LISTA DE ANÁLISE COMBINATÓRIA RESOLVIDA

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LISTA DE ANÁLISE COMBINATÓRIA RESOLVIDA 
01) Quantos números de 7 dígitos, maiores que 6.000.000, podem ser formados usando apenas os algarismos 1, 
3, 6, 6, 6, 8, 8? Resp.: 300. 
Solução: 
Fixando o número 6, temos: 
 
Temos à disposição 6 números restantes (1,3,6,6,8,8) 
Como há elementos repetidos, temos uma permutação com repetição: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fixando o número 8, pois ele é maior que 6, temos: 
 
Temos a disposição 6 números restantes (1,3,6,6,6,8) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Somando-se os resultados temos: 
180 + 120 = 300. 
 
02) Entre os 32 professores de uma escola serão escolhidos três para preencherem os cargos de Diretor, Vice-
Diretor e Coordenador Geral. De quantos modos diferentes pode ser feita essa escolha? Resp. 29 270. 
Solução: 
PFC: ⏟
 
 ⏟
 
 
 ⏟
 
 
 
03) Com os algarismos 2, 3, 5 6, 7 e 8 são formados números de quatro algarismos distintos. Dentre eles, 
quantos são divisíveis por 5? Resp. 60. 
Solução: 
Como os algarismos devem ser divisíveis por 5, então o 4º algarismo deve ser 5, portanto temos: 
5.4.3.1 = 60 
 
04) As novas placas dos veículos são formadas por três letras seguidas por quatro algarismos, como por 
exemplo, GYK0447. O número de placas diferentes que podem ser construídas, em milhões de placas, é 
aproximadamente igual a: 
a) 1 b) 25 c) 75 d) 1000 e) 175 
Solução: 
Temos 26 letras do alfabeto e 10 números no total, logo por PFC temos: 
26.26.26.10.10.10.10 = 175.760.000 
Aproximadamente 175 milhões de placas. 
 
05) Newton possui 9 livros distintos, sendo 4 de Geometria, 2 de Álgebra e 3 de Análise. O número de 
maneiras pelas quais Newton pode arrumar esses livros em uma estante, de forma que os livros de mesmo 
assunto permaneçam juntos é: 
a) 288 b) 296 c) 864 d) 1728 
Solução: 
Primeiramente faremos permutações separadas para cada assunto: 
Geometria → 4 = 4! = 4.3.2.1= 24 
Álgebra → 2=2! = 2.1 = 2 
Análise → 3=3! = 3.2.1 = 6 
Agora faremos a permutação entre os assuntos: 3 = 3! = 3.2.1 = 6 
Por PFC temos: 
24.2.6.6 = 1728 maneiras. 
 
06) O número Pi com 10 algarismos (sem considerar a vírgula) é indicado por 3141592653. Quantas são as 
permutações diferentes que podemos construir com estes 10 algarismos? Resp. 453600 permutações. 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
07) Quantos números com cinco algarismos podemos construir com os números ímpares 1, 3, 5, 7, 9, desde que 
estejam sempre juntos os algarismos 1 e 3? Resp.: 48. 
Solução: 
Como 1 e 3 devem ficar juntos, logo temos: 2. 4 = 2.4! = 2.4.3.2.1 = 48 ú . 
 
08) Numa congregação de 20 professores, 6 lecionam Matemática. De quantos modos podemos formar uma 
comissão de 5 pessoas, com pelo menos um professor de Matemática? Resp. 13502 modos. 
Solução: 
O número total de professores sem restrição é 
O número de possibilidades em que não aparecem professores de matemática é 
 
 
 
 
09) Uma sala tem seis lâmpadas com seis interruptores independentes. De quantos modos pode-se iluminá-la, 
se pelo menos uma das lâmpadas deve ficar acesa? Resp. 63 modos. 
Solução: 
Possibilidade para 1 lâmpada acesa: 6,1 = 6 
Possibilidade para 2 lâmpadas acesas: 6,2 = 15 
Possibilidade para 3 lâmpadas acesas: 6,3 = 20 
Possibilidade para 4 lâmpadas acesas: 6,4 = 15 
Possibilidade para 5 lâmpadas acesas: 6,5 = 6 
Possibilidade para 6 lâmpadas acesas: 6,6 = 1 
Somando o total de possibilidades temos: 6,1+ 6,2+ 6,3+ 6,4+ 6,5+ 6,6 = 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 63. 
 
