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apostila CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

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contínuas 
em [a,b] para [a,b] pode ser dado por: 
 
Exemplo 1: Encontre a área da região limitada 
pelas curvas y = x² – 4 e y = x + 3. 
As curvas interceptam-se nos pontos de 
abscissa -2,2 e 3,2, como mostrado a seguir: 
 
 
 
A área será dada por: 
 
Exercícios Propostos: 
1) Determine a medida da área da região 
limitada pelas curvas das funções dadas por 
𝑓(𝑥) = 𝑥² − 5𝑥 + 1 e 𝑔(𝑥) = 2𝑥 + 1. 
 
2) Determine a área da região limitada pelas 
curvas 𝑓(𝑥) = −𝑥² e 𝑔(𝑥) = −4. 
 
3) Determine a área da região limitada pelas 
curvas 𝑓(𝑥) = −𝑥² + 3 e 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 3. 
 
4) Determine a área da região limitada pelas 
curvas 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 3 e 𝑔(𝑥) = 1. 
 RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DAS 
AULAS 27 ATÉ 31 
Exercícios da Aula 27: 
1) Decida se cada função 𝐹 apresentada é 
primitiva da respectiva função 𝑓. 
 
a) . 
 . Portanto, 𝐹 é uma primitiva 
de 𝑓. 
b) 
 . Portanto, 𝐹 é 
uma primitiva de 𝑓. 
c) 
 
Portanto, 𝐹 é uma primitiva de 𝑓. 
 
2) Calcule as integrais indefinidas a seguir: 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
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3) Considere a função 𝑓′(𝑥) = 10𝑥² − 4𝑥 + 335. 
Sabendo que 𝑓(0) = 835, determine a função 
𝑓. 
 
, 
logo, 𝐶 = 835. 
Então 
 
4) Suponha que uma função 𝑅 seja dada por 
𝑅′(𝑥) = 1000 − 4𝑥. Se 𝑅(0) = 0, determine 𝑅(𝑥) 
 
logo, 𝐶 = 0. 
Então 𝑅(𝑥) = 1000𝑥 − 2𝑥². 
Exercícios da Aula 28: 
Calcule as integrais indefinidas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios da Aula 29: 
Calcule as integrais definidas a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios da Aula 30: 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
67 
 
1) Determinar a área sob a curva 𝑦 = 2𝑥 + 5 no 
intervalo [1,4]. 
A raiz de f é (verifique). Portanto, não há 
raízes no interior do intervalo de integração. 
Assim, basta calcular 
 
 
2) Determinar a área sob a curva 𝑦 = −𝑥 + 3 no 
intervalo [3,4]. 
A raiz de 𝑓 é 3 (verifique). Portanto, não há 
raízes no interior do intervalo de integração. 
Assim, basta calcular 
 
Logo, a área é 
 
3) Determinar a área sob a curva 𝑦 = −𝑥 + 3 no 
intervalo [0,4]. 
A raiz de 𝑓 é 3. Portanto, há uma raiz no 
interior do intervalo de integração. Assim, 
calcularemos separadamente as integrais 
 
Como já sabemos que 
 , então a área 
procurada é 
 
4) Determinar a área sob a curva 𝑦 = 𝑥 – 𝑥² no 
intervalo [2,3]. 
As raízes de 𝑓 são 0 e 1 (verifique). Portanto, 
não há raízes no interior do intervalo de 
integração. 
Assim, basta calcular 
 
 
Então, a área procurada é . 
5) Determinar a área sob a curva 𝑦 = 𝑥 – 𝑥² no 
intervalo [1,3]. 
As raízes de 𝑓 são 0 e 1. Portanto, não há 
raízes no interior do intervalo de integração. 
Assim, basta calcular 
 
 
Então, a área procurada é 
6) Determinar a área sob a curva 𝑦 = 𝑥 – 𝑥² no 
intervalo [0,3]. 
As raízes de 𝑓 são 0 e 1. Portanto, há uma raiz 
no interior do intervalo de integração. 
Assim, calcularemos separadamente as 
integrais 
 
