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17 AULA 2 – VIBRAÇÃO LIVRE SEM AMORTECIMENTO COM 1GDL Dinâmica das Máquinas Prof. Gilberto Machado da Silva ROTEIRO DA AULA: Prezado aluno, nessa estudará resposta livre de um sistema mecânico sem amortecimento. Dessa forma, estude o texto abaixo, complemente seus conhecimentos no livro texto capitulo 2 e responda às 3 questões ao final da aula. 2. Vibração livre de sistemas com um grau de liberdade Diz-se que um sistema sofre vibração livre quando oscila somente sob uma perturbação inicial (deslocamento ou velocidade inicial), sem a ação de nenhum tipo de força. Dado o sistema massa e mola e seu diagrama de corpo livre: Fig 2.1 Sistema massa mol na posição horizontal Aplicando a segunda lei de Newton: Como não há a atuação de nenhuma força: F(t)=0, logo: Que representa a equação de movimento do sistema, a solução da equação diferencial pode ser resolvida admitindo-se a seguinte solução: Onde C é a constante a ser determinada. Substituindo na equação de movimento temos: Como C não pode ser zero tem-se: Por consequência: Como: logo: 18 AULA 2 – VIBRAÇÃO LIVRE SEM AMORTECIMENTO COM 1GDL Dinâmica das Máquinas Prof. Gilberto Machado da Silva Onde: ωn é frequência natural não amortecida do sistema. Assumindo a solução geral: Onde: logo a solução será do tipo: As constantes C1 e C2 ou A1 e A2 podem ser determinadas pelas condições iniciais do sistema: Logo a solução da equação diferencial será: A mesma solução pode ser representada outa forma: Usando as relações: A representação da resposta no tempo é dada por: 19 AULA 2 – VIBRAÇÃO LIVRE SEM AMORTECIMENTO COM 1GDL Dinâmica das Máquinas Prof. Gilberto Machado da Silva Fig 2.2 Representação gráfica do movimento de um oscilador harmônico Exercícios 2.1) Determine a frequência natural do sistema barra em tração uniforme de comprimento l, seção transversal A e modulo de elasticidade E. Está sujeita à força F e massa mostrado mostrada na figura abaixo: Quando uma barra está sujeita à força peso P sofre uma deformação δ, logo: Logo a deformação é dada por: � = �.��.� a barra pode ser modela como uma mola de rigidez k: Como a rigidez da barra é dada por: � = � então: = � logo: = �.�� então a frequência natural do sistema barra massa será: �� = �� ou �� = �.��.� 2.2) Uma viga engastada de seção transversal 5x5 mm e comprimento de 1 m, suporta em sua extremidade uma massa 2.3 kg. O sistema viga e massa possui uma frequência natural de 30rad/s. Determine o módulo de elasticidade da viga. 20 AULA 2 – VIBRAÇÃO LIVRE SEM AMORTECIMENTO COM 1GDL Dinâmica das Máquinas Prof. Gilberto Machado da Silva Solução no livro texto cap. 2 - exemplo 2.3 2.3) Um cilindro de área A densidade ρc imerso parcialmente numa profundidade x, num liquido de densidade ρa. Considerando a gravidade g determine a frequência natural de oscilação do sistema. A massa do cilindro é dada por: mc=A.h.ρc A rigidez é dada pela força de empuxo dada por: �� = �. �� . �. � peso de água deslocada. Como: �� = � .� , logo: � = ��� ou � = �. �� . � a frequencia natural do sistema : �� = ��� . ��� . ℎ 2.4) Dado o sistema mostrado com k=400 N/m e m=10 kg, l1=l e l2=2l a) Determine a equação de movimento do sistema b) A resposta do sistema para as condições iniciais: �� = 0,005 " # �$� = 0.02 "/' a) "�( = " )* �(�* = )* +�),* onde: �) = �* )* �(�* = )* -�*.* então: �( = �/ Equação de movimento: ". �0 + �/ . � = 0 ou 10. �0 + 1000. � = 0 b) Frequência natural: �� = ��3��3 ou �� = )���)� �� = 10 4�56 �+7, = ��'#8 +��7 + 9�, �� = :+��,* + - �$;<=.*> )/* �� = 2,06. 10@A " 9� = 7�@) B �;�$;<= C 9� = 25. 10@A DEF �+7, = 2,06. 10@A. '#8 +107 + 25. 10@A, ["] 21 AULA 2 – VIBRAÇÃO LIVRE SEM AMORTECIMENTO COM 1GDL Dinâmica das Máquinas Prof. Gilberto Machado da Silva 2.5) Um sistema torcional é composto por um disco com momento de inércia de massa J0=20kg.m2 e um eixo de torção com comprimento de 2 m e 50 mm de diâmetro, mostrados: Determine a resposta temporal θ(t) para as condições iniciais: I� = 0 # I$� = 0.01 DEF/' Equação do movimento: J = 6,13 �L� e M� = 20 �. "* 20. I0 + 6130. I = 0 A frequência natural: �� = �NOP ou �� = Q)A�*� �� = 17,51 4�56 I+7, = 5,71. 10@/ . '#8 17,51. 7 [DEF] A rigidez torcional: 22 AULA 2 – VIBRAÇÃO LIVRE SEM AMORTECIMENTO COM 1GDL Dinâmica das Máquinas Prof. Gilberto Machado da Silva 2.6) A caixa d’água mostrada possui 3.105 kg de massa e altura de 90m. A coluna possui seção circular vazada com 3m de diâmetro externo e 2,5m de diâmetro interno. Determine: a) a frequencia natural do sistema b) Resposta x(t) do sistema para as condições iniciais �� = 0,25 " # �$� = 0 c) Os valores das velocidades e acelerações máximas. Solução no livro texto cap. 2 - exemplo 2.1 Exercícios Recomendados para solução do livro texto 2.12 - 2.13 – 2.55 – 2.68 - 2.69 – 2.71
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