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apostila CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

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(t). 
b) O valor da máquina após 6 anos. 
c) Quanto tempo leva para a máquina ter um 
valor de R$ 165 000? 
04) Uma empresa investe 𝑅$ 98.000,00 em 
máquinas para fabricar um novo produto. 
Cada unidade do produto custa 𝑅$ 12,30 para 
ser fabricada e é vendida por 𝑅$ 17,98. 
Seja 𝑥 a quantidade de unidades produzidas 
e vendidas. 
a) Escreva uma expressão para o custo total em 
função de 𝑥. 
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b) Escreva uma expressão para a receita 𝑅 em 
função de 𝑥. 
c) Escreva uma expressão para o lucro 𝐿 em 
função de 𝑥. 
05) Uma fábrica produz placas de aço na forma 
de retângulos. As medidas variam. No 
entanto, a medida do comprimento tem 
sempre 5cm a mais do que a medida da 
largura. 
a) Expresse a área do retângulo em função da 
medida da largura. 
b) Qual deve ser a medida da largura para que a 
área da peça seja de 104cm2? 
06) Uma parede de tijolos será usada como um 
dos lados de um canil retangular com 40m2 
de área. Para cercar os outros três lados, uma 
tela de arame de 18m de comprimento será 
dividida em três pedaços, conforme o 
esquema abaixo. 
 
a) Chamando de 𝑥 a medida da lateral do canil, 
qual será o comprimento em função de 𝑥? 
b) Expresse a área em função de 𝑥. 
c) Quanto deverá medir cada um dos três 
pedaços da tela? 
07) Um móvel se desloca em movimento retilíneo 
uniforme. Quando 𝑡 = 0𝑠 ele está na posição 
𝑠= 60𝑚 e em 𝑡 = 2𝑠 sua posição é 𝑠 = 90𝑚. 
a) Qual a velocidade do móvel em 𝑚/𝑠? 
b) Escreva a equação do movimento 𝑠 = 𝑠0 + 𝑣.𝑡. 
c) Esboce o gráfico para 𝑡 ≥ 0. 
08) Um carro trafega em uma estrada retilínea 
com uma velocidade constante de 75 𝐾𝑚/ℎ. 
Quando 𝑡 = 0ℎ ele está no 𝐾𝑚 12 indo no sentido 
crescente da via. 
a) Em que Km ele estará após 2 horas? 
b) Escreva a equação do movimento 𝑠 = 𝑠0 + 𝑣.𝑡. 
c) Esboce o gráfico para 𝑡 ≥ 0. 
09) Um móvel se desloca em movimento retilíneo 
com velocidade constante de 22𝑚/𝑠 e posição 
inicial 𝑠 = 125𝑚. 
a) Em que posição ele estará após 5 segundos? 
b) Escreva a equação do movimento 𝑠 = 𝑠0 + 𝑣.𝑡. 
c) Esboce o gráfico para 𝑡 ≥ 0. 
 A FUNÇÃO QUADRÁTICA 
A função quadrática (ou função 
polinomial do 2º grau) se caracteriza por uma 
expressão do tipo 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 (ou 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 
+ 𝑏𝑥 + 𝑐) onde 𝑎, 𝑏 e 𝑐 são números reais e 𝑎 ≠ 0. 
Exemplo 1: As expressões a seguir representam 
funções quadráticas. 
 
Assim como na função afim, os valores de 𝑥 que 
fazem com que o valor da função 
(𝑦) seja nulo são chamados de raízes da função 
quadrática. Aqui, falamos em raízes e não 
apenas em raiz, porque no caso da função 
quadrática, resolveremos uma equação do 2º 
grau para encontrar as raízes e, como já 
sabemos, uma equação deste tipo pode ter até 
duas soluções reais. 
Exemplo 2: Seja função dada por
 temos que −3 e 5 são 
raízes da função, já que: 
 
e 
 
Novamente, para determinar as raízes, basta que 
façamos 𝑦 = 0. No caso do exemplo anterior, 
teríamos . Resolvendo 
esta equação obtemos o conjunto solução 𝑆 = 
{−3,5}. 
A representação gráfica de uma função 
quadrática é uma parábola e podemos obter a 
parábola a partir de alguns de seus pontos: as 
raízes, a intersecção com o eixo 𝑦 e o vértice da 
parábola. 
• A intersecção com o eixo y e o vértice 
Para obter a intersecção do gráfico com 
o eixo 𝑦, basta fazermos 𝑥 = 0. Assim, em uma 
função dada por a 
intersecção com o eixo 𝑦 será em 
 
Exemplo 3: Determine a intersecção com o eixo 
y em cada caso. 
• O vértice da parábola 
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Este importante ponto da parábola será 
estudado com mais detalhe nas aulas de 
máximos e mínimos. Neste ponto, a função 
atinge seu valor máximo ou mínimo. Para 
determinar o vértice de uma parábola que 
representa uma função quadrática, utilizamos a 
fórmula , onde
 
