A maior rede de estudos do Brasil

Grátis
69 pág.
apostila CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

Pré-visualização | Página 8 de 16

3? 
Para responder a essa pergunta, basta 
verificarmos que e, para 
qualquer 𝑥 que não seja 3, 
(basta cancelar o fator 𝑥 − 3). 
Voltando ao comportamento numérico de 
 e, sabendo que ela não está 
definida para 𝑥 = 3, quais são os valores de 𝑓(𝑥) 
quando 𝑥 se aproxima indefinidamente de 3? 
Podemos apelar para outra tabela, com 
valores de 𝑥 cada vez mais próximos de 3. 
Primeiro, pela esquerda, ou seja, indo de 2 para 
3, por exemplo. 
 
Agora pela direita, indo de 4 para 3. 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
27 
 
 
Observando estes valores, parece que 
ao aproximarmo-nos de 3, os valores de 𝑓(𝑥) se 
aproximam de 6. Se isto se confirmar, diremos 
que o limite de 𝑓(𝑥) quando 𝑥 tende a 3 é 6 ou 
escreveremos . 
Para confirmar que 6 é mesmo o limite 
procurado, voltemos à álgebra e, em seguida, 
veremos que o comportamento gráfico da função 
nos indica qual é esse limite. 
Conforme vimos, para valores de 𝑥 
diferentes de 3, . Assim, 
podemos escrever 
. Observe que podemos cancelar o fator 𝑥 − 3 
porque ele não é nulo, já que quando estamos 
calculando o limite quando 𝑥 tende a 3, está 
implícito que 𝑥 não vale 3, apenas se aproxima 
de 3. O gráfico de 𝑓, como era de se esperar, é o 
mesmo de 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 3, apenas diferindo quando 
𝑥 = 3 onde 𝑓 não está definida. Portanto, o gráfico 
de 𝑓 é: 
 
 
Vejamos alguns exemplos de cálculo de 
limites: 
Exemplo 1: Calcule . 
Inicialmente, é importante verificar se a função 
está definida para o valor indicado no limite. 
Substituindo 𝑥 por −1 na função temos 
que é uma indeterminação. 
Quando isso ocorre, precisamos eliminar a 
indeterminação para calcular o limite procurado. 
Lembrando que 𝑥² − 1 = (𝑥 − 1). (𝑥 + 1), temos: 
 
 
Exemplo 2: Calcule 
Substituindo 𝑥 por 2 na função temos 
 . Neste caso, não há 
indeterminação e o limite procurado é . 
Exemplo 3: Calcule 
Substituindo 𝑥 por 9 na função temos 
A propriedade que está por trás 
deste artifício é a do produto da 
soma pela diferença de dois termos 
que é igual ao quadrado do primeiro 
menos o quadrado do segundo. 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
28 
 
 , ou seja, uma 
indeterminação. Para eliminar a indeterminação 
e calcular o limite vamos racionalizar o 
numerador da fração, lembrando que, para 
racionalizar uma expressão do tipo 
devemos multiplica-la por , já que 
 
 
 
Exemplo 4: Calcule 
Substituindo 𝑥 por 2 na função temos 
 que é uma indeterminação. 
Para eliminá-la, vamos fatorar o numerador e o 
denominador da fração. 
Recordemos que 
(Diferença de cubos). Assim, temos: 
 
 
Para este exemplo, poderíamos também usar o 
dispositivo prático de Briot Rufinni e dividir 𝑥³ − 8 
por 𝑥 − 2, obtendo 𝑥² + 2𝑥 + 4, ao invés de usar a 
fatoração da diferença de cubos. 
• Propriedades dos limites 
No cálculo de limites, é importante 
sabermos suas propriedades. Listamos a seguir 
algumas delas: 
 
Estas propriedades são válidas se existirem os 
limites e sendo 𝑘 um 
número real. 
Exemplo 5: Vimos no Exemplo 2 que 
 e no Exemplo 4 vimos que 
 4. Assim, pela propriedade (I) 
. 
Exemplo 6: Vimos no Exemplo 1 que 
 . Então, pela propriedade (II), 
 
Exemplo 7: Como e 
 . Então, pela propriedade (III), 
 
 e pela propriedade (IV), 
Exercícios Propostos: 
1) Calcule . 
2) Calcule . 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
29 
 
3) Calcule . 
4) Calcule . 
5) Seja a função 𝑓 definida por 
 determine, se 
existir, . 
6) Seja a função 𝑔 definida por 
 determine, se 
existir, 
LIMITES LATERAIS E CONTINUIDADE 
Ao considerarmos , estávamos 
interessados no comportamento da função nos 
valores próximos de a. Entretanto, o 
comportamento de algumas funções, quando 𝑥 
está próximo de a, mas assume valores menores 
que a, é diferente do comportamento da mesma 
função, quando 𝑥 está próximo de a assumindo 
valores maiores que a. 
Exemplo 1: Consideremos a função 𝑣(𝑡) = 2𝑡 + 5 
que representa a velocidade (em m/s) de um 
veículo em função do tempo (em segundos). 
Podemos estar interessados em saber se, 
quando nos aproximamos do instante 𝑡 = 2 ,por 
exemplo, a velocidade do veículo estará próxima 
daquela que o veículo apresentava quando 𝑡 = 
1,9 ou, ainda, quando 𝑡 = 2,1 o veículo 
apresentará velocidade próxima daquela que 
apresentava quando 𝑡 = 2. 
De acordo com o gráfico da função vemos que, 
quando t se aproxima de 2 segundos pela 
esquerda (ou seja, assumindo valores menores 
que 2), a velocidade do móvel aproxima-se de v 
(2) = 2.2 + 5 = 9 m/s, assumindo valores menores 
que 9 m/s. 
 
