................69 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
3 
 
INTRODUÇÃO ÀS FUNÇÕES 
O Cálculo Diferencial e Integral, que 
passamos a estudar agora, pode ser entendido 
como o estudo do comportamento das funções, 
permeando os conceitos, que estudaremos a 
seguir, de derivada e de integral. 
As funções que serão objeto de nosso 
estudo, neste primeiro momento, são funções 
reais de uma variável real. O que seria isso? 
No ensino fundamental e no médio (ou 
antigos ginasial e colegial), tivemos contato com 
expressões como: 
(1) 𝑦 = 5𝑥 − 3 
(2) 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 6𝑥 
(3) 𝑠 = 23 + 5𝑡 
(4) 𝑀(𝑡) = 300. (1 + 0,04𝑡) 
Em todas elas, temos uma variável que 
depende de outra. Por exemplo, na expressão (1) 
o valor de 𝑦 depende do valor de 𝑥; em (2) temos 
que 𝑓(𝑥) depende do valor de 𝑥; em (3), 𝑠 
depende de 𝑡 e, finalmente, em (4), 𝑀(𝑡) depende 
de 𝑡. Podemos também dizer que: 
Em (1), 𝑥 é a variável independente e 𝑦 é a 
variável dependente; 
Em (2), 𝑥 é a variável independente e 𝑓(𝑥) é a 
variável dependente; Em (3), 𝑡 é a variável 
independente e 𝑠 é a variável dependente; 
Em (4), 𝑡 é a variável independente e 𝑀(𝑡) é a 
variável dependente. 
Exemplo 1: Se 𝑔(𝑥) = 𝑥² − 3𝑥, determine 𝑔(5) e 
𝑔(𝑎 + 1). 
Para calcular 𝑔(5) basta substituir 𝑥 por 5 em 𝑔(𝑥) 
= 𝑥² − 3𝑥. Assim, temos que 𝑔(5) = 5² − 3.5 = 10. 
Da mesma maneira, para obter 𝑔(𝑎 + 1), 
substituímos 𝑥 por 𝑎 + 1. 
Portanto, 𝑔(𝑎 + 1) = (𝑎 + 1)² − 3. (𝑎 + 1) = 𝑎² + 2𝑎 
+ 1 − 3𝑎 − 3 = 𝑎² − 𝑎 − 2. 
Exemplo 2: A receita com a venda de 𝑥 unidades 
de determinado produto é dada por 𝑅(𝑥) = 
115,95𝑥 e o custo para produzir 𝑥 unidades é 𝐶(𝑥) 
= 95𝑥 + 750. Para que haja lucro, é preciso que a 
receita seja maior que o custo. Para que valores 
de 𝑥 esse produto dará lucro? 
Para obter lucro, devemos ter 𝑅(𝑥) > 𝐶(𝑥). Assim, 
115,95𝑥 > 95𝑥 + 750. 
Resolvendo a inequação temos:
 
Portanto, para obter lucro devemos vender, pelo 
menos, 36 unidades. 
Exemplo 3: Um automóvel novo custa 𝑅$ 
22.000,00. Suponhamos que nos 8 primeiros 
anos ele sofra uma desvalorização linear de 𝑅$ 
2.000,00 ao ano. 
a) Escreva a expressão que relaciona o valor do 
automóvel (em reais) com o tempo decorrido 
(em anos). 
b) Qual será o valor do automóvel após 4 anos 
de uso? 
c) Quanto tempo leva para que seu valor seja 𝑅$ 
10.000,00? 
a) Neste problema temos duas variáveis que são 
o valor do automóvel e o tempo decorrido. 
Chamando o valor do automóvel de 𝑉 e o 
tempo de 𝑡, podemos dizer que 𝑉 = 22000 − 
2000. 𝑡, ou seja, após 𝑡 anos o carro valerá 
22.000 reais subtraído de 2.000 vezes a 
quantidade de anos que se passaram, que é 
a desvalorização. 
Duas maneiras alternativas de escrever esta 
expressão seriam 𝑉(𝑡) = 22000 −2000. 𝑡 e 𝑉(𝑡) 
= 22 − 2𝑡 com 𝑉(𝑡) em milhares de reais. 
b) O valor do automóvel após 4 anos será 𝑉(4) = 
22000 − 2000.4 = 14.000 reais. 
c) Para saber após quantos anos o automóvel 
valerá 10.000 reais, fazemos 
 
 Exemplo 4: Na expressão (fórmula para 
converter graus Celsius em graus Fahrenheit e 
vice-versa) temos 𝑡𝑐 (variável dependente) em 
função de 𝑡𝑓 (variável independente). De forma 
análoga poderíamos escrever onde 𝑡𝑓 (agora 
variável dependente) está em função de 𝑡𝑐 (agora 
variável independente). 
Em termos mais formais, podemos definir uma 
função de um conjunto A em um conjunto B como 
sendo uma relação 𝑓 entre os elementos de A e 
B que faz corresponder a cada elemento do 
conjunto A um único elemento de B. 
• Domínio e imagem de uma função 
O domínio de uma função é o conjunto de 
todos os possíveis valores da variável 
independente e o conjunto imagem é composto 
por todos os valores da variável dependente. As 
definições de domínio e imagem ficarão mais 
clarasnas próximas aulas, quando tratarmos de 
cada um dos tipos de função. 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
4 
 
Gráfico de uma função 
Como temos dois conjuntos de valores (o 
domínio e a imagem) podemos representar cada 
par ordenado (variável independente, variável 
dependente) no plano cartesiano, que é um 
sistema de coordenadas no qual temos uma reta 
real horizontal denominada eixo 𝑥 e uma reta real 
vertical denominada eixo 𝑦. 
Assim, por exemplo, para a função 𝑦 = 
3𝑥² − 5 podemos determinar quantos pontos do 
seu gráfico desejarmos determinando, para isso, 
pares ordenados (𝑥, 𝑦). Podemos fazer isso 
atribuindo valores a 𝑥 obtendo os respectivos 
valores de 𝑦. Se escolhemos 𝑥 = −1, então 𝑦 = 3. 
(−1)² − 5 = −2. Logo, temos o par ordenado (−1, 
−2) e sabemos que o gráfico da função dada 
passa pelo ponto (−1, −2) conforme a figura a 
seguir.
 
Escolhendo outros valores para 𝑥, 
podemos determinar outros valores de 𝑦 e 
esboçar o gráfico da função. Evidentemente, este 
não é um método prático para esboçar gráficos 
de funções. Conforme veremos na próxima aula, 
conhecendo o tipo de função, podemos abreviar 
este trabalho e esboçar gráficos de funções a 
partir de pontos escolhidos estrategicamente. 
Exercícios propostos: 
 
03) Uma empresa reembolsa seus empregados 
em R$ 150,00 ao dia por despesas de hotel e 
alimentação, mais R$ 0,34 por quilômetro 
percorrido. 
a) Escreva uma equação linear para o 
reembolso R em termos de x, o número de 
quilômetros percorridos. 
b) Qual o valor do reembolso se 𝑥 = 550 𝐾𝑚? 
c) Um funcionário foi reembolsado em R$ 
218,00. De quantos quilômetros foi sua 
viagem? 
04) Uma empresa comprou por R$ 12.000,00 
uma máquina que tem uma vida útil de 8 anos. 
O valor da máquina como sucata ao final dos 
8 anos é de R$ 2.000,00. Escreva uma 
equação linear que descreva o valor 
depreciado da máquina a cada ano que 
passa. 
05) Um microempresário compra um computador 
por R$ 1.025,00. Depois de 5 anos, o 
computador está ultrapassado e não tem mais 
valor comercial. Escreva uma equação linear 
para o valor V do computador em termos do 
tempo t em anos. 
06) Uma universidade tem 2546 alunos em 
1998 e 2702 alunos em 2000. Se o número de 
alunos matriculados variar de forma linear, 
quantos alunos terá a universidade em 2004? 
07) Um homem apara seu gramado toda 
quarta-feira. Esboce o gráfico da altura da 
grama como uma função do tempo no 
decorrer do período de 4 semanas. 
08) Dada a função 𝑦 = 3𝑥 + 1 determine o 
valor de 𝑦 para: 
 
 
09) Considerando a função dada por 𝑦 = 1 − 2𝑥, 
responda: 
a) Para 𝑥 = 5 quanto vale 𝑦? 
b) Para 𝑥 = −6 quanto vale 𝑦? 
c) Para quanto vale 𝑦? 
d) Para que valor de 𝑥 se tem 𝑦 = −15? 
 
10) Considerando a função dada por 𝑦 = 𝑥2 − 7𝑥 
+ 6, responda: 
a) Para x = 5 quanto vale y? 
b) Para x=-6 quanto vale y? 
c) Existe x tal que y = 0? 
d) Para que valores de x se tem y = 6? 
e) Para que valor real de x se tem y = - 8? 
11) Duas variáveis, x e y, estão relacionadas pela 
fórmula 3𝑥 + 5𝑦 = 10. 
a) Expresse 𝑦 em função de 𝑥 (Isole 𝑦). 
b) Expresse 𝑥 em função de 𝑦 (Isole 𝑥). 
12) Duas variáveis, x e y, estão relacionadas pela 
fórmula 𝑥 − 7𝑦 = 11. 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
5 
 
a) Expresse 𝑦 em função de 𝑥 (Isole 𝑦). 
b) Expresse 𝑥 em função de 𝑦. (Isole 𝑥). 
A FUNÇÃO AFIM 
Uma função afim se caracteriza por uma 
expressão do tipo 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 (ou 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏) 
onde 𝑎 e 𝑏 são números reais. 
Exemplo 1: As expressões a seguir representam 
funções afins. 
(1) 𝑦 = 3𝑥 − 5, onde 𝑎 = 3 e 𝑏 = −5 
(2) 𝑓(𝑥) = −𝑥, onde 𝑎 = −1 e 𝑏 = 0 
(3) 𝑣(𝑡) = 10 + 7𝑡, onde 𝑎 = 7 e 𝑏 = 10 
Em uma função dada por 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, se tivermos 
𝑎 ≠ 0, a raiz (ou zero) da função é o valor de 𝑥 
que faz com que o valor da função (𝑦) seja nulo. 
Exemplo 2: Seja função dada por 𝑦 = 2𝑥 + 10, 
temos que −5 é a raiz da função, já que 2. (−5) + 
10 = 0. 
Para determinar a raiz, basta que façamos 𝑦 = 0. 
No caso do exemplo anterior, teríamos 2𝑥 + 10 = 
0 → 2𝑥 = −10 → 𝑥 = −5. De maneira geral, temos 
que se 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 e 𝑎 ≠ 0 então a raiz será
 pois 
 . 
Exemplo 3: A raiz da função afim dada por 
implica 
que 5𝑥 = 2 e, portanto, . 
A representação gráfica de uma função afim é 
uma reta e podemos obter a reta a partir de dois 
de seus pontos. Para isso, atribuímos dois 
valores distintos para 𝑥 obtendo dois valores para 
𝑦 ou vice-versa. O fato de que por dois pontos 
distintos passa uma única reta nos garante que, 
desta maneira, a representação gráfica da função 
afim estará determinada. 
Exemplo 4: Representar no plano cartesiano as 
funções seguintes: 
a) 𝑦 = 3𝑥 − 4 
b) 𝑦 = −5𝑥 + 1 
c) 𝑦 = −3 
a) Tomando valores arbitrários para 𝑥 
determinamos os respectivos valores de 𝑦 e, 
consequentemente, os pares ordenados 
desejados. Fazendo 𝑥 = 0, obtemos 𝑦 = 3.0 − 
4 e, portanto, 𝑦 = 3.0 − 4. Temos, então, o par 
ordenado (0, −4). Para organizar melhor os 
resultados, façamos uma tabela com os 
valores de entrada (𝑥) e os valores de saída 
(𝑦). Agora, fazendo 𝑥 = 1 e efetuando os 
cálculos necessários, teremos 𝑦 = −1. 
 
