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apostila CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

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largura é 8cm. Realmente, fazendo a largura 
valer 8cm o comprimento vale 13cm (5cm a 
mais) e a área vale 8.13=104cm², conforme a 
condição dada no enunciado. 
06) Uma parede de tijolos será usada como um 
dos lados de um canil retangular com 40m² de 
área. Para cercar os outros três lados, uma 
tela de arame de 18m de comprimento será 
dividida em três pedaços, conforme o 
esquema abaixo. 
a) Chamando de a lateral do canil, qual será o 
comprimento em função de 𝑥? 
 
Como a largura é x temos que o comprimento 
é o que resta de 18 quando tiramos ambas as 
laterais (2x). Assim, o comprimento vale 18 − 
2𝑥. 
b) Expresse a área em função de 𝑥. 
A área é dada por comprimento vezes a 
largura. Logo 𝐴(𝑥) = 𝑥. (18 − 2𝑥) 
 
c) Quanto deverá medir cada um dos três 
pedaços da tela? 
Como a área do canil deve ser de 40m2 
podemos escrever 40 = 𝑥. (18 − 2𝑥) 
40 = 18𝑥 − 2𝑥² 
2𝑥² − 18𝑥 + 40 = 0 
Os coeficientes a b e c neste caso são 2, –18 
e 40, respectivamente. 
Assim, ∆= (−18)² − 4.2.40 = 324 − 324 = 4
 
Assim, a largura da cerca pode valer 4m ou 
5m. 
Se a largura valer 4m, teremos um 
comprimento de 10m. Logo, as dimensões 
seriam 4, 4 e 10m. 
Se a largura valer 5m, teremos um 
comprimento de 8m. Logo, as dimensões 
seriam 5, 5 e 8m. 
Verifique que, em ambos os casos, o 
comprimento da cerca é de 18m e a área do 
canil é de 40m². 
07) Um móvel se desloca em movimento retilíneo 
uniforme. Quando 𝑡 = 0𝑠 ele está na posição 𝑠 
= 60𝑚 e em 𝑡 = 2𝑠 sua posição é 𝑠 = 90𝑚. 
a) Qual a velocidade do móvel em 𝑚/𝑠? 
 
b) Escreva a equação do movimento 
Como , 
a equação é 𝑠 = 60 + 15𝑡. 
c) Esboce o gráfico para 𝑡 ≥ 0. 
 
 
 
08) Um carro trafega em uma estrada retilínea 
com uma velocidade constante de 75 𝐾𝑚/ℎ. 
Quando 𝑡 = 0ℎ ele está no 𝐾𝑚 12 indo no 
sentido crescente da via. 
a) Em que Km ele estará após 2 horas? 
Após 1 hora ele estará no Km (12 + 75) = Km 
87. 
Após 2 horas ele estará no Km (87 + 75) = Km 
162. 
b) Escreva a equação do movimento 
 
Como 𝑠0 = 12 𝑘𝑚 e 𝑣 = 75 𝑘𝑚/ℎ, a equação é 
𝑠 = 12 + 75𝑡. 
c) Esboce o gráfico para 𝑡 ≥ 0. 
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09) Um móvel se desloca em movimento retilíneo 
com velocidade constante de 22𝑚/𝑠 e posição 
inicial 𝑠 = 125𝑚. 
a) Em que posição ele estará após 5 segundos? 
Após 5 segundos ele estará em 125 + 5.22 = 
235m. 
b) Escreva a equação do movimento 
 
 
Como 𝑠0 = 125 𝑚 e 𝑣 = 22 𝑚/𝑠, a equação é 𝑠 
= 125 + 22𝑡. 
c) Esboce o gráfico para 𝑡 ≥ 0. 
Exercícios da Aula 3: 
01) Seja f(x)=3x² – x + 11, calcule: 
 
02) Para a função f(x)= - x² + 6x - 5, determine: 
a) As raízes, se existirem. 
a=-1; b=6; c=-5 
∆=b2 - 4ac → ∆ = 62 - 4. (-1). (-5) = 36 – 20 = 
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. Assim, 𝑥 = 1 ou 𝑥 = 5 
b) vértice. 
𝑦𝑣 = −32 + 6.3 − 5 = −9 + 18 − 5 = 4. Assim, 𝑉 
= (3,4). 
c) O esboço do gráfico. 
 
 
 
03) Esboce o gráfico das funções. 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 6𝑥 + 8 
 
 
b) 𝑓(𝑥) = −𝑥² + 6𝑥 − 8 
 
 
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c) 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 9 
 
 
d) 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 9𝑥 
 
e) 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 6𝑥 + 10 
 
 
 
04) Dada a função determine: 
 
 
05) Qual o vértice da parábola definida por 
𝑓(𝑥) = 2𝑥² − 4𝑥 + 5? 
 
