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apostila CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

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de 𝑡𝑔 𝜃 esta 
inclinação e fazendo 𝑥1 = 𝑥 + ∆𝑥, podemos 
escrever: 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
42 
 
 
Exemplo 2: Determine a inclinação da reta 
tangente à curva de 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 5𝑥 no ponto de 
abscissa 𝑥0 = 7. 
 
• Equação da Reta Tangente à curva 
Para determinar a equação de uma reta, 
basta que conheçamos dois pontos desta reta ou, 
o que é equivalente, conhecer um ponto e sua 
inclinação. 
Considerando o exemplo anterior, já 
sabemos que a inclinação da reta tangente é 9 e 
conhecemos um ponto desta reta que é o ponto 
(7,14). Para obter 14 calculamos 𝑓(7) = 7² − 5.7. 
Utilizando a equação da reta 𝑦 − 𝑦0 = 𝑚. 
(𝑥 − 𝑥0) onde 𝑚 é o coeficiente angular 
(inclinação da reta) e (𝑥0, 𝑦0) = (7,14), temos: 
𝑦 − 14 = 9. (𝑥 − 7) 
𝑦 = 9𝑥 − 63 + 14 
𝑦 = 9𝑥 − 49 
Exemplo 3: Determine a equação da reta que 
passa pelos pontos (−3, −3) e (−7,5). 
Primeiro, determinamos o coeficiente angular 
 
Sendo (𝑥0, 𝑦0) = (−3, −3), temos 𝑦 − (−3) = −2. (𝑥 
− (−3)). Logo, a equação da reta é 𝑦 + 3 = −2𝑥 − 
6 ou 𝑦 = −2𝑥 − 9. 
• Derivada de uma função num ponto 
A inclinação de uma reta tangente a uma 
curva em um ponto dado, que corresponde à 
derivada desta função neste ponto, pode ser 
determinada por , 
como já vimos. Outra forma de se escrever este 
mesmo limite é onde ℎ é o 
acréscimo infinitesimal na variável 𝑥 que também 
pode ser representado por ∆𝑥. Usaremos duas 
notações para a derivada de uma função 𝑓 em 
um 
ponto (𝑥0, 𝑦0) que são 
Exemplo 4: Determine o valor da derivada de 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 em 𝑥0 = 2. 
 
 
Exercícios Propostos: 
1) Seja 𝑓(𝑥) = 2𝑥² − 5𝑥 − 3, determine a taxa de 
Variação Média em [2, 2 + ∆𝑥]. 
2) Seja 𝑓(𝑥) = 2𝑥² − 5𝑥 − 3, determine a taxa de 
Variação Média em [5, 5 + ∆𝑥]. 
3) Seja 𝑓(𝑥) = 2𝑥² − 5𝑥 − 3, determine a taxa de 
Variação Instantânea em 𝑥 = 2. 
4) Seja 𝑓(𝑥) = 2𝑥² − 5𝑥 − 3, determine a taxa de 
Variação Instantânea em 𝑥 = 5. 
5) Considere uma partícula sob movimento 
uniformemente variado de equação da 
velocidade dada por 𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡. 
a) Determine a taxa de Variação Média da 
velocidade desta partícula em [0, ∆𝑡]. 
b) Determine a taxa de Variação Instantânea no 
ponto de abscissa 0. 
c) Determine a taxa de Variação Média da 
velocidade desta partícula em [1, 1 + ∆𝑡]. 
d) Determine a taxa de Variação Instantânea no 
ponto de abscissa 1. 
6) Calcule a derivada das funções pela definição 
nos pontos indicados: 
a) 𝑓(𝑥) = −𝑥², 𝑥0 = 3. 
b) 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, 𝑥0 = 5. 
c) 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥³, 𝑥0 = 1. 
7) Determine a equação da reta que passa pelos 
pontos dados: 
a) (1,3) e (4,7) 
b) (−3, −1) e (−7, −4) 
REGRAS DE DERIVAÇÃO 
Nesta aula veremos como obter em 
alguns casos elementares a função derivada 𝑓′ a 
partir de uma dada função 𝑓. Para isso 
calcularemos, a princípio, a derivada pela 
definição usando uma das fórmulas seguintes. 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
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 • Derivada da função constante 
Seja 𝑓(𝑥) = 𝑐 onde 𝑐 é um número real. 
Então, 
Portanto, a derivada de uma função 
constante é nula. 
Exemplo 1: 
I) Se 𝑓(𝑥) = 3 então 𝑓′(𝑥) = 0. 
II) Se 𝑓(𝑥) = −5 então 𝑓′(𝑥) = 0. 
III) Se 𝑓(𝑥) = 𝜋 então 𝑓′(𝑥) = 0. 
• Derivada da função potência 
Seja com 𝑛 natural. Para 
simplificar a notação, usaremos, no que segue, 𝑥 
ao invés de 𝑥0. Então, 
 
 
 É possível demonstrar que esta regra 
da potência vale para qualquer 𝑛 real, ainda que 
esta demonstração se restrinja a valores naturais 
de 𝑛. 
Esta regra para potências nos permite 
obter a derivada de funções do tipo e 
também daquelas que podem ser expressas 
como potência. Vejamos alguns exemplos: 
Exemplo 2: Seja , determinar 𝑓′(𝑥). 
Pela regra da potência, 
 
Exemplo 3: Seja , determinar 𝑓′(𝑥). 
Pela regra da potência, 
 
Exemplo 4: Seja , determinar 𝑓′(𝑥). 
Escrevendo como e aplicando a regra 
da potência temos 
 
