Aprendendo cálculo de várias variáveis (W Bianchini)

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Aprendendo Cálculo de Várias Variáveis
Cálculo III
Versão alpha-01- em edição: sugestões são bem vindas!
Waldecir Bianchini
Instituito de Matemática - UFRJ
30 de setembro de 2020
2 Aprendendo Cálculo de Várias Variáveis
W.Bianchini 3
Nota: A figura que aparece no decorrer deste livro indica que existe no endereço:
www.im.ufrj.br/waldecir/calculo3/interativo
uma página com uma JGI - Janela Gráfica Interativa - em java (applet java) referente àquele objeto
de estudo.
http://www.im.ufrj.br/waldecir/calculo3/interativo
Sumário
1 Integrais Múltiplas 5
1.1 Integral Dupla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Integral Dupla sobre um retângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.3 Integração - Integrais Iteradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Integral Dupla sobre Regiões Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3 Mudança de Variáveis na Integral Dupla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.1 Coordenadas Curvilíneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.2 Transformação Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3.3 Mudança Polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.4 Aplicações da Integral Dupla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.4 Integral Tripla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.5 Mudança de Variáveis na Integral Tripla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.5.1 Mudança de Variáveis Cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.5.2 Mudança de Variáveis Esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2 Integrais de Linha 48
2.1 Campos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.2 Integral de Linha de função escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3 Integral de Linha de Campo Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.3.1 Propriedades básicas de Integral de Linha de Campo Vetorial . . . . . . . . . . 61
2.3.2 Independência do Caminho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.3.3 Teorema Fundamental do Cálculo (Primeira Parte) . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.4 Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3 Integrais de Superfície 78
3.1 Superfícies Parametrizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.1.1 Planos Tangentes à Superfícies Parametrizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.2 Área de Superfícies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.2.1 Área de Superfícies de Gráficos de Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.2.2 Integral de Superfície de Função Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.3 Integral de Superfície de Função Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.3.1 Interpretação geométrica e física da Integral de Superfície . . . . . . . . . . . . 99
3.4 Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4
Capítulo 1
Integrais Múltiplas
1.1 Integral Dupla
Neste capítulo estendemos as ideias de integrais definidas vistas em Cálculo I para funções de uma
variável para integrais duplas e triplas para funções de 2 e 3 variáveis. Agora calcularemos volumes,
massas, áreas de superfícies, etc.
� Problema: Cálculo de Volumes
Considere um retângulo em R2
R = [a, b]× [c, d] = {(x, y) ; a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}
e uma função f ≥ 0 e limitada sobre R. O problema que se coloca é o de calcular o volume V do
sólido S acima de R limitado pelo gráfico de f , conforme figura 1.2.
Figura 1.1: R = [a, b]× [c, d] Figura 1.2: z = f(x, y)
É claro que se a função f for um plano paralelo ao plano xy, isto é, f(x, y) = k > 0, o sólido será
um paralelepípedo de base retangular R e altura k e seu volume será igual à área da base de R vezes
sua altura k. Isso nos remete ao raciocínio desenvolvido em Cálculo I para o cálculo de área sob o
gráfico de uma função de uma variável. Neste caso, o que faremos é, primeiramente, uma divisão do
retângulo R em subretângulos. Para isso, consideremos duas partições P1 e P2 dos intervalos [a, b] e
[c, d], respectivamente:
a = x0 < x1 < x2 < · · · < xm = b
c = y0 < y1 < y2 < · · · < yn = d
tais que, se chamarmos ∆xi = xi − xi−1 e ∆yj = yj − yj−1, então, ∆xi → 0 e ∆yj → 0 quando m
e n −→ +∞. Tais partições chamaremos de regulares. Isso provocará uma divisão no retângulo R
5
6 Cap. 1. Integrais Múltiplas
em m · n subretângulos Rij = [xi−1, xi] × [yj−1, yj], cada um dos quais com área ∆Rij = ∆xi ∆yj.
Chamamos tal divisão de partição regular de R.
Escolhamos agora, um ponto qualquer, ci,j = (x∗i , y∗j ) em cada subretângulo Rij. Como mostra a
figura 1.3, o produto f(cij)∆Rij é o volume de um paralelepípedo retangular com base Rij de área
Figura 1.3 Figura 1.4
∆Rij e altura f(cij). Assim a soma
Smn =
m∑
i
(
n∑
j
f(cij)∆Rij
)
chamada de soma de Riemann de f , será a soma de m · n volumes destes paralelepípedos, que
dará aproximadamente o volume V do sólido S, como mostra a figura 1.4. Assim, à medida que
aumentamos os valores de m e n, a soma de Riemann Smn se aproxima cada vez mais do volume V .
Logo, o volume será o limite
V = lim
m,n→∞
m∑
i
(
n∑
j
f(cij)∆Rij
)
Veja as figuras 1.5, 1.6, 1.7 e 1.8, quando aumentamos m e n:
1.1.1 Integral Dupla sobre um retângulo
Vimos na seção anterior que calcular volumes de sólidos de base retangular e limitados acima pelo
gráfico de uma função de duas variáveis é uma extensão da ideia de calcular áreas sob uma curva de
uma função de uma variável definida sobre um intervalo. Assim, estendemos a ideia de integral de
uma função de uma variável como o limite de uma soma de Riemann para funções de duas variáveis.
Definição 1.1 Seja f uma função definida e limitada sobre um retângulo R ⊂ R2. Com as notações
da seção anterior, se o limite da soma de Riemann
lim
m,n→∞
m∑
i
(
n∑
j
f(cij)∆Rij
)
http://www.im.ufrj.br/waldecir/calculo3/interativo/volume_retang.html
W.Bianchini 7
Figura 1.5: m = n = 8 Figura 1.6: m=n=10
Figura 1.7: m = n = 16 Figura 1.8: m = n = 20
existir para quaisquer que sejam as partições regulares P1 e P2 de [a, b] e [c, d], respectivamente, e
para quaisquer que sejam os pontos cij nos subretângulos Rij, então, dizemos que f é integrável sobre
R e sua integral dupla sobre R é definida por:
¨
R
f(x, y)dx dy = lim
m,n→∞
m∑
i
(
n∑
j
f(cij)∆Rij
)
Veja para uma visão geométrica interativa.
Exemplo 1.1 Seja z = f(x, y) = k definida sobre um retângulo R = [−2, 3] × [−1, 2]. Se k > 0,
então, ¨
R
k dx dy = 10k
que é o volume do paralelepípedo de base R cuja área é igual a 10 vezes sua altura k.
http://www.im.ufrj.br/waldecir/calculo3/interativo/integral_dupla_retang.html
8 Cap. 1. Integrais Múltiplas
Se k < 0, então sua integral dupla será
¨
R
k dx dy = lim
m,n→∞
m∑
i
(
n∑
j
k∆Rij
)
= k lim
m,n→∞
m∑
i
(
n∑
j
∆Rij
)
= k vezes a área de R = 10k
� Observação: Pela definição de integral dupla, se vê facilmente que se f(x, y) ≤ 0 sobre um
retângulo R, então
¨
R
f(x, y) dxdy = −
¨
R
(−f(x, y)) dx dy = −volume do sólido limitado acima por −f e abaixo por R
Se mostra em cursos de cálculo avançado que funções contínuas são integráveis, i.e,
Teorema 1.1 Toda função contínua definida sobre um retângulo R é integrável sobre R.
E de um modo mais geral que,
Teorema 1.2 Seja f uma função limitada em um retângulo R, i.e., existe uma constante M, tal
que, |f(x, y)| < M, para todo (x, y) ∈ R. Se, além disso, f é contínua em R exceto em um número
finito de curvas que são gráficosde funções contínuas de uma variável, então f é integrável.
Um exemplo interessante do teorema 1.2 é a função escada:
Exemplo 1.2 Seja f definida no retângulo R = [−1, 5]× [1, 4] do seguinte modo:
f(x, y) =

5 se (x, y) ∈ [−1, 1)× [1, 4]
4 se (x, y) ∈ [1, 3)× [1, 4]
3 se (x, y) ∈ [3, 5]× [1, 4]
Figura 1.9
Claramente f é uma função limitada e contínua emR exceto sobre os dois segmentos azuis. Assim,
pelo teorema 1.2 f é integrável sobre R e sua integral é a soma dos volumes dos 3 paralelepípedos
com área da base igual a 6 e alturas 3, 4 e 5, ou seja,
¨
R
f(x, y)dx dy = 18 + 24 + 30 = 72
W.Bianchini 9
1.1.2 Propriedades
As propriedades a seguir são demonstradas como no caso de uma variável, utilizando-se da definição
de integral dupla. Vamos supor que as funções são integráveis sobre retângulos.
(i) Linearidade:
¨
R
(c1f + c2g)(x, y) dxdy = c1
¨
R
f(x, y) dxdy + c2
¨
R
g(x, y) dxdy
(ii) Monotonicidade: Se f ≥ g sobre um retângulo R, então,
¨
R
f(x, y) dxdy ≥
¨
R
g(x, y)dxdy
(iii) Aditividade: Se o retângulo R = R1 ∪R2 · · · ∪ Rn, onde Ri é um retângulo, então,
¨
R
f(x, y) dxdy =
n∑
i=1
¨
Ri
f(x, y) dxdy
Exemplo 1.3 Seja z = f(x, y) = y definido sobre o retângulo R = [−2, 2]× [−2, 3]. Calcule
¨
R
y dx dy
Figura 1.10
Observando a figura 1.10, veja queR = R1∪R2, ondeR1 = [−2, 2]×[−2, 0] eR2 = [−2, 2]×[0, 2].
Assim, pela propriedade (iii) e observação citada anteriormente,
¨
R
y dx dy =
¨
R1
y dx dy +
¨
R2
y dx dy = 18− 2 = 16
10 Cap. 1. Integrais Múltiplas
1.1.3 Integração - Integrais Iteradas
Vimos em Cálculo I o quanto é complicado calcular a integral de uma função de uma variável através
da definição. O passe de mágica em Cálculo I foi o Teorema Fundamental do Cálculo. Imaginem
agora, o quão mais difícil será o cálculo de uma integral dupla através de sua definição. O teorema
a seguir nos mostra como calcular integrais duplas de funções de duas variáveis através de duas
integrais de uma variável.
Teorema 1.3 (Teorema de Fubini) Se z = f(x, y) é contínua sobre um retângulo R = [a, b]×[c, d],
então ¨
R
f(x, y) dxdy =
ˆ b
a
[ˆ d
c
f(x, y) dy
]
dx =
ˆ d
c
[ˆ b
a
f(x, y) dx
]
dy
De um modo geral esse teorema vale para funções limitadas sobre R e que tenham descontinuidades
apenas em um número finito de curvas suaves e que a integral exista.
As duas integrais do lado direito são chamadas de integrais iteradas. A
´ d
c
f(x, y) dy significa
que a variável x é mantida fixa enquanto integramos f com respeito a y desde c até d. Este proce-
dimento é dito integração parcial em relação a y. Assim, ao integrarmos f com relação a y obtemos
uma função de x:
A(x) =
ˆ b
a
f(x, y)dy
Se, agora, integrarmos a função A com relação à variável x, desde a até b, obteremos
ˆ b
a
A(x) dx =
ˆ b
a
[ˆ d
c
f(x, y) dy
]
dx
o que nos dará o valor da integral dupla
¨
R
f(x, y) dxdy =
ˆ b
a
[ˆ d
c
f(x, y) dy
]
dx
Da mesma forma, a integral iterada
ˆ d
c
[ˆ b
a
f(x, y) dx
]
dy
significa que primeiro calculamos a integral em reção a x desde a até b obtendo uma função de uma
variável y e depois calculamos a integral com relação a y desde c até d.
Note que em ambos os casos, integramos de dentro para fora.
Interpretação Geométrica
Para uma visualização dinâmica das figuras 1.11 e 1.12 clique aqui e aqui , respectivamente.
Exemplo 1.4 Calcule
(i) ¨
R
(3− x− y) dxdy
onde R = [0, 3]× [0, 3].
(ii) ¨
R
(3− x− y) dxdy
onde R = [−2, 3]× [0, 3].
http://www.im.ufrj.br/waldecir/calculo3/interativo/teorema_fubini_ret_yx.html
http://www.im.ufrj.br/waldecir/calculo3/interativo/teorema_fubini_ret_xy.html
W.Bianchini 11
Figura 1.11 Figura 1.12
Figura 1.13 Figura 1.14
Solução: (i) Se observarmos o gráfico (figura 1.13) da função f(x, y) = 3 − x − y, verificamos
que a integral dupla desta função sobre R é igual zero, pois é o valor do volume da pirâmide de
base triangular que está acima do plano xy menos o valor do volume da pirâmide que está abaixo do
plano xy e estas pirâmides são idênticas.
(ii)
¨
R
(3− x− y) dxdy =
ˆ 3
0
ˆ 3
−2
(3− x− y)dxdy =
ˆ 3
0
[
3x− x
2
2
− xy
]3
−2
dy =
ˆ 3
0
(
25
2
− 5y
)
dy
=
[
25
2
y − 5
2
y2
]3
0
= 15
1.2 Integral Dupla sobre Regiões Gerais
Para funções de uma variável, a região sobre qual integramos é um intervalo. No caso de funções
de duas variáveis vimos a definição de integral dupla sobre um retângulo. Vamos, agora, definir a
integral dupla para regiões mais gerais que um retângulo, como, por exemplo, a figura 1.15. Vamos
supor que a região D seja limitada, i.e, D pode ser colocada dentro de um retângulo R, como na
12 Cap. 1. Integrais Múltiplas
figura 1.16.