Finalmente, vamos localizar no plano cartesiano 
os pontos (0, −4) e (1, −1) e traçar a reta que 
passa por estes pontos. 
 
 
b) Fazendo 𝑥 = 0, obtemos 𝑦 = −5.0 + 1 e, 
portanto, 𝑦 = 1. Temos, então, o par ordenado 
(0,1). Agora, fazendo 𝑥 = 1 e efetuando os 
cálculos necessários, teremos 𝑦 = - 4 
 
Localizando no plano cartesiano os pontos (0,1) 
e (1, −4) e traçando a reta que passa por estes 
pontos, obtemos a seguinte representação 
gráfica. 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
6 
 
 
 
c) Neste caso, 𝑦 = −3 para qualquer valor de 𝑥. 
Portanto, temos a seguinte representação. 
 
Notemos que, com relação ao domínio da função 
afim, será sempre o conjunto dos números reais. 
Já a imagem é também o conjunto ℝ, exceto 
quando temos uma função constante, como a do 
exemplo anterior. Neste caso, a imagem é 
composta apenas por essa constante. Então se 𝑦 
= 𝑐, a imagem da função é o conjunto unitário {𝑐}. 
Exemplo 5: O inventor de um jogo de 
computador estima que o custo variável para 
produzir o jogo é de 𝑅$ 0,95 por unidade e que o 
custo fixo é de 𝑅$ 6.000,00. 
a) Expresse o custo total em função de 𝑥, a 
quantidade de jogos vendidos. 
b) Escreva uma expressão para o custo médio 
unitário, ou seja, . 
c) O preço de venda de cada jogo é 𝑅$ 1,69. 
Quantos jogos devem ser vendidos para que 
o custo médio unitário seja menor que o preço 
de venda? 
 
a) O custo total será a soma dos 𝑅$ 6.000,00 
fixos com a quantidade de unidades 
produzidas, multiplicada por 𝑅$ 0,95, que é o 
custo variável. 
Assim, 𝐶(𝑥) = 0,95𝑥 + 6000. 
b) O custo médio é igual ao custo total dividido 
pela quantidade de unidades produzidas. 
Portanto,
. 
c) A condição é que o custo médio 
 seja menor que o preço de 
venda que é de 𝑅$ 1,69. Temos então e 
inequação 
 
 
Logo, é necessário que a quantidade produzida 
seja de, no mínimo, 8109 unidades. 
Exercícios propostos 
01) Uma indústria fabrica peças e semanalmente 
possui um custo fixo de R$3500. Se o custo 
para o material é de R$ 47,00 por peça e seu 
custo total da semana foi de R$13.370, 
quantas peças foram produzidas nesta 
semana? 
02) O preço p por unidade de um produto 
quando x unidades (em milhares) são 
produzidas é modelado pela função 𝑝 = 12 − 
0,025. 𝑥 
a) Qual o preço do produto, caso sejam 
produzidas 40 000 unidades? 
b) Para que o preço seja R$ 8,90 quantas peças 
devem ser produzidas? 
03) Uma máquina industrial custa R$ 240.000 e 
sofre a cada ano uma depreciação linear de 
R$ 25.000. Obtenha: 
a) A expressão que relaciona o valor da máquina 
(V) em relação à sua idade(t). 
b) O valor da máquina após 6 anos. 
c) Quanto tempo leva para a máquina ter um 
valor de R$ 165 000? 
04) Uma empresa investe 𝑅$ 98.000,00 em 
máquinas para fabricar um novo produto. 
Cada unidade do produto custa 𝑅$ 12,30 para 
ser fabricada e é vendida por 𝑅$ 17,98. 
Seja 𝑥 a quantidade de unidades produzidas 
e vendidas. 
a) Escreva uma expressão para o custo total em 
função de 𝑥. 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
7 
 
b) Escreva uma expressão para a receita 𝑅 em 
função de 𝑥. 
c) Escreva uma expressão para o lucro 𝐿 em 
função de 𝑥. 
05) Uma fábrica produz placas de aço na forma 
de retângulos. As medidas variam. No 
entanto, a medida do comprimento tem 
sempre 5cm a mais do que a medida da 
largura. 
a) Expresse a área do retângulo em função da 
medida da largura. 
b) Qual deve ser a medida da largura para que a 
área da peça seja de 104cm2? 
06) Uma parede de tijolos será usada como um 
dos lados de um canil retangular com 40m2 
de área. Para cercar os outros três lados, uma 
tela de arame de 18m de comprimento será 
dividida em três pedaços, conforme o 
esquema abaixo. 
 
a) Chamando de 𝑥 a medida da lateral do canil, 
qual será o comprimento em função de 𝑥? 
b) Expresse a área em função de 𝑥. 
c) Quanto deverá medir cada um dos três 
pedaços da tela? 
07) Um móvel se desloca em movimento retilíneo 
uniforme. Quando 𝑡 = 0𝑠 ele está na posição 
𝑠= 60𝑚 e em 𝑡 = 2𝑠 sua posição é 𝑠 = 90𝑚. 
a) Qual a velocidade do móvel em 𝑚/𝑠? 
b) Escreva a equação do movimento 𝑠 = 𝑠0 + 𝑣.𝑡. 
c) Esboce o gráfico para 𝑡 ≥ 0. 
08) Um carro trafega em uma estrada retilínea 
com uma velocidade constante de 75 𝐾𝑚/ℎ. 
Quando 𝑡 = 0ℎ ele está no 𝐾𝑚 12 indo no sentido 
crescente da via. 
a) Em que Km ele estará após 2 horas? 
b) Escreva a equação do movimento 𝑠 = 𝑠0 + 𝑣.𝑡. 
c) Esboce o gráfico para 𝑡 ≥ 0. 
09) Um móvel se desloca em movimento retilíneo 
com velocidade constante de 22𝑚/𝑠 e posição 
inicial 𝑠 = 125𝑚. 
a) Em que posição ele estará após 5 segundos? 
b) Escreva a equação do movimento 𝑠 = 𝑠0 + 𝑣.𝑡. 
c) Esboce o gráfico para 𝑡 ≥ 0. 
 A FUNÇÃO QUADRÁTICA 
A função quadrática (ou função 
polinomial do 2º grau) se caracteriza por uma 
expressão do tipo 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 (ou 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 
+ 𝑏𝑥 + 𝑐) onde 𝑎, 𝑏 e 𝑐 são números reais e 𝑎 ≠ 0. 
Exemplo 1: As expressões a seguir representam 
funções quadráticas. 
 
Assim como na função afim, os valores de 𝑥 que 
fazem com que o valor da função 
(𝑦) seja nulo são chamados de raízes da função 
quadrática. Aqui, falamos em raízes e não 
apenas em raiz, porque no caso da função 
quadrática, resolveremos uma equação do 2º 
grau para encontrar as raízes e, como já 
sabemos, uma equação deste tipo pode ter até 
duas soluções reais. 
Exemplo 2: Seja função dada por
 temos que −3 e 5 são 
raízes da função, já que: 
 
e 
 
Novamente, para determinar as raízes, basta que 
façamos 𝑦 = 0. No caso do exemplo anterior, 
teríamos . Resolvendo 
esta equação obtemos o conjunto solução 𝑆 = 
{−3,5}. 
A representação gráfica de uma função 
quadrática é uma parábola e podemos obter a 
parábola a partir de alguns de seus pontos: as 
raízes, a intersecção com o eixo 𝑦 e o vértice da 
parábola. 
• A intersecção com o eixo y e o vértice 
Para obter a intersecção do gráfico com 
o eixo 𝑦, basta fazermos 𝑥 = 0. Assim, em uma 
função dada por a 
intersecção com o eixo 𝑦 será em 
 
Exemplo 3: Determine a intersecção com o eixo 
y em cada caso. 
• O vértice da parábola 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
8 
 
Este importante ponto da parábola será 
estudado com mais detalhe nas aulas de 
máximos e mínimos. Neste ponto, a função 
atinge seu valor máximo ou mínimo. Para 
determinar o vértice de uma parábola que 
representa uma função quadrática, utilizamos a 
fórmula , onde
 
Exemplo 4: Determine as raízes, a 
intersecção com o eixo 𝑦 e o vértice da parábola 
dada por A seguir, esboce o 
gráfico. 
As raízes são dadas pelas soluções da 
equação que são 2 e 4. 
A intersecção com o eixo 𝑦 é o ponto 
(0,8) pois 𝑐 = 8. 
O vértice da parábola pode ser calculado 
obtendo . Para obter 
o valor de 𝑦𝑣 = podemos usar a fórmula 
 ou, simplesmente, substituir 𝑥 por 3 
em obtendo 𝑦 = 32 − 6.3 + 8 
= −1. Logo, o vértice da parábola é o ponto 𝑉 = 
(3, −1). 
Portanto, a representação gráfica é: 
 
 
Note que a concavidade está voltada 
para cima. Isso ocorre porque o valor do 
coeficiente 𝑎 é positivo. Caso fosse negativo, 
teríamos a concavidade para baixo. 
Exemplo 5: Determine as raízes, a 
intersecção com o eixo 𝑦 e o vértice da parábola 
dada por A seguir, esboce 
o gráfico. 
As raízes são dadas pelas soluções da 
equação que é 3. Aqui só 
temos uma raiz. Assim, a parábola terá apenas 
uma intersecção com o eixo 𝑥. A intersecção com 
o eixo 𝑦 é o ponto (0, −9). A abscissa do vértice 
da parábola é dada
. Para obter o valor de 𝑦𝑣 vamos substituir 𝑥 por 
3 em 6𝑥 − 9 obtendo
 Logo, o vértice da 
parábola é o ponto 𝑉 = (3,0). É importante 
observar aqui que o fato de a função ter apenas 
uma raiz faz com que não necessitemos calcular 
o vértice da parábola, já que a intersecção com o 
eixo 𝑥 coincidirá com o vértice da parábola, ou 
seja, o ponto (3,0). Portanto, a representação 
gráfica é: 
 
 
Agora a concavidade está voltada para 
baixo, pois 𝑎 = −1 < 0. 
Exemplo 6: Determine as raízes, a intersecção 
com o eixo 𝑦 e o vértice da parábola dada por
 A seguir, esboce o gráfico. 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
9 
 
As raízes são dadas pelas soluções da equação 
Como esta equação não 
possui soluções reais, não temos raízes. Assim, 
a parábola não terá intersecções com o eixo 𝑥. A 
intersecção com o eixo 𝑦 é o ponto (0,5). A 
abscissa do vértice da parábola é dada 
 Para obter o valor de 𝑦𝑣 
vamos substituir 𝑥 por 2 em 
obtendo Logo, o vértice 
da parábola é o ponto 𝑉 = (2,1). Portanto, a 
representação gráfica é: 
 
 
Assim como na função afim, o domínio é o próprio 
conjunto ℝ e a imagem é determinada pelo 
vértice da parábola. Assim, se a parábola tem a 
concavidade para cima, a imagem é o intervalo 
[𝑦𝑣, +∞[ e se tem a concavidade voltada para 
baixo, a imagem é [- ∞, yv]. 
 
Exercícios propostos: 
01) Seja , calcule: 
a) 𝑓(0) 
b) 𝑓(1) 
c) 𝑓(3) −𝑓(2) 
d) 𝑓(−3) + 𝑓(−1) 
02) Para a função , 
determine: 
a) As raízes, se existirem. 
b) O vértice. 
c) O esboço do gráfico. 
03) Esboce o gráfico das funções. 
 