Como já sabemos que 
 , então a área 
procurada é 
Exercícios da Aula 31: 
1) Determine a medida da área da região 
limitada pelas curvas das funções dadas por 
𝑓(𝑥) = 𝑥² − 5𝑥 + 1 e 𝑔(𝑥) = 2𝑥 + 1. 
Primeiro determinamos as intersecções dos 
gráficos fazendo 𝑥² − 5𝑥 + 1 = 2𝑥 = 1. 
Assim, 𝑥² − 7𝑥 = 0 e, portanto, 𝑥 = 0 ou 𝑥 = 7. 
Em seguida, precisamos saber qual dos 
gráficos está “acima” no intervalo [0,7]. Para 
isso, basta tomar qualquer valor de 𝑥 neste 
intervalo e substituir em ambas as funções. 
Tomando, por exemplo, 𝑥 = 1, temos que: 𝑓(1) 
= 1² − 5.1 + 1 = −3 e 𝑔(1) = 2.1 + 1 = 3. Logo, 
o gráfico de 𝑔 está acima. 
Calculamos então 
 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
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2) Determine a área da região limitada pelas 
curvas 𝑓(𝑥) = −𝑥² e 𝑔(𝑥) = −4. 
Fazendo –𝑥² = −4, temos 𝑥 = ±2. 
Tomando, por exemplo, 𝑥 = 0, temos que: 𝑓(0) 
= 0 e 𝑔(0) = −4. Logo, o gráfico de 𝑓 está 
acima. 
Calculamos então 
 
 
 
 
3) Determine a área da região limitada pelas 
curvas 𝑓(𝑥) = −𝑥² + 3 e 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 3. 
Fazendo –𝑥² + 3 = 𝑥 − 3, temos 𝑥² + 𝑥 − 6 = 0 
cujas raízes são – 3 e 2 (verifique). 
Tomando, por exemplo, 𝑥 = 0, temos que: 𝑓(0) 
= 3 e 𝑔(0) = −3. Logo, o gráfico de 𝑓 está 
acima. 
Calculamos então. 
 
 
 
 
 
 
4) Determine a área da região limitada pelas 
curvas 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 3 e 𝑔(𝑥) = 1. Fazendo 𝑥² − 
3 = 1, temos 𝑥² − 4 = 0 cujas raízes são – 2 e 
2 (verifique). 
Tomando, por exemplo, 𝑥 = 0, temos que: 𝑓(0) 
= −3 e 𝑔(0) = 1. Logo, o gráfico de 𝑔 está 
acima. 
Calculamos então 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SALA DE RECUSOS MULTIFUNCIONAIS 
 
69 
 
 BIBLIOGRAFIA BÁSICA 
THOMAS, G. B.; WEIR, M.D.; HASS, J. Cálculo 1. Volume1, 1ª ed. São Paulo: Addison Wesley, 2009. 
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo um Novo Horizonte. Volume 1. 8 ª ed. Porto Alegre: 
Bookman, 2007. 
STEWART, J. Cálculo. Volume 1, 5 ª ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2008. 
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR: 
LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica, Volume 1, 8ª ed., São Paulo: Harbra, 1990 
LARSON, R. E.; HOSTELER, R.P.; EDWARDS, B. H. Cálculo com aplicações, 4 ed., Rio de Janeiro: 
LTC, 1998 
MEDEIROS, V. Z.; CALDEIRA, A.M; SILVA, L. M.O; MACHADO, M.A.S. Pré-Cálculo, São Paulo: 
Pioneira Thomson Learning, 2006. 
SIMMONS, G. F. Cálculo com Geometria Analítica. Volume 1, São Paulo: McGraw-Hill, 1987. 
FLEMMING, D. M. Cálculo A: funções, limite, derivação, integração. 5ª ed. São Paulo, SP: Makron 
Books do Brasil, 1992.

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