Figura 1.15 Figura 1.16
Consideremos, então, uma função contínua f definida sobre D (figura 1.17). Vamos definir uma
nova função F com domínio R, por
F (x, y) =

f(x, y) , se (x, y) ∈ D
0 , se (x, y) ∈ R \ D
Assim, F é uma função contínua sobre R, exceto, possivelmente, na fronteira de D (figura 1.18).
Logo, se a fronteira de D tiver apenas um número finito de gráficos de funções contínuas, então, pelo
teorema 1.2, F é integrável sobre R e definimos
¨
D
f(x, y) dxdy =
¨
R
F (x, y) dxdy
Figura 1.17 Figura 1.18
A integral independe da escolha do retângulo R que contenha D, o que é bastante razoável, pois
se pensarmos em uma função f ≥ 0, a integral dupla de F sobre um retângulo nos dá o valor do
volume do sólido abaixo de f sobre D, pois em R \ D o valor de F é zero . Provaremos isso mais
adiante no teorema 1.4 para determinadas regiões consideradas.
Regiões arbitrárias no plano podem ser coisas muito complexas, portanto, trabalharemos basica-
mente com dois tipos de regiões e outras que podem ser subdivididas nestas duas.
Região do tipo I
D = {(x, y) ∈ R2 ; a ≤ x ≤ b e g1(x) ≤ y ≤ g2(x)}
http://www.im.ufrj.br/waldecir/calculo3/interativo/integral_dupla_rqualquer.html
W.Bianchini 13
onde g1 e g2 são funções contínuas definidas em [a, b] e g1 ≤ g2 (figura 1.19).
Região do tipo II
D = {(x, y) ∈ R2 ; c ≤ y ≤ d e h1(y) ≤ x ≤ h2(y)}
onde h1 e h2 são funções contínuas definidas em [c, d] e h1 ≤ h2 (figura 1.20).
Observe que estas regiões são fechadas e limitadas pois as funções que definem estas regiões são
contínuas em [a, b].
Figura 1.19 Figura 1.20
O próximo teorema, Teorema de Fubini para uma região qualquer, nos dará condições de
calcular integrais duplas sobre regiões do tipo I e do tipo II utilizando integrais iteradas.
Teorema 1.4 Seja f uma função contínua num subconjunto limitado e fechado D ⊂ R2.
(a) Se D é uma região do tipo I, então
¨
D
f(x, y) dxdy =
ˆ b
a
ˆ g2(x)
g1(x)
f(x, y) dy dx (1.1)
(b) Se D é uma região do tipo II, então
¨
D
f(x, y) dxdy =
ˆ d
c
ˆ h2(x)
h1(x)
f(x, y) dx dy (1.2)
Demonstração: Demonstraremos apenas o item (a), pois a demonstração do item (b) é análoga.
Seja R = [a, b]× [c, d] um retângulo que contém D. Por definição e pelo teorema de Fubini,¨
D
f(x, y) dxdy =
¨
R
F (x, y) dxdy =
ˆ b
a
ˆ d
c
F (x, y) dy dx (1.3)
onde F é uma função que coincide com f sobre D e é nula em R \ D. Agora, para cada x fixo em
[a, b] (figura 1.21), a função F é limitada em [c, d] e contínua, exceto, possivelmente nos pontos c e
d. Portanto, sua integral existe eˆ d
c
F (x, y) dy =
ˆ g1(x)
c
F (x, y)) dy +
ˆ g2(x)
g1(x)
F (x, y) dy +
ˆ d
g2(x)
F (x, y) dy
Como F (x, y) = 0 para c < y < g1(x) e g2(x) < y < d e F = f em D, entãoˆ d
c
F (x, y) dy =
ˆ g2(x)
g1(x)
F (x, y) dy =
ˆ g2(x)
g1(x)
f(x, y) dy
Logo, por (1.3) tem-se ¨
D
f(x, y) dxdy =
ˆ b
a
ˆ g2(x)
g1(x)
f(x, y) dy dx
14 Cap. 1. Integrais Múltiplas
Figura 1.21
Observação 1.1 Vimos na demonstração acima que a integral dupla
¨
D
f(x, y) dxdy independe da
escolha do retângulo R que contém D.
Exemplo 1.5 Calcule
¨
D
(x2 + y2) dxdy, onde D é a região limitada pelas retas y = 0, x = 1 e pela
função y = x2.
Solução: Observando os gráficos 1.22 e 1.23 vemos que a região D pode ser considerada como
uma região do tipo I ou do tipo II. Vamos resolver o exercício como sendo uma região do tipo I.
Figura 1.22 Figura 1.23
Observe que parax fixado entre 0 e 1, y varia entre g1(x) = 0 e g2(x) = x2. Logo, usando a
equação 1.1, obtemos
¨
D
(x2 + y2) dxdy =
ˆ 1
0
ˆ x2
0
(x2 + y2) dy dx =
ˆ 1
0
[
x2y +
y3
3
]x2
0
dx =
ˆ 1
0
(x4 +
x6
3
) dx
=
[
x5
5
+
x7
21
]1
0
=
26
105
= 0, 248
Se considerarmos região como sendo do tipo II, usando a equação 1.2 tem-se:
¨
D
(x2 + y2) dxdy =
ˆ 1
0
ˆ 1
√
y
(x2 + y2) dx dy =
ˆ 1
0
[
x3
3
+ y2x
]1
√
y
dy
=
ˆ 1
0
[(
1
3
+ y2
)
−
(
y3/2
3
+ y5/2
)]
dy =
[
y
3
+
y3
3
− 2
15
y5/2 − 2
7
y7/2
]1
0
=
26
105
W.Bianchini 15
Observe que a escolha da região é importante, pois isto pode aumentar ou diminuir o grau de
dificuldade na resolução do exercício.
Exemplo 1.6 Calcule
¨
D
(x + y) dxdy, onde D é a região limitada pelas retas y = x, y = −2x e
y = 2.
Solução: Observando o gráfico 1.24, vemos que a região pode ser do tipo I ou II.
Figura 1.24 Figura 1.25
Se resolvemos a integral como se a região é do tipo I (figura 1.25), temos que dividir a região em
outras duas, pois a função limitante inferior é composta das funções y = −2x e y = x.
Assim, ¨
D
(x+ y) dxdy =
¨
D1
(x+ y) dxdy +
¨
D2
(x+ y) dxdy
Agora,
¨
D1
(x+ y) dxdy =
ˆ 0
−1
ˆ 2
−2x
(x+ y)dy dx =
ˆ 0
−1
[
(xy +
y2
2
)
]2
−2x
dx =
ˆ 0
−1
[
(2x+ 2)− (−2x2 + 2x2)
]
dx
=
ˆ 0
−1
(2x+ 2) dx =
[
x2 + 2x
]0
−1
= 1
e ¨
D2
(x+ y) dxdy =
ˆ 2
0
ˆ 2
x
(x+ y) dy dx =
ˆ 2
0
[
(xy +
y2
2
)
]2
x
dx =
ˆ 2
0
(
2x+ 2− 3
2
x2
)
dx
=
[
x2 + 2x− x
3
2
]2
0
= 4
Logo, ¨
D
(x+ y) dxdy =
¨
D1
(x+ y) dxdy +
¨
D2
(x+ y) dxdy = 4 + 1 = 5
Agora, resolvendo a integral dupla como se a região D fosse do tipo II (figura 1.26), tem-se
¨
D
(x+ y) dxdy =
ˆ 2
0
ˆ y
−y/2
(x+ y) dx dy =
ˆ 2
0
[
x2
2
+ xy
]y
−y/2
dy =
ˆ 2
0
(
15
8
y2
)
dy
=
[
5
8
y3
]2
0
= 5
Observamos mais uma vez como a escolha correta do tipo de região é importante na hora de facilitar
os cálculos.
16 Cap. 1. Integrais Múltiplas
Figura 1.26
Figura 1.27: região tipo I Figura 1.28: região tipo II
Exemplo 1.7 Calcule
¨
D
e
y
x dxdy, onde D é a região limitada por y = x, y = 0 e x = 1
Solução: Resolvendo a integral considerando D uma região do tipo I, tem-se:
ˆ 2
0
ˆ x
0
e
y
xdy dx =
ˆ 2
0
[
xe
y
x
]x
0
dx =
ˆ 2
0
x(e− 1) dx = x
2
2
(e− 1)|20 = e− 1
Agora, se considerarmos D como sendo uma região do tipo II, tem-se:
ˆ 2
0
ˆ 2
y
e
y
xdx dy =???
pois a
ˆ
e
y
xdx não tem uma primitiva expressada em termos de funções elementares (veja em
http://www.wolframalpha.com)
Observação 1.2 Se f(x, y) = 1, para todo ponto (x, y) ∈ D, a integral dupla
¨
D
dxdy nos dá a
área de D.
Exemplo 1.8 Calcule
ˆ 1
0
ˆ √1−x2
0
dxdy.
Solução: Observe que
y =
√
1− x2 ⇒ y2 = 1− x2 ⇔ x2 + y2 = 1
Esta última equação é a equação de uma circunferência de raio 1. Assim, y =
√
1− x2 representa um
quarto dessa circunferência. Logo, como região de integração é a região limitada por x = 0, x = 1,
y = 0 e y =
√
1− x2, temos exatamente um quarto de círculo de raio 1.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=integral+of+e^%281%2Fx%29
W.Bianchini 17
Como a função a ser integrada é f(x, y) = 1, a integral acima é igual à área de um quarto de
círculo de raio 1, ou seja, ˆ 1
0
ˆ √1−x2
0
dxdy = π
1.2.1 Exercícios
1. Defina os limites de integração para definir uma integral dupla de uma função f sobre as regiões
definidas abaixo, considerando como regiões do tipo I e II.
(a) Um triângulo de vértices A = (−1, 1), B = (−1,−2) e C = (3,−2).
(b) Um triângulo de vértices A = (0, 1), B = (4, 1) e C = (2, 4)
(c) Um losango de vértices A = (0, 1), B = (2, 1), C = (1, 2) e D = (3, 2).
2. Desenhe a região de integração D e troque a ordem de integração das integrais duplas.
(a)
¨
D
f(x, y)dxdy =
ˆ 2
−2
ˆ x2
0
f(x, y) dy dx
(b)
¨
D
f(x, y)dxdy =
ˆ 0
−1
ˆ √1+x
−
√
1+x
f(x, y)dy dx+
ˆ 3
0
ˆ √1+x
x−1
f(x, y)dy dx
(c)
¨
D
f(x, y)dxdy =
ˆ 1
0
ˆ ex
0
f(x, y)dydx
(d)
¨
D
f(x, y)dxdy =
ˆ 0
−1
ˆ √1+x
−
√
1+x
f(x, y) dy dx+
ˆ 1
0
ˆ √1−x
−
√
1−x
f(x, y) dy dx
3. Para cada uma das integrais abaixo, desenhe a região de integração, inverta a ordem de inte-
gração e calcule as integrais (antes, tente calcular a integral como está e veja se consegue!).
(a)
ˆ 1
0
ˆ 1
x
ey
2
dy dx
(b)
ˆ 3
0
ˆ 9
y2
y senx2 dx dy
(c)
ˆ 1
0
ˆ 1
√
y
√
1 + x3 dx dy
4. Use integral dupla para calcular o volume de cada sólido.
(a) Sólido limitado pelos 3 planos coordenados e o plano 2x+ 3y + 3z = 6.
(b) Sólido limitado pelo cilindro x2 + y2 = 9 e os planos z = 0 e z = 3− x.
(c) Sólido limitado pelas superfícies x = 0, y = 0, z = 0, z = 4− x2 e 3x+ 4y = 12.
1.3 Mudança de Variáveis na Integral Dupla
1.3.1 Coordenadas Curvilíneas
Problema: Calcular o volume do sólido limitado por z = x2 + y2, pelo plano z = 0 e o cilindro
x2 + y2 = 1.
18 Cap. 1. Integrais Múltiplas
Figura 1.29
Pela simetria da figura podemos considerar o cálculo de um quarto de seu volume. Assim, se
considerarmos a região D como sendo um quarto de círculo, tem-se:
V
4
=
¨
D
(x2 + y2) dxdy =
ˆ 1
0
ˆ √1−x2
0
(x2 + y2) dxdy =
ˆ 1
0
(x2y +
y3
3
)|
√
1−x2
0 dx
=
ˆ 1
0
(x2
√
1− x2 + 1
3
(1− x2)3/2) dx
= ???
Como vemos, caimos em uma integral difícil de se calcular. Nosso objetivo então, é proceder a uma
substituição das variáveis x e y, melhorando o domínio e a função a fim de facilitar o cálculo da
integral acima.
Relembremos que no caso de uma variável utilizamos o método da substituição fazendo x = g(t),
para uma função g derivável e invertível o que nos dá a fórmula
ˆ b
a
f(x) dx =
ˆ d
c
f(g(t)) g′(t) dt
onde c = g−1(a) e d = g−1(b). Geometricamente, ao fazermos a mudança de variáveis de x para t,
o intervalo [a, b] passou para [c, d] e se pensarmos na área da figura limitada pela curva y = f(x) e
as retas x = a e x = b, com a mudança de variáveis houve uma mudança na escala, logo, temos que
introduzir um fator de correção, g′(t), na nova integral para obtermos a mesma área.
No caso de duas variáveis, seja z = f(x, y), definida e contínua num domínio D e
x = x(u, v) e y = y(u, v) (1.4)
funções deriváveis em um domínio D′, tal que, a cada par (u, v) corresponde um único par (x, y) e
vice -versa. Assim, essas funções definem uma transformação T : D′ 7−→ D, T (u, v) = (x, y), injetora
e, portanto, inversível (figura 1.30). Assim, as equações em 1.4 podem ser resolvidas como funções
de x e y, digamos,
u = u(x, y), v = v(x, y) (1.5)
W.Bianchini 19
Figura 1.30
e definem uma transformação do plano xy no plano uv a qual é chamada transformação inversa de
T e denotada por T −1.