04) Dada a função determine: 
a) 𝑔(2) 
b) 𝑔(−2) 
05) Qual o vértice da parábola definida por
? 
06) Se o vértice da parábola dada por 
 é o ponto (2,5), então 
qual o valor de m? 
07) Para que valor de 𝑥 a função dada por
, tem um valor 
máximo? 
08) Qual o valor máximo que a função dada 
por assume? 
09) Para que valor de 𝑥 a função dada por
, tem um valor 
mínimo? 
10) Qual o valor mínimo que a função dada 
por 𝑓(𝑥) = 2𝑥² + 16𝑥 + 1 assume? 
 RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DAS 
AULAS 01 ATÉ 03 
01) Seja 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 3, calcule: 
a) 𝑓(0) = 2.0 − 3 = −3 
b) 𝑓(−3) = 2. (−3) − 3 = −6 − 3 = −9 
c) 𝑓(𝑥 − 1) = 2. (𝑥 − 1) − 3 = 2𝑥 − 2 − 3 = 2𝑥 − 5 
d) 𝑓(1 + ℎ) = 2. (1 + ℎ) − 3 = 2 + 2ℎ − 3 = 2ℎ − 1 
02) Seja 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 2𝑥 + 2, calcule: 
 
03) Uma empresa reembolsa seus empregados 
em R$ 150,00 ao dia por despesas de hotel e 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
10 
 
alimentação, mais R$ 0,34 por quilômetro 
percorrido. 
a) Escreva uma equação linear para o 
reembolso R em termos de x, o número de 
quilômetros percorridos. 
Para calcular o reembolso multiplicamos a 
quantidade de quilômetros por 0,34 e 
somamos 150 reais. Assim, podemos 
escrever 𝑅(𝑥) = 0,34. 𝑥 + 150 𝑜𝑢 𝑅(𝑥) = 150 
+0,34. 𝑥 
b) Qual o valor do reembolso se 𝑥 = 550 𝐾𝑚? 
Bastasubstituir x por 550 em 𝑅(𝑥) = 150 + 
0,34. 𝑥. Assim, 
𝑅(𝑥) = 150 + 0,34.550 = 150 + 187 = 337 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 
 
c) Um funcionário foi reembolsado em R$ 
218,00. De quantos quilômetros foi sua 
viagem? 
Uma forma é substituir R(x) por 218 em 𝑅(𝑥) = 
150 + 0,34. 𝑥. Assim, temos 
 
Outra forma é subtrair os 150 reais fixos de 
218 reais, obtendo 68 reais. Esses 68 reais 
correspondem aos quilômetros percorridos 
multiplicados por 0,34. Assim, podemos obter 
a quantidade de quilômetros dividindo 68 por 
0,34. 
 
04) Uma empresa comprou por R$ 12.000,00 
uma máquina que tem uma vida útil de 8 anos. 
O valor da máquina como sucata ao final dos 
8 anos é de R$ 2.000,00. Escreva uma 
equação linear que descreva o valor 
depreciado da máquina a cada ano que 
passa. A desvalorização da máquina foi de 
10.000 reais (12.000 − 2.000) em um período 
de 8 anos, ou seja, de 1.250 reais por ano. 
Logo, o valor da máquina após certo tempo é 
de 12.000, menos 1.250 vezes a quantidade 
de anos que se passaram. 
Então, 𝑉(𝑡) = 12000 − 1250. 𝑡 
05) Um microempresário compra um 
computador por R$ 1.025,00. Depois de 5 
anos, o computador está ultrapassado e não 
tem mais valor comercial. Escreva uma 
equação linear para o valor V do computador 
em termos do tempo t em anos. 
A desvalorização do computador foi de 1.025 
reais em um período de 5 anos, ou seja, de 
205 reais por ano. 
Logo, o valor do computador após certo tempo 
é de 1.025, menos 205 vezes a quantidade de 
anos que se passaram. 
Então, 𝑉(𝑡) = 1025 − 205. 𝑡 
06) Uma universidade tem 2546 alunos em 1998 
e 2702 alunos em 2000. Se o número de 
alunos matriculados variar de forma linear, 
quantos alunos terá a universidade em 2004? 
A diferença na quantidade de alunos de 1998 
a 2000 foi de 156, ou seja, de 78. Como foi 
suposto que o crescimento é linear, temos um 
aumento estimado de 78 alunos por ano. 
Assim, em 2004 teremos 2702 + 78.4 = 2702 
+ 312 = 3014 alunos. 
 
07) Um homem apara seu gramado toda 
quarta-feira. Esboce o gráfico da altura da 
grama como uma função do tempo no 
decorrer do período de 4 semanas. 
 
 
Suponhamos que a grama aparada tenha 
certa altura (não importa quanto). Ao longo da 
semana a altura da grama vai aumentando e 
podemos inferir que o gráfico tenha a seguinte 
forma: 
Na quarta-feira seguinte a grama volta a ter a 
altura inicial (grama aparada) e continua 
crescendo nas mesmas condições do período 
anterior. 
Logo, temos: 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
11 
 
 
 
08) Dada a função 𝑦 = 3𝑥 + 1 determine o 
valor de 𝑦 para: 
 
09) Considerando a função dada por 𝑦 = 1 − 2𝑥, 
responda: 
a) Para 𝑥 = 5 quanto vale 𝑦? 
𝑦 = 1 − 2.5 = 1 − 10 = −9 
 
b) Para 𝑥 = −6 quanto vale 𝑦? 
𝑦 = 1 − 2. (−6) = 1 + 12 = 13 
 
c)Para quanto vale 𝑦? 
 
d)Para que valor de 𝑥 se tem 𝑦 = −15? 
−15 = 1 − 2𝑥 
2𝑥 = 1 + 15 
2𝑥 = 16 
𝑥 = 8 
10) Considerando a função dada por 𝑦 = 𝑥² − 7𝑥 
+ 6, responda: 
a) Para 𝑥 = 4 quanto vale 𝑦? 
 
b) Para 𝑥 = −1 quanto vale 𝑦? 
 
c) Existe 𝑥 tal que 𝑦 = 0? Substituindo y por 0, 
temos: 
 
Os coeficientes a, b e c neste caso são 1, – 7 
e 6, respectivamente. 
Assim, ∆= (−7)² − 4.1.6 = 49 − 24 = 25 
 
d) Para que valores de 𝑥 se tem 𝑦 = 6? 
Substituindo y por 6, temos: 
 
Os coeficientes a, b e c neste caso são 1, – 7 
e 0, respectivamente. 
Assim, ∆= (−7)² − 4.1.0 = 49 
Observação: Há outros métodos de resolução 
de equações do 2º grau. 
e) Para que valor real de 𝑥 se tem 𝑦 = −8? 
Substituindo y por –8, temos 
 
Os coeficientes a, b e c neste caso são 1, – 7 
e 14, respectivamente. 
Assim, ∆= (−7)² − 4.1.14 = 49 − 56 = −7 
Como não existe um número real que seja a 
raiz quadrada de –7, a equação 𝑥² − 7𝑥 +14 = 
0 não tem solução real e, logo, não existe 
valor de x que satisfaça a condição dada. 
11) Duas variáveis, x e y, estão relacionadas pela 
fórmula 3𝑥 + 5𝑦 = 10. 
a) Expresse 𝑦 em função de 𝑥. 
Para expressar y em função de x devemos 
isolar a variável y. 
 
b) Expresse 𝑥 em função de 𝑦. 
Para expressar x em função de y devemos 
isolar a variável x. 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
12 
 
12) Duas variáveis, x e y, estão relacionadas pela 
fórmula 𝑥 − 7𝑦 = 11. 
a) Expresse 𝑦 em função de 𝑥. 
 
b) Expresse 𝑥 em função de 𝑦. 
 
Exercícios da Aula 2: 
1) Uma indústria fabrica peças e semanalmente 
possui um custo fixo de R$3500. Se o custo 
para o material é de R$ 47,00 por peça e seu 
custo total da semana foi de R$ 13 370, 
quantas peças foram produzidas nesta 
semana? Se subtrairmos 3500 reais (custo 
fixo) dos 13370 reais (custo total) ficamos com 
9 870 reais, que corresponde ao custo 
variável. Como cada peça produz um custo de 
47 reais, a quantidade de peças é o resultado 
da divisão de 9870 por 47. Logo, foram 
produzidas 210 peças. 
2) O preço p por unidade de um produto quando 
x unidades (em milhares) são produzidas é 
modelado pela função 𝑝 = 12 − 0,025. 𝑥 
a) Qual o preço do produto, caso sejam 
produzidas 40000 unidades? 
Como x está em milhares, para calcular o 
preço do produto quando são produzidas 
40000 unidades, devemos substituir x por 40. 
Assim, 
𝑝 = 12 − 0,025.40 → 𝑝 = 12 − 1 =11 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠. 
 
b) Para que o preço seja R$ 8,90 quantas peças 
devem ser produzidas? 
Agora, basta substituir p por 8,90 e resolver a 
equação. 
 
Assim, 𝑥 = 124. Logo deverão ser produzidas 
124000 unidades. 
3) Uma máquina industrial custa R$ 240000 e 
sofre a cada ano uma depreciação linear de 
R$ 25 000. Obtenha: 
a) A expressão que relaciona o valor da máquina 
(V) em relação à sua idade (t). 
O valor da máquina após t anos será a 
diferença entre 240000 e t vezes 25000. 
Assim, V(t) = 240000 − 25000. t 
b) O valor da máquina após 6 anos. 
V(6) = 240000 − 25000.6 = 240000 − 150000 
= 90000 reais 
c) Quanto tempo leva para a máquina ter um 
valor de R$ 165000? 
Substituindo V(t) por 165000 ficamos com a 
equação 
165000 = 240000 − 25000. t 
25000. t = 240000 − 165000 
25000. t = 75000 
t = 3 anos 
04) Uma empresa investe R$ 98.000,00 em 
máquinas para fabricar um novo produto. 
Cada unidade do produto custa 𝑅$ 12,30 para 
ser fabricada e é vendida por 𝑅$ 17,98. 
Seja 𝑥 a quantidade de unidades produzidas 
e vendidas. 
a) Escreva uma expressão para o custo total em 
função de 𝑥. 
O custo total é a soma do custo fixo com o 
custo variável. O custo fixo, neste caso é de 
𝑅$ 98.000,00 e o custo variável é de 12,30. 𝑥 
sendo 𝑥 a quantidade de unidades 
produzidas. Portanto, o custo total é dado por 
𝐶(𝑥) = 98000 + 12,30𝑥. 
b) Escreva uma expressão para a receita 𝑅 em 
função de 𝑥. 
A receita é o valor recebido, ou seja, o preço 
de venda multiplicado pela quantidade de 
produtos. Logo, 𝑅(𝑥) = 17,98𝑥. 
c) Escreva uma expressão para o lucro 𝐿 em 
função de 𝑥. 
O lucro é a diferença entre a receita e o custo. 
Assim, 𝐿(𝑥) = 17,98𝑥 − (98000 + 12,30𝑥) = 
5,68𝑥 − 98000. 
05) Uma fábrica produz placas de aço na forma 
de retângulos. As medidas variam. No 
entanto, a medida do comprimento tem 
sempre 5cm a mais do que a medida da 
largura. 
a) Expresse a área do retângulo em função da 
medida da largura. 
Chamando a largura de l e sabendo que o 
comprimento tem 5cm a mais que a largura, 
temos: 
 
Assim, a área do retângulo (comprimento 
vezes largura) será dada por 
𝐴(𝑙) = (𝑙 + 5). 𝑙 = 𝑙² + 5𝑙 
b) Qual deve ser a medida da largura para que a 
área da peça retangular seja de 104cm2? 
Para que a área seja 104 cm2 teremos, 
substituindo A(l) por 104: 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
13 
 
 
Os coeficientes a, b e c neste caso são 1, 5 e 
– 104, respectivamente. 
Assim, ∆= 5² − 4.1. (−104) = 25 + 416 = 441 
 
Evidentemente a solução – 13 não faz sentido 
no contexto geométrico. Assim, o valor dalargura é 8cm. Realmente, fazendo a largura 
valer 8cm o comprimento vale 13cm (5cm a 
mais) e a área vale 8.13=104cm², conforme a 
condição dada no enunciado. 
06) Uma parede de tijolos será usada como um 
dos lados de um canil retangular com 40m² de 
área. Para cercar os outros três lados, uma 
tela de arame de 18m de comprimento será 
dividida em três pedaços, conforme o 
esquema abaixo. 
a) Chamando de a lateral do canil, qual será o 
comprimento em função de 𝑥? 
 
