Apostila de matemática - LICEU

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APOSTILA DE MATEMÁTICA 
CEEP LICEU PARNAIBANO PROF. ME. ADEMAR ROSA 
 
 
ESPAÇO E FORMA 
 Descritor 8: Resolver problema utilizando a 
propriedade dos polígonos (soma de seus 
ângulos internos, número de diagonais, cálculo 
da medida de cada ângulo interno nos 
polígonos regulares) 
 
Polígonos 
Os polígonos são figuras planas e fechadas 
constituídas por segmentos de reta. 
 
 Polígono convexo e côncavo 
A junção das retas que formam os lados de um 
polígono com o seu interior é chamada de região 
poligonal. Essa região pode ser convexa ou 
côncava. 
Os polígonos são chamados de convexos quando 
qualquer reta que une dois pontos, pertencente a 
região poligonal, ficará totalmente inserida nesta 
região. Já nos polígonos côncavos isso não 
acontece. 
 
 Polígonos regulares 
Os polígonos convexos são regulares quando 
apresentam os lados e os ângulos congruentes, ou 
seja, são ao mesmo tempo equiláteros e 
equiângulos. Por exemplo, o quadrado é um 
polígono regular. 
 
 Elementos do Polígono 
Vértice: corresponde ao ponto de encontro dos 
segmentos que formam o polígono. 
Lado: corresponde a cada segmentos de reta que 
une vértices consecutivos. 
Ângulos: os ângulos internos correspondem aos 
ângulos formados por dois lados consecutivos. 
Por outro lado, os ângulos externos são os 
ângulos formados por um lado e pelo 
prolongamento do lado sucessivo a ele. 
Diagonal: corresponde ao segmento de reta que 
liga dois vértices não consecutivos, ou seja, um 
segmento de reta que passa pelo interior da 
figura. 
 
 Nomenclatura dos Polígonos 
Dependendo do número de lados presentes, os 
polígono são classificados em: 
 
 
 Soma dos ângulos de um polígono - 𝑺𝒊 
A soma dos ângulos externos dos polígonos 
convexos é sempre igual a 360º. Entretanto, para 
obter a soma dos ângulos internos de um polígono 
é necessário aplicar a seguinte fórmula: 
𝑆𝑖 = (𝑛 − 2) ∙ 180° 
Sendo: 
n: número de lados.do polígono 
 
Exemplo: 
Qual é o valor da soma dos ângulos internos de 
um decágono convexo? 
Solução: 
O decágono convexo é um polígono que apresenta 
10 lados, ou seja n = 10. Aplicando esse valor na 
fórmula, temos: 
𝑆𝑖 = (𝑛 − 2) ∙ 180° = (10 − 2) ∙ 180° 
𝑆𝑖 = (8) ∙ 180° = 1440° 
Assim, a soma dos ângulos internos do decágono 
é igual a 1440°. 
 
 Ângulo interno em polígonos regulares - 𝒂𝒊 
Em um polígono regular de n lados, como todos os 
ângulos internos são congruentes, podemos 
calcular cada um deles através da expressão: 
𝑎𝑖 =
𝑆𝑖
𝑛
 
Exemplo: 
 Qual a medida de um ângulo interno de um 
hexágono regular? 
Resolução: 
Ele é o polígono com 6 lados, portanto n=6. 
Primeiro iremos calcular a soma de todos os 
ângulos internos: 
𝑆𝑖=(𝑛−2)⋅180=(6−2)⋅180=4⋅180=720° 
 
Como todos os 6 ângulos devem ter a mesma 
medida, basta dividir esta soma por 6. 
𝑎𝑖 =
𝑆𝑖
𝑛
 = 
720
6
= 120° 
 
Portanto, o ângulo interno do hexágono regular 
mede 120°. 
 
 Número de diagonais - d 
Para calcular o número de diagonais de um 
polígono, utiliza-se a seguinte fórmula: 
𝑑 =
𝑛(𝑛 − 3)
2
 
Exemplo: 
Quantas diagonais apresenta um hexágono 
convexo? 
Solução: 
Considerando que o hexágono possui 6 lados, 
aplicando a fórmula, temos: 
𝑑 =
𝑛(𝑛 − 3)
2
=
6(6 − 3)
2
=
6(3)
2
= 3 ∙ 3 = 9 
Portanto, um hexágono convexo contém 9 
diagonais. 
 