Uma maneira de visualizar o efeito geométrico da transformação T é determinar no plano xy
as imagens de retas horizontais e verticais do plano uv. Quando fixamos v, isto é, fazendo v = v0,
obtemos retas horizontais no plano uv (figura 1.31). A transformação T leva esta reta em uma curva
no plano xy de equações (curvav na figura 1.32)
x = x(u, v0), y = y(u, v0) (1.6)
Quando fixamos u, isto é, fazendo u = u0, obtemos retas verticais no plano uv (figura 1.31). A
transformação T leva esta reta em uma curva no plano xy de equações (curvau na figura 1.32)
x = x(u0, v), y = y(u0, v) (1.7)
Por esta razão as equações 1.6 são chamadas de coordenadas curvilíneas do ponto P = (x, y).
Figura 1.31 Figura 1.32
Vamos relembrar que a integral dupla de f(x, y) sobre uma região D é definida como o limite de
uma soma de Riemann na qual D é subdividido em subregiões retangulares. A figura 1.33 mostra
como uma região D′ no plano uv subdividida em subregiões retangulares pode ser levada por T
para uma região D subdividida em paralelogramos curvilineos no plano xy. Se prova em livros de
cálculo avançado que sob condições apropriadas a integral dupla também pode ser definida sobre
regiões subdivididas em paralelogramos curvilineos. Tendo isso em mente, para entender a mudança
de variáveis na integral dupla, precisamos entender a relação entre a área de um pequeno retângulo
no plano uv e a área de sua imagem no plano xy sob a tranformação T .
Para isto, consideremos uma subregião∆D′ da região D′ no plano uv limitada pelas retas
u = u0, u = u0 + ∆u, v = v0, v = v0 + ∆v
http://www.im.ufrj.br/waldecir/calculo3/interativo/transformada_curvilinea_1.html
20 Cap. 1. Integrais Múltiplas
Figura 1.33
A imagem de ∆D′ por T será um paralelogramo curvilíneo ∆D em xy como mostrado na figura 1.34.
Os lados de ∆D são as curvas correspondentes
curvau0 = x(u0, v), curvau0+∆u = x(u0+∆u, v), curvav0 = y(u, v0), curvav0+∆v = y(u, v0+∆v)
Figura 1.34
Considerando o vetor
r = r(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j
o vetor posição da imagem do ponto (u, v) no plano xy, podemos representar a curva constante
curvav0 e a curva constante curvau0 na forma vetorial, respectivamente, como
r(u, v0) = x(u, v0)i + y(u, v0)j
r(u0, v) = x(u0, v)i + y(u0, v)j
Os vetores tangentes a essas curvas no ponto P = (x0, y0) são
ru =
∂x
∂u
(u0, v0) i +
∂y
∂u
(u0, v0) j
rv =
∂x
∂v
(u0, v0) i +
∂y
∂v
(u0, v0) j
Desde que ∆u e ∆v são pequenos, a área da região ∆D pode ser aproximada pela área do
paralelogramo definido pelos “vetores secantes”
w1 = r(u0 + ∆u, v0)− r(u0, v0)
http://www.im.ufrj.br/waldecir/calculo3/interativo/transformada_curvilinea_2.html
W.Bianchini 21
Figura 1.35
w2 = (r(u0, v0 + ∆v)− r(u0, v0)
como mostra a figura 1.35
Agora, repare que os “vetores secantes” podem ser aproximados pelos vetores tangentes no ponto
P = (x(u0), y(v0)) imagem do ponto P ′ = (u0, v0) (figura 1.36), como segue:
w1 =
r(u0 + ∆u, v0)− r(u0, v0)
∆u
∆u ≈ ∂r
∂u
(P ′)∆u =
(
∂x
∂u
(P ′),
∂y
∂u
(P ′)
)
∆u
w2 =
r(u0, v0 + ∆v)− r(u0, v0)
∆v
∆v ≈ ∂r
∂v
(P ′)∆v =
(
∂x
∂v
(P ′),
∂y
∂v
(P ′)
)
∆v
Observe, agora, que a área ∆A da subregião ∆D pode ser aproximada pela área do paralelogramo
Figura 1.36
determinado por estes vetores, ou seja,
∆A ≈
∥∥∥∥∂r∂u(P ′)∆u× ∂r∂v (P ′)∆v
∥∥∥∥ = ∥∥∥∥∂r∂u(P ′)× ∂r∂v (P ′)
∥∥∥∥∆u∆v
Computando o produto vetorial, obtemos
∂r
∂u
× ∂r
∂v
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
i j k
∂x
∂u
∂y
∂u
0
∂x
∂v
∂y
∂v
0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂x
∂u
∂y
∂u
∂x
∂v
∂y
∂v
∣∣∣∣∣∣∣∣∣k =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂x
∂u
∂x
∂v
∂y
∂u
∂y
∂v
∣∣∣∣∣∣∣∣∣k
22 Cap. 1. Integrais Múltiplas
O determinante acima recebe um nome especial:
Definição 1.2 : Se T é uma transformação do plano uv para o plano xy definida pelas equações
x = x(u, v) e y = y(u, v), então o Jacobiano de T é denotado por J(u, v) ou por ∂(x, y)/∂(u, v) e
é definido por
J(u, v) =
∂(x, y)
∂(u, v)
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂x
∂u
∂x
∂v
∂y
∂u
∂y
∂v
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =
∂x
∂u
∂y
∂v
− ∂y
∂u
∂x
∂v
Assim,
∆A ≈
∥∥∥∥∂(x, y)∂(u, v)k
∥∥∥∥∆u∆v
Como k é um vetor unitário, tem-se
∆A ≈
∣∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)
∣∣∣∣∆u∆v (1.8)
Se chamarmos de ∆A′ a área da subregião ∆D′, temos
∆A ≈
∣∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)
∣∣∣∣∆u∆v = ∣∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)
∣∣∣∣∆A′ (1.9)
No ponto (u0, v0) esta fórmula (1.9) mostra a relação que existe entre as áreas das subregiões ∆D′ e
∆D na figura 1.34. Observe que para valores pequenos de ∆u e ∆v, a área de ∆D é aproximadamente
o valor absoluto do Jacobiano vezes a área de ∆D′. Além disso, se prova em cursos de cálculo
avançado que o erro relativo na aproximação tende a zero quando ∆u→ 0 e ∆v → 0. Logo, como já
comentamos anteriormente e lembrando da figura 1.34, podemos aproximar a integral dupla sobre a
região D como
¨
D
f(x, y) dx dy ≈
m∑
i=1
n∑
j=1
f(xi, yj)∆Aij
≈
m∑
i=1
n∑
j=1
f(x(ui, vj), y(ui, vj))
∣∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)
∣∣∣∣∆ui∆uj (1.10)
onde o Jacobiano é calculado no ponto (ui, vj). Observe que a última expressão 1.10 é uma soma de
Riemann para a integral ¨
D′
f(x(u, v), y(u, v)
∣∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)
∣∣∣∣ du dv (1.11)
Assim, por 1.10 e 1.11, obtemos a
Fórmula de Mudança de Variáveis para Integral Dupla:
¨
D
f(x, y) dx dy =
¨
D′
f(x(u, v), y(u, v)
∣∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)
∣∣∣∣ du dv (1.12)
Observação 1.3 Uma demonstração completa pode ser encontrada em livros de cálculo avançado,
onde são impostas determinadas condições, dentre outras, que T seja uma transformação injetora de
classe C1 cujo Jacobiano não seja nulo, porém a fórmula acima ainda continua válida se o Jacobiano
W.Bianchini 23
for nulo ou T deixa de ser injetora em subconjuntos formados por apenas um ponto ou por gráficos
de funções continuas ou uniões finitas de conjuntos desses tipos.
• Uma Interpretação Geométrica para a Mudança de Variável na Integral Dupla
Vimos que a fórmula 1.9 mostra a relação que existe entre as áreas das subregiões ∆D′ e ∆D,
mas qual a relação entre as áreas de D′ eD?
Para responder a essa pergunta, suponha que a região D′ seja um retângulo [a, b]× [c, d]. Suponha
que o intervalo [a, b] seja dividido em m partes iguais ∆u = b−a
m
e o intervalo [c, d] em n partes
∆v = d−c
n
. Assim, a área ∆A′ de cada subregião ∆D′ é dada por
∆A′ = (b− a)
m
(d− c)
n
Logo, se tomarmos f(x, y) = 1 na fórmula 1.10, o seu lado esquerdo nos dá a área A da região D e
tem-se
A ≈
m∑
i=1
n∑
j=1
∣∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)
∣∣∣∣∆u∆v = m∑
i=1
n∑
j=1
∣∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)
∣∣∣∣ 1mn(b− a)(d− c)
Veja que a área da região D′ é A′ = (b− a)(d− c), isto é,
A ≈
m∑
i=1
n∑
j=1
∣∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)
∣∣∣∣ 1mn A′
ou seja, neste caso sob a transformação T a área da região D pode ser aproximada por um número,
fator de correção, vezes a área de D′. Veja para uma visão dinâmica e interativa.
Figura 1.37 Figura 1.38
Figura 1.39
http://www.im.ufrj.br/waldecir/calculo3/interativo/mudanca_variavel.html
24 Cap. 1. Integrais Múltiplas
1.3.2 Transformação Linear
Consideremos, como caso particular, a transformação linear T (u, v) = (pu+ qv, ru+ sv), ou seja,
x = x(u, v) = pu+ qv
y = y(u, v) = ru+ sv (1.13)
onde p, q, r e s são constantes reais. Uma transformação linear leva retas paralelas em retas paralelas.
Portanto, a imagem de um retângulo no plano uv é um paralelogramo no plano xy. O determinante
Jacobiano desta transformação é dado por
∂(x, y)
∂(u, v)
=
∣∣∣∣ p qr s
∣∣∣∣ = ps− qr
Assim, a área desse paralelogramo é aquela do retângulo multiplicado pelo fator |ps − qr|. Se esse
determinante for diferente de zero, ou seja, se ps − qr 6= 0, podemos resolver o sistema 1.13 como
função de u e v e encontrar u = u(x, y) e v = v(x, y), i.e, T é inversível em R2 e a fórmula 1.12 de
mudança de coordenadas fica
¨
D
f(x, y) dx dy = |ps− qr|
¨
D′
f(x(u, v), y(u, v)) du dv (1.14)
Exercício 1.1 Calcule a
¨
D
(y − x) dxdy, onde D é uma região limitada por y = x+ 1, y = x− 3,
y = −1
3
+ 7
3
e y = −1
3
x+ 5.
Solução: Considere {
u = y − x
v = y + 1
3
x
=⇒
{
x = 3
4
(v − u)
y = 1
4
(u+ 3v)
Observe que essa transformação leva as retas u = 1, u = −3, v = 7
3
e v = 5 do plano uv nas retas
correspondentes y − x = 1, y − x = 3, y + 1
3
= 7
3
e y + 1
3
x = 5 do plano xy. Veja a figura 1.40
Figura 1.40
Assim, pela fórmula 1.14
¨
D
(y − x) dxdy = 3
4
ˆ 5
7/3
ˆ 1
−3
u dudv = −8
http://www.im.ufrj.br/waldecir/calculo3/interativo/transformada_curvilinea_1.html
W.Bianchini 25
1.3.3 Mudança Polar
Consideremos agora, como caso particular, as coordenadas polares:
x = r cos θ e y = r sen θ
ou seja, a transformação T do plano rθ no plano xy é dada por
T (r, θ) = (r cos θ, r sen θ)
Figura 1.41
Esta aplicação é injetora sobre conjuntos da forma
D′ = {(r, θ) ∈ R2 ; r > 0, θ0 ≤ θ < θ0 + 2π}
Por exemplo, D′ = (0, a]× [0, 2π). Geometricamente, ela transforma um retângulo ∆D′ do plano rθ
em um setor polar ∆D do plano xy. Veja figura 1.41. Segmentos de retas verticais são levados em
semicírculos e segmentos horizontais são levados em segmentos de semiretas que partem da origem.
Se considermos o vetor
p(r, θ) = (r cos θ, r sen θ) = (r cos θ) i + (r sen θ) j
o vetor posição da imagem do ponto (r, θ) no plano xy, então, quando fixamos r = r0, obtemos
semicírculos concêntricos de raio r0
p(u0, θ) = (r0 cos θ, r0 sen θ)
Quando fixamos um valor para θ = θ0, obtemos segmentos de retas que passam pela origem,
p(r, θ0) = (r cos θ0, r sen θ0)
Os vetores tangentes a essas curvas no ponto P0 imagem de P ′ = (r0, θ0) são
pr =
∂p
∂r
(P ′) = (cos θ0, sen θ0)
pθ =
∂p
∂θ
(P ′) = (−r0 sen θ0, r cos θ0)
Assim, a área ∆A de um setor polar ∆D pode ser aproximada pela área do paralelogramo formadopelos vetores
pr =
∂p
∂r
(P ′) ∆r
http://www.im.ufrj.br/waldecir/calculo3/interativo/coordenadas_polares_01.html
26 Cap. 1. Integrais Múltiplas
pθ =
∂p
∂θ
(P ′)∆θ
Neste caso, como o jacobiano é:
J(u, v) =
∂(x, y)
∂(r, θ)
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂x
∂r
∂x
∂θ
∂y
∂r
∂y
∂θ
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣
cos θ −r sen θ
sen θ r cos θ
∣∣∣∣∣∣ = r cos θ + r sen θ = r
a área do setor polar (figura 1.42)
∆A ≈ r∆r∆θ
Figura 1.42
Figura 1.43
Figura 1.44 Figura 1.45
Logo, como temos uma divisão de D em m × n setores ∆Dij cuja área ∆Aij ≈ rij∆rij∆θij, a
soma de Riemann para a função f sobre a região D será (figuras 1.43 e 1.45)
n∑
i=1
m∑
j=1
f(rij cos θij, rij sen θij) rij ∆rij ∆θij (1.15)
Assim, pela fórmula 1.12
¨
D
f(x, y) dx dy =
ˆ β
α
ˆ b
a
f(r cos θ, r sen θ) r dr dθ (1.16)
W.Bianchini 27
Pela observação 1.3 esta fórmula permanece válida mesmo em um subconjunto D′ contido em um
conjunto da forma {(r, θ) ; r ≥ 0, θ0 ≤ θ ≤ θ0 + 2π}.