𝑦𝑣 = 2. 1² − 4.1 + 5 = 2 − 4 + 5 = 3. Assim, 𝑉 
= (1,3). 
06) Se o vértice da parábola dada por 𝑦 = 𝑥² 
− 4𝑥 + 𝑚 é o ponto (2,5), então qual o valor de 
m? 
Substituindo x por 2 e y por 5, temos: 
5 = 2² - 4.2 + m 
5 – 4 + 8 = m 
m = 9 
07) Para que valor de x a função dada por 𝑓(𝑥) = 
−x² + 12x + 20, tem um valor máximo? 
A função atinge seu valor máximo (ou mínimo) 
quando x é igual a . 
Logo 
08) Qual o valor máximo que a função dada por 
f(x)=-x² + 8x + 1 assume? 
O valor máximo (ou mínimo) de uma função 
quadrática é dado por yv. 
Calculando primeiro xv, obtemos 
 
 𝑦𝑣 = −4² + 8.4 + 1 = −16 + 32 + 1 = 17. Assim, 
17 é o valor máximo da função. 
09) Para que valor de x a função dada por 𝑓(𝑥) = 
𝑥² + 5𝑥 + 3, tem um valor mínimo? 
A função atinge seu valor mínimo quando x é 
igual a xv. Logo 
10) Qual o valor mínimo que a função dada por 
𝑓(𝑥) = 2𝑥² + 16𝑥 + 1 assume? 
O valor mínimo de uma função quadrática é 
dado por yv. 
Calculando primeiro xv, obtemos 
 
𝑦𝑣 = 2. (−4)² + 16. (−4) + 1 = 32 − 64 + 1 = 
−31. Assim, – 31 é o valor mínimo da função. 
 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
Trataremos nesta aula das funções seno 
e cosseno, abordando seus aspectos essenciais, 
em particular, suas representações gráficas, o 
domínio e a imagem de cada uma delas. 
• A função seno 
A função seno se caracteriza por 
associar a cada número real o valor do seu seno 
e pode ser denotada por 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥). Utilizando o 
ciclo trigonométrico ou uma calculadora científica 
podemos obter alguns pares ordenados para 
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essa função. Lembremos que: 𝑠𝑒𝑛 0 = 0 pois a 
projeção do ponto corresponde ao arco de 0 
radianos no eixo dos senos tem ordenada zero. 
Em outras palavras, a “altura” deste ponto é zero 
, pois a “altura” deste ponto, em 
relação ao eixo vertical é 1. 
De maneira análoga, concluímos que 
𝑠𝑒𝑛𝜋 = 0 e que 
 
 
 
Assim, temos os pares da tabela a seguir. 
 
Poderíamos também considerar arcos 
negativos, ou seja, no sentido horário a partir de 
0. 
 
 
 
 
Dessa maneira, teríamos: 
 
Representando estes pontos no plano 
cartesiano, temos o seguinte gráfico. 
 
 
Notemos que qualquer número real 
possui seno. Assim, o domínio da função seno é 
ℝ. As retas 𝑦 = −1 e 𝑦 = 1 limitam a função seno 
no intervalo [−1,1] que é a imagem da função. 
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Isso decorre do fato de que o raio do ciclo 
trigonométrico é 1. 
• A função cosseno 
A função cosseno se caracteriza 
por associar a cada número real o valor do seu 
cosseno e pode ser denotada por 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥). 
Assim como fizemos com a função seno, 
utilizaremos o ciclo trigonométrico para obter 
alguns pares ordenados para essa função. 
Lembremos que: 
 𝑐𝑜𝑠 0 = 1 pois a projeção do ponto 
corresponde ao arco de 0 radianos no eixo 
dos cossenos (horizontal) tem abscissa 1. 
 
, pois a projeção do ponto 
corresponde ao arco de radianos no eixo 
dos cossenos (horizontal) tem abscissa 0. De 
maneira análoga, concluímos que 
cos 𝜋 = −1 e que . 
 
 
Assim, temos os pares da tabela a seguir. 
 
Considerando arcos no sentido horário. 
 
 
Dessa maneira, teríamos: 
 
Representando estes pontos no plano 
cartesiano, temos o seguinte gráfico. 
 
Como qualquer número real também possui 
cosseno, o domínio da função cosseno 
também é ℝ. Analogamente à função seno as 
retas 𝑦 = −1 e 𝑦 = 1 limitam a função no 
intervalo [−1,1] que é a sua imagem. 
Exercícios propostos: 
1) Trace no Winplot o gráfico de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 1. 
2) Trace no papel (sem a ajuda do software) o 
gráfico de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 2. 
3) Trace no Winplot o gráfico de 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 1. 
4) Trace no papel (sem a ajuda do software) o 
gráfico de 𝑦 = cos(𝑥) − 1. 
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5) Trace no Winplot o gráfico de 𝑦 = 2. 𝑠𝑒𝑛(𝑥). 
6) Trace no papel (sem a ajuda do software) o 
gráfico de 𝑦 = 3𝑠𝑒𝑛(𝑥). 
7) Trace no Winplot o gráfico de 𝑦 = −𝑠𝑒𝑛(𝑥). 
8) Trace no papel (sem a ajuda do software) o 
gráfico de 𝑦 = −2𝑠𝑒𝑛(𝑥). 
9) Trace no Winplot o gráfico de 𝑦 = 2. 𝑐𝑜𝑠(𝑥). 
10) Trace no papel o gráfico de 𝑦 = 3𝑐𝑜𝑠(𝑥). 
11) Trace no papel o gráfico de 𝑦 = −𝑐𝑜𝑠(𝑥). 
12) Trace no papel o gráfico de 𝑦 = −2𝑐𝑜𝑠(𝑥). 
13) Trace no Winplot o gráfico de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥). 
14) Trace no papel o gráfico de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 (3𝑥). 
15) Trace no papel (sem a ajuda do

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