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apostila CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

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substituir x por 550 em 𝑅(𝑥) = 150 + 
0,34. 𝑥. Assim, 
𝑅(𝑥) = 150 + 0,34.550 = 150 + 187 = 337 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 
 
c) Um funcionário foi reembolsado em R$ 
218,00. De quantos quilômetros foi sua 
viagem? 
Uma forma é substituir R(x) por 218 em 𝑅(𝑥) = 
150 + 0,34. 𝑥. Assim, temos 
 
Outra forma é subtrair os 150 reais fixos de 
218 reais, obtendo 68 reais. Esses 68 reais 
correspondem aos quilômetros percorridos 
multiplicados por 0,34. Assim, podemos obter 
a quantidade de quilômetros dividindo 68 por 
0,34. 
 
04) Uma empresa comprou por R$ 12.000,00 
uma máquina que tem uma vida útil de 8 anos. 
O valor da máquina como sucata ao final dos 
8 anos é de R$ 2.000,00. Escreva uma 
equação linear que descreva o valor 
depreciado da máquina a cada ano que 
passa. A desvalorização da máquina foi de 
10.000 reais (12.000 − 2.000) em um período 
de 8 anos, ou seja, de 1.250 reais por ano. 
Logo, o valor da máquina após certo tempo é 
de 12.000, menos 1.250 vezes a quantidade 
de anos que se passaram. 
Então, 𝑉(𝑡) = 12000 − 1250. 𝑡 
05) Um microempresário compra um 
computador por R$ 1.025,00. Depois de 5 
anos, o computador está ultrapassado e não 
tem mais valor comercial. Escreva uma 
equação linear para o valor V do computador 
em termos do tempo t em anos. 
A desvalorização do computador foi de 1.025 
reais em um período de 5 anos, ou seja, de 
205 reais por ano. 
Logo, o valor do computador após certo tempo 
é de 1.025, menos 205 vezes a quantidade de 
anos que se passaram. 
Então, 𝑉(𝑡) = 1025 − 205. 𝑡 
06) Uma universidade tem 2546 alunos em 1998 
e 2702 alunos em 2000. Se o número de 
alunos matriculados variar de forma linear, 
quantos alunos terá a universidade em 2004? 
A diferença na quantidade de alunos de 1998 
a 2000 foi de 156, ou seja, de 78. Como foi 
suposto que o crescimento é linear, temos um 
aumento estimado de 78 alunos por ano. 
Assim, em 2004 teremos 2702 + 78.4 = 2702 
+ 312 = 3014 alunos. 
 
07) Um homem apara seu gramado toda 
quarta-feira. Esboce o gráfico da altura da 
grama como uma função do tempo no 
decorrer do período de 4 semanas. 
 
 
Suponhamos que a grama aparada tenha 
certa altura (não importa quanto). Ao longo da 
semana a altura da grama vai aumentando e 
podemos inferir que o gráfico tenha a seguinte 
forma: 
Na quarta-feira seguinte a grama volta a ter a 
altura inicial (grama aparada) e continua 
crescendo nas mesmas condições do período 
anterior. 
Logo, temos: 
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08) Dada a função 𝑦 = 3𝑥 + 1 determine o 
valor de 𝑦 para: 
 
09) Considerando a função dada por 𝑦 = 1 − 2𝑥, 
responda: 
a) Para 𝑥 = 5 quanto vale 𝑦? 
𝑦 = 1 − 2.5 = 1 − 10 = −9 
 
b) Para 𝑥 = −6 quanto vale 𝑦? 
𝑦 = 1 − 2. (−6) = 1 + 12 = 13 
 
c)Para quanto vale 𝑦? 
 
d)Para que valor de 𝑥 se tem 𝑦 = −15? 
−15 = 1 − 2𝑥 
2𝑥 = 1 + 15 
2𝑥 = 16 
𝑥 = 8 
10) Considerando a função dada por 𝑦 = 𝑥² − 7𝑥 
+ 6, responda: 
a) Para 𝑥 = 4 quanto vale 𝑦? 
 
b) Para 𝑥 = −1 quanto vale 𝑦? 
 
c) Existe 𝑥 tal que 𝑦 = 0? Substituindo y por 0, 
temos: 
 
Os coeficientes a, b e c neste caso são 1, – 7 
e 6, respectivamente. 
Assim, ∆= (−7)² − 4.1.6 = 49 − 24 = 25 
 
d) Para que valores de 𝑥 se tem 𝑦 = 6? 
Substituindo y por 6, temos: 
 
Os coeficientes a, b e c neste caso são 1, – 7 
e 0, respectivamente. 
Assim, ∆= (−7)² − 4.1.0 = 49 
Observação: Há outros métodos de resolução 
de equações do 2º grau. 
e) Para que valor real de 𝑥 se tem 𝑦 = −8? 
Substituindo y por –8, temos 
 
Os coeficientes a, b e c neste caso são 1, – 7 
e 14, respectivamente. 
Assim, ∆= (−7)² − 4.1.14 = 49 − 56 = −7 
Como não existe um número real que seja a 
raiz quadrada de –7, a equação 𝑥² − 7𝑥 +14 = 
0 não tem solução real e, logo, não existe 
valor de x que satisfaça a condição dada. 
11) Duas variáveis, x e y, estão relacionadas pela 
fórmula 3𝑥 + 5𝑦 = 10. 
a) Expresse 𝑦 em função de 𝑥. 
Para expressar y em função de x devemos 
isolar a variável y. 
 
b) Expresse 𝑥 em função de 𝑦. 
Para expressar x em função de y devemos 
isolar a variável x. 
 