Geometricamente, se a função f > 0 o produto f(r cos θ, r sen θ)r∆r∆θ é o volume de um
paralelepípedo de base ∆D e altura f(r cos θ, r sen θ) (figura 1.44). Assim, a soma 1.15 pode ser
vista como uma aproximação do volume V do sólido inteiro de base D, conforme mostra a figura
1.45. Veja também para uma visão interativa.
Se tivessemos uma região polar como da figura 1.46 A fórmula 1.16 seria
Figura 1.46
¨
D
f(x, y) dx dy =
ˆ β
α
ˆ r2(θ)
r1(θ)
f(r cos θ, r sen θ) r dr dθ (1.17)
Exemplo 1.9 Voltemos ao “problema” inicial que era o de calcular o volume do sólido limitado por
z = x2 + y2, pelo plano z = 0 e o cilindro x2 + y2 = 1
Solução: Utilizando mudança de coordenadas polares
V
4
=
¨
D
(x2 + y2) dxdy =
¨
D′
(r2 sen 2θ + r2 cos2 θ)r drdθ =
ˆ π/2
0
ˆ 1
0
r3 drdθ =
π
8
ou seja, V =
π
2
.
Exemplo 1.10 Calcule
¨
D
√
x2 + y2 dxdy, onde D é limitado por x2 + y2 = 4 e x2 + y2 = 9.
Solução:
Utilizando coordenadas polares, veja que essa transformação (figura 1.47) leva o retângulo [2, 3]×
[0, 2π] no anel D. Assim,
¨
D
√
x2 + y2 dxdy =
ˆ 2π
0
ˆ 3
2
r2 drdθ =
38
3
π
http://www.im.ufrj.br/waldecir/calculo3/interativo/integra_dupla_polar.html
28 Cap. 1. Integrais Múltiplas
Figura 1.47
Figura 1.48
Exemplo 1.11 Calcule ¨
D
1
(1 + x2 + y2)2
dxdy
onde D é um laço da lemniscata (x2 + y2)2 − (x2 − y2) = 0.
Solução:
Utilizando coordenadas polares, veja que essa transformação (figura 1.48) leva a região D′ na
região D. Substituindo as coordenadas polares na equação da lemniscata, tem-se
r4 − r2(cos2 θ − sen 2θ) = 0⇒ r2 − cos 2θ = 0⇒ r =
√
| cos 2θ|
Se considerarmos o laço da lemniscata para −π
2
≤ θ ≤ π
2
, então, r =
√
cos 2θ. Assim,
¨
D
1
(1 + x2 + y2)2
dxdy =
ˆ π/4
−π/4
ˆ √cos 2θ
0
r
(1 + r2)2
drdθ =
1
2
ˆ π/4
−π/4
(
1− 1
1 + cos 2θ
)
dθ
=
1
2
(
θ
∣∣∣∣π/4
−π/4
−
ˆ π/4
−π/4
1
1 + cos 2θ
dθ
)
=
1
2
(
π
2
−
ˆ π/4
−π/4
sec2 θ dθ
)
=
1
2
(π
2
− tg θ|π/4−π/4
)
=
1
2
(π
2
− 1
)
=
π − 2
4
Exemplo 1.12 Considere a transformação
x = 2uv e y = v2 − u2
(a) Calcule o Jacobiano
W.Bianchini 29
(b) Dado um retãngulo R de vértices (1, 1), (2, 1), (2, 3) e (1, 3) no plano uv, represente graficamente
no plano xy a imagem A de R pela transformada dada.
(c) Calcule a área da região A do plano xy encontrada em (b).
Solução: (a)
∂(x, y)
∂(u, v)
=
∣∣∣∣ 2v 2u−2u 2v
∣∣∣∣ = 4(v2 + u2)
(b)
u = 1⇒
{
x = 2v
y = v2 − 1 ⇒

v =
x
2
y =
x2
4
− 1
u = 2⇒
{
x = 4v
y = v2 − 4 ⇒

v =
x
4
y =
x2
16
− 4
v = 1⇒
{
x = 2u
y = 1− u2 ⇒

u =
x
2
y = 1− x
2
4
v = 3⇒
{
x = 6u
y = 9− u2 ⇒

u =
x
6
y = 9− x
2
36
Figura 1.49
(c)
A =
ˆ 2
1
ˆ 3
1
4(u2 + v2) dvdu = 4
ˆ 2
1
(
u2v +
v3
3
) ∣∣∣∣3
1
du
= 4
ˆ 2
1
(
2u2 +
26
3
)
du = 8
(
u3
3
+
13
3
u
) ∣∣∣∣2
1
=
160
3
30 Cap. 1. Integrais Múltiplas
Exemplo 1.13 Determine o volume do sólido que está sob o paraboloide z = 1 + x2 + y2, acima do
plano xy e dentro do cilindro x2 + y2 = 2x.
Solução: x2 + y2 = 2x⇔ (x− 1)2 + y2 = 1. Em coordenada polares
(r cos θ − 1)2 + r2 sen 2θ = 1⇒ r2 − 2r cos θ = 0⇒ r = 2 cos θ
Portanto, o domínio D′ é dado por
D′ =
{
(r, θ);−π
2
≤ θ ≤ π
2
, 0 ≤ r ≤ 2 cos θ
}
Figura 1.50
Assim,
V =
¨
D
(1 + x2 + y2) dxdy =
ˆ π/2
−π/2
ˆ 2 cos θ
0
(1 + r2)r drdθ =
ˆ π/2
−π/2
[
r2
2
+
r4
4
]2 cos θ
0
dθ
=
ˆ π/2
−π/2
(
2 cos2 θ + 4 cos4 θ
)
dθ
=
ˆ π/2
−π/2
(
1 + cos 2θ + (1 + cos 2θ)2
)
dθ
=
ˆ π/2
−π/2
(
1 + cos 2θ + 1 + 2 cos 2θ + cos2 2θ
)
dθ
=
ˆ π/2
−π/2
(
5
2
+
7
2
cos 2θ
)
dθ
=
[
5
2
θ +
7
4
sen 2θ
]π/2
−π/2
=
5π
2
W.Bianchini 31
1.3.4 Aplicações da Integral Dupla
� Densidade de uma Lâmina
Vamos considerar um objeto, chamado lâmina, fino o suficiente que pode ser visto como uma
região plana bidimensional. Uma lâmina é chamada de homogênea se sua composição é toda
uniforme e é dita não homogênea, caso contrário.
A densidade δ de uma lâmina homogênea de massa M e área A é definida como sendo
δ =
M
A
Para uma lâmina não homogênea, sua composição pode variar ponto a ponto e uma definição
razoável de densidade tem que refletir isto. Como a densidade muda de ponto a ponto e a lâmina
pode ser vista como uma região bidimensional, podemos colocá-la em um plano com um sistema
retangular de eixos xy e associar a cada ponto da placa um ponto do plano xy. Assim, a densidade
em um ponto (x, y) pode ser especificada por uma função δ(x, y), chamada função densidade,
definida da seguinte maneira:
Construa um pequeno retângulo centrado no ponto
(x, y), mas tão pequeno de tal modo que podemos
considerá-lo como homogêneo. Logo, seja ∆M e ∆A,
sua massa e área, respectivamente. Então, definimos
δ(x, y) = lim
∆A→0
∆M
∆A
Dessa relação obtemos que
∆M ≈ δ(x, y)∆A (1.18)
Como assumimos que as dimensões do retângulo tendem a zero, o erro dessa aproximação também
tende a zero. Com isso podemos definir o que seja Massa de uma Lâmina.
� Massa de uma Lâmina
Considere uma lâmina ocupando uma região D do
plano xy e uma função densidade δ(x, y), contínua so-
bre D. Consideremos um retângulo R contendo D e
uma partição regular sobre R com n subretângulos
Rk considerados apenas aqueles cujos pontos centrais
ck = (x
∗
k, y
∗
k) estejam em D. Suponha que cada su-
bretângulo Rk tenha área ∆Ak. Então por 1.19 sua
massa ∆Mk pode ser aproximada por
∆Mk ≈ δ(x∗k, y∗K)∆Ak
Assim, a massaM da lâmina pode ser aproximada por
M≈
n∑
k=1
δ(x∗k, y
∗
k)∆Ak
Logo, quando n→∞, as dimensões dos subretângulos tendem a zero e assim,
M = lim
n→∞
n∑
k=1
δ(x∗k, y
∗
k)∆Ak =
¨
D
δ(x, y) dA (1.19)
Exemplo 1.14 Uma lâmina triangular com vértices (0, 0), ((1, 0) e (1, 1) tem função densidade
δ(x, y) = xy2. Encontre sua massa total.
Solução:
http://www.im.ufrj.br/waldecir/calculo3/interativo/massa_placa.html
32 Cap. 1. Integrais Múltiplas
Observando a figura , a massaM da lâmina é
M =
¨
D
δ(x, y)dA =
ˆ 1
0
ˆ x
0
xy2 dydx =
ˆ 1
0
[
1
3
xy3
]x
0
dx
=
ˆ 1
0
x4
3
dx =
1
15
1.4 Integral Tripla
� Integral Tripla sobre uma Caixa
A integral de uma função de uma variável y = f(x) foi definida sobre um intervalo limitado e
fechado de R e uma integral dupla de uma função de duas variáveis z = f(x, y) foi definida sobre
uma região limitada e fechada de R2. Nesta seção definiremos integral tripla de uma função de 3
variáveis w = f(x, y, z) sobre uma região limitada e fechada do espaço R3. Inicialmente, trataremos
do caso mais simples, quando f é definida sobre uma caixa retangular
R = {(x, y, z) ∈ R3 ; a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, e ≤ z ≤ f}
Tal qual fizemos nos casos anteriores, o primeiro passo é dividir R em subcaixas. Para isto, faze-
mos divisões regulares nos intervalos [a, b], [c, d] e [e, f ] em m subintervalos [xi−1, xi] de comprimento
∆xi, n subintervalos [yj−1, yj] de comprimento ∆yj e p subintervalos [zk−1, zk] de comprimento ∆zk,
respectivamente. Assim, os planos que passam pelas extremidades desses subintervalos, paralelos aos
planos coordenados , subdividem a caixa R em mnp subcaixas
Rijk = [xi−1, xi]× [yj−1, yj]× [zk−1, zk]
como mostrado na figura 1.51, onde cada subcaixa tem volume∆Vijk = ∆xi∆yj∆zk. Assim,
Figura 1.51
tomando um ponto qualquer cijk = (x∗ijk, y∗ijk, z∗ijk) ∈ Rijk, formamos a soma de Riemann
m∑
i=1
n∑
j=1
p∑
k=1
f(cijk)∆Vijk (1.20)
Por analogia com o que foi feito na definição da integral dupla, definimos
W.Bianchini 33
Definição 1.3 A integral tripla de f sobre a caixa R é definida por
˚
R
f(x, y, z) dV = lim
m,n,p→∞
m∑
i=1
n∑
j=1
p∑
k=1
f(cijk) ∆Vijk (1.21)
se esse limite existir.
Condições sob as quais a integral tripla existe são estudadas em livros de cãlculo avançado.
Entretanto, para nossos propósitos é suficiente que f seja contínua em R.
Assim como para integrais duplas, o método prático para se calcular integrais triplas é o chamado
teorema de Fubini.
Teorema 1.5 Teorema de Fubini: Se f é contínua sobre uma caixa retangular
R = [a, b]× [c, d]× [e, f ], então,
˚
R
f(x, y, z) dV =
ˆ b
a
ˆ d
c
ˆ f
e
f(x, y, z) dx dy dz (1.22)
Além disso, as integrais iteradas podem ser calculadas em qualquer ordem de integração.
Exemplo 1.15 Calcule a integral tripla
˚
R
x3y2z dV
onde R = {(x, y, z) ∈ R3 ; 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 1}.
Soluçao:
˚
R
x3y2z dV =
ˆ 3
0
ˆ 2
0
ˆ 1
0
x3y2z dz dy dx =
1
2
ˆ 3
0
ˆ 2
0
[
x3y2z2
]1
0
dy dx
=
1
2
ˆ 3
0
ˆ 2
0
x3y2 dy dx =
1
6
ˆ 3
0
[
x3y3
]
dx =
4
3
ˆ 3
0
x3 dx =
1
3
x4
∣∣∣∣3
0
= 27
Observação: No caso em que f(x, y, z) = 1, a integral tripla representa o volume da caixa R,
pois a definição 1.3 fica assim,
˚
R
dV = lim
m,n,p→∞
m∑
i=1
n∑
j=1
p∑
k=1
∆Vijk = V (R)
� Integral Tripla sobre regiões mais gerais de R3
Tal qual fizemos com integrais duplas, vamos considerar o problema de definir integral tripla sobre
um regiões fechadas e limitadas D ⊂ R3, ou seja, um sólido que esteja contido em uma caixa R.
Consideremos, então, uma função contínua f definida sobre D. Vamos definir uma nova função
F com domínio R, por
F (x, y, z) =

f(x, y, z) , se (x, y, z) ∈ D
0 , se (x, y, z) ∈ R \ D
34 Cap. 1. Integrais Múltiplas
Figura 1.52
Assim, F é uma função contínua sobre R, exceto, possivelmente, na fronteira de D (figura 1.18).
