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apostila CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

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segunda derivada 
𝑓′′ de uma função 𝑓 é positiva, temos a 
concavidade do gráfico de 𝑓 voltada para cima e 
nos intervalos onde a segunda derivada é 
negativa, a concavidade do gráfico de 𝑓 está 
voltada para baixo. 
Exemplo 1: Determine as concavidades do 
gráfico de 𝑓(𝑥) = −3𝑥² + 7𝑥 + 4. 
Primeiro, calculamos a segunda derivada. 
𝑓′(𝑥) = −6𝑥 + 7 
𝑓′′(𝑥) = −6 
Como a segunda derivada é uma constante, a 
concavidade de 𝑓 se mantém a mesma em todo 
o domínio da função e por ser negativa a 
concavidade é para baixo. 
Este resultado já era esperado, já que se trata de 
função quadrática e seu gráfico é uma parábola 
com a concavidade para baixo, pois 𝑎 = −3. 
Este exemplo não nos trouxe novidade no 
resultado. Entretanto, é importante para 
entendermos porque funciona o critério de 
verificar o sinal do coeficiente 𝑎. 
Exemplo 2: Determine as concavidades do 
gráfico de 𝑓(𝑥) = 𝑥³ − 3𝑥² − 2𝑥 + 6. 
𝑓′(𝑥) = 3𝑥² − 6𝑥 − 2 e, logo, 𝑓′′(𝑥) = 6𝑥 − 6. A 
segunda derivada é uma função afim. 
Igualando a zero, obtemos sua raiz. 
6𝑥 − 6 = 0 → 𝑥 = 1 
A função 𝑓′′ tem os sinais conforme a figura 
abaixo. 
 
Portanto, podemos resumir o comportamento de 
𝑓′′ e de 𝑓 pelo seguinte esquema: 
 
O gráfico de 𝑓 ilustra isso. 
 
• Pontos de inflexão, máximos e mínimos 
locais 
São pontos nos quais o gráfico da função 
muda de concavidade. No exemplo anterior, 
podemos dizer que temos um ponto de inflexão 
em 𝑥 = 1 pois “antes” de 1 a concavidade está 
voltada para baixo e depois de 𝑥 = 1 ela está para 
cima. 
Como faremos para determinar os 
pontos de inflexão de uma determinada função? 
Tomemos o gráfico do exemplo anterior. 
 
O que acontece “antes” de 𝑥 = 1? As 
retas tangentes vermelhas nos mostram que, à 
medida que 𝑥 cresce, a inclinação destas retas 
vai diminuindo. Guardemos essa informação: 
“antes” de 𝑥 = 1 a derivada, ou seja, 𝑓′ é 
decrescente. Já sabemos que quando uma 
função é decrescente sua derivada é negativa. E 
qual a derivada de 𝑓′? Sim, 𝑓′′. Ou seja, “antes” 
de 𝑥 = 1 𝑓′′ é negativa. De maneira análoga, 
“depois” de 𝑥 = 1, 𝑓′′ é positiva. 
Vamos resumir: 
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Lembremos que quando a derivada de 
uma função é nula, a reta tangente é paralela ao 
eixo 𝑥. Neste caso, podemos ter pontos de 
máximo ou mínimo locais. 
Analisemos isso nos dois exemplos que 
seguem. 
Exemplo 3: Seja 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 6𝑥 + 8 determinar, 
se existir, os pontos de máximo e mínimo locais. 
Fazendo 𝑓′(𝑥) = 2𝑥 − 6 = 0 temos que 𝑥 = 3. 
Portanto, em 𝑥 = 3 a função pode ter um ponto de 
máximo ou de mínimo local. Como determinamos 
isso? Calculamos a segunda derivada da função 
em 𝑥 = 3, que é 2 (a derivada de 2𝑥 − 6). Por ser 
positiva a segunda derivada, temos uma 
concavidade para cima em 𝑥 = 3. Logo, trata-se 
de um ponto de mínimo local. Este ponto é o 
vértice da parábola. Como, neste caso, a função 
não assume nenhum valor inferior a 𝑓(3), que é o 
𝑦𝑣, então este ponto será chamado de mínimo 
global. 
Exemplo 4: Seja 𝑓(𝑥) = 𝑥³ − 6𝑥² − 15𝑥 + 3 
determinar, se existir, os pontos de máximo e 
mínimo locais. 
Fazendo 𝑓′(𝑥) = 3𝑥² − 12𝑥 − 15 = 0 temos que 𝑥 
= −1 ou 𝑥 = 5. Agora calculemos a segunda 
derivada em 𝑥 = −1 e em 𝑥 = 5. A segunda 
derivada é 𝑓′′(𝑥) = 
6𝑥 − 12. Em 𝑥 = −1 temos 𝑓′′(−1) = 6. (−1) − 12 = 
−18 < 0 e, portanto, tem-se um ponto de máximo 
local, pois a concavidade está voltada para baixo. 
Em 𝑥 = temos 𝑓′′(5) = 6. (5) − 12 = 18 > 0 e, 
portanto, tem-se um ponto de mínimo local, pois 
a concavidade está volada para cima. 
Exercícios Propostos: 
1) Determine se há pontos de inflexão para as 
funções seguintes. 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥³ + 5𝑥² − 6; 
b) 𝑓(𝑥) = 𝑥³ + 2 
2) Utilize o teste da derivada segunda para 
determinar os máximos/mínimos locais de 
 