Exemplo 4: Determine as raízes, a 
intersecção com o eixo 𝑦 e o vértice da parábola 
dada por A seguir, esboce o 
gráfico. 
As raízes são dadas pelas soluções da 
equação que são 2 e 4. 
A intersecção com o eixo 𝑦 é o ponto 
(0,8) pois 𝑐 = 8. 
O vértice da parábola pode ser calculado 
obtendo . Para obter 
o valor de 𝑦𝑣 = podemos usar a fórmula 
 ou, simplesmente, substituir 𝑥 por 3 
em obtendo 𝑦 = 32 − 6.3 + 8 
= −1. Logo, o vértice da parábola é o ponto 𝑉 = 
(3, −1). 
Portanto, a representação gráfica é: 
 
 
Note que a concavidade está voltada 
para cima. Isso ocorre porque o valor do 
coeficiente 𝑎 é positivo. Caso fosse negativo, 
teríamos a concavidade para baixo. 
Exemplo 5: Determine as raízes, a 
intersecção com o eixo 𝑦 e o vértice da parábola 
dada por A seguir, esboce 
o gráfico. 
As raízes são dadas pelas soluções da 
equação que é 3. Aqui só 
temos uma raiz. Assim, a parábola terá apenas 
uma intersecção com o eixo 𝑥. A intersecção com 
o eixo 𝑦 é o ponto (0, −9). A abscissa do vértice 
da parábola é dada
. Para obter o valor de 𝑦𝑣 vamos substituir 𝑥 por 
3 em 6𝑥 − 9 obtendo
 Logo, o vértice da 
parábola é o ponto 𝑉 = (3,0). É importante 
observar aqui que o fato de a função ter apenas 
uma raiz faz com que não necessitemos calcular 
o vértice da parábola, já que a intersecção com o 
eixo 𝑥 coincidirá com o vértice da parábola, ou 
seja, o ponto (3,0). Portanto, a representação 
gráfica é: 
 
 
Agora a concavidade está voltada para 
baixo, pois 𝑎 = −1 < 0. 
Exemplo 6: Determine as raízes, a intersecção 
com o eixo 𝑦 e o vértice da parábola dada por
 A seguir, esboce o gráfico. 
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As raízes são dadas pelas soluções da equação 
Como esta equação não 
possui soluções reais, não temos raízes. Assim, 
a parábola não terá intersecções com o eixo 𝑥. A 
intersecção com o eixo 𝑦 é o ponto (0,5). A 
abscissa do vértice da parábola é dada 
 Para obter o valor de 𝑦𝑣 
vamos substituir 𝑥 por 2 em 
obtendo Logo, o vértice 
da parábola é o ponto 𝑉 = (2,1). Portanto, a 
representação gráfica é: 
 
 
Assim como na função afim, o domínio é o próprio 
conjunto ℝ e a imagem é determinada pelo 
vértice da parábola. Assim, se a parábola tem a 
concavidade para cima, a imagem é o intervalo 
[𝑦𝑣, +∞[ e se tem a concavidade voltada para 
baixo, a imagem é [- ∞, yv]. 
 
Exercícios propostos: 
01) Seja , calcule: 
a) 𝑓(0) 
b) 𝑓(1) 
c) 𝑓(3) −𝑓(2) 
d) 𝑓(−3) + 𝑓(−1) 
02) Para a função , 
determine: 
a) As raízes, se existirem. 
b) O vértice. 
c) O esboço do gráfico. 
03) Esboce o gráfico das funções. 
 
04) Dada a função determine: 
a) 𝑔(2) 
b) 𝑔(−2) 
05) Qual o vértice da parábola definida por
? 
06) Se o vértice da parábola dada por 
 é o ponto (2,5), então 
qual o valor de m? 
07) Para que valor de 𝑥 a função dada por
, tem um valor 
máximo? 
08) Qual o valor máximo que a função dada 
por assume? 
09) Para que valor de 𝑥 a função dada por
, tem um valor 
mínimo? 
10) Qual o valor mínimo que a função dada 
por 𝑓(𝑥) = 2𝑥² + 16𝑥 + 1 assume? 
 RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DAS 
AULAS 01 ATÉ 03 
01) Seja 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 3, calcule: 
a) 𝑓(0) = 2.0 − 3 = −3 
b) 𝑓(−3) = 2. (−3) − 3 = −6 − 3 = −9 
c) 𝑓(𝑥 − 1) = 2. (𝑥 − 1) − 3 = 2𝑥 − 2 − 3 = 2𝑥 − 5 
d) 𝑓(1 + ℎ) = 2. (1 + ℎ) − 3 = 2 + 2ℎ − 3 = 2ℎ − 1 
02) Seja 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 2𝑥 + 2, calcule: 
 
03) Uma empresa reembolsa seus empregados 
em R$ 150,00 ao dia por despesas de hotel e 
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alimentação, mais R$ 0,34 por quilômetro 
percorrido. 
a) Escreva uma equação linear para o 
reembolso R em termos de x, o número de 
quilômetros percorridos. 
Para calcular o reembolso multiplicamos a 
quantidade de quilômetros por 0,34 e 
somamos 150 reais. Assim, podemos 
escrever 𝑅(𝑥) = 0,34. 𝑥 + 150 𝑜𝑢 𝑅(𝑥) = 150 
+0,34. 𝑥 
b) Qual o valor do reembolso se 𝑥 = 550 𝐾𝑚? 
Basta

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