Logo, se a fronteira de D tiver apenas um número finito de gráficos de funções contínuas, então F é
integrável sobre R e definimos
˚
D
f(x, y, z) dV =
˚
R
F (x, y, z) dV
e esta integral independe da escolha de R.
Como no caso de integral dupla, iremos nos restringir, neste caso, a 3 tipos regiões do R3.
� Região do Tipo I
Uma região D ⊂ R3 é do tipo I se
D = {(x, y, z) ; (x, y) ∈ S, f1(x, y) ≤ z ≤ f2(x, y)}
onde S é a projeção de D sobre o plano xy e f1 e f2 são contínuas em D com f1 ≤ f2. Veja figuras
1.53 e 1.54.
Figura 1.53 Figura 1.54
W.Bianchini 35
Neste caso, ˚
D
f(x, y, z) dV =
¨
S
[ˆ f2(x,y)
f1(x,y)
F (x, y, z) dz
]
dA (1.23)
Em particular, se a projeção S for uma região do plano xy do tipo I, como na figura 1.53, então
D = {(x, y, z) ; a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x), f1(x, y) ≤ z ≤ f2(x, y)}
e a equação 1.23 se torna
˚
D
f(x, y, z) dV =
ˆ b
a
ˆ g2(x)
g1(x)
ˆ f2(x,y)
f1(x,y)
f(x, y, z) dz dy dx (1.24)
Agora, se S for uma região do plano xy do tipo II, como na figura 1.54, então
˚
D
f(x, y, z) dV =
ˆ d
c
ˆ h2(y)
h1(y)
ˆ f2(x,y)
f1(x,y)
f(x, y, z) dz dx dy (1.25)
� Região do Tipo II
Uma região D ⊂ R3 é do tipo II se
D = {(x, y, z) ; (y, z) ∈ S, f1(y, z) ≤ x ≤ f2(y, z)}
onde S é a projeção de D sobre o plano yz e f1 e f2 são contínuas em D com f1 ≤ f2.
Neste caso, ˚
D
f(x, y, z) dV =
¨
S
[ˆ f2(y,z)
f1(y,z)
f(x, y, z) dx
]
dA (1.26)
Figura 1.55 Figura 1.56
Em particular, se a projeção S for uma região do plano yz do tipo I, como na figura 1.55, então
D = {(x, y, z) ; a ≤ y ≤ b, g1(x) ≤ z ≤ g2(x), f1(y, z) ≤ x ≤ f2(y, z)}
e a equação 1.26 se torna
˚
D
f(x, y, z) dV =
ˆ b
a
ˆ g2(y)
g1(y)
ˆ f2(y,z)
f1(y,z)
f(x, y, z) dx dz dy (1.27)
36 Cap. 1. Integrais Múltiplas
Agora, se S for uma região do plano yz do tipo II, como na figura 1.56, então a equação 1.26 se
torna ˚
D
f(x, y, z) dV =
ˆ d
c
ˆ h2(z)
h1(z)
ˆ f2(y,z)
f1(y,z)
f(x, y, z) dx dy dz (1.28)
� Região do Tipo III
Uma região D ⊂ R3 é do tipo III se
D = {(x, y, z) ; (x, z) ∈ S, f1(x, z) ≤ y ≤ f2(x, z)}
onde S é a projeção de D sobre o plano xz e f1 e f2 são contínuas em D com f1 ≤ f2. Então, neste
caso temos que ˚
D
f(x, y, z) dV =
¨
S
[ˆ f2(x,z)
f1(x,z)
f(x, y, z) dy
]
dA (1.29)
Analogamente aos dois casos anteriores, a equação 1.29 pode se desdobrar em outros dois casos
dependendo da região plana S ser do tipo I ou II. Assim, teremos, respectivamente,˚
D
f(x, y, z) dV =
ˆ b
a
ˆ g2(x)
g1(x)
ˆ f2(x,z)
f1(x,z)
f(x, y, z) dy dz dx (1.30)
e ˚
D
f(x, y, z) dV =
ˆ d
c
ˆ h2(z)
h1(z)
ˆ f2(x,z)
f1(x,z)
f(x, y, z) dy dx dz (1.31)
Exemplo 1.16 Calcular o volume do sólido limitado pelos planos x = 0, y = 0 e x+ y + z = 1.
Figura 1.57
Observe a figura 1.57 e veja que podemos considerar, por exemplo, o sólido D como sendo uma
região do tipo I. Agora, se considerarmos a projeção S do sólido D como sendo uma região plana
do tipo I, tem-se
V =
ˆ 1
0
ˆ 1−x
0
ˆ 1−x−y
0
dz dy dx =
ˆ 1
0
ˆ 1−x
0
(1− x− y) dy dx =
ˆ 1
0
[
y − xy − y
2
2
]1−x
0
dx
=
ˆ 1
0
(
1
2
− x+ 1
2
x2
)
dx =
[
x
2
− x
2
2
+
x3
6
]1
0
=
1
6
W.Bianchini 37
Exemplo 1.17 Calcule ˚
D
x dV
onde D é a região limitada pelos planos x = 0, y = 0 e 0 ≤ z ≤ x2 + y2, onde x ≥ 0 e y ≥ 0.
Solução: A região D é uma região do tipo 1, como é mostrado na figura 1.58 e sua projeção
no plano xy, S, também. Assim,
Figura 1.58
˚
D
x dV =
ˆ √2
0
ˆ √2−x2
0
ˆ x2+y2
0
x dz dy dx =
ˆ √2
0
ˆ √2−x2
0
x(x2 + y2) dy dx
=
ˆ √2
0
(
x3
√
2− x2 + x
3
(
√
2− x2)3
)
dx
=
[
−2
3
(2− x2)3/2 + 1
5
(2− x2)5/2 − 1
15
(2− x2)5/2
]√(2)
0
=
[
−2
3
(2− x2)3/2 + 2
15
(2− x2)5/2
]√(2)
0
=
4
5
√
2
Exemplo 1.18 Calcule ˚
D
√
y2 + z2 dV
onde D é a região limitada pelo paraboloide x = y2 + z2 e pelo plano x = 4.
Solução:
A região limitada está representada pelo sólido D na figura 1.59. Se interpretarmos essa região
como sendo do tipo I, então sua projeção S sobre o plano xy é mostrada na figura 1.60.
38 Cap. 1. Integrais Múltiplas
Figura 1.59: Região de integração Figura 1.60: Projeção sobre o plano xy
Da equação x = y2 + z2, obtém-se z = ±
√
x− y2. Assim, D vista como uma região do tipo I,
bem como sua projeção S é descrita como
D =
{
(x, y, z) ; 0 ≤ x ≤ 4, −
√
x ≤ y ≤
√
x, −
√
x− y2 ≤ z ≤
√
x− y2
}
Logo,
˚
D
√
y2 + z2 dV =
ˆ 4
0
ˆ √x
−
√
x
ˆ √x−y2
−
√
x−y2
√
y2 + z2 dz dy dx
Porém, esta integral é extremamente
difícil de calcular. Então, vamos reconsi-
derar o tipo de região e considerá-la como
sendo uma região do tipo 2. Assim, sua
projeção S sobre o plano yz, é o disco
y2 + z2 ≤ 4, como mostrado na figura ??.
Logo,
˚
D
√
y2 + z2 dV =
ˆ 2
−2
ˆ √4−y2
−
√
4−y2
ˆ 4
y2+z2
√
y2z2 dx dz dy
=
ˆ 2
−2
ˆ √4−y2
−
√
4−y2
[
x
√
y2 + z2
]√4−y2
−
√
4−y2
dz dy
=
ˆ 2
−2
ˆ √4−y2
−
√
4−y2
(4− y2 − z2)
√
y2 + z2 dz dy = ∗ (1.32)
Novamente caimos em um integral bem complicada. Porém, observe que a região S é um círculo
e desse modo fica fácil converter essa integral para coordenadas polares no plano yz: y = r cos θ,
z = r sen θ. Logo, 1.32 fica igual a
∗ =
ˆ 2π
0
ˆ 2
0
(4− r2)r r dr dθ =
ˆ 2π
0
[
4r3
3
− r
5
5
]2
0
dθ =
128
15
π (1.33)
W.Bianchini 39
1.5 Mudança de Variáveis na Integral Tripla
Nesta seção iremos estender para funções de três variáveis, a fórmula de mudança de variáveis,
fórmula 1.12, que vimos para funções de duas variáveis.
Seja D′ ⊂ R3 uma região fechada e limitada. Consideremos, então, w = f(x, y, z) integrável e
uma transformação T : D′ 7−→ D ⊂ R3, definida pelas equações
x = x(u, v, w) y = y(u, v, w) z = z(u, v, w) (1.34)
onde, x, y, z são funções com derivadas parciais contínuas. Como no caso de 2 variáveis em que a
transformação x = x(u, v), y = y(u, v), leva pequenos retângulos do plano uv em paralelogramos cur-
vilíneos no plano xy, a transformação T definida por 1.34 leva pequenos paralelepípedos retangulares
do espaço uvw em paralelepípedos curvilíneos no espaço xyz.
Figura 1.61
Para verisso, basta observar que quando fixamos uma das variáveis, por exemplo, w = w0,
a transformação T leva o plano w = w0 do espaço uvw em uma superfície no espaço xyz, pois
T (u, v, w0) = (x(u, v, w0), y(u, v, w0, z(u, v, w0)). A figura 1.62 mostra a transformação T levando
uma caixa subdividida em pequenos paralelepípedos retangulares em uma caixa curvilinea subdivi-
dida em paralelepípedos curvilíneos. Para maiores detalhes e uma visão dinâmica interativa, veja
Figura 1.62
http://www.im.ufrj.br/waldecir/calculo3/interativo/mudanca_variaveis_tripla.html
40 Cap. 1. Integrais Múltiplas
Para chegarmos à fórmula de mudança de variáveis similar à 1.12, definimos o determinante
Jacobiano da aplicação T por
∂(x, y, z)
∂(u, v, s)
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂x
∂u
∂x
∂v
∂x
∂s
∂y
∂u
∂y
∂v
∂y
∂s
∂z
∂u
∂z
∂v
∂z
∂s
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Agora, para pequenos valores de ∆u, ∆v e ∆w, o volume ∆V do paralelepípedo curvilíneo está
relacionado com o volume ∆u∆v∆w do paralelepípedo retangular por
∆V ≈
∣∣∣∣ ∂(x, y, z)∂(u, v, w)
∣∣∣∣∆u∆v∆w
a qual é análoga à fórmula 1.9. Usando uma argumentação similar ao caso de 2 variáveis, obtemos
uma fórmula similar à fórmula 1.12 para o caso de 3 variáveis, sob as mesmas condições da observação
1.3.
Fórmula de Mudança de Variáveis para Integral Tripla:
˚
D
f(x, y, z) dx dy dz =
˚
D′
f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w))
∣∣∣∣∂(x, y, w)∂(u, v, w)
∣∣∣∣ du dv dw (1.35)
1.5.1 Mudança de Variáveis Cilíndricas
� Coordenadas Cilíndricas
Três coordenadas são necessárias para mostrar a posição de um ponto no espaco tridimencional.
Frequentemente utilizamos para isso as coordenads cartesianas, cuja representação geométrica plana
é um sistema de três eixos x, y e z, desenhados como na figura 1.63. Entretanto, existem outros
2 sistemas, também, muito utilizados, principalmente para resolver integrais triplas, que são as
coordenadas cilíndricas e as esféricas. Vamos ver, primeiramente, o sistema de coordenadas cilíndricas
representado na figura 1.64, cuja relação com o sistema de coordenadas cartesianas se dá pelas
equações:
x = r cos θ , y = r sen θ e z = z (1.36)
onde r ≥ 0, 0 ≤ θ < 2π e −∞ < z < +∞. Veja e para uma melhor compreensão.
� Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas
Em R3, se tomarmos coordenadas retangulares, as equações
x = x0 , y = y0 , e z = z0
onde x0, y0 e z0 são constantes, são planos paralelos aos planos coordenados yz, xz e xy, respectiva-
mente (figura 1.65). As equações 1.36 definem uma aplicação T : D′ ⊂ R3 → D ⊂ R3 que é injetora
se
D′ = {(r, θ, z), ; r > 0, θ0 ≤ θ < θ0 + 2π, −∞ < z <∞} e D = T (D′)
Assim, as imagens de r = r0, θ = θ0 e z = z0 através da aplicação T no espaço xyz são um cilindro,
um semi-plano contendo o eixo z e um plano paralelo ao plano xy como mostrado na figura 1.66.
Para uma visão dinâmica e interativa, veja .
http://www.im.ufrj.br/waldecir/calculo3/interativo/coordenadas_cartesianas.html
http://www.im.ufrj.br/waldecir/calculo3/interativo/coordenadas_cilindricas.html
http://www.im.ufrj.br/waldecir/calculo3/interativo/mudanca_coordenadas_cilindricas.html
W.Bianchini 41
Figura 1.63 Figura 1.64
Figura 1.65
Figura 1.66
Assim, uma caixa retangular no sistema rθz subdividida em caixinhas retangulares é levada em
um cilindro subdividido nos assim chamados elementos cilíndricos de volume ou cunhas cilíndricas
como mostra a figura 1.67.