Em símbolos matemáticos escrevemos: 
 
Dizemos que o limite lateral à esquerda de 𝑣(𝑡) 
quando 𝑡 tende a 2 é 9. Por outro lado, quando 𝑡 
se aproxima de 2 segundos pela direita (ou seja, 
assumindo valores maiores que 2) a velocidade 
se aproxima de 𝑣(2) = 2.2 + 5 = 9 𝑚/𝑠, assumindo 
valores maiores que 9 𝑚/𝑠. Simbolicamente 
escrevemos: 
 
Dizemos que o limite lateral direito de 𝑣(𝑡) quando 
𝑡 tende a 2 é 9. Como os limites laterais 
coincidem, podemos dizer então que 
 . 
Exemplo 2: Seja a função 𝑓 definida por 
. Observemos que neste 
caso lim e que . 
De onde vêm esses valores? Vejamos, se 𝑥 
tende a 2 pela esquerda, então 𝑥 < 2 e, portanto, 
𝑓(𝑥) = 𝑥² = 2² = 4. E se 𝑥 tende a 2 pela direita, 
então 𝑥 > 2 e, portanto, 𝑓(𝑥) = 5. 
Como os limites laterais são diferentes, dizemos 
que não existe. 
Exemplo 3: Agora seja 𝑓 definida por 
 . Neste caso, 
 e então 
podemos dizer que . 
• Continuidade: 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
30 
 
Seja 𝑓 uma função definida em um 
intervalo aberto I e 𝑎 um elemento de I. Dizemos 
que 𝑓 é contínua em . 
Para se falar em continuidade de uma função em 
um ponto é necessário que este ponto pertença 
ao domínio da função. Da definição decorre que 
se 𝑓 é contínua em 𝑎 então as três condições 
deverão ser satisfeitas: 
I) existe 𝑓(𝑎) 
II) existe 
III) 
Definição: Seja 𝑓 uma função definida em um 
intervalo aberto I e 𝑎 um elemento de I. Dizemos 
que 𝑓 é descontínua em 𝑎 se 𝑓 não for contínua 
em 𝑎. 
Observa-se também que quando falamos em 
descontinuidade de uma função em um ponto, é 
necessário que este ponto pertença ao domínio 
da função. Da definição decorre que se 𝑓 é 
descontínua em 𝑎, então as duas condições 
abaixo deverão ser satisfeitas: 
I) existe 𝑓(𝑎) 
II) não existe 
Definição: Diz-se que uma função 𝑓 é contínua 
em um intervalo aberto se for contínua em todos 
os pontos desse intervalo. 
Definição: Seja 𝑎 um ponto do domínio de 𝑓. Diz-
se que 𝑓 é contínua à direita de 𝑎 se 
 . Analogamente se define a 
continuidade à esquerda de 𝑎. 
Definição: Diz-se que uma função 𝑓 é contínua 
em um intervalo fechado [𝑎, 𝑏] se f for contínua 
no intervalo aberto] a, b[ e se também for 
contínua em 𝑎, à esquerda, e em 𝑏, à direita. 
• Propriedades das Funções Contínuas 
Se as funções 𝑓 e 𝑔 são contínuas em um 
ponto 𝑎, então se pode afirmar que: 
I) 𝑓 ± 𝑔 é contínua em 𝑎; 
II) 𝑓𝑔 é contínua em 𝑎; 
III) é contínua em 𝑎, desde que 𝑔(𝑎) ≠ 0. 
• Proposição 
a) Uma função polinomial é contínua para todo 𝑥 
real. 
b) Uma função racional é contínua em todos os 
pontos de seu domínio; 
c) As funções trigonométricas 𝑠𝑒𝑛(𝑥) e cos(𝑥) 
são contínuas para todo 𝑥 real. 
d) As funções exponenciais são contínuas para 
todo 𝑥 real. 
Exemplo 4: Avaliar a continuidade das funções 
dadas a seguir: 
 
No caso de 𝑓 a função não é contínua pois não 
está definida para 𝑥 = 1. A função 𝑔 está definida 
para qualquer número real, mas 
 já que e 
𝑔(1) = 1. 
Exercícios propostos: 
1) Calcule, se existir, , sendo 
 . 
 
2) Calcule, se existir, , sendo 
. 
3) Calcule, se existir, , 
sendo 
 
4) Dada a função , 
com 𝑥 ≤ −2 ou 𝑥 ≥ 2, determinar, se possível, 
 .

Crie agora seu perfil grátis para visualizar sem restrições.