10) De quantos modos 5 meninos e 5 meninas podem formar uma roda de ciranda podem formar uma roda de 
ciranda de modo que pessoas do mesmo sexo não fiquem juntas? Resp. 2880. 
Solução: 
Deixando, primeiramente, todos os meninos juntos na roda, teremos: ( )5 = (5−1)! = 4! = 4.3.2.1 = 24. 
Agora podemos distribuir as meninas entre os meninos. Haverá 5 modos de colocarmos a 1ª menina entre dois 
meninos, 4 modos de colocarmos a 2ª menina e assim por diante, ou seja 5 = 5! = 120 modos de colocarmos as 
5 meninas entre os meninos. 
Logo teremos: ( )5. 5=24.120 = 2880. 
 
11) De quantas maneiras podemos colocar 10 pessoas em uma fila, sendo que temos 6 homens e 4 mulheres e 
que a fila terá: 
a) os homens e as mulheres agrupados. Resp. 34.560 
Solução: 
Como temos 6 homens, teremos 6 = 6! = 720. 
Como temos 4 mulheres, teremos 4 = 4! = 24. 
As mulheres podem estar na frente dos homens na fila, ou os homens podem estar na frente das mulheres, logo 
temos 2 possibilidades para homens e mulheres estarem agrupados. Por PFC, temos: 2. 6. 4=2.6!.4! = 2 .720. 
24 = 34 560 
b) homens e mulheres misturados. Resp. 3.594.240 
Solução: 
Sendo 10 o número total de pessoas e 2. 6. 4 o número de homens e mulheres agrupados, então o número de 
homens e mulheres misturados é: 10 − 2. 6. 4 = 10! – 34560 = 3628800 – 34560 = 3 594 240 
c) homens e mulheres alternados. Resp. Impossível. 
Solução: 
Impossível, pois número de mulheres e menor que o número de homens. 
 
12) Quantas são as soluções inteiras e não negativas de x + y + z = 5? Resp. 21. 
Solução: 
A equação possui 3 incógnitas cuja soma é 5. Logo temos uma combinação com repetição: 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
13) Quantas são as soluções inteiras e não negativas da inequação x + y + z ≤ 5? Resp. 56. 
Solução: 
Como temos uma inequação, os números menores ou iguais a 5 são (0,1,2,3,4 e 5). 
Teremos combinações repetidas de 3 incógnitas para cada número menor ou igual a 5. Logo temos, 
 3,0 = (3+0−1),0 = 2,0 = 1 
 3,1 = (3+1−1),1 = 3,1 = 3 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
Somando-se os resultados temos: 3,0 + 3,1 + 3,2 + 3,3 + 3,4 + 3,5 = 
= 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 = 56 
 
14) Com os algarismos 1, 2, ..., 9 formam-se números de quatro algarismos distintos. Quantos são maiores que 
4326? Resp.: 1923 
Solução: 
Primeiramente colocaremos 4, 3 e 2 fixos: 
 
Teremos, então 1 possibilidade para a casa de milhar, 1 para a centena, 1 para a dezena e 3 possibilidades para 
as unidades, pois devemos ter números maiores que 3 (7, 8 e 9). 
 
Agora colocamos 4 e 3 fixos: 
 
Teremos, então, 1 possibilidade para a casa de milhar, 1 para a centena, 5 para a dezena (pois os números 
maiores que 2 e que não estão fixados são: 5,6,7,8 e 9) e 6 possibilidades para as unidades,( pois podemos ter 
qualquer número distinto, que não seja os que já foram fixados). 
 
