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APOSTILA DE MATEMÁTICA CEEP LICEU PARNAIBANO PROF. ME. ADEMAR ROSA ESPAÇO E FORMA Descritor 8: Resolver problema utilizando a propriedade dos polígonos (soma de seus ângulos internos, número de diagonais, cálculo da medida de cada ângulo interno nos polígonos regulares) Polígonos Os polígonos são figuras planas e fechadas constituídas por segmentos de reta. Polígono convexo e côncavo A junção das retas que formam os lados de um polígono com o seu interior é chamada de região poligonal. Essa região pode ser convexa ou côncava. Os polígonos são chamados de convexos quando qualquer reta que une dois pontos, pertencente a região poligonal, ficará totalmente inserida nesta região. Já nos polígonos côncavos isso não acontece. Polígonos regulares Os polígonos convexos são regulares quando apresentam os lados e os ângulos congruentes, ou seja, são ao mesmo tempo equiláteros e equiângulos. Por exemplo, o quadrado é um polígono regular. Elementos do Polígono Vértice: corresponde ao ponto de encontro dos segmentos que formam o polígono. Lado: corresponde a cada segmentos de reta que une vértices consecutivos. Ângulos: os ângulos internos correspondem aos ângulos formados por dois lados consecutivos. Por outro lado, os ângulos externos são os ângulos formados por um lado e pelo prolongamento do lado sucessivo a ele. Diagonal: corresponde ao segmento de reta que liga dois vértices não consecutivos, ou seja, um segmento de reta que passa pelo interior da figura. Nomenclatura dos Polígonos Dependendo do número de lados presentes, os polígono são classificados em: Soma dos ângulos de um polígono - 𝑺𝒊 A soma dos ângulos externos dos polígonos convexos é sempre igual a 360º. Entretanto, para obter a soma dos ângulos internos de um polígono é necessário aplicar a seguinte fórmula: 𝑆𝑖 = (𝑛 − 2) ∙ 180° Sendo: n: número de lados.do polígono Exemplo: Qual é o valor da soma dos ângulos internos de um decágono convexo? Solução: O decágono convexo é um polígono que apresenta 10 lados, ou seja n = 10. Aplicando esse valor na fórmula, temos: 𝑆𝑖 = (𝑛 − 2) ∙ 180° = (10 − 2) ∙ 180° 𝑆𝑖 = (8) ∙ 180° = 1440° Assim, a soma dos ângulos internos do decágono é igual a 1440°. Ângulo interno em polígonos regulares - 𝒂𝒊 Em um polígono regular de n lados, como todos os ângulos internos são congruentes, podemos calcular cada um deles através da expressão: 𝑎𝑖 = 𝑆𝑖 𝑛 Exemplo: Qual a medida de um ângulo interno de um hexágono regular? Resolução: Ele é o polígono com 6 lados, portanto n=6. Primeiro iremos calcular a soma de todos os ângulos internos: 𝑆𝑖=(𝑛−2)⋅180=(6−2)⋅180=4⋅180=720° Como todos os 6 ângulos devem ter a mesma medida, basta dividir esta soma por 6. 𝑎𝑖 = 𝑆𝑖 𝑛 = 720 6 = 120° Portanto, o ângulo interno do hexágono regular mede 120°. Número de diagonais - d Para calcular o número de diagonais de um polígono, utiliza-se a seguinte fórmula: 𝑑 = 𝑛(𝑛 − 3) 2 Exemplo: Quantas diagonais apresenta um hexágono convexo? Solução: Considerando que o hexágono possui 6 lados, aplicando a fórmula, temos: 𝑑 = 𝑛(𝑛 − 3) 2 = 6(6 − 3) 2 = 6(3) 2 = 3 ∙ 3 = 9 Portanto, um hexágono convexo contém 9 diagonais. Descritor 9: Interpretar informações apresentadas por meio de coordenadas cartesiana Plano cartesiano Representamos um par ordenado em um plano cartesiano. Esse plano é formado por duas retas, x e y, perpendiculares entre si. A reta horizontal é o eixo das abscissas (eixo x). A reta vertical é o eixo das ordenadas (eixo y). O ponto comum dessas duas retas é denominado origem, que corresponde ao par ordenado (0, 0). Localização de um ponto Para localizar um ponto em um plano cartesiano, utilizamos a sequência prática: O 1º número do par ordenado deve ser localizado no eixo das abscissas. O 2º número do par ordenado deve ser localizado no eixo das ordenadas. No encontro das perpendiculares aos eixos x e y, por esses pontos, determinamos o ponto procurado. Exemplo: Localize o ponto (4, 3). Atividades 01- (D8) A figura a seguir é formada por um hexágono regular, um trapézio retângulo e um quadrado. Quanto mede o ângulo α, indicado nessa figura? A) 30º B) 45º C) 60º D) 90º E) 25º 02- (D8) Considerando a figura a baixo um octógono regular. Então a soma das medidas dos ângulos internos e o número de diagonais da figura, respectivamente, são: A) 108º e 40. B) 1080° e 20. C) 720º e 20. D) 540º e 40. E) 180° e 20 03- (D8) A figura ao lado é formada por dois hexágonos regulares. A soma das medidas dos ângulos 𝛼 2 e β é: A) 60º B) 120º C) 240º D) 180º E) 720º 04- (D8) O piso à volta de uma piscina está pavimentado com mosaicos todos iguais, como mostra a figura ao lado. O nome do polígono representado por cada um dos mosaicos da figura é: A) Hexágono B) Pentágono C) Retângulo D) Triângulo E) Heptágono 05- (Adaptada da Prova Brasil)(D9). No plano cartesiano, abaixo, estão assinalados os pontos P e Q. as coordenadas dos pontos P e Q nesse plano cartesiano, respectivamente, são: A) P(1, 1) e Q(1, 1) B) P(1, 0) e Q(0, 1) C) P(0, 1) e Q(1, 0) D) P(0, 1) e Q(0, 1) E) P(1, 1) e Q(0, 0) 06- (Saresp – SP) (D9) Imagine um jogo em que um participante deva adivinhar a localização de algumas peças desenhadas num tabuleiro que está nas mãos do outro jogador. Veja um desses tabuleiros com uma peça desenhada. A sequência de comandos que acerta as quatro partes da peça desenhada é: A) D4, E3, F4, E4 B) D4, E4, F4, E5 C) D4, E3, F3, E4 D) D4, E3, F4, E5 E) D3, E4, F4, E6 07- Observe a figura abaixo: As coordenadas de A, B e C, respectivamente, são: A) (1, 4), (5, 6) e (4, 2) B) (4, 1), (6, 5) e (2, 4) C) (5, 6), (1, 4) e (4, 2) D) (6, 5), (4, 1) e (2, 4) E) (2, 4), (6, 5) e (4, 1). 08- (Saresp–SP). No sistema de eixos cartesianos, é verdade que: A) O ponto (3, –2) pertence ao primeiro quadrante. B) O ponto (2, –1) pertence ao segundo quadrante. C) O ponto (–1, –3) pertence ao terceiro quadrante. D) O ponto (2, 4) pertence ao quarto quadrante. E) O ponto (0, 0) pertence ao quarto quadrante.
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