 Descritor 9: Interpretar informações 
apresentadas por meio de coordenadas 
cartesiana 
Plano cartesiano 
Representamos um par ordenado em um plano 
cartesiano. Esse plano é formado por duas 
retas, x e y, perpendiculares entre si. 
A reta horizontal 
é o eixo das 
abscissas 
(eixo x). 
A reta vertical é o 
eixo das 
ordenadas 
(eixo y). 
O ponto comum 
dessas duas 
retas é 
denominado origem, que corresponde ao par 
ordenado (0, 0). 
 
 
 Localização de um ponto 
Para localizar um ponto em um plano cartesiano, 
utilizamos a sequência prática: 
 O 1º número do par ordenado deve ser 
localizado no eixo das abscissas. 
 O 2º número do par ordenado deve ser 
localizado no eixo das ordenadas. 
 No encontro das perpendiculares aos 
eixos x e y, por esses pontos, 
determinamos o ponto procurado. 
Exemplo: 
Localize o ponto (4, 3). 
 
Atividades 
01- (D8) A figura a seguir é formada por um 
hexágono regular, um trapézio retângulo e um 
quadrado. 
 
Quanto mede o ângulo α, indicado nessa figura? 
A) 30º 
B) 45º 
C) 60º 
D) 90º 
E) 25º 
 
02- (D8) Considerando a figura a baixo um 
octógono regular. 
 
Então a soma das medidas dos ângulos internos e o 
número de diagonais da figura, respectivamente, são: 
A) 108º e 40. 
B) 1080° e 20. 
C) 720º e 20. 
D) 540º e 40. 
E) 180° e 20 
 
03- (D8) A figura ao lado é formada 
por dois hexágonos regulares. A 
soma das medidas dos ângulos 
 
𝛼
2
 e β é: 
A) 60º 
B) 120º 
C) 240º 
D) 180º 
E) 720º 
 
 04- (D8) O piso à volta de uma piscina está 
pavimentado com 
mosaicos todos 
iguais, como mostra 
a figura ao lado. 
O nome do polígono 
representado por 
cada um dos 
mosaicos da figura é: 
A) Hexágono 
B) Pentágono 
C) Retângulo 
D) Triângulo 
E) Heptágono 
 
05- (Adaptada da Prova Brasil)(D9). No plano 
cartesiano, abaixo, estão assinalados os pontos 
P e Q. 
 
as coordenadas dos pontos P e Q nesse plano 
cartesiano, respectivamente, são: 
A) P(1, 1) e Q(1, 1) 
B) P(1, 0) e Q(0, 1) 
C) P(0, 1) e Q(1, 0) 
D) P(0, 1) e Q(0, 1) 
E) P(1, 1) e Q(0, 0) 
06- (Saresp – SP) (D9) Imagine um jogo em que um 
participante deva adivinhar a localização de algumas 
peças desenhadas num tabuleiro que está nas mãos 
do outro jogador. Veja um desses tabuleiros com uma 
peça desenhada. 
 
 
A sequência de comandos que acerta as quatro 
partes da peça desenhada é: 
A) D4, E3, F4, E4 
 B) D4, E4, F4, E5 
 C) D4, E3, F3, E4 
 D) D4, E3, F4, E5 
 E) D3, E4, F4, E6 
 
07- Observe a figura abaixo: 
 
 
As coordenadas de A, B e C, respectivamente, são: 
A) (1, 4), (5, 6) e (4, 2) 
B) (4, 1), (6, 5) e (2, 4) 
C) (5, 6), (1, 4) e (4, 2) 
D) (6, 5), (4, 1) e (2, 4) 
E) (2, 4), (6, 5) e (4, 1). 
 
08- (Saresp–SP). No sistema de eixos cartesianos, 
é verdade que: 
A) O ponto (3, –2) pertence ao primeiro quadrante. 
B) O ponto (2, –1) pertence ao segundo quadrante. 
C) O ponto (–1, –3) pertence ao terceiro 
quadrante. 
D) O ponto (2, 4) pertence ao quarto quadrante. 
E) O ponto (0, 0) pertence ao quarto quadrante.