Vamos fixar o 4 na casa do milhar: 
 
Teremos, então, 1 possibilidade para a casa de milhar, 5 para a centena (pois os números maiores que 3 e que 
não estão fixados são: 5,6,7,8 e 9), 7 para a dezena (9 – 2) e 6 possibilidades para as unidades. 
 
Por fim calculamos as possibilidades dos números serem maiores que 4. 
Teremos, então, 5 possibilidades para a casa de milhar (números maiores que 4 (5,6,7,8 e 9), 8 para a centena, 7 
para a dezena e 6 para a unidade. 
Portanto, 
 
Somando os resultados temos: 
3 + 30 + 210 + 1680 = 1923 algarismos. 
 
15) Atualmente, as placas de veículos são formados por três letras seguidas de quatro algarismos. Considerando 
essas informações, calcule o número de placas distintas que podem ser fabricadas, iniciadas pelas letras HUI, 
nesta ordem, e cujo último algarismo seja ímpar. Resp. 5000. 
Solução: 
Como as letras são fixas teremos apenas 1 possibilidade para colocá-las. Temos10 números disponíveis ( 
0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9), dos quais o último algarismo deve ser ímpar (1,3,5,7 e 9, cinco possibilidades). 
 
16) Uma cinemateca dispõe de seis filmes e oferece uma sessão dupla, na qual serão exibidos dois desses 
filmes: o primeiro às 16 horas, e o segundo às 18 horas. De quantas maneiras distintas a sequência de filmes 
pode ser escolhida? Resp. 30. 
Solução: 
6 . 5 = 30 𝑎 𝑎 
 
17) Dez enxadristas participam de um campeonato em que todos jogam contra todos. Se um deles vence todas 
as partidas, de quantas são as classificações para os três primeiros colocados? Resp. 72. 
Solução: 
Como um deles venceu todas as partidas, então, temos: 
1 . 9 . 8 = 72 
 
18) Uma estante de 10 livros distintos, sendo cinco de Álgebra, três de Geometria e dois de Trigonometria. De 
quantos modos podemos arrumar esses livros na estante, se desejamos que os livros de um mesmo assunto 
permaneçam juntos? Resp. 8640. 
Solução: 
Como cada assunto permuta entre si, faremos isso separadamente: 
Álgebra → 5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120 
Geometria → 3 = 3! = 3.2.1 = 6 
Trigonometria → 2 = 2! = 2.1 = 2 
Agora faremos a permutação entre os assuntos: 
 3 = 3! = 3.2.1 = 6 
Por PFC temos: 120 . 6_ . 2_ . 6_ = 8640 modos. 
19) Considere os anagramas da palavra CHAVE. Em quantos desses anagramas as vogais não aparecem lado a 
lado? Resp. 72. 
O total de palavras formadas com as letras é dada por 5. 
As vogais que aparecem juntas é dada por 2. 4 
O número de anagramas em que as vogais não aparecem juntas é dado por: 
 5 − 2. 4 = 5! − 2.4! = 120 − 2.24 = 72 anagramas. 
 
20) Uma locadora de automóveis tem à disposição de seus clientes uma frota de dezesseis carros nacionais e 
quatro importados. De quantas formas uma empresa poderá alugar três carros de modo que: 
a) todos sejam nacionais? Resp. 560 formas. 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 𝑎 
 