Como a largura é x temos que o comprimento 
é o que resta de 18 quando tiramos ambas as 
laterais (2x). Assim, o comprimento vale 18 − 
2𝑥. 
b) Expresse a área em função de 𝑥. 
A área é dada por comprimento vezes a 
largura. Logo 𝐴(𝑥) = 𝑥. (18 − 2𝑥) 
 
c) Quanto deverá medir cada um dos três 
pedaços da tela? 
Como a área do canil deve ser de 40m2 
podemos escrever 40 = 𝑥. (18 − 2𝑥) 
40 = 18𝑥 − 2𝑥² 
2𝑥² − 18𝑥 + 40 = 0 
Os coeficientes a b e c neste caso são 2, –18 
e 40, respectivamente. 
Assim, ∆= (−18)² − 4.2.40 = 324 − 324 = 4
 
Assim, a largura da cerca pode valer 4m ou 
5m. 
Se a largura valer 4m, teremos um 
comprimento de 10m. Logo, as dimensões 
seriam 4, 4 e 10m. 
Se a largura valer 5m, teremos um 
comprimento de 8m. Logo, as dimensões 
seriam 5, 5 e 8m. 
Verifique que, em ambos os casos, o 
comprimento da cerca é de 18m e a área do 
canil é de 40m². 
07) Um móvel se desloca em movimento retilíneo 
uniforme. Quando 𝑡 = 0𝑠 ele está na posição 𝑠 
= 60𝑚 e em 𝑡 = 2𝑠 sua posição é 𝑠 = 90𝑚. 
a) Qual a velocidade do móvel em 𝑚/𝑠? 
 
b) Escreva a equação do movimento 
Como , 
a equação é 𝑠 = 60 + 15𝑡. 
c) Esboce o gráfico para 𝑡 ≥ 0. 
 
 
 
08) Um carro trafega em uma estrada retilínea 
com uma velocidade constante de 75 𝐾𝑚/ℎ. 
Quando 𝑡 = 0ℎ ele está no 𝐾𝑚 12 indo no 
sentido crescente da via. 
a) Em que Km ele estará após 2 horas? 
Após 1 hora ele estará no Km (12 + 75) = Km 
87. 
Após 2 horas ele estará no Km (87 + 75) = Km 
162. 
b) Escreva a equação do movimento 
 
Como 𝑠0 = 12 𝑘𝑚 e 𝑣 = 75 𝑘𝑚/ℎ, a equação é 
𝑠 = 12 + 75𝑡. 
c) Esboce o gráfico para 𝑡 ≥ 0. 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
14 
 
 
09) Um móvel se desloca em movimento retilíneo 
com velocidade constante de 22𝑚/𝑠 e posição 
inicial 𝑠 = 125𝑚. 
a) Em que posição ele estará após 5 segundos? 
Após 5 segundos ele estará em 125 + 5.22 = 
235m. 
b) Escreva a equação do movimento 
 
 
Como 𝑠0 = 125 𝑚 e 𝑣 = 22 𝑚/𝑠, a equação é 𝑠 
= 125 + 22𝑡. 
c) Esboce o gráfico para 𝑡 ≥ 0. 
Exercícios da Aula 3: 
01) Seja f(x)=3x² – x + 11, calcule: 
 
02) Para a função f(x)= - x² + 6x - 5, determine: 
a) As raízes, se existirem. 
a=-1; b=6; c=-5 
∆=b2 - 4ac → ∆ = 62 - 4. (-1). (-5) = 36 – 20 = 
16 
. Assim, 𝑥 = 1 ou 𝑥 = 5 
b) vértice. 
𝑦𝑣 = −32 + 6.3 − 5 = −9 + 18 − 5 = 4. Assim, 𝑉 
= (3,4). 
c) O esboço do gráfico. 
 
 
 
03) Esboce o gráfico das funções. 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 6𝑥 + 8 
 
 
b) 𝑓(𝑥) = −𝑥² + 6𝑥 − 8 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
15 
 
 
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 9 
 
 
d) 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 9𝑥 
 
e) 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 6𝑥 + 10 
 
 
 
04) Dada a função determine: 
 
 
05) Qual o vértice da parábola definida por 
𝑓(𝑥) = 2𝑥² − 4𝑥 + 5? 
 
𝑦𝑣 = 2. 1² − 4.1 + 5 = 2 − 4 + 5 = 3. Assim, 𝑉 
= (1,3). 
06) Se o vértice da parábola dada por 𝑦 = 𝑥² 
− 4𝑥 + 𝑚 é o ponto (2,5), então qual o valor de 
m? 
Substituindo x por 2 e y por 5, temos: 
5 = 2² - 4.2 + m 
5 – 4 + 8 = m 
m = 9 
07) Para que valor de x a função dada por 𝑓(𝑥) = 
−x² + 12x + 20, tem um valor máximo? 
A função atinge seu valor máximo (ou mínimo) 
quando x é igual a . 
Logo 
08) Qual o valor máximo que a função dada por 
f(x)=-x² + 8x + 1 assume? 
O valor máximo (ou mínimo) de uma função 
quadrática é dado por yv. 
Calculando primeiro xv, obtemos 
 
 𝑦𝑣 = −4² + 8.4 + 1 = −16 + 32 + 1 = 17. Assim, 
17 é o valor máximo da função. 
09) Para que valor de x a função dada por 𝑓(𝑥) = 
𝑥² + 5𝑥 + 3, tem um valor mínimo? 
A função atinge seu valor mínimo quando x é 
igual a xv. Logo 
10) Qual o valor mínimo que a função dada por 
𝑓(𝑥) = 2𝑥² + 16𝑥 + 1 assume? 
O valor mínimo de uma função quadrática é 
dado por yv. 
Calculando primeiro xv, obtemos 
 
𝑦𝑣 = 2. (−4)² + 16. (−4) + 1 = 32 − 64 + 1 = 
−31. Assim, – 31 é o valor mínimo da função. 
 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
Trataremos nesta aula das funções seno 
e cosseno, abordando seus aspectos essenciais, 
em particular, suas representações gráficas, o 
domínio e a imagem de cada uma delas. 
• A função seno 
A função seno se caracteriza por 
associar a cada número real o valor do seu seno 
e pode ser denotada por 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥). Utilizando o 
ciclo trigonométrico ou uma calculadora científica 
podemos obter alguns pares ordenados para 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
16 
 
essa função. Lembremos que: 𝑠𝑒𝑛 0 = 0 pois a 
projeção do ponto corresponde ao arco de 0 
radianos no eixo dos senos tem ordenada zero. 
Em outras palavras, a “altura” deste ponto é zero 
, pois a “altura” deste ponto, em 
relação ao eixo vertical é 1. 
De maneira análoga, concluímos que 
𝑠𝑒𝑛𝜋 = 0 e que 
 
 
 
Assim, temos os pares da tabela a seguir. 
 
Poderíamos também considerar arcos 
negativos, ou seja, no sentido horário a partir de 
0. 
 
 
 
 
Dessa maneira, teríamos: 
 
Representando estes pontos no plano 
cartesiano, temos o seguinte gráfico. 
 
 
Notemos que qualquer número real 
possui seno. Assim, o domínio da função seno é 
ℝ. As retas 𝑦 = −1 e 𝑦 = 1 limitam a função seno 
no intervalo [−1,1] que é a imagem da função. 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
17 
 
Isso decorre do fato de que o raio do ciclo 
trigonométrico é 1. 
• A função cosseno 
A função cosseno se caracteriza 
por associar a cada número real o valor do seu 
cosseno e pode ser denotada por 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥). 
Assim como fizemos com a função seno, 
utilizaremos o ciclo trigonométrico para obter 
alguns pares ordenados para essa função. 
Lembremos que: 
 𝑐𝑜𝑠 0 = 1 pois a projeção do ponto 
corresponde ao arco de 0 radianos no eixo 
dos cossenos (horizontal) tem abscissa 1. 
 
, pois a projeção do ponto 
corresponde ao arco de radianos no eixo 
dos cossenos (horizontal) tem abscissa 0. De 
maneira análoga, concluímos que 
cos 𝜋 = −1 e que . 
 
 
Assim, temos os pares da tabela a seguir. 
 
Considerando arcos no sentido horário. 
 
 
Dessa maneira, teríamos: 
 
Representando estes pontos no plano 
cartesiano, temos o seguinte gráfico. 
 
Como qualquer número real também possui 
cosseno, o domínio da função cosseno 
também é ℝ. Analogamente à função seno as 
retas 𝑦 = −1 e 𝑦 = 1 limitam a função no 
intervalo [−1,1] que é a sua imagem. 
Exercícios propostos: 
1) Trace no Winplot o gráfico de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 1. 
2) Trace no papel (sem a ajuda do software) o 
gráfico de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 2. 
3) Trace no Winplot o gráfico de 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 1. 
4) Trace no papel (sem a ajuda do software) o 
gráfico de 𝑦 = cos(𝑥) − 1. 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
18 
 
5) Trace no Winplot o gráfico de 𝑦 = 2. 𝑠𝑒𝑛(𝑥). 
6) Trace no papel (sem a ajuda do software) o 
gráfico de 𝑦 = 3𝑠𝑒𝑛(𝑥). 
7) Trace no Winplot o gráfico de 𝑦 = −𝑠𝑒𝑛(𝑥). 
8) Trace no papel (sem a ajuda do software) o 
gráfico de 𝑦 = −2𝑠𝑒𝑛(𝑥). 
9) Trace no Winplot o gráfico de 𝑦 = 2. 𝑐𝑜𝑠(𝑥). 
10) Trace no papel o gráfico de 𝑦 = 3𝑐𝑜𝑠(𝑥). 
11) Trace no papel o gráfico de 𝑦 = −𝑐𝑜𝑠(𝑥). 
12) Trace no papel o gráfico de 𝑦 = −2𝑐𝑜𝑠(𝑥). 
13) Trace no Winplot o gráfico de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥). 
14) Trace no papel o gráfico de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 (3𝑥). 
15) Trace no papel (sem a ajuda dosoftware) 
o gráfico de 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 (3𝑥). 
16) Trace no papel (sem a ajuda do software) 
o gráfico de 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 (4𝑥). 
 FUNÇÕES EXPONENCIAIS 
Agora daremos ênfase a alguns 
problemas relacionados aos expoentes e os 
logaritmos. Situações nas quais temos 
multiplicações de fatores repetidos, como no 
caso dos juros compostos, por exemplo, nos 
levam a manipular expressões com variáveis no 
expoente e, consequentemente, a resolver 
equações exponenciais e logarítmicas. Nosso 
apelo aos logaritmos, nesta aula, se restringirá ao 
uso que faremos para resolver alguns desses 
problemas. 
Imaginemos que vamos aplicar certa 
quantia em dinheiro e que temos uma previsão 
da taxa mensal de juros a que estará sujeito este 
capital aplicado, digamos 1% ao mês. Se 
aplicarmos 4 000 reais teremos, ao final de um 
mês 4000.1,01 = 4040 reais. Após dois meses 
teremos esse valor multiplicado por 1,01, ou seja, 
4000.1,01.1,01 = 4080,40.Como podemos 
representar 
por 4000.1,012, então para t meses de aplicação, 
teremos um montante . 
Nesta expressão a variável 𝑡 aparece no 
expoente, o que nos leva a resolver equações 
exponenciais caso tenhamos que determinar, por 
exemplo, quanto tempo levaria para que o 
montante seja de 4500 reais. 
De maneira mais formal, dizemos que 
uma função exponencial é dada por uma 
expressão do tipo , ou seja, ela 
associa a cada número real 𝑥 o número real 
positivo 𝑎𝑥 onde 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1. 
Exemplo 1: Dada a função exponencial, 
calcule 𝑓(−2), 𝑓(0) e 𝑓(1). 
 