3) Para as funções a seguir utilize o critério da 
derivada segunda para determinar os 
extremos locais. Discuta a concavidade de 𝑓 
e determine os pontos de inflexão. 
a) 
b) 𝑓(𝑥) = (3𝑥² − 4)² 
PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 
Nesta aula aplicaremos os conceitos 
relacionados às derivadas estudados até aqui 
para resolver problemas nos quais se buscam 
valores de máximos e mínimos, os chamados 
problemas de otimização. 
Nestes problemas teremos uma situação 
que deve ser modelada matematicamente para 
que, em seguida, façamos o tratamento 
matemático que nos permitirá determinar, para a 
tal função seus valores máximos ou mínimos, 
conforme o problema em jogo. 
Exemplo 1: Um fazendeiro tem 2400 metros de 
cerca e quer cercar um campo retangular que 
está na margem de um rio reto. Ele não precisa 
de cerca ao longo do rio. Quais são as dimensões 
do campo que tem área máxima? 
A primeira coisa que devemos determinar é a 
variável que deverá ser maximizada ou 
minimizada. Neste caso, é a variável “área” que 
deverá ser maximizada. 
Precisamos agora expressar a área como uma 
função de outra variável. Façamos uma figura 
para representar a situação dada: 
 
Chamando de 𝑥 a largura do campo, teremos que 
o comprimento mede 2400 − 2𝑥 já que o total de 
cerca disponível é 2400𝑚, ou seja, o 
comprimento depende da largura. 
Como queremos expressar a área, podemos 
escrever 𝐴(𝑥) = (2400 − 2𝑥). 𝑥, já que área é o 
produto do comprimento pela largura. 
Também podemos escrever 𝐴(𝑥) = −2𝑥² + 2400𝑥. 
Para determinar pontos de máximo ou mínimo 
derivemos a função área. 
𝐴′(𝑥) = −4𝑥 + 2400. 
Igualando a derivada a zero, temos: 
−4𝑥 + 2400 = 0 
4𝑥 = 2400 
𝑥 = 600 
Analisemos a segunda derivada. 𝐴′′(𝑥) = −4. 
Portanto, para 𝑥 = 600 temos um ponto de 
máximo. 
Logo, as dimensões do campo serão: 
 𝐿𝑎𝑟𝑔𝑢𝑟𝑎 = 𝑥 = 600𝑚 
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𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 = 2400 − 2𝑥 = 1200𝑚 
Em resumo, o procedimento para resolução de 
Problemas de otimização é: 
1. Determinar a variável que se quer maximizar 
ou minimizar. 
2. Expressar esta variável em função de outra 
variável. 
3. Derivar a função e igualar a derivada a zero. 
4. Analisar a segunda derivada para saber se os 
valores obtidos correspondem a pontos de 
máximo ou de mínimo. 
Exercícios propostos: 
01) Uma caixa aberta deve ser feita de uma folha 
medindo 16 por 30 cm, destacando-se 
quadrados iguais dos quatro cantos e 
dobrando-se os lados. 
 
Qual é o tamanho dos quadrados para se 
obter uma caixa com o maior volume? 
2) Um terreno retangular deve ser cercado de 
duas formas. Dois lados opostos devem 
receber uma cerca reforçada que custa R$ 30 
o metro, enquanto os dois lados restantes 
recebem uma cerca padrão de R$ 20 o metro. 
Quais são as dimensões do terreno de maior 
área que pode ser cercado com R$ 6.000? 
3) O lucro obtido com a venda de 𝑥 unidades de 
um determinado produto é dado por 
𝐿(𝑥) = 0,0002𝑥³ + 10𝑥. 
a) Qual o lucro para a venda de 50 unidades? 
b) Qual o lucro para a venda de 51 unidades? 
c) Calcule a taxa média de variação do lucro 
para uma venda de 50 a 51 unidades. 
d) Calcule a taxa de variação do lucro para uma 
venda de 50 unidades. Esta taxa de variação 
do lucro é chamada de LUCRO MARGINAL. 
4) A função demanda de hambúrgueres de uma 
determinada lanchonete é dada por 𝑥 = 60000 
− 20000𝑝 onde 𝑥 é a quantidade de 
hambúrgueres e 𝑝 é o preço de cada 
hambúrguer em reais. 
a) Se o preço do hambúrguer for 𝑅$ 0,50 qual 
deve ser a produção mensal? 
b) Se o preço do hambúrguer for 𝑅$ 1,50 qual 
deve ser a produção mensal? 
c) Se o preço do hambúrguer for 𝑅$ 3,00 qual 
deve ser a produção mensal? 
5) Considere a função da questão anterior. 
a) Isole a variável 𝑝. 
b) A que preço deve ser vendido o hambúrguer 
para uma produção mensal de 20000 
hambúrgueres? 
c) Qual a receita obtida pela lanchonete para 
uma produção mensal de 20000 
hambúrgueres?

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