b) pelo menos um carro nacional seja escolhido? Resp. 1136. 
Solução: 
O número de carros no total é 20 do qual escolheremos 3 a 3. Já a combinação para termos o número de carros 
importados é dada por 4,3. Dessa forma, para termos pelo menos um carro nacional, devemos fazer: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21) Considere os anagramas formados a partir de CORREDOR. Responda: 
a) Quantos são? Resp. 3360 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Quantos começam por R? Resp. 1260. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Quantos começam por COR? Resp. 60. 
 𝑂 __ __ __ ___ ___ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Quantos começam e terminam por R? Resp. 360. 
 R __ __ __ __ __ __ R 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22) Dispomos de 10 produtos para a montagem de cestas básicas. O número de cestas que podemos formar com 
6 desses produtos, de modo que um determinado produto seja sempre incluído é: 
a) 252 b) 210 c) 126 d)120 e) 24 
Solução: 
Como um produto já deve está na cesta, teremos a combinação de 9 produtos, tomados 5 a 5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
23)Calcule: 
𝑎) (
 
 
) 
 
 
 
 
 
 
 ) (
 
 
) 
 
 
 
 
 
 
 ) (
 
 
) 
 
 
 
 
 
 
 ) (
 
 
) 
 
 
 
 
 
 
 ) (
 
 
) 
 
 
 
 
 
 
 ) (
 
 
) 
 
 
 
 
 
 
 ) (
 
 
) 
 
 
 
 
 
 
 
24) Efetue: 
𝑎) (
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
= - 3 
 
 ) (
 
 
) (
 
 
) ( ) 
= 1 – 1 + 1 
= 1 
 
 ) (
 
 
) (
 
 
) 
Solução: 
Pela relação de Stifel temos: 
 ( ) 
 
 
 
 
Portanto . 
 ) (
 
 
) (
 
 
) 
Pela relação de Stifel temos: 
 ( ) 
 
 ( ) 
 
 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 
Portanto, 
 
27) Aplicando a relação de Stifel, calcule: 
𝑎) (
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) 
 
 
 
 
 
 
 ) (
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) 
 
 
 
 
 
 
 ) (
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) 
 
 
 
 
 
 
 
28) Simplifique: 
(
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) (
 
 
)
(
 
 
)
 
Solução: 
(
 
 
) (
 
 
) (
 
 
)
(
 
 
)
 
(
 
 
) (
 
 
)
(
 
 
)
 
(
 
 
)
(
 
 
)
 
 
 ) (
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) 
Solução: 
Pela relação de Stifel temos: 
(
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) 
Logo, 
 
(
 
 
) 
 
(
 
 
) 
 
 ) (
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) 
Solução: 
Pela relação de Stifel temos: 
(
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) 
Logo, 
 
(
 
 
) 
 
(
 
 
) 
 
31) Utilizando o teorema binomial, desenvolva: 
 
𝑎) ( 𝑎 ) (
 
 
) ( 𝑎) (
 
 
) ( 𝑎) (
 
 
) ( 𝑎) (
 
 
) ( 𝑎) (
 
 
) ( 𝑎) (
 
 
) ( 𝑎) 
 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 
 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 
 
 ) ( ) (
 
 
) ( ) (
 
 
) ( ) (
 
 
) ( ) (
 
 
) ( ) (
 
 
) ( ) (
 
 
) ( ) 
 
 
 
 ) (√ ) (
 
 
) (√ ) (
 
 
) (√ ) (
 
 
) (√ ) (
 
 
) (√ ) (
 
 
) (√ ) (
 
 
) (√ ) (
 
 
) (√ ) 
 √ √ √ 
 √ √ √ 
 ) ( 
 
 
)
 
 (
 
 
) ( ) (
 
 
)
 
 (
 
 
) ( ) (
 
 
)
 
 (
 
 
) ( ) (
 
 
)
 
 (
 
 
) ( ) (
 
 
)
 
 (
 
 
) ( ) (
 
 
)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ) (
 
 
 )
 
 
Solução: 
 
 (
 
 
) (
 
 
)
 
 
 (
 
 
)(
 
 
) 
 
Como queremos o termo que possua , devemos impor que: 
 
 
 
 
 
Logo o termo que possui 8 é: 
 (
 
 
) (
 
 
)
 