• Gráfico da função exponencial 
Tomemos como exemplo a função dada 
por . Vamos atribuir valores a 𝑥 e 
determinar suas respectivas imagens tabelando 
os valores. 
 
Assim, temos a seguinte representação 
gráfica: 
 
 
Pela representação gráfica e pela 
expressão algébrica da função podemos concluir 
que o domínio da função exponencial é ℝ e a 
imagem é . 
Tomemos agora o exemplo 
. Vamos atribuir valores a 𝑥 e determinar suas 
respectivas imagens tabelando os valores. 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
19 
 
 
Assim, temos a seguinte representação 
gráfica: 
 
 
Pela representação gráfica e pela 
expressão algébrica da função podemos concluir 
que o domínio da função exponencial é ℝ e a 
imagem é ℝ∗+. 
Vimos, pelos gráficos, que é 
crescente, enquanto que é decrescente. O 
que acontece é que a base 2, que é maior que 1, 
faz com que a potência cresça quando 
aumentamos o valor do expoente, o que 
acontece de maneira inversa quando a base é um 
número compreendido entre zero e 1, que é o 
caso de 
Exercício proposto: 
Esboce os gráficos das funções. 
 
 EQUAÇÕES EXPONENCIAIS 
Você se lembra do problema que foi 
lançado no início desta aula? Pois bem, vamos 
relembrar: você aplicou 4000 reais a juros 
estimados de 1% ao mês e quer saber quanto 
tempo levaria, caso a taxa de juros se mantenha, 
para que seu montante atinja os 4500 reais. Já 
temos a expressão que relaciona montante com 
tempo, que é 𝑀(𝑡) =4000. . 
Para resolver nosso problema, 
substituamos 𝑀(𝑡) por 4500. Assim, obtemos a 
equação exponencial: 
4500 = 4000. 
Se tentarmos isolar a incógnita 𝑡, 
dividindo ambos os membros da equação por 
4000, ficamos com: 
 
Aí está o nosso problema, determinar 𝑡 
para que o resultado de seja 1,125. Para 
isso, faremos uso dos logaritmos. Vamos a eles 
e, logo em seguida, voltamos. À resolução deste 
problema. 
• Logaritmos 
Se 𝑎 e 𝑏 são números reais positivos com 
𝑎 ≠ 1 e , então 𝑥 é o logaritmo de 𝑏 na 
base 𝑎. Denotamos por 𝑥 = log𝑎 𝑏, onde b se 
chama logaritmando. 
No nosso problema ainda não resolvido 
devemos determinar 𝑡 para que seja 
igual a 1,125, ou seja, encontrar o log de 1,125 
na base 1,01. 
Simbolicamente temos que
. 
Uma das propriedades dos logaritmos 
nos permite resolver facilmente o problema. 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
20 
 
É a propriedade da Mudança de Base, 
que nos diz que: 
 
É convencional não escrevermos o 10 na 
base do log, portanto, o mais correto seria 
 
Por que escolhemos a base 10? Na 
verdade, poderíamos escolher qualquer base, 
mas a base 10 nos permite fazer o uso de uma 
calculadora científica de maneira prática e obter 
o valor desejado rapidamente. Temos então que 
𝑙𝑜𝑔 1,125 ≅ 0,0511525224 e log𝑐 1,01 ≅ 
0,0043213738 e, portanto, 
meses. Levaria, então, mais de 11 meses e 
menos de 1 ano para chegar ao montante de 
4500 reais. 
Outra base encontrada nas calculadoras 
científicas é a base 𝑒. Logaritmos de base 𝑒 são 
chamados de logaritmos neperianos e 
representados por 𝑙𝑛. 
A resolução ficaria muito parecida com a 
que fizemos: 
meses. 
Exercícios propostos: 
01) Devido a extração indiscriminada de 
açaizeiros em certas regiões do Estado, a 
produção de açaí decresce anualmente, 
segundo a função , onde x é o 
tempo em anos e y representa as toneladas 
de açaí produzidas anualmente. Nestas 
condições, daqui a 4 anos, qual será a 
produção de açaí, em toneladas? 
02) O número de bactérias de uma cultura, t 
horas após o início de certo experimento, é 
dado 
pela expressão . Nessas 
condições, quanto tempo após o início do 
experimento a cultura terá 38.400 bactérias? 
03) A massa (em gramas) de uma certa 
substância radioativa em uma amostra é dada 
pela expressão com t em 
anos. Quantos gramas havia no início da 
contagem do tempo? E 10 anos depois? 
04) A função é usada 
para determinar o valor, em euros, de um 
carro x anos depois da sua compra. Qual é o 
custo inicial do carro? Qual o valor do carro 
após 3 anos? 
05) A população de uma colônia de fungos 
cresce exponencialmente de acordo com a 
fórmula , em que t 
representa o número de dias decorridos 
desde o instante inicial. Após quantos dias 
essa população dobra? 
Texto para as questões 6 a 9: 
O número de bactérias de uma cultura, t 
horas após o início de certo experimento, é dado 
pela expressão . Nessas 
condições: 
06) Qual o número de bactérias após 5 
horas? 
07) Quanto tempo após o início do 
experimento a cultura terá10300 bactérias? 
08) Qual o número de bactérias após 10 
horas? 
09) Quanto tempo após o início do 
experimento o número de bactérias dobra? 
Texto para as questões 10 a 13: 
A massa (em gramas) de uma 
certa substância radioativa em uma amostra é 
dada pela expressão com t 
em anos. 
10) Qual a massa da substância após 3 
anos? 
11) Quanto tempo leva para a massa ser de 
400g? 
12) Qual a massa da substância após 20 
anos? 
13) Quanto tempo leva para a massa ser de 
300g? 
Texto para as questões 14 a 16: 
A função 
é usada para 
determinar o valor, em reais, de um carro t anos 
depois da sua compra. 
14) Qual o valor do carro após 5 anos? 
15) Depois de quantos anos o carro valerá 
22000? 
16) Qual o valor do carro após 10 anos? 
 RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DAS 
AULAS 05 ATÉ 07 
Exercícios da Aula 05 
1) Trace no Winplot o gráfico de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 1. 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
21 
 
 
 
Observe que o gráfico de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) foi deslocado 
uma unidade para cima para obter 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
+ 1. 
 
 
2) Trace no papel (sem a ajuda do software) o 
gráfico de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 2. 
Do que foi visto no exercício anterior, 
concluímos que o gráfico de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) deve 
ser deslocado 2 unidades para cima para 
obter o gráfico de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 2. 
 
3) Trace no Winplot o gráfico de 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 1. 
 
4) Trace no papel (sem a ajuda do software) o 
gráfico de 𝑦 = cos(𝑥) − 1. 
 
5) Trace no Winplot o gráfico de 𝑦 = 2. 𝑠𝑒𝑛(𝑥). 
 
Observe que o gráfico de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) foi 
alongado verticalmente dobrando sua 
amplitude vertical. 
6) Trace no papel (sem a ajuda do software) o 
gráfico de 𝑦 = 3𝑠𝑒𝑛(𝑥). 
Neste caso teremos um alongamento que 
triplica a amplitude vertical do gráfico de 𝑦 = 
𝑠𝑒𝑛(𝑥). 
 
7) Traceno Winplot o gráfico de 𝑦 = −𝑠𝑒𝑛(𝑥). 
 
Observe que este gráfico é simétrico ao 
gráfico de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) em relação ao eixo 
horizontal. 
8) Trace no papel (sem a ajuda do software) o 
gráfico de 𝑦 = −2𝑠𝑒𝑛(𝑥). 
Neste caso, então, teremos a simetria e a 
expansão da amplitude vertical ocorrendo 
simultaneamente. 
 
9) Trace no Winplot o gráfico de 𝑦 = 2. 𝑐𝑜𝑠(𝑥). 
 
 
10) Trace no papel o gráfico de 𝑦 = 3𝑐𝑜𝑠(𝑥). 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
22 
 
11) Trace no papel o gráfico de 𝑦 = −𝑐𝑜𝑠(𝑥). 
 
 
12) Trace no papel o gráfico de 𝑦 = −2𝑐𝑜𝑠(𝑥). 
 
 
13) Trace no Winplot o gráfico de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 
(2𝑥).
 
 
14) Trace no papel o gráfico de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 (3𝑥). 
 
 
 
Aqui também há um encolhimento, mas pela 
terça parte do gráfico de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥). 
15) Trace no papel (sem a ajuda do software) 
o gráfico de 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 (3𝑥). 
 
 
16) Trace no papel (sem a ajuda do software) 
o gráfico de 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 (4𝑥). 
 
Exercícios da Aula 6: 
 
 
2) 
 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
23 
 
 
Exercícios da Aula 7: 
1) Devido a extração indiscriminada de 
açaizeiros em certas regiões do Estado, a 
produção de açaí decresce anualmente, 
segundo a função , onde x é o 
tempo em anos e y representa as toneladas 
de açaí produzidas anualmente. Nestas 
condições, daqui a 4 anos, qual será a 
produção de açaí, em toneladas
 
 
2) O número de bactérias de uma cultura, t horas 
após o início de certo experimento, é dado 
pela expressão 𝑁(𝑡) = 1200. 20,4𝑡. Nessas 
condições, quanto tempo após o início do 
experimento a cultura terá 38.400 bactérias? 
 
3) A massa (em gramas) de uma certa 
substância radioativa em uma amostra é dada 
pela expressão com t 
em anos. Quantos gramas havia no início da 
contagem do tempo? E 10 anos depois? 
No início da contagem temos t=0. Assim, 
Após 10 anos temos t=10. Assim, 
 
4) A função é usada 
para determinar o valor, em euros, de um 
carro x anos depois da sua compra. Qual é o 
custo inicial do carro? Qual o valor do carro 
após 3 anos? 
O custo inicial é obtido fazendo x=0. Assim,
 . 
Após 3 anos temos 
 
5) A população de uma colônia de fungos cresce 
exponencialmente de acordo com a fórmula
, em que t representa o 
número de dias decorridos desde o instante 
inicial. Após quantos dias essa população 
dobra? A população inicial é de 10000, 
portanto deve passar para 20000. 
 
 
Texto para as questões 6 a 9: 
O número de bactérias de uma cultura, t 
horas após o início de certo experimento, é dado 
pela expressão . Nessas 
condições: 
6). Qual o número de bactérias após 5 horas? 
 
 
7). Quanto tempo após o início do experimento a 
cultura terá10300 bactérias? 
 
8) Qual o número de bactérias após 10 horas? 
 
 
9) Quanto tempo após o início do experimento o 
número de bactérias dobra? 
 
 
Texto para as questões 10 a 13: 
A massa (em gramas) de uma certa 
substância radioativa em uma amostra é dada 
pela expressão com t em 
anos. 
10). Qual a massa da substância após 3 anos? 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
24 
 
11). Quanto tempo leva para a massa ser de 
400g? 
 
