ÁLGEBRA LINEAR

Prévia do material em texto

ÁLGEBRA LINEAR 
1° Questão 
Para que valores de x e y a matriz P é uma matriz diagonal? 
P= [yx−y+3x+y−1x][yx-y+3x+y-1x] 
 
 
x=0 e y=-1 
 
x=3 e y= 0 
 x=-1 e y=2 
 
x=2 e y=2 
 
x=2 e y= 2 
 
Explicação: 
Matriz diagonal é a matriz quadrada onde todos os elementos fora da diagonal principal 
são nulos, logo: 
x + y - 1 = 0 
x - y + 3 = 0 
Resolvendo o sistema temos: 
x = -1; y = 2 
 
 
2° Questão: 
Determine a matriz dos cofatores da matriz A= [ 2111] 
 
 
[10 
01] 
 
 
[01 
10] 
 
 
[21 
11] 
 
 [1−1 
−1 2] 
 
 
[ 1] 
 
 
Explicação: 
A = [ 2111][ 2111] 
O cofator de uma matriz é Aij = (-1)i+j . Di,j. Onde Di,j é o menor complementar. O seu 
determinante é obtido eliminando a linha i e a coluna j. 
A11 = (-1)1+1 . D1,1 = 1 . 1 = 1. 
A12 = (-1)1+2 . D1,2 = -1 . 1 = -1. 
A21 = (-1)2+1 . D2,1 = -1 . 1 = -1. 
A22 = (-1)2+2 . D2,2 = 1 . 2 = 2. 
Conclusão, o cofator da matriz A= [ 2111] é a matriz [ 1−1−1 2][ 1−1−1 2]. 
 
 
 
3° Questão: 
Coma base na matriz ampliada a seguir indique a alternativa que representa 
as equações correspondentes? 
⎡⎢⎣224−1113−2124−3⎤⎥⎦ 
 
 
x + y + 4z = -5 
3x + 2y + 3z = 6 
x + 3y + 4z = -4 
 
x + y + z = -5 
2x + 2y + 3z = 6 
3x + 3y + 4z = -5 
 
2x + y + z = 3 
x + y + 3z = 4 
x+ 3y + z = -5 
 
x + 2y + z = 6 
x + 2y + 3z = 3 
2x + 3y + 4z = -2 
 2x + 2y + 4z = -1 
x + y + 3z = -2 
x + 2y + 4z = -3 
 
 
Explicação: 
Cabe observar que a matriz ampliada deve ser obtida com o acréscimo de 
uma coluna, com os termos independentes, à matriz dos coeficientes. 
Dessa forma podemos estruturar as seguintes equações: 
2x + 2y + 4z = -1 
x + y + 3z = -2 
x + 2y + 4z = -3 
 
 
 
4°Questão: 
Uma matriz A tem 10 linhas e 10 colunas. Os elementos que formam a terceira linha 
são formados a partir da média aritmética entre os elementos da 5ª e 9ª linhas. A da 
matriz A, é possível afirmar que: 
 
 Apresenta inversa, isto é A-1 
 Seu determinante pode ser zero 
 Seu determinante sempre será zero 
 Seu determinante nunca será zero 
 Nada pode ser afirmado com respeito ao seu determinante 
 
 
Explicação: 
Como uma linha é combinação linear das demais, o determinante é igual a zero. 
 
 
5° Questão: 
Se u = ( x, 5, 11), v = (1, -3, z) e w = (1, y, 5), os seus escaleres x, y e z para a 
operação w + v = 2u são respectivamente ? 
 
 
x = 1, y = -13 e z = 1. 
 x = 1, y =13 e z = 17. 
 
x = 1, y =-13 e z =1. 
 
x = 0, y = 2 e z =16. 
 
x = 1, y = 5 e z = 11. 
 
 
Explicação: 
Sendo 
w + v = 2u. 
(1, y, 5) + (1, -3, z) = 2(x, 5, 11). 
(1, y, 5) + (1, -3, z) = (2x, 10, 22) 
1 + 1 = 2x => x = 1. 
Y - 3 = 10 => y = 10 + 3 => y = 13. 
5 + z = 22 => z = 22 - 5 => z = 17. 
Conclusão: 
Os valores escalares são x = 1, y = 13 e z = 17. 
 
 
 
6° Questão: 
Se as matrizes A e B abaixo são iguais, então o valor de k + t é: 
 
 
 
3 
 
1 
 0 
 
-1 
 
-2 
 
7° Questão: 
Determine a imagem do vetor v = (2, 7) pela Transformação Linear T(x,y) = (2x - 2y, 
4x - y). 
 
 
(-11, 2) 
 
(12,-3) 
 (-10,1) 
 
(11,-2) 
 
(12,-7) 
 
8° Questão: 
Determine a imagem do vetor v = (2, -3) pela Transformação Linear T(x,y) = (x - 2y, 
2x). 
 
 
(4, 6) 
 
(-4, -6) 
 
(-2, 8) 
 
(8, -6) 
 (8,4) 
 
9° Questão. 
Se duas linhas (colunas) de A são iguais, então det(A) = ? 
 
 
-2 
 0 
 
2 
 
1 
 
-1 
 
Explicação: Se duas linhas (colunas) de A são iguais, então det(A) = 0 
 
 
10° Questão: 
Encontre o polinômio característico da matriz 2X2 abaixo: 
4 3 
2 1 
 
 
λ²-3λ-4 
 
λ²-3λ+6 
 
λ²-3λ-3 
 λ²-5λ-2 
 
λ²-5λ+5