 (
 
 
)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, o coeficiente procurado é: 
 
 
 
 
 
33) No desenvolvimento de ( ) qual é o termo que contém ? 
Solução: 
 
 (
 
 
) ( ) ( ) 
Como queremos o termo que possua , devemos impor que: 
 
 
 
 
 
 
 ) Qual o termo independente de no desenvolvimento de ( 
 
 
)
 
 
 
Solução: 
 
O termo geral é: 
(
 
 
) ( ) (
 
 
)
 
 (
 
 
) (
 
 
) 
 
Para que o termo independa de x, devemos ter 20 – 5p = 0, isto , 5p = 20 → p = 4. 
Logo o termoprocurado é: 
 (
 
 
) ( )
 
 (
 
 
)
 
 (
 
 
) ( )
 
 
 
 ) Qual o termo independente de no desenvolvimento de ( 
 
 
)
 
 
Solução: 
O termo geral é: 
(
 
 
) ( ) (
 
 
)
 
 (
 
 
) (
 
 
) 
Para que o termo independa de x, devemos ter: 
 
 
 
 
 
 
 
Como p não é um número inteiro, logo não existe termo independente de x. 
 ) (
 
 
) (
 
 
) 
Solução: 
Pela relação de Stifel, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto . 
 
 
 
 ) ∑ (
 
 
) 
 
 
 
Solução: 
∑ (
 
 
) 
 
 
 ∑ (
 
 
) 
 
 
 
∑ 
 
 
 
 
 
 
 ( ) ( ) ( ) 
 ( )( ) 
 
 ∑ (
 
 
) 
 
 
 ∑(
 
 
) 
 
 
 
De acordo com o Binômio de Newton, temos: 
( ) ∑(
 
 
) ( ) 
 
 
 
 ∑(
 
 
) 
 
 
 
Portanto, 
 ∑(
 
 
) 
 
 
 
 
 ) ∑ (
 
 
) 
 
 
 
Solução: 
∑ (
 
 
) 
 
 
 ∑ (
 
 
) 
 
 
 
∑ 
 
 
 
 
 
 
 ( ) ( ) ( ) 
 ( )( ) 
 
 ∑ (
 
 
) 
 
 
 ∑(
 
 
) 
 
 
 
De acordo com o Binômio de Newton, temos: 
( ) ∑(
 
 
) ( ) 
 
 
 
 ∑(
 
 
) 
 
 
 
Portanto, 
 
 ∑(
 
 
) 
 
 
 
 ) ( ) ( ) 
Solução: 
O desenvolvimento de ( ) é dado por: 
 (
 
 
) 
O desenvolvimento de ( ) é dado por: 
 (
 
 
) ( ) ( ) 
 (
 
 
) ( ) 
Multiplicando os termos temos: 
 (
 
 
)(
 
 
) ( ) 
 (
 
 
)(
 
 
) ( ) 
Como queremos o coeficiente de devemos impor: 
 
 
 ( ) 
 
Para temos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo e nos termos binomiais, temos: 
 (
 
 
) (
 
 
) ( ) 
 
 ( ) 
 
 
 
Substituindo e nos termos binomiais, temos: 
 (
 
 
) (
 
 
) ( ) 
 
 
 
 
 
 
Somando-se os resultados, temos: 
 
Portanto o coeficiente de é 755. 
 
 
40) Determine o coeficiente de no desenvolvimento de ( ) 
Solução: 
Tomando uma quantidade 𝑎 de 1, de e de , temos que encontrar 𝑎 tais que: 
 𝑎 𝑎 . 
{
 
𝑎 
 
 
Como precisamos apenas de soluções inteiras, podemos fazer na 1ª equação: 
Para temos 
 
 
 
Para temos , substituindo esses valores na 2ª equacao encontramos 𝑎 
Para temos 
 
 
 
A única solução possível é 𝑎 Logo, o coeficiente de será dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto o coeficiente de é 3420.