Exemplo 5: Seja , determinar 𝑓′(𝑥). 
Escrevendo como e aplicando a regra 
da potência temos 
 
• Regras de derivação 
O cálculo das derivadas será 
sistematizado a partir do uso de Regras de 
Derivação para determinar a derivada de uma 
função, sem ter de recorrer necessariamente à 
definição. 
Para a exibição das Regras de 
Derivação, utilizar-se-á de funções genéricas, 
para tanto faremos uso da seguinte 
nomenclatura: u, v, w, z, t representarão funções 
deriváveis quaisquer; a, b, c, representarão 
constantes quaisquer. 
Dentre as diferentes notações utilizadas 
para derivadas, faremos uso das 
seguintes notações: , etc 
• Derivada da Soma 
Sejam 𝑓 e 𝑔 duas funções e ℎ uma 
função definida por ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥). Se 
𝑓′(𝑥) e 𝑔′(𝑥) existem, então 𝑠′(𝑥) = 𝑓′(𝑥) + 
𝑔′(𝑥). 
Exemplo 6: Sejam . 
Como , então a 
derivada de é a função 
. 
• Derivada do produto de uma constante por 
uma função 
Se 𝑓 é uma função derivável em 𝑥 então 
a função 𝑘. 𝑓(𝑥) onde 𝑘 é uma constante também 
é derivável em 𝑥 e sua derivada é 𝑘. 𝑓′(𝑥). 
Exemplo 7: Seja 𝑓(𝑥) = 5. ln 𝑥. Já vimos que a 
derivada de ln 𝑥 é . Então 
 
• Derivada do Produto 
Sejam 𝑓 e 𝑔 duas funções e 𝑝 uma 
função definida por 𝑝(𝑥) = 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) então 𝑝′(𝑥) = 
𝑓′(𝑥). 𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥). 𝑔′(𝑥). Também é comum se usar 
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𝑢 e 𝑣 para representar 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥), 
respectivamente, e escrever: 
(𝑢. 𝑣)′ = 𝑢′𝑣 + 𝑢𝑣′ 
Exemplo 8: Derivar 
 
Sendo teremos 
que 
Assim, 
 
 
Evidentemente poderíamos ter aplicado a 
propriedade distributiva antes de derivar e não 
precisaríamos usar a regra do produto. 
Infelizmente, nem sempre isso é possível, como 
veremos no exemplo a seguir. 
Exemplo 9: Derivar 𝑔(𝑥) = 𝑥. ln 𝑥. 
Sendo 𝑢 = 𝑥 e 𝑣 = ln 𝑥, teremos que
 . 
Assim, 
 
• Derivada do quociente 
Sejam 𝑓 e 𝑔 duas funções e 𝑞 uma 
função definida por então 𝑝′(𝑥) =
, se 𝑔(𝑥) ≠ 0. Usando 𝑢 e 𝑣 
para representar 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥), respectivamente, 
temos a fórmula: 
 
Exemplo 10: Derivar . 
Sendo 𝑢 = 𝑥 e , teremos que 𝑢´ = 1 e 
Assim, 
Exercício Proposto: Calcule as derivadas. 
 
 
 
 
 
REGRA DA CADEIA 
Sejam duas funções deriváveis 𝑓 e 𝑔. 
Considerando a função composta 
(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)), sua derivada é dada por: 
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Exemplo 1: Derive 𝑠𝑒𝑛 (5𝑥). 
Pela fórmula, [𝑠𝑒𝑛 (5𝑥)]′ = cos(5𝑥) . 5 = 5cos( 5𝑥). 
Podemos também efetuar uma mudança de 
variável. Assim, a função 𝑠𝑒𝑛 (5𝑥) pode ser 
escrita como 𝑠𝑒𝑛 (𝑢) onde 𝑢 = 5𝑥. 
Na tabela de derivadas, vemos que a derivada de 
𝑠𝑒𝑛 (𝑢) é 𝑐𝑜𝑠 (𝑢). 𝑢′, ou seja, cos(5𝑥) . 5 = 5cos 
(5𝑥). 
Exemplo 2: Determine a derivada de 
 
Efetuando a mudança de variável temos 
onde 𝑢 = 2𝑥² − 5𝑥 + 7. Na tabela 
de derivadas, vemos que a derivada de
, ou seja, 
Exemplo 3: Determine a derivada de 
 
Efetuando a mudança de variável temos 
onde 𝑢 = cos (𝑥). Na tabela de 
derivadas, vemos que a derivada de 2𝑢 é 2𝑢. ln 𝑢 
. 𝑢′, ou seja, 
Também poderíamos escrever 
 
Exemplo 4: Determine a derivada de ln(4𝑥 − 7). 
Efetuando a mudança de variável temos ln(4𝑥 − 
7) = ln 𝑢 onde 𝑢 = 4𝑥 − 7. Na tabela de derivadas, 
vemos que a derivada de , ou seja, 
. 
Exemplo 5: Determine a derivada de . 
Efetuando a mudança de variável temos 
 onde 𝑢 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥). Na tabela de 
derivadas, vemos que a derivada de 
, ou seja, 
Exercício Proposto: Determine usando 
as regras de derivação. 
 
 
RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DAS 
AULAS 18 ATÉ 20 
Exercícios da Aula 18: 
1) Seja 𝑓(𝑥) = 2𝑥² − 5𝑥 − 3, determine a taxa de 
Variação Média em [2, 2 + ∆𝑥]. 
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2) Seja 𝑓(𝑥) = 2𝑥² − 5𝑥 − 3, determine a taxa de 
Variação Média em [5, 5 + ∆𝑥]. 
 
3) Seja

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