12). Qual a massa da substância após 20 anos? 
 
13). Quanto tempo leva para a massa ser de 
300g? 
 
Texto para as questões 14 a 16: 
 A função é usada 
para determinar o valor, em reais, de um carro t 
anos depois da sua compra. 
14) Qual o valor do carro após 5 anos? 
 
15) Depois de quantos anos o carro valerá 
22000? 
 
 
16) Qual o valor do carro após 10 anos? 
 
DISPOSITIVO PRÁTICO DE BRIOT-
RUFFINI 
Em alguns casos podemos utilizar um 
algoritmo alternativo para divisão de polinômios, 
o dispositivo prático de Briot-Ruffini. Poderemos 
lançar mão desse dispositivo quando o divisor for 
um polinômio do tipo 𝑥 − 𝑎, sendo 𝑎 um número 
real. 
Tomemos dois exemplos. 
Exemplo 1: Dividir 𝑝(𝑥) = 𝑥² − 5𝑥 + 11 por 𝑥 + 3. 
Neste caso, 𝑎 = −3. Montamos o dispositivo da 
seguinte maneira. 
 
Dispostos assim os números iniciamos o cálculo 
repetindo o primeiro dos coeficientes, neste caso 
o 1, na linha de baixo. 
 
 
Multiplicamos esse coeficiente por a, neste caso 
−3, e somamos o resultado com o próximo 
coeficiente, o −5, obtendo 1. (−3) + (−5) = −8. 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
25 
 
 
 
Agora fazemos o mesmo com o −8 e assim 
sucessivamente até completarmos o algoritmo. 
Obtemos os números 1, −8 e 35. Agora vamos 
interpretá-los. Como dividimos um polinômio de 
grau 2 por um polinômio de grau 1, o quociente 
será um polinômio de grau 1. Assim, o primeiro 
número obtido, 1, é o primeiro coeficiente de um 
polinômio de grau 1 e −8 o segundo coeficiente. 
Logo, o polinômio (quociente) é 𝑥 − 8. O outro 
número, 35, é o resto da divisão. 
Assim temos que (𝑥² − 5𝑥 + 11) = (𝑥 + 3). (𝑥 − 8) 
+ 35, o que pode ser facilmente verificado. 
Exemplo 2: Dividir 𝑝(𝑥) = −𝑥³ − 5𝑥 + 150 por 𝑥 − 
5. Neste caso, 𝑎 = 5. Montamos o dispositivo da 
seguinte maneira. 
 
Agora efetuamos os cálculos obtendo os 
coeficientes e o resto. 
 
Obtivemos os coeficientes −1, −5 e −30 e resto 
zero. Como dividimos um polinômio de grau 3 por 
um polinômio de grau 1, o quociente será um 
polinômio de grau 
2. Assim, o primeiro número obtido, −1, é o 
primeiro coeficiente de um polinômio de grau 2. 
O segundo coeficiente será −5 e o terceiro, −30. 
Logo, o quociente é –𝑥² − 5𝑥 − 30. 
O outro número, 𝑧𝑒𝑟𝑜, é o resto da divisão. 
Assim temos que (−𝑥³ − 5𝑥 + 150) = (𝑥 − 5). (−𝑥² 
− 5𝑥 − 30). 
Se substituirmos 𝑥 por 5 na expressão (𝑥 − 5). 
(−𝑥2 − 5𝑥 − 30) obtemos zero como valor 
numérico. 
O Teorema de D’Alembert nos diz exatamente 
isso: 
“Um polinômio 𝑓 é divisível por 𝑥 − 𝑎 se, e 
somente se, 𝑎 é raiz de 𝑓”. 
Exemplo 3: Se dividirmos 𝑝(𝑥) = (𝑥² − 7𝑥 + 17) 
por (𝑥 − 3) obtemos o quociente (𝑥 − 4) e resto 5. 
Dessa maneira temos que 𝑝(𝑥) = (𝑥²− 7𝑥 + 17) = 
(𝑥 − 3). (𝑥 − 4) + 5. Conforme o 
Teorema de D’Alembert, o resto 5 corresponde a 
𝑝(3) e isso é fácil de verificar. Basta calcular 𝑝(3) 
em 𝑝(𝑥) = (𝑥 − 3). (𝑥 − 4) + 5. 
Substituindo x por 3, teremos 𝑝(3) = (3 − 3). (3 − 
4) + 5 = 5. 
Generalizando, se 𝑝(𝑥) = (𝑥 − 𝑎). 𝑞(𝑥) + 𝑟, 
teremos: 
𝑝(𝑎) = (𝑎 − 𝑎). 𝑞(𝑎) + 𝑟 = 𝑟, ou seja, 𝑝(𝑎) = 𝑟 
Exercício proposto: Determine o quociente e o 
resto das seguintes divisões de polinômios: 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
26 
 
 
LIMITES 
Nesta aula, abordaremos o conceito de 
limite, de importância central ao estudo das 
derivadas e das integrais, objetos de estudo ao 
longo do nosso curso. 
No cotidiano, usamos a palavra limite 
para nos referir a algo que podemos atingir, mas 
não podemos superar ou ultrapassar. Na 
Matemática, o limite tem um significado parecido, 
quase idêntico ao do cotidiano. A diferença é que 
na Matemática o limite é algo que não se pode 
alcançar e, tampouco, ultrapassar. Vejamos 
como isso funciona matematicamente com uma 
abordagem intuitiva deste conceito. 
Consideremos a função dada por 
 e vamos analisar seu 
comportamento numérica e graficamente. 
Se atribuirmos valores a 𝑥 e 
determinarmos suas respectivas imagens, 
obteremos a seguinte tabela de pares ordenados: 
 
 
Ao que parece, os valores de 𝑓(𝑥) são 3 
unidades maiores que os valores de 𝑥. 
Em outras palavras, esta tabela seria a 
mesma se a função fosse dada por 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 3. 
Assim, se 𝑥 = 3, deveríamos ter 𝑓(𝑥) = 6, 
mas não é isso que ocorre! Por quê? 
Vejamos, em não 
podemos atribuir a 𝑥 o valor 3 já que não 
podemos ter denominador zero. Em outras 
palavras, dizemos que 3 não pertence ao 
domínio de 𝑓 ou que 𝑓 não está definida para 𝑥 = 
3. Sendo assim, a função definida por 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 
3 não é exatamente a mesma que 
. E por que os valores da tabela são os mesmos, 
exceto para 𝑥 =3? 
Para responder a essa pergunta, basta 
verificarmos que e, para 
qualquer 𝑥 que não seja 3, 
(basta cancelar o fator 𝑥 − 3). 
Voltando ao comportamento numérico de 
 e, sabendo que ela não está 
definida para 𝑥 = 3, quais são os valores de 𝑓(𝑥) 
quando 𝑥 se aproxima indefinidamente de 3? 
Podemos apelar para outra tabela, com 
valores de 𝑥 cada vez mais próximos de 3. 
Primeiro, pela esquerda, ou seja, indo de 2 para 
3, por exemplo. 
 
Agora pela direita, indo de 4 para 3. 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
27 
 
 
Observando estes valores, parece que 
ao aproximarmo-nos de 3, os valores de 𝑓(𝑥) se 
aproximam de 6. Se isto se confirmar, diremos 
que o limite de 𝑓(𝑥) quando 𝑥 tende a 3 é 6 ou 
escreveremos . 
Para confirmar que 6 é mesmo o limite 
procurado, voltemos à álgebra e, em seguida, 
veremos que o comportamento gráfico da função 
nos indica qual é esse limite. 
Conforme vimos, para valores de 𝑥 
diferentes de 3, . Assim, 
podemos escrever 
. Observe que podemos cancelar o fator 𝑥 − 3 
porque ele não é nulo, já que quando estamos 
calculando o limite quando 𝑥 tende a 3, está 
implícito que 𝑥 não vale 3, apenas se aproxima 
de 3. O gráfico de 𝑓, como era de se esperar, é o 
mesmo de 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 3, apenas diferindo quando 
𝑥 = 3 onde 𝑓 não está definida. Portanto, o gráfico 
de 𝑓 é: 
 
 
Vejamos alguns exemplos de cálculo de 
limites: 
Exemplo 1: Calcule . 
Inicialmente, é importante verificar se a função 
está definida para o valor indicado no limite. 
Substituindo 𝑥 por −1 na função temos 
que é uma indeterminação. 
Quando isso ocorre, precisamos eliminar a 
indeterminação para calcular o limite procurado. 
Lembrando que 𝑥² − 1 = (𝑥 − 1). (𝑥 + 1), temos: 
 
 
Exemplo 2: Calcule 
Substituindo 𝑥 por 2 na função temos 
 . Neste caso, não há 
indeterminação e o limite procurado é . 
Exemplo 3: Calcule 
Substituindo 𝑥 por 9 na função temos 
A propriedade que está por trás 
deste artifício é a do produto da 
soma pela diferença de dois termos 
que é igual ao quadrado do primeiro 
menos o quadrado do segundo. 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
28 
 
 , ou seja, uma 
indeterminação. Para eliminar a indeterminação 
e calcular o limite vamos racionalizar o 
numerador da fração, lembrando que, para 
racionalizar uma expressão do tipo 
devemos multiplica-la por , já que 
 
 
 
Exemplo 4: Calcule 
Substituindo 𝑥 por 2 na função temos 
 que é uma indeterminação. 
Para eliminá-la, vamos fatorar o numerador e o 
denominador da fração. 
Recordemos que 
(Diferença de cubos). Assim, temos: 
 
 
Para este exemplo, poderíamos também usar o 
dispositivo prático de Briot Rufinni e dividir 𝑥³ − 8 
por 𝑥 − 2, obtendo 𝑥² + 2𝑥 + 4, ao invés de usar a 
fatoração da diferença de cubos. 
• Propriedades dos limites 
No cálculo de limites, é importante 
sabermos suas propriedades. Listamos a seguir 
algumas delas: 
 
Estas propriedades são válidas se existirem os 
limites e sendo 𝑘 um 
número real. 
Exemplo 5: Vimos no Exemplo 2 que 
 e no Exemplo 4 vimos que 
 4. Assim, pela propriedade (I) 
. 
Exemplo 6: Vimos no Exemplo 1 que 
 . Então, pela propriedade (II), 
 
Exemplo 7: Como e 
 . Então, pela propriedade (III), 
 
 e pela propriedade (IV), 
Exercícios Propostos: 
1) Calcule . 
2) Calcule . 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
29 
 
3) Calcule . 
4) Calcule . 
5) Seja a função 𝑓 definida por 
 determine, se 
existir, . 
6) Seja a função 𝑔 definida por 
 determine, se 
existir, 
LIMITES LATERAIS E CONTINUIDADE 
Ao considerarmos , estávamos 
interessados no comportamento da função nos 
valores próximos de a. Entretanto, o 
comportamento de algumas funções, quando 𝑥 
está próximo de a, mas assume valores menores 
que a, é diferente do comportamento da mesma 
função, quando 𝑥 está próximo de a assumindo 
valores maiores que a. 
Exemplo 1: Consideremos a função 𝑣(𝑡) = 2𝑡 + 5 
que representa a velocidade (em m/s) de um 
veículo em função do tempo (em segundos). 
Podemos estar interessados em saber se, 
quando nos aproximamos do instante 𝑡 = 2 ,por 
exemplo, a velocidade do veículo estará próxima 
daquela que o veículo apresentava quando 𝑡 = 
1,9 ou, ainda, quando 𝑡 = 2,1 o veículo 
apresentará velocidade próxima daquela que 
apresentava quando 𝑡 = 2. 
De acordo com o gráfico da função vemos que, 
quando t se aproxima de 2 segundos pela 
esquerda (ou seja, assumindo valores menores 
que 2), a velocidade do móvel aproxima-se de v 
(2) = 2.2 + 5 = 9 m/s, assumindo valores menores 
que 9 m/s. 
 