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12) Duas variáveis, x e y, estão relacionadas pela 
fórmula 𝑥 − 7𝑦 = 11. 
a) Expresse 𝑦 em função de 𝑥. 
 
b) Expresse 𝑥 em função de 𝑦. 
 
Exercícios da Aula 2: 
1) Uma indústria fabrica peças e semanalmente 
possui um custo fixo de R$3500. Se o custo 
para o material é de R$ 47,00 por peça e seu 
custo total da semana foi de R$ 13 370, 
quantas peças foram produzidas nesta 
semana? Se subtrairmos 3500 reais (custo 
fixo) dos 13370 reais (custo total) ficamos com 
9 870 reais, que corresponde ao custo 
variável. Como cada peça produz um custo de 
47 reais, a quantidade de peças é o resultado 
da divisão de 9870 por 47. Logo, foram 
produzidas 210 peças. 
2) O preço p por unidade de um produto quando 
x unidades (em milhares) são produzidas é 
modelado pela função 𝑝 = 12 − 0,025. 𝑥 
a) Qual o preço do produto, caso sejam 
produzidas 40000 unidades? 
Como x está em milhares, para calcular o 
preço do produto quando são produzidas 
40000 unidades, devemos substituir x por 40. 
Assim, 
𝑝 = 12 − 0,025.40 → 𝑝 = 12 − 1 =11 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠. 
 
b) Para que o preço seja R$ 8,90 quantas peças 
devem ser produzidas? 
Agora, basta substituir p por 8,90 e resolver a 
equação. 
 
Assim, 𝑥 = 124. Logo deverão ser produzidas 
124000 unidades. 
3) Uma máquina industrial custa R$ 240000 e 
sofre a cada ano uma depreciação linear de 
R$ 25 000. Obtenha: 
a) A expressão que relaciona o valor da máquina 
(V) em relação à sua idade (t). 
O valor da máquina após t anos será a 
diferença entre 240000 e t vezes 25000. 
Assim, V(t) = 240000 − 25000. t 
b) O valor da máquina após 6 anos. 
V(6) = 240000 − 25000.6 = 240000 − 150000 
= 90000 reais 
c) Quanto tempo leva para a máquina ter um 
valor de R$ 165000? 
Substituindo V(t) por 165000 ficamos com a 
equação 
165000 = 240000 − 25000. t 
25000. t = 240000 − 165000 
25000. t = 75000 
t = 3 anos 
04) Uma empresa investe R$ 98.000,00 em 
máquinas para fabricar um novo produto. 
Cada unidade do produto custa 𝑅$ 12,30 para 
ser fabricada e é vendida por 𝑅$ 17,98. 
Seja 𝑥 a quantidade de unidades produzidas 
e vendidas. 
a) Escreva uma expressão para o custo total em 
função de 𝑥. 
O custo total é a soma do custo fixo com o 
custo variável. O custo fixo, neste caso é de 
𝑅$ 98.000,00 e o custo variável é de 12,30. 𝑥 
sendo 𝑥 a quantidade de unidades 
produzidas. Portanto, o custo total é dado por 
𝐶(𝑥) = 98000 + 12,30𝑥. 
b) Escreva uma expressão para a receita 𝑅 em 
função de 𝑥. 
A receita é o valor recebido, ou seja, o preço 
de venda multiplicado pela quantidade de 
produtos. Logo, 𝑅(𝑥) = 17,98𝑥. 
c) Escreva uma expressão para o lucro 𝐿 em 
função de 𝑥. 
O lucro é a diferença entre a receita e o custo. 
Assim, 𝐿(𝑥) = 17,98𝑥 − (98000 + 12,30𝑥) = 
5,68𝑥 − 98000. 
05) Uma fábrica produz placas de aço na forma 
de retângulos. As medidas variam. No 
entanto, a medida do comprimento tem 
sempre 5cm a mais do que a medida da 
largura. 
a) Expresse a área do retângulo em função da 
medida da largura. 
Chamando a largura de l e sabendo que o 
comprimento tem 5cm a mais que a largura, 
temos: 
 
Assim, a área do retângulo (comprimento 
vezes largura) será dada por 
𝐴(𝑙) = (𝑙 + 5). 𝑙 = 𝑙² + 5𝑙 
b) Qual deve ser a medida da largura para que a 
área da peça retangular seja de 104cm2? 
Para que a área seja 104 cm2 teremos, 
substituindo A(l) por 104: 
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Os coeficientes a, b e c neste caso são 1, 5 e 
– 104, respectivamente. 
Assim, ∆= 5² − 4.1. (−104) = 25 + 416 = 441 
 
Evidentemente a solução – 13 não faz sentido 
no contexto geométrico. Assim, o valor da

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