O determinante Jacobiano, neste caso é
∂(x, y, z)
∂(r, θ, z)
=
∣∣∣∣∣∣
cos θ −r sen θ 0
sen θ r cos θ 0
0 0 1
∣∣∣∣∣∣ = r(cos2 θ + sen θ) = r (1.37)
Assim, o volume ∆V de uma cunha cilíndrica pode ser aproximado pelo volume de um paralelepípedo
do espaço rθz do seguinte modo
∆V ≈ r∆r∆θ∆z
Portanto, a fórmula 1.35 se escreve
˚
D
f(x, y, z) dx dy dz =
˚
D′
f(r cos θ, r sen θ, z) r dr dθ dz (1.38)
Pela observação 1.3 esta fórmula ainda permanece válida se
D′ ⊂ {(r, θ, z), ; r ≥ 0, θ0 ≤ θ ≤ θ0 + 2π, −∞ < z <∞}
� Observação: As equações em 1.36 são utilizadas para converter pontos dados em coordenadas
cilíndricas para coordenadas retangulares. Para fazer o contrário, ou seja, se um ponto é dado em
coordenadas retangulares para obter suas coordenadas cilíndricas utilizamos
r =
√
x2 + y2 , tg θ =
y
x
, z = z (1.39)
42 Cap. 1. Integrais Múltiplas
Figura 1.67
Coordenadas cilíndricas são úteis para resolver problemas que envolvem simetria em torno do
eixo z ou um eixo paralelo a ele. Assim,
� se r1 ≤ r ≤ r2 e θ1(r) ≤ θ ≤ θ2(r) e z1(r, θ) ≤ z ≤ z2(r, θ), então,
˚
D
f(x, y, z) dx dy dz =
ˆ r2
r1
ˆ θ2(r)
θ1(r)
ˆ z2(r,θ)
z1(r,θ)
f(r cos θ, r sen θ, z) r dr dθ dz (1.40)
� se r1(θ) ≤ r ≤ r2(θ), θ1 ≤ θ ≤ θ2 e z1(r, θ) ≤ z ≤ z2(r, θ), então,
˚
D
f(x, y, z) dx dy dz =
ˆ θ2
θ1
ˆ r2(θ)
r1(θ)
ˆ z2(r,θ)
z1(r,θ)
f(r cos θ, r sen θ, z) r dr dθ dz (1.41)
Exemplo 1.19 Calcule o volume do cilindro limitado pelas superfícies:
x2 + y2 = a2 , z = 0 , z = b
Solução:
V =
ˆ a
0
ˆ 2π
0
ˆ b
0
r dz dθ dr =
ˆ a
0
ˆ 2π
0
rb , dθ dr =
ˆ a
0
2πbr dr = πba2
Figura 1.68
W.Bianchini 43
Exemplo 1.20 Calcule o volume da esfera x2 + y2 + z2 = a2
Solução: Valendo-se da simetria da esfera, iremos calcular um oitavo de seu volume.
Veja figura 1.69.
Figura 1.69
V
8
=
ˆ a
0
ˆ π/2
0
ˆ (a2−r2)1/2
0
r dz dθ dr =
ˆ a
0
ˆ π/2
0
r (a2 − r2)1/2 dθ dr =
ˆ a
0
π
2
r(a2 − r2)1/2 dr
Fazendo uma substituição de variável: u = a2 − r2 ⇒ du = −2r dr. Assim,ˆ
π
2
r(a2 − r2)1/2 dr = −π
4
ˆ
u1/2 du = −π
6
u3/2
Logo, ˆ a
0
π
2
r(a2 − r2)1/2 dr = −π
6
(a2 − r2)3/2
∣∣∣∣a
0
=
π
6
a3
Portanto,
V =
4
3
π a3
Exemplo 1.21 Calcule ˚
W
(2 + x) dx dy dz
onde W é o sólido limitado pelas superfícies z =
√
x2 + y2 e z = x2 + y2.
Solução: A primeira coisa a fazer é desenhar o sólido W .
Observando a figura 1.70 do sólido W , vemos que o melhor é utilizar coordenadas cilíndricas na
integração. A interseção das duas superfícies que formam o sólido W se dá na origem e no plano
z = 1. Assim, a projeção de W no plano xy é o disco x2 + y2 ≤ 1. Assim, θ varia de 0 a 2π, r de 0 a
1 e z do paraboloide z = r2 ao cone z = r. Logo,˚
W
(2 + x) dx dy dz =
ˆ 2π
0
ˆ 1
0
ˆ r
r2
(1 + r cos θ)r dz dr dθ =
ˆ 2π
0
ˆ 1
0
(r2 − r3) + (r3 − r4) cos θ dr dθ
=
ˆ 2π
0
[
r3
3
− r
4
4
+
(
r4
4
− r
5
5
)
cos θ
]1
0
dθ =
ˆ 2π
0
1
12
+
1
20
cos θ dθ
=
[
1
12
θ =
1
20
sen θ
]2π
0
=
π
6
http://www.im.ufrj.br/waldecir/calculo3/interativo/mc_cilindricas_ex02.html
44 Cap. 1. Integrais Múltiplas
Figura 1.70
1.5.2 Mudança de Variáveis Esféricas
� Coordenadas Esféricas
O sistema de coordenadas esféricas representado na figura 1.71, cuja relação com o sistema de
coordenadas cartesianas se dá pelas equações:
x = ρ cos θ senφ y = ρ sen θ senφ z = ρ cosφ (1.42)
onde rho ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ 2π e 0 ≤ φ ≤ 2π.
Figura 1.71 Figura 1.72
As equações em 1.42 são utilizadas para converter pontos dados em coordenadas esféricas para
coordenadas retangulares. Para fazer o contrário, ou seja, se um ponto é dado em coordenadas
retangulares para obter suas coordenadas esféricas utilizamos
ρ =
√
x2 + y2 + z2 , tan θ =
y
x
, cosφ =
z√
x2 + y2 + z2
(1.43)
� Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas
As equações 1.42 definem uma aplicação T : D′ ⊂ R3 → D ⊂ R3 que é injetora se
D′ = {(ρ, θ, φ) ∈ R3 ; ρ ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ φ ≤ π} e D = T (D′)
W.Bianchini 45
Em um sistema retangular ρθφ, as superfícies ρ = ρ0, θ = θ0 e φ = φ0 são planos paralelos aos planos
θφ, ρφ e ρθ, respectivamente. Assim estes planos, através da aplicação T no espaço xyz, são uma
esfera, um semi-plano contendo o eixo z e um cone com eixo z, respectivamente, como mostrado na
figura 1.72. Para uma visão dinâmica e interativa, veja .
Assim, uma caixa retangular no sistema ρθφ é levada no sistema xyz no assim chamado elemento
esférico de volume ou cunha esférica como mostra a figura 1.73.
Figura 1.73
Figura 1.74
A figura 1.74 mostra a transformação T levando uma caixa subdividida em pequenos parale-
lepípedos retangulares em uma caixa ou cunha esférica subdividida em pequenas cunhas esféricas.
O determinante Jacobiano, neste caso é∂(x, y, z)
∂(ρ, θ, φ)
=
∣∣∣∣∣∣
cos θ senφ −ρ sen θ senφ ρ cos θ cosφ
sen θ senφ r cos θ senφ ρ sen θ cosφ
cosφ 0 −ρ senφ
∣∣∣∣∣∣ = −ρ2 senφ (1.44)
Visto que 0 ≤ φ ≤ π, então, senφ ≥ 0. Portanto,∣∣∣∣∂(x, y, z)∂(ρ, θ, φ)
∣∣∣∣ = ∣∣−ρ2 senφ∣∣ = ρ2 senφ
Assim, o volume ∆V de uma cunha esférica pode ser aproximado pelo volume ∆V ′ de um paralele-
pípedo do espaço ρθφ do seguinte modo
∆V ≈ ∆V ′ = ρ2 senφ∆r∆θ∆z
Portanto, a fórmula 1.35 se escreve
˚
D
f(x, y, z) dx dy dz =
˚
D′
f(ρ cos θ senφ, ρ sen θ senφ, ρ cosφ) ρ2 senφ dρ dθ dφ (1.45)
� Observação: Em geral, se utiliza coordenadas esféricas quando a região a ser integrada é formada
por cones e(ou) esferas.
http://www.im.ufrj.br/waldecir/calculo3/interativo/mudanca_coordenadas_esfericas.html
http://www.im.ufrj.br/waldecir/calculo3/interativo/mc_coordenadas_esfericas_parte2.html
46 Cap. 1. Integrais Múltiplas
Exemplo 1.22 Calcule o volume da esfera x2 + y2 + z2 = a2
Solução: Valendo-se da simetria da esfera, iremos calcular um oitavo de seu volume.
V
8
=
ˆ a
0
ˆ π/2
0
ˆ π/2
0
ρ2 senφ dφ dθ dρ =
ˆ a
0
ˆ π/2
0
ρ2 dθ dρ =
ˆ a
0
ρ2
π
2
dρ =
π
2
ρ3
3
∣∣∣∣a
0
=
π
6
a3
⇒ V = 4
3
πa3 (compare com esse exercício feito com coordenadas cilíndricas)
Exemplo 1.23 Calcular o volume do elipsoide
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1, onde a, b, c > 0.
Solução: (x
a
)2
+
(y
b
)2
+
(z
c
)2
= 1
Fazendo a substituição de variável X =
x
a
, Y =
y
b
, Z =
z
c
, tem-se,
X2 + Y 2 + Z2 = 1
que é a equação de uma esfera de raio 1. Assim fazendo a mudança de variáveis para coordenadas
esféricas, 
X = ρ sen cos θ senφ
Y = ρ sen θ senφ
Z = ρ cosφ
=⇒

x = aρ sen cos θ senφ
y = bρ sen θ senφ
z = cρ cosφ
O Jacobiano dessa mudança é J = −abcρ2 senφ. Assim, lembrando que após a mudança de variável
passamos para uma esfera de raio 1, tem-se,
V
8
=
ˆ π/2
0
ˆ π/2
0
ˆ 1
0
, abcρ2 senφ dρ dθ dφ =
ˆ π/2
0
ˆ π/2
0
ˆ 1
0
abcρ2 senφ dρ dθ dφ = abc
π
6
⇒ V = 4
3
πabc.
Exemplo 1.24 Calcule
˚
D
z dx dy dz, onde D é a esfera x2 + y2 + (z − a)2 = a2.
Solução: x2 + y2 + (z − a)2 = a2 ⇒ x2 + y2 + z2 = 2az. Fazendo a substituição de variáveis
esféricas, tem-se,
ρ2 cos2 θ sen 2φ+ ρ2 sen 2θ sen 2φ+ ρ2 cos2 φ = 2aρ cosφ⇒ ρ = 2a cosφ
que é a equação da esfera em coordenadas esféricas. Logo, veja figura 1.75, tem-se:
˚
D
z dx dy dz =
ˆ 2π
0
ˆ π/2
0
ˆ 2a cosφ
0
ρ2 senφρ cosφ dρ dφ dθ =
ˆ 2π
0
ˆ π/2
0
4a4 cos5 φ senφ dφ dθ
= 4a4
ˆ 2π
0
ˆ π/2
0
cos5 φ senφ dφ dθ = 4a4
ˆ 2π
0
[
−1
6
cos6 φ
]π/2
0
dφ
=
4πa4
3
W.Bianchini 47
Figura 1.75 Figura 1.76
Exemplo 1.25 Calcule
ˆ √8
−
√
8
ˆ √8−x2
−
√
8−x2
ˆ √16−x2−y2
√
x2+y2
z
√
x2 + y2 + z2 dz dy dx
Solução: Em problemas desse tipo, devemos começar a desenhar a região de integração. Olhando
para a figura 1.76, o limite z de integração varia da superfície z =
√
x2 + y2, que é um cone, até
a esfera x2 + y2 + z2 = 16.Na projeção da figura no plano xy, o limite x de integração varia de
−
√
8 a
√
8 e o limite y de integração varia da semi-circunferência −
√
8− x2 a
√
8− x2. Assim, em
coordenadas esféricas temos,
ˆ √8
−
√
8
ˆ √8−x2
−
√
8−x2
ˆ √16−x2−y2
−
√
x2+y2
z2
√
x2 + y2 + z2 dz dy dx =
ˆ 2π
0
ˆ π/4
0
ˆ 4
0
ρ4 cosφ senφ dρ dφ dθ
=
ˆ 2π
0
ˆ π/4
0
45
5
cosφ dφ dθ =
45
10
ˆ 2π
0
[
sen 2θ
]π/4
0
dθ =
256
5
ˆ 2π
0
dθ =
512
5
π
Capítulo 2
Integrais de Linha
Neste capítulo vamos ver uma generalização da integral
ˆ b
a
f(x) dx de uma função real sobre um
intervalo [a, b], para uma integral de uma função sobre uma curva. Primeiramente, vamos ver isto
para funções escalares e posteriormente para campos vetorias.
2.1 Campos Vetoriais
Definição 2.1 Um campo vetorial em D ⊂ R2 é uma função F : D → R2 que associa cada ponto
(x, y) ∈ D um único vetor F (x, y) de R2.
Como F (x, y) é um vetor de R2, se costuma escrevê-lo em termos de suas componentes,
F (x, y) = P (x, y)i +Q(x, y)j = (P (x, y), Q(x, y))
ou, ainda, de forma reduzida,
F = (P,Q)
onde, P e Q são funções escalares, i.é, P, Q : R2 → R, também chamados de campos escalares.
Similarmente, se D ⊂ R3, um campo vetorial em D é uma função F que associa a cada ponto
(x, y, z) de D um vetor F (x, y, z) de R3. Ele pode ser descrito em termos de suas componentes P , Q
e R como
F (x, y, z) = P (x, y, z)i +Q(x, y, z)j +R(x, y, z)k = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))
ou simplesmente
F = (P,Q,R)
As figuras 2.1 e 2.2 mostram os campos vetoriais da temperatura do ar a 2 metros do solo. A
primeira às 13 hs e a segunda às 19 hs. Dados obtidos da página do INPE
(http://previsaonumerica2.cptec.inpe.br/wrf).