Em símbolos matemáticos escrevemos: 
 
Dizemos que o limite lateral à esquerda de 𝑣(𝑡) 
quando 𝑡 tende a 2 é 9. Por outro lado, quando 𝑡 
se aproxima de 2 segundos pela direita (ou seja, 
assumindo valores maiores que 2) a velocidade 
se aproxima de 𝑣(2) = 2.2 + 5 = 9 𝑚/𝑠, assumindo 
valores maiores que 9 𝑚/𝑠. Simbolicamente 
escrevemos: 
 
Dizemos que o limite lateral direito de 𝑣(𝑡) quando 
𝑡 tende a 2 é 9. Como os limites laterais 
coincidem, podemos dizer então que 
 . 
Exemplo 2: Seja a função 𝑓 definida por 
. Observemos que neste 
caso lim e que . 
De onde vêm esses valores? Vejamos, se 𝑥 
tende a 2 pela esquerda, então 𝑥 < 2 e, portanto, 
𝑓(𝑥) = 𝑥² = 2² = 4. E se 𝑥 tende a 2 pela direita, 
então 𝑥 > 2 e, portanto, 𝑓(𝑥) = 5. 
Como os limites laterais são diferentes, dizemos 
que não existe. 
Exemplo 3: Agora seja 𝑓 definida por 
 . Neste caso, 
 e então 
podemos dizer que . 
• Continuidade: 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
30 
 
Seja 𝑓 uma função definida em um 
intervalo aberto I e 𝑎 um elemento de I. Dizemos 
que 𝑓 é contínua em . 
Para se falar em continuidade de uma função em 
um ponto é necessário que este ponto pertença 
ao domínio da função. Da definição decorre que 
se 𝑓 é contínua em 𝑎 então as três condições 
deverão ser satisfeitas: 
I) existe 𝑓(𝑎) 
II) existe 
III) 
Definição: Seja 𝑓 uma função definida em um 
intervalo aberto I e 𝑎 um elemento de I. Dizemos 
que 𝑓 é descontínua em 𝑎 se 𝑓 não for contínua 
em 𝑎. 
Observa-se também que quando falamos em 
descontinuidade de uma função em um ponto, é 
necessário que este ponto pertença ao domínio 
da função. Da definição decorre que se 𝑓 é 
descontínua em 𝑎, então as duas condições 
abaixo deverão ser satisfeitas: 
I) existe 𝑓(𝑎) 
II) não existe 
Definição: Diz-se que uma função 𝑓 é contínua 
em um intervalo aberto se for contínua em todos 
os pontos desse intervalo. 
Definição: Seja 𝑎 um ponto do domínio de 𝑓. Diz-
se que 𝑓 é contínua à direita de 𝑎 se 
 . Analogamente se define a 
continuidade à esquerda de 𝑎. 
Definição: Diz-se que uma função 𝑓 é contínua 
em um intervalo fechado [𝑎, 𝑏] se f for contínua 
no intervalo aberto] a, b[ e se também for 
contínua em 𝑎, à esquerda, e em 𝑏, à direita. 
• Propriedades das Funções Contínuas 
Se as funções 𝑓 e 𝑔 são contínuas em um 
ponto 𝑎, então se pode afirmar que: 
I) 𝑓 ± 𝑔 é contínua em 𝑎; 
II) 𝑓𝑔 é contínua em 𝑎; 
III) é contínua em 𝑎, desde que 𝑔(𝑎) ≠ 0. 
• Proposição 
a) Uma função polinomial é contínua para todo 𝑥 
real. 
b) Uma função racional é contínua em todos os 
pontos de seu domínio; 
c) As funções trigonométricas 𝑠𝑒𝑛(𝑥) e cos(𝑥) 
são contínuas para todo 𝑥 real. 
d) As funções exponenciais são contínuas para 
todo 𝑥 real. 
Exemplo 4: Avaliar a continuidade das funções 
dadas a seguir: 
 
No caso de 𝑓 a função não é contínua pois não 
está definida para 𝑥 = 1. A função 𝑔 está definida 
para qualquer número real, mas 
 já que e 
𝑔(1) = 1. 
Exercícios propostos: 
1) Calcule, se existir, , sendo 
 . 
 
2) Calcule, se existir, , sendo 
. 
3) Calcule, se existir, , 
sendo 
 
4) Dada a função , 
com 𝑥 ≤ −2 ou 𝑥 ≥ 2, determinar, se possível, 
 .5) Considere a função dada 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 6. 
Determine, se existirem, , 
 
6) Classifique as funções em contínuas ou 
descontínuas. 
 
7) Utilize as propriedades para justificar a 
continuidade das funções seguintes: 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
31 
 
 
 LIMITES INFINITOS E NO INFINITO 
Em alguns casos, quando calculamos o 
limite de uma função, estes não resultam em um 
número, pois a função em jogo cresce ou 
decresce indefinidamente. Em outras palavras, 
se quando 𝑥 se aproxima de 𝑎 (𝑥 → 𝑎) tiver 𝑓(𝑥) 
crescendo ou decrescendo indefinidamente, 
diremos que ou, 
 respectivamente. 
Tomemos dois exemplos. 
Exemplo 1: Considere a função dada por 
 e determine 
 . 
Se 𝑥 tende a 3 pela direita, então 𝑥 − 3 se 
aproxima de zero por valores positivos. 
Logo, o quociente cresce indefinidamente. 
Dizemos, então, que . 
Se 𝑥 tende a 3 pela esquerda, então 𝑥 − 3 se 
aproxima de zero por valores negativos. 
Logo, decresce indefinidamente. Dizemos, 
então, que . 
Em termos informais, se o numerador é um 
número positivo e o denominador se aproxima de 
zero, o resultado será um número cada vez maior 
(em módulo), ou seja, um número muito grande, 
positivo ou negativo. Então, 1 dividido por um 
número positivo muito pequeno resulta em um 
número positivo muito grande, ao passo que 1 
dividido por um número negativo muito pequeno 
resulta em um número negativo muito grande. 
Note que o fato de o numerador ser 1 não difere, 
neste caso, dele ser qualquer outro número real, 
já que quando o denominador tende a zero, o 
resultado da divisão tende a infinito. 
Exemplo 2: Considere a função dada por 
 e determine 
. 
Se 𝑥 tende a 0 pela direita, então 𝑥² se aproxima 
de zero por valores positivos. 
Logo, o quociente cresce indefinidamente. 
Dizemos, então, que . 
Se 𝑥 tende a 0 pela esquerda, então 𝑥2 se 
aproxima de zero também por valores negativos. 
Logo, o quociente cresce indefinidamente. 
Dizemos, então, que 
+∞. 
No Exemplo 1, temos que 
 . Neste caso, dizemos 
que não existe Já no exemplo 2, 
temos Portanto, 
dizemos que 
• Limites no infinito: 
Existem limites de determinadas funções 
que ao serem resolvidos, obtém-se como 
resultado uma das expressões a seguir, 
 
Costuma-se dizer que estas expressões 
são indeterminadas, ou seja, correspondem a 
símbolos de indeterminação. Para a resolução de 
limites que apresentam como solução os 
símbolos acima, é necessário que se faça uso de 
artifícios algébricos, o que veremos agora. 
Consideremos que a temperatura de um 
objeto em função do tempo seja dada por 𝑓(𝑡). Se 
estivermos interessados em estudar o 
comportamento da temperatura do objeto quando 
esperamos um tempo suficientemente longo 
traduzimos isto matematicamente como: 
 
Também podemos imaginar que uma 
função 𝑔 represente a concentração de um 
medicamento introduzido por via endovenosa no 
sangue de um paciente. Suponha que estejamos 
interessados em estudar esta concentração após 
um tempo muito grande. Matematicamente 
estamos interessados no limite 
 
Exemplo 3: Seja , vamos 
calcular . Observemos que, para 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
32 
 
valores de 𝑥 cada vez maiores (tendendo ao 
infinito), a expressão assume valores cada vez 
menores (tendendo a zero). 
 
O gráfico de evidencia o 
resultado encontrado. 
 
Conforme 𝑥 aumenta indefinidamente, o gráfico 
de 𝑓 se aproxima da reta 𝑦 = 3 sem nunca a 
intersectar. O comportamento numérico da 
função, mostrado na tabela a seguir, também nos 
indica que . 
 
Observemos que, à medida que 𝑥 tende ao 
infinito (assume valores cada vez maiores), o 
limite de 𝑓(𝑥) vai ficando arbitrariamente próximo 
de 3 (mas com valores estritamente maiores que 
três). 
A reta 𝑦 = 3 é denominada assíntota horizontal. 
Exemplo 4: Calcular . 
Substituindo o valor de 𝑥 por 4, obtém-se a 
indeterminação assim, para que o limite 
acima possa ser resolvido, é necessário dividir o 
numerador e o denominador por 𝑥 − 4, ou seja, 
efetua-se a divisão de polinômios. 
 
 
Exemplo 5: . 
Substituindo 𝑥 por zero, obtém-se a 
indeterminação Para eliminar esta 
indeterminação, vamos racionalizar o numerador 
multiplicando-o por seu conjugado, ou seja, 
 
Exemplo 6: Determinar 
Substituindo 𝑥 por ∞, obtém-se a indeterminação 
 Neste caso, como temos polinômios, 
podemos “colocar em evidência” a maior das 
potências, no caso 𝑥², tanto no numerador quanto 
no denominador. 
Assim 
. 
Chegamos, então, a uma fração onde o 
numerador tende a 4 (pois tende a zero) e 
denominador tendendo a zero. Portanto, 
 
Também poderíamos usar um procedimento 
prático, considerando apenas a maior potência 
do numerador, no caso 𝑥² e a maior do 
denominador, no caso 𝑥, desprezando os demais 
termos. Assim, ficaríamos com 
 . 
Exercícios Propostos: 
1) Considerando os gráficos abaixo estime os 
valores de para 
cada dado. 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
33 
 
 
2) Seja e determine 
 . 
3) Seja e determine 
 
4) Seja e determine 
 
5) Seja e determine 
 . 
6) Seja e determine 
 . 
7) Calcular . 
8) Calcular . 
9) Calcule 
10) Calcule 
 RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DA 
AULA 09 ATÉ 12 
Exercícios da Aula 09: 
 
1) (2𝑥³ + 12𝑥 − 7): (𝑥 + 1) 
2) 
 
 
 
4) 
Exercícios da Aula 10: 
 
 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
34 
 
 
 
5) Seja a função 𝑓 definida por 
 determine, se existir, 
 
 
Portanto, não existe 
6) Seja a função 𝑔 definida por 
 
determine, se existir, 
 
Portanto, . 
Exercícios da Aula 11: 
1) Calcule, se existir, , sendo 
 
Portanto, 
não existe . 
2) Calcule, se existir, , sendo 
 
 
Portanto, . 
3) Calcule, se existir, e , 
sendo 
Portanto, 
 
Portanto, . 
4) Dada a função , com 
𝑥 ≤ −2 ou 𝑥 ≥ 2, determinar, se possível, 
 
 
5) Considere a função dada 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 6. 
 Determine, se existirem, 
 e 
 
 
6) Classifique as funções em contínuas ou 
descontínuas. 
a) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 5 
Função contínua. 
b) 𝑦 = −𝑥² + 7𝑥 
Função contínua. 
c) 
.Portanto 𝑓 é descontínua em 𝑥 = 6. 
d) 
 