Representações gráficas de campos vetoriais é uma tarefa um tanto quanto cansativa para faz?-la
manualmente, pois teria que desenhar dezenas ou centenas de vetores pontualmente, dependendo do
campo vetorial para se ter ideia do seu comportamento. Assim, usualmente se utiliza programas de
computador para gerar rapidamente uma representação gráfica e modificá-la de modo a se ter uma
boa ideia do comportamento de tal campo.
A figura 2.3 é o campo vetorial da velocidade da água em um movimento circular escoando por
um ralo central em uma pia. escoamento exemplos de campos no plano e no espaço.
A figura 2.4 é o campo vetorial da velocidade da água de um rio em diferentes profundidades.
Repare que a velocidade é maior perto da superfície do rio e menor nos pontos de maior profundidade.
Para uma visualização dinâmica e interativa de campos vetoriais no plano, veja
48
http://previsaonumerica2.cptec.inpe.br/wrf
http://www.im.ufrj.br/waldecir/calculo3/interativo/campo_vetorial.html
W.Bianchini 49
Figura 2.1 Figura 2.2
Figura 2.3: F (x, y) =
(
y
x2+y2
, −x
x2+y2
) Figura 2.4: F (x, y, z) = (0,√y)
Figura 2.5: F (x, y, z) = (y, z, x)
Figura 2.6: F (x, y, z) = −2
(x2+y2+z2)3/2
(x, y, z)
A figura 2.5 mostra um campo vetorial simulando a velocidade de um fluido girando e escorrendo
para o centro, enquanto a figura 2.6 mostra um centro de força gravitacional.
Para uma visualização dinâmica e interativa de campos vetoriais no espaço, veja
� Campos Gradiente
Uma classe importante de campos vetoriais são os gradientes de funções. Recordemos que se f é
http://www.im.ufrj.br/waldecir/calculo3/interativo/campo_vetorial3d.html
50 Cap. 2. Integrais de Linha
uma função escalar de 2 variáveis, i.é, f : R2 → R, então o gradiente de f é definido como
∇f(x, y) =
(
∂f
∂x
,
∂f
∂y
)
(x, y)
Essa fórmula define um campo vetorial no plano chamado de campo gradiente de f.
Similarmente, se f : R3 → R, o gradiente de f é definido por
∇f(x, y, z) =
(
∂f
∂x
,
∂f
∂y
,
∂f
∂z
)
(x, y, z)
e assim temos um campo vetorial no espaço.
� Campos Vetoriais Contínuos e de classe C1
Um campo vetorial
F : D ⊂ Rn → Rn
x = (x1, xn, . . . , xn) 7−→ F (x) = (F1(x), F2(x), . . . , Fn(x))
é contínuo em D se as funções Fi : D ⊂ Rn → R são contínuas em D, para i = 1, . . . , n. Ele é
chamado de classe C1 se, além disso, todas as derivadas parciais ∂Fi
∂xj
forem contínuas em D.
� Campos Conservativos
Um campo vetorial F é chamado campo vetorial conservativo se ele for o gradiente de alguma
função escalar, ou seja, se existir uma função f , tal que, F = ∇f . Dizemos que f é uma função
potencial de F .
Por exemplo, o campo vetorial da figura 2.6 é um campo conservativo, pois,
f(x, y, z) =
2√
x2 + y2 + z2
é uma função potencial de
F (x, y, z) =
(
−2x
(x2 + y2 + z2)3/2
,
−2y
(x2 + y2 + z2)3/2
,
−2z
(x2 + y2 + z2)3/2
)
Evidentemente, nem todos os campos vetoriais são conservativos e veremos nas próximas seções
como caracterizá-los e determiná-los.
2.2 Integral de Linha de função escalar
Para motivar a definição consideremos o problema de determinar a massa de um fio muito fino no
plano cuja densidade linear em cada ponto (x, y) do fio é dada pelo valor f(x, y) de uma função
densidade f . Para isso, suponha então, que o fio de comprimento S é representado por uma curva C
no plano parametrizada por
r(t) = (x(t), y(t)) = x(t)i + y(t)j, para t ∈ [a, b] (2.1)
Para calcular a massa do fio, vamos dividir o fio em n pedaçospequenos. Para isso, considere
uma partição regular de [a, b]
a = t0 < t1 < t2 < · · · < tn−1 < tn = b (2.2)
W.Bianchini 51
Figura 2.7
Tal partição produzirá os pontos correspondentes
P0, P1, P2, . . . , Pn−1, Pn
onde Pi = r(ti) = (x(ti), y(ti)) como mostrado na figura 2.7.
Com isso teremos uma decomposição de C em n arcos de curvas Ci definidas em [ti−1, ti]. Seja
∆Mi a massa do i-ésimo arco Ci e seja ∆si o seu comprimento,
∆si =
ˆ ti
ti−1
‖ r′(t) ‖ dt =
ˆ ti
ti−1
√
(x′(t))2 + (y′(t))2 (2.3)
Como a partição que tomamos é regular, isto significa que
∆ti = ti − ti−1 → 0 quando n→∞
Agora, considerando que r é contínua com derivada contínua, também, ∆si → 0 quando n → ∞.
Assim, para um valor de n suficientemente grande, o valor de ∆si é muito pequeno e o valor da
densidade f não varia muito ao longo Ci. Portanto, se escolhermos um ponto P ∗i = (x(t∗i ), y(t∗i ))
qualquer em Ci, sua massa pode ser aproximada por
∆Mi ≈ f(P ∗i )∆Si
E a massa totalM pode ser, então, aproximada por
M≈
n∑
i=1
∆Mi =
n∑
i=1
f(P ∗i )∆si (2.4)
Como ∆si → 0, para todo i, então
M = lim
n→∞
n∑
i=1
f(P ∗i )∆si (2.5)
O limite em 2.5 é o limite de uma soma de Riemann para a função f(x, y) definida sobre a curva C.
Definição 2.2 Dizemos que uma função vetorial r : [a, b] ⊂ R → R2, r(t) = (x(t), y(t)) é de classe
C1 se sua derivada r′(t) = (x′(t), y′(t)) for contínua, i.é, se x′(t) e y′(t) forem contínuas. Também
dizemos, neste caso, que a curva C, imagem de r ou parametrizada por r, é uma curva suave.
52 Cap. 2. Integrais de Linha
Definição 2.3 Se C é uma curva suave no plano parametrizada por r(t) = (x(t), y(t)) = x(t)i +
y(t)j, para t ∈ [a, b], então a integral de linha de f ao longo de C é definida por
ˆ
C
f ds =
ˆ
C
f(x, y) ds = lim
n→∞
n∑
i=1
f(x∗i , y
∗
i ) ∆si (2.6)
desde que esse limite exista e não dependa da escolha da partição ou da escolha dos pontos P ∗i =
(x∗i , y
∗
i ).
Se mostra que para funções contínuas este limite sempre existe.
Evidentemente é impraticável calcular integrais de linha diretamente da definição a não ser em
casos excepcionais. Entretanto, a definição é importante nas aplicações e na interpretação de integrais
de linha. Por exemplo:
� O problema que acabamos de ver sobre o cálculo de massa de um fio, dada a sua densidade.
� Também, no caso em que C é uma curva de comprimento S e f = 1, então, segue imediatamente
da definição que ˆ
C
ds = lim
n→∞
n∑
i=1
∆si = S (2.7)
� Interpretação geométrica: Se C é uma curva finita no plano xy e f é contínua e f(x, y) ≥ 0 sobre
C, então, a integral de linha de f ao longo de C pode ser interpretada como a área A de um cilindro
vertical que tem a curva C como diretriz e como geratriz um segmento vertical variável que vai do
ponto (x, y) ao ponto f(x, y) e se move ao longo de C desde o ponto inicial ao ponto final de C (cor
amarela na figura 2.8). Vamos mostrar que a área amarela A da figura 2.8, pode ser aproximado
pela área azul S, da figura 2.9, que por sua vez pode ser aproximada pela área verde W da figura
2.10.
Figura 2.8 Figura 2.9
Para isso, tomando uma partição regular em [a, b] como em 2.2, obtemos os pontos P0, P1, . . . , Pn,
onde Pi = r(ti) = (x(ti), y(ti)) como mostrado na figura 2.9. Isso divide a área cilíndrica amarela A
em n cilindros de área Ai, cuja base é o arco Pi−1Pi cujo comprimento chamamos de ∆si.
Tome um ponto P ∗i entre cada dois pontos Pi−1 e Pi. O produto f(x∗i , y∗i ) ∆si nos dá a área de
um cilindro Si tendo como base o arco Pi−1Pi e altura f(x∗i , y∗i ) a qual aproxima a área do cilindro
Ai. Veja a figura 2.10. Assim,
A =
n∑
i=1
Ai ≈
n∑
i=1
Si =
n∑
i=1
f(x∗i , y
∗
i ) ∆si (2.8)
W.Bianchini 53
Figura 2.10
O que nos remete à definição 2.6 da integral de linha.
Veja a JGI (Janela Gráfica Interativa) em para uma visão dinâmica da interpretação geomé-
trica.
� Calculando Integrais de Linha
Como já foi dito anteriormente, o cálculo de integral de linha pela definição 2.6 só se dá em casos
excepcionais. Entretanto, mostraremos agora, que é possível expressar a integral de linha como uma
integral definida ordinária de uma variável real.
Utilizando a construção que fizemos para definir a integral de linha de uma função escalar (defi-
nição 2.6), o comprimento de arco ∆si entre os pontos Pi−1 e Pi é dado pela integral
∆si =
ˆ ti
ti−1
‖ r′(t) ‖ dt (2.9)
Seja ∆ti = ti − ti−1. Pelo Teorema do Valor Médio para integrais, existe um ponto t∗i ∈ [ti−1, ti],
tal que,
∆si =
ˆ ti
ti−1
‖ r′(t) ‖ dt = ‖ r′(t∗i ) ‖∆ti (2.10)
Seja P ∗i = r(t∗i ) = (x(t∗i ), y(t∗i )) e observe que a função composta f(P ∗i ) = f(x(t∗i ), y(t∗i )) é uma
função real definida sobre [a, b]. Assim, temos
ˆ
C
f(x, y) ds = lim
n→∞
n∑
i=1
f(x∗i , y
∗
i ) ∆si
= lim
n→∞
n∑
i=1
f(x∗i , y
∗
i )‖ r′(t∗i ) ‖∆ti
=
ˆ b
a
f(x(t), y(t))‖ r′(t) ‖ dt
Observamos que se f é uma função contínua, a integral acima sempre existe. Portanto, se C é
uma curva parametrizada por
r(t) = x(t)i + y(t)j t ∈ [a, b]
e r é de classe C1, então, ˆ
C
f ds =
ˆ b
a
f(x(t), y(t))‖ r′(t) ‖ dt (2.11)
http://www.im.ufrj.br/waldecir/calculo3/interativo/integral_linha_escalar.html
54 Cap. 2. Integrais de Linha
ou, ainda escrevemos simplesmente
ˆ
C
f ds =
ˆ b
a
f(r(t))‖ r′(t) ‖ dt (2.12)
ou, ainda na sua forma expandida
ˆ
C
f ds =
ˆ b
a
f((x(t), y(t))
√
(x′(t))2 + (y′(t))2 dt (2.13)
Observação 2.1 :
- Esta fórmula continua válida se C é suave por partes ou f ◦ r é contínua por partes. Neste caso, a
integral de linha é calculada dividindo-se o intervalo [a, b] em um número finito de intervalos
onde tais funções sejam contínuas. Ou seja, se C = C1 ∪ C2 ∪ · · · ∪ Cn, onde cada Ci é suave,
então, ˆ
C
f(x, y) ds =
ˆ
C1
f(x, y) ds+
ˆ
C2
f(x, y) ds+ · · ·+
ˆ
Cn
f(x, y) ds
- No caso especial em que C é um segmento de reta de (a, 0) a (b, 0), usando x como parâmetro, as
equações paramétricas de C ficam da seguinte forma
x = x , y = 0 , x ∈ [a, b]
e a fórmula 2.13 fica ˆ
C
f(x, y) ds =
ˆ b
a
f(x, 0) dx
e, nesse caso especial, a integral de linha se reduz a uma integral definida de uma variável real.
- No caso particular em que f(x, y) = 1, para todo x ∈ C, pela fórmula 2.12,
ˆ
C
f ds =
ˆ b
a
‖ r′(t) ‖ dt = comprimento da curva C
Exemplo 2.1 Calcule a massa do arco de circunferência x = cos t, y = sen t, 0 ≤ t ≤ π, se a
densidade f(x, y) = y. Solução:
M =
ˆ π
0
sen t
√
sen 2t+ cos2 t dt =
ˆ π
0
sen t dt = [− cos t]π0 = 2
Exemplo 2.2 Calcule ˆ
C
(x+ y) ds
onde C é o triângulo de vértices A = (0, 0), B = (1, 0) e C = (0, 1) (figura 2.11).