Portanto 𝑓 é contínua. 
7) Justificar a continuidade das funções 
seguintes: 
a) É 
contínua pois é polinomial. 
b) 
As funções seno e cosseno são 
contínuas, bem como a função exponencial. E o 
produto de funções contínuas é contínua. 
Exercícios da Aula 12: 
1) Considerando os gráficos abaixo estime os 
valores de para cada 
dado. 
a) 
b) 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
35 
 
 
2) Seja e determine 
 
pois o numerador é 
positivo e o denominador se aproxima de zero 
por valores positivos. pois o numerador é 
positivo e o denominador se aproxima de zero 
por valores negativos. 
3) Seja e determine 
e 
 pois o numerador é 
negativo e o denominador se aproxima de 
zero por valores positivos. 
 pois o numerador é 
negativo e o denominador se aproxima de 
zero por valores negativos. 
4) Seja e determine 
 
 pois o numerador é 
positivo e o denominador se aproxima de zero 
por valores positivos. 
pois o numerador é 
positivo e o denominador se aproxima de zero 
por valores positivos. 
5) Seja e determine 
 . 
 pois o numerador é 
positivo e o denominador se aproxima de zero 
por valores positivos. 
pois o numerador é 
positivo e o denominador se aproxima de zero 
por valores negativos. 
6) Seja e determine 
 . 
pois o numerador é 
negativo e o denominador se aproxima de 
zero por valores positivos. 
pois o numerador é 
negativo e o denominador se aproxima de 
zero por valores positivos. 
7) Calcular 
 
8) Calcular 
 
9) Calcule 
 
 
10) Calcule 
 
 
 
UM LIMITE FUNDAMENTAL 
Nesta aula trataremos do limite do 
quociente quando 𝑥 tende a zero. 
Faremosuma abordagem intuitiva para concluir 
que . Primeiro vamos observar o 
gráfico da função . 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
36 
 
 
Evidentemente esta função não está 
definida para 𝑥 = 0, ainda que os softwares 
gráficos não explicitem isso, como foi o caso 
desta representação feita com o Winplot. 
Entretanto, parece razoável, pelo que vemos no 
gráfico, supor que quando 𝑥 se aproxima de zero, 
temos se aproximando de 1. E por que 
1? 
Observemos o que acontece 
numericamente. Para isso, vamos atribuir valores 
para 𝑥 (em radianos) fazendo com que se 
aproximem de zero. 
 
Notemos que à medida que 𝑥 se 
aproxima de zero, os valores de 𝑥 e 𝑠𝑒𝑛 (𝑥) vão 
se aproximando, de maneira que o quociente 
entre eles tende a 1. 
Exemplo 1: Calcule . 
 
Fazendo 4𝑥 = 𝑦 temos que: se 𝑥 → 0 então 4𝑥 → 
0 e, logo, 𝑦 → 0. 
Assim, 
 . 
Exemplo 2: Calcule . 
 
Exemplo 3: Calcule 
 
Exemplo 4: Calcule 
 
 
Exercício proposto: 
Calcule os limites. 
 
 
DOIS LIMITES FUNDAMENTAIS 
Agora trataremos de outros dois limites, 
um deles consequência do outro, também 
chamados de limites fundamentais. 
O primeiro deles é o limite 
 que tem como resultado o 
número irracional 𝑒 ≅ 2,7183. 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
37 
 
O gráfico da função nos 
mostra que quando 𝑥 tende a infinito (positivo ou 
negativo), o valor da função tende a um número 
real entre 2 e 3, mais próximo do 3. 
 
De fato, este é o número irracional 𝑒 ≅ 
2,7183, conforme vemos nas tabelas seguintes. 
 
 
O outro limite fundamental, 
consequência do anterior, é que 
também tem como resultado o número irracional 
𝑒. 
Apesar da função não estar 
definida para 𝑥 = 0 o software nos dá uma 
indicação de que o limite que procuramos é 
também um número real entre 2 e 3. 
 
Novamente, este é mesmo o número 
irracional 𝑒 ≅ 2,7183, conforme vemos na tabela. 
 
Exemplo 1: Calcule 
 
Exemplo 2: Calcule . 
Fazendo , temos que se 𝑥 → ∞ então 𝑦 → 
∞ já que . Logo: 
 
Exemplo 3: Calcule . 
Fazendo , temos que se 𝑥 → ∞ então 𝑦 
→ ∞ já que 𝑦 = 2𝑥. Logo: 
 
Exercício proposto: 
Calcule os limites. 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
38 
 
 
ASSÍNTOTAS 
Nesta aula trataremos das assíntotas 
horizontais e verticais de uma função e 
aplicaremos este conhecimento ao traçado de 
gráficos de funções. 
 
Assíntotas horizontais 
Exemplo 1: Consideremos o gráfico da função 
dada por 𝑓(𝑥) = 
Observemos que, quando 𝑥 tende a +∞, a função 
𝑓 tende a zero, ou seja, Vemos 
também que Observamos que 
o gráfico de 𝑓 fica cada vez mais próximo da reta 
𝑥 = 0 quando 𝑥 tende a +∞ e a −∞. A reta 𝑥 = 0 é 
denominada assíntota horizontal. 
Assíntotas verticais 
Agora consideremos o gráfico da função 
dada por 4. Observemos que, 
quando 𝑥 tende a 5 por valores maiores que 5 ou, 
ainda, pela direita, 𝑓 tende a +∞ e quando 𝑥 tende 
a 5 pela esquerda, 𝑓 tende a −∞. 
 
 
 
Temos que 
assume valores arbitrariamente grandes e 
positivos quando 𝑥 se aproxima de 5 pela direita) 
e assume valores 
arbitrariamente grandes e negativos quando 𝑥 se 
aproxima de 5 pela esquerda). 
Dizemos que a reta 𝑥 = 5 é uma 
assíntota vertical. 
Exemplo 2: Determine as assíntotas da função 
dada por . 
Determinamos as assíntotas horizontais 
estudando os limites 
 
 
Portanto, a reta 𝑦 = 3 é uma assíntota 
horizontal. 
Determinamos as assíntotas verticais estudando 
se há pontos que anulem o denominador da 
função. Neste caso, temos que 𝑥 = ±2 são os 
valores que anulam o denominador. Portanto, as 
retas 𝑥 = −2 e 𝑥 = 2 são assíntotas verticais. 
Vamos determinar os limites laterais de 𝑓 quando 
𝑥 se aproxima de 2. 
 . Para obter este limite 
devemos pensar em 𝑥 se aproximando de 
−2 pela esquerda. Usando inicialmente um valor 
arbitrário para 𝑥, por exemplo −2,1, veremos que 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
39 
 
𝑥² será maior que 4 e, portanto, o denominador 
será positivo. Como o numerador também é 
positivo, concluímos que, à medida que à medida 
que 𝑥 se aproxima de −2 pela esquerda, o valor 
da fração cresce indefinidamente e com 
valores positivos, ou seja, tende a +∞. 
Evidentemente, o 3 não interfere neste resultado, 
já que ∞ + 3 = ∞. De maneira análoga, 
calculamos os demais limites que se seguem. 
 
 
 
 
Exercício proposto: Determine os limites 
 
e identifique as assíntotas horizontais e verticais. 
 
RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DAS 
AULAS 14 ATÉ 16 
Exercícios da Aula 14 
 
 
 
 5) Conforme o exemplo anterior, 
. 
Exercícios da Aula 15: 
 
3) Fazendo , temos que se 𝑥 → ∞ 
então 𝑦 → ∞ já que . Logo, 
 
 
4) Fazendo temos que se 𝑥 → ∞ 
então 𝑦 → ∞ já que 𝑦 = −𝑥. Logo, 
 
5) Fazendo , temos que se 𝑥 → 
∞ então 𝑦 → ∞ já que 𝑦 = −2𝑥. Logo: 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
40 
 
 
 
6) Fazendo 2𝑥 = 𝑦, temos que se 𝑥 → 0 
então 𝑦 → 0. Logo, 
 
 
7) 
 
8) 
 
9) Fazendo −𝑥 = 𝑦, temos que se 𝑥 → 0 
então 𝑦 → 0. Logo, 
 
 
10) fazendo −3𝑥 = 𝑦, temos que se 𝑥 → 0 
então 𝑦 → 0. Logo, 
 
Exercícios da Aula 16: 
Determine os limites 
 
e identifique as assíntotas horizontais e verticais. 
 
 é uma assíntota vertical. 
é uma 
assíntota horizontal. 
 
é uma assíntota vertical. 
é uma 
assíntota horizontal. 
 
 
é uma assíntota vertical. 
 
 
é uma assíntota vertical 
 
é uma assíntota horizontal. 
DERIVADAS 
Quando um automóvel percorre 200 𝑘𝑚 
em 2 horas dizemos que sua velocidade média é 
de 100 𝑘𝑚/ℎ. 
 
Esta velocidade é denominada 
Velocidade Média. 
A Velocidade Instantânea corresponde 
ao limite da Velocidade Média quando fazemos o 
tempo decorrido entre duas medições do espaço 
percorrido tender a zero. 
Simbolicamente temos: 
 
Podemos transferir a ideia de velocidade 
de um móvel para avaliarmos a velocidade de 
uma função qualquer. A este conceito mais geral 
denomina-se Taxa de Variação Média de uma 
função. 
De maneira geral, seja uma função 𝑓 
dada por 𝑦 = 𝑓(𝑥) e sejam 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
41 
 
e fazendo a Taxa de 
Variação Média será dada pela razão: 
 
 
Portanto, a Taxa de Variação 
Instantânea será: 
 
Exemplo 1: Considere a função dada por 𝑓(𝑥) = 
5𝑥² − 2𝑥 + 3. 
a) Determine a taxa de variação média de 𝑓 nos 
intervalos [1, 1 + Δx] e [3, 3 + Δx]. 
b) Determine a taxa de variação instantânea nos 
pontos onde 𝑥 = 1 e 𝑥 = 3. 
 
a) Em [1, 1 + ∆𝑥]. 
 
 
 
 
Em [3, 3 + ∆𝑥] 
 
 
 
 
b) Avaliação da taxa de variação instantânea no 
ponto de abscissa 1: 
Tomamos o resultado da Taxa de Variação 
Média no intervalo [1, 1 + ∆𝑥] e com Δx 
tendendo a zero. 
 . 
Avaliação da taxa de variação instantânea no 
ponto de abscissa 3: 
 
• Reta Tangente, Derivada de uma Função 
num Ponto 
Agora veremos como encontrar a 
equação da reta tangente à curva num ponto 
dado, a partir da definição da inclinação da curva 
𝑦 = 𝑓(𝑥). Consideremos o gráfico a seguir de uma 
função 𝑓. 
 
 
 
Observe o comportamento das retas 
secantes (𝑟1, 𝑟2 𝑒 𝑟3) à medida que os pontos 
𝑃1, 𝑃2 𝑒 𝑃3 se aproximam do ponto P. As retas 
secantes tornam-se cada vez mais próximas da 
reta tangente ao ponto P. 
• Coeficiente Angular da Reta Tangente 
No gráfico anterior, consideremos que as 
coordenadas do ponto 𝑃 sejam (𝑥0, 𝑦0) e que as 
coordenadas dos pontos 𝑃1, 𝑃2 𝑒 𝑃3 sejam (𝑥1, 
𝑦1), (𝑥2, 𝑦2) e (𝑥3, 𝑦3) respectivamente. Se 
quisermos saber a inclinação da reta 𝑟1, ou seja, 
o ângulo que ela forma com o eixo 𝑥, devemos 
calcular a tangente deste ângulo que é 
(aqui ∆𝑥 = 𝑥1 − 𝑥0). De maneira análoga, a 
inclinação da reta 𝑟2 é dada por 
e assim 
sucessivamente. 
Logo, a inclinação da reta tangente é o 
limite das inclinações das retas secantes quando 
∆𝑥 tende a zero. Chamando

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