Solução:
W.Bianchini 55
Figura 2.11: text
Veja que C = C1 ∪ C2 ∪ C3, onde
C1 = (t, 0) , t ∈ [0, 1]
C2 = (1− t, t) , t ∈ [0, 1]
C3 = (0, 1− t) , t ∈ [0, 1]
então,
ˆ
C
(x+ y) ds =
ˆ
C1
(x+ y) ds+
ˆ
C2
(x+ y) ds+
ˆ
C3
(x+ y) ds
=
ˆ 1
0
t dt+
ˆ 1
0
((1− t) + t)
√
2 dt+
ˆ 1
0
(1− t) dt
=
t2
2
∣∣∣∣1
0
+
√
2 t
∣∣∣∣1
0
+
[
t− t
2
2
]1
0
=
1
2
+
√
2 +
1
2
= 1 +
√
2
Exemplo 2.3 Calcule o comprimento da astroide C (figura 2.12) dada pelas equações paramétricas
x = 2 cos3 t , y = 2 sen 3t , t ∈ [0, 2π]
Solução:
Figura 2.12
Muito embora o gráfico de C não pareça nada suave,
pois ele tem 4 bicos, a curva C é a imagem da função
r(t) = (2 cos3 t, 2 sen 3t) que é de classe C1, ou seja,
suave. Portanto, podemos aplicar a equação ?? com
f = 1 e dado que a astroide é completamente simétrica
em relação aos eixos, iremos calcular um quarto de seu
comprimento. Assim,
ˆ
C/4
ds =
ˆ π/2
0
√
(6 cos2 t(− sen t))2 + (6 sen 2t cos t)2 dt
=
ˆ π/2
0
6
√
cos2 t sen 2t dt =
ˆ π/2
0
6 cos t sen t dt
= 3 sen 2t
∣∣∣∣π/2
0
= 3
Logo, o comprimento total da astroide é igual a 12.
Exemplo 2.4 Calcule
ˆ
C
(x+ y1/2) ds, onde:
(a) C : r(t) = (t, t2), para t ∈ [0, 1] (figura 2.13)
(b) C : r(t) = (1− t, (1− t)2, para t ∈ [0, 1] (figura 2.14)
Solução: (a)
56 Cap. 2. Integrais de Linha
Figura 2.13
Se r(t) = (t, t2) ⇒ r′(t) = (1, 2t) ⇒ |r′(t)| =√
1 + 4t2. Assim,ˆ
C
(x+ y1/2) ds =
ˆ 1
0
2t
√
1 + 4t2 dt (∗)
Fazendo a substituição u = 1 + 4t2 ⇒ du = 8t dt.Assim,
(∗) = 1
4
ˆ 5
1
=
1
6
u3/2
∣∣∣∣5
1
=
1
6
(
53/2 − 1
)
e assim, ˆ
C
(x+ y1/2) ds =
1
6
(
53/2 − 1
)
(b)
Figura 2.14
Se r(t) = (1 − t, (1 − t)2) ⇒ r′(t) = (−1,−2(1 −
t))⇒ |r′(t)| =
√
1 + 4(1− t)2. Assim,ˆ
C
(x+ y1/2) ds =
ˆ 1
0
2(1− t)
√
1 + 4(1− t)2 dt (∗∗)
Fazendo a substituição s = 1− t⇒ ds = −dt. Logo,
(∗∗) = −
ˆ 0
1
2s
√
1 + 4s2 ds =
ˆ 1
0
2s
√
1 + 4s2 ds =
1
6
(
53/2 − 1
)
Portanto, ˆ
C
(x+ y1/2) ds =
1
6
(
53/2 − 1
)
Observe que as integrais de (a) e (b) são iguais, mesmo sendo as parametrizações da curva C de
orientações opostas. Isso ilustra o fato de que o valor da integral de linha de f ao longo de C não
depende da orientação de sua parametrização. Isso vem do fato de que a distância ∆si que aparece
na definição 2.6 é sempre positiva.
Observação 2.2 : Tudo o que fizemos para uma curva no plano pode ser repetido igualmente para
curvas no espaço, ou seja, se C é uma curva suave parametrizada por
r(t) = (x(t), y(t), z(t)), t ∈ [a, b]
e f : R3 → R, a integral de linha de f ao longo de C éˆ
C
f ds =
ˆ
C
f(x, y, z) ds =
ˆ
C
f(r(t))‖ r′(t) ‖ dt
ou seja, ˆ
C
f ds =
ˆ b
a
f(x(t), y(t), z(t))
√
(x′(t))2 + (y′(t))2 + (z′(t))2 dt (2.14)
Exemplo 2.5 Calcule a integral de linha
ˆ
C
(xy + z) ds do ponto (1, 0, 0) ao ponto (−1, 0, π) ao
longo da hélice C dada pelas equações paramétricas
x = cos t , y = sen t , z = t , t ∈ [0, π]
Solução:
W.Bianchini 57
De 2.14ˆ
C
(xy + z) ds =
ˆ π
0
(cos t sen t+ t)
√
(− sen t)2 + (cos t)2 + 1 dt
=
√
2
ˆ π
0
(cos t sen t+ t) dt =
√
2
[
sen 2t
2
+
t2
2
]
=
√
2 π2
2
2.3 Integral de Linha de Campo Vetorial
Se um objeto move-se ao longo de uma reta sujeito a uma força constante F , o trabalho W feito
pela força F para deslocar esse objeto é, por definição, o módulo da componente de F na direção do
deslocamento multiplicado pelo comprimento do deslocamento.
Figura 2.15
W = ‖ v ‖ · ‖ u ‖ = ‖F ‖‖ u ‖ cosα = F · u (produto escalar)
Vamos supor, agora, um objeto se deslocando ao longo de uma curva plana C sujeito a uma força
variável F . Suponha que C é dada por
r(t) = (x(t), y(t)) , t ∈ [a, b]
sendo r de classe C1. Queremos calcular o trabalho feito por F ao mover o objeto ao longo de C.
Para isso, consideremos uma partição regular de [a, b]
a ≤ t0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ · · · ≤ tn = b
Isso produz uma partição da curva C em n+ 1 pontos
P0 = r(t0) = (x(t0), y(t0)) , P1 = r(t1) = (x(t1), y(t1)) , . . . , Pn = r(tn) = (x(tn), y(tn))
Para n suficientemente grande, a força F é praticamente constante no intervalo de tempo ∆ti =
ti − ti−1. Considere o ponto P ∗i = r(t∗i ) para algum ponto t∗i ∈ [ti−1, ti]. A distância percorrida pelo
objeto do ponto Pi−1 ao ponto Pi pode ser aproximada pela velocidade no ponto P ∗i vezes o tempo
decorrido ∆ti. Assim, o trabalho W (∆ti) executado pela força F para mover um objeto do ponto
Pi−1 ao ponto Pi é dado aproximadamente por (figura 2.16)
W (∆ti) ≈ F (P ∗i ) · r′(t∗i )∆ti = F (r(t∗i )) · r′(t∗i )∆ti
Portanto, o trabalho W realizado pela força F para deslocar o objeto ao longo de C é dado por
58 Cap. 2. Integrais de Linha
Figura 2.16
W =
n∑
i=1
W (∆ti) = lim
n→∞
n∑
i=1
F (r(t∗i )) · r′(t∗i )∆ti
Desde que r′ é contínua e F é contínua e C, esse limite exite e assim,
W = lim
n→∞
n∑
i=1
F (r(t∗i )) · r′(t∗i )∆ti =
ˆ b
a
F (r(t)) · r′(t) dt
Essa noção física de trabalho nos leva à seguinte definição matemática:
Definição 2.4 Seja F um campo vetorial em R2, contínuo sobre uma curva C, parametrizada por
uma função de classe C1, r(t) : [a, b]→ R2. A integral de linha de F ao longo de C é definida por
ˆ
C
F · dr =
ˆ b
a
F (r(t)) · r′(t) dt (2.15)
Como no caso de funções escalares, esta fórmula ainda é válida se F (r(t)) · r′(t) for C1 por partes
em [a, b].
Veja a JGI (Janela Gráfica Interativa) em e para uma visão dinâmica da definição.
� Se a curva C é fechada, i.é, r(a) = r(b), denotamos a integral de linha por˛
C
F · dr
� O que fizemos para R2, pode ser repetido para R3 de igual forma e obteremos a mesma definição
2.4. Assim, se a curva C é uma curva suave no espaço, i.é, se C é parametrizada por r : [a, b] → R3,
de classe C1,
r(t) = (x(t), y(t), z(t)) t ∈ [a, b]
e se F é um campo vetorial em R3, contínuo sobre C e F (x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)),
com P,Q,R : R3 → R, contínuas, a equação 2.15 ficaˆ
C
F · dr =
ˆ b
a
F (r(t)) · r′(t) dt =
ˆ b
a
F (x(t), y(t), z(t)) · (x′(t), y′(t), z′(t)) dt
=
ˆ b
a
(P (x(t), y(t), z(t)), Q(x(t), y(t), z(t)), R(x(t), y(t), z(t))) · (x′(t), y′(t), z′(t)) dt
=
ˆ b
a
P (x(t), y(t), z(t))x′(t) dt+Q(x(t), y(t), z(t))y′(t) dt+R(x(t), y(t), z(t))z′(t)) dt
http://www.im.ufrj.br/waldecir/calculo3/interativo/integral_linha_vetorial.html
http://www.im.ufrj.br/waldecir/calculo3/interativo/integral_linha_vetorial_geom.html
W.Bianchini 59
Portanto, dado que a curva C é dada pelas equações paramétricas
x = x(t) , y = y(t) z = z(t)
usando a notação dx = x′(t)dt, dy = y′(t)dt e dz = z′(t)dt, escrevemos
ˆ
C
F · dr =
ˆ
C
P (x, y, z) dx+Q(x, y, z) dy +R(x, y, z) dz (2.16)
ou, simplesmente ˆ
C
F · dr =
ˆ
C
P dx+Qdy +Rdz
Exemplo 2.6 Calcule o trabalho feito pelo campo de forças F (x, y) = (xy, y2) ao mover um objeto
ao longo do arco parabólico C dado por r(t)(t) = (t, t2).
Solução: Dado que r(t)(t) = (t, t2) ⇒ r′(t) = (1, 2t) e F (x(t), y(t)) = F (t, t2) = (t3, t4), temos
por 2.16 que
W =
ˆ
C
F · dr =
ˆ 1
0
(t3 + 2t5) dt =
7
12
Exemplo 2.7 Calcule o trabalho feito pelo campo de forças F (x, y, z) = (xy, yz, xz) ao mover um
objeto ao longo da cúbica retorcida C dada por r(t) = (t, t2, t3), t ∈ [−1, 1]
Solução: Como r(t) = (t, t2, t3), então, r′(t) = (1, 2t, 3t2) e F (r(t)) = (t3, t5, t4), assim,
W =
ˆ
C
F · dr =
ˆ 1
−1
(t3 + 2t6 + 3t6) dt =
ˆ 1
−1
(t3 + 2t6) dt =
10
7
Exemplo 2.8 Calcular ˆ
C
x dx+ y dy + (x+ y) dz
onde C é dada pelas equaçoes paramétricas
x = 2 cos t , y = 2 sen t , z = t , t ∈ [0, 1π]
ˆ
C
x dx+ y dy + (x+ y) dz =
ˆ 2π
0
(2 cos t (−2 sen t) + 2 sen t 2 cos t+ 2 cos t+ 2 sen t) dt
=
[
2 cos2 t+ 2 sen 2t+ 2 sen t− 2 cos t
]2π
0
= 4
Exemplo 2.9 Calcule a integral de linha
ˆ
C
F · dr, onde F (x, y) = (ey,− sen πx) e C é a poligonal
P1 = (1, 0), P2 = (0, 1) e P3 = (−1, 0).
60 Cap. 2. Integrais de Linha
Figura 2.17 Figura 2.18
Solução: Se considerarmos a poligonal C = C1∪C2 com a orientação dada pela figura 2.17, temos
a seguinte parametrização
C1 : r1(t) = (1− t, t) , t ∈ [0, 1]
C2 : r2(t) = (−t, 1− t) , t ∈ [0, 1]
Assim, r′1(t) = (−1, 1) e r′2(t) = (−1,−1). Logo,
ˆ
C1
F · dr =
ˆ 1
0
(−et − sen π(1− t)) dt =
[
−et − 1
π
cos π(1− t)
]1
0
= 1− e− 2
π
(2.17)
ˆ
C2
F · dr =
ˆ 1
0
(
−e1−t + senπ(−t)
)
dt =
[
e1−t +
1
π
cos πt
]1
0
= 1− e− 2
π
(2.18)
Portanto, de 2.18 e 2.20, ˆ
C
F · dr = 2
(
1− e− 2
π
)
Agora, se considermos a poligonal C = C2 ∪ C1 com a orientação como na figura 2.18, vamos
denota-la por C− = C−2 ∪ C−1 , a parametrização de C com orientação contrária da orientação de C.
Sua parametrização, então, fica
C−1 : r1(t) = (t, 1− t) , t ∈ [0, 1]
C−2 : r2(t) = (t− 1, t) , t ∈ [0, 1]
Assim, r′1(t) = (1,−1) e r′2(t) = (1, 1). Logo,
ˆ
C−1
F · dr =
ˆ 1
0
(e1−t + senπt) dt =
[
−e1−t − 1
π
cos πt
]1
0
= e− 1 + 2
π
(2.19)
ˆ
C−2
F · dr =
ˆ 1
0
(
et − senπ(t− 1)
)
dt =
[
et +
1
π
cos π(t− 1)
]1
0
= −1 + e+ 2
π
(2.20)
W.Bianchini 61
Logo, de 2.19 e 2.20, ˆ
C−
F · dr = −2
(
1− e− 2
π
)
Observe, então, que ˆ
C
F · dr = −
ˆ
C−
F · dr
Essa é uma propriedade básica de integrais de linha de um campo vetorial como veremos a seguir.
2.3.1 Propriedades básicas de Integral de Linha de Campo Vetorial
(i) Linearidade: ˆ
C
(aF + bG) · dr = a
ˆ
C
F · r + b
ˆ
C
G · dr
onde a e b são constantes reais.
(ii) Aditividade: Se C = C1 ∪ C2 ∪ · · · ∪ Cn, então,
ˆ
C
F · dr =
n∑
i=1
ˆ
Ci
F · dr
A demonstração destas propriedades seguem diretamente da definição de integral de linha.
(iii ) Troca de Parâmetro: Seja r : [a, b]→ R uma parametrização de classe C1 da curva C e seja
g : [c, d]→ [a, b] bijetora e de classe C1. Então