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Apostila Dinâmica das Máquinas - Unidade 02

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17 
 
AULA 2 – VIBRAÇÃO LIVRE SEM AMORTECIMENTO COM 1GDL 
Dinâmica das Máquinas Prof. Gilberto Machado da Silva
 
ROTEIRO DA AULA: 
 Prezado aluno, nessa estudará resposta livre de um sistema mecânico sem amortecimento. 
Dessa forma, estude o texto abaixo, complemente seus conhecimentos no livro texto capitulo 2 
e responda às 3 questões ao final da aula. 
2. Vibração livre de sistemas com um grau de liberdade 
Diz-se que um sistema sofre vibração livre quando oscila somente sob uma perturbação inicial 
(deslocamento ou velocidade inicial), sem a ação de nenhum tipo de força. 
Dado o sistema massa e mola e seu diagrama de corpo livre: 
 
Fig 2.1 Sistema massa mol na posição horizontal 
Aplicando a segunda lei de Newton: 
 
 
Como não há a atuação de nenhuma força: F(t)=0, logo: 
 
Que representa a equação de movimento do sistema, a solução da equação diferencial pode ser 
resolvida admitindo-se a seguinte solução: 
 
Onde C é a constante a ser determinada. Substituindo na equação de movimento temos: 
 
Como C não pode ser zero tem-se: 
 
Por consequência: 
 
Como: logo: 
 
 
18 
 
AULA 2 – VIBRAÇÃO LIVRE SEM AMORTECIMENTO COM 1GDL 
Dinâmica das Máquinas Prof. Gilberto Machado da Silva
 
Onde: ωn é frequência natural não amortecida do sistema. 
Assumindo a solução geral: 
 
Onde: logo a solução será do tipo: 
 
As constantes C1 e C2 ou A1 e A2 podem ser determinadas pelas condições iniciais do sistema: 
 
 
Logo a solução da equação diferencial será: 
 
A mesma solução pode ser representada outa forma: 
 
 
Usando as relações: 
 
 
 
A representação da resposta no tempo é dada por: 
 
 
19 
 
AULA 2 – VIBRAÇÃO LIVRE SEM AMORTECIMENTO COM 1GDL 
Dinâmica das Máquinas Prof. Gilberto Machado da Silva
 
Fig 2.2 Representação gráfica do movimento de um oscilador harmônico 
Exercícios 
2.1) Determine a frequência natural do sistema barra em tração uniforme de comprimento l, 
seção transversal A e modulo de elasticidade E. Está sujeita à força F e massa mostrado mostrada 
na figura abaixo: 
 
Quando uma barra está sujeita à força peso P sofre uma deformação δ, logo: 
 
Logo a deformação é dada por: � = �.��.� a barra pode ser modela como uma mola de rigidez k: 
Como a rigidez da barra é dada por: � = 	� então: 	 = �
 logo: 	 = �.�� então a frequência 
natural do sistema barra massa será: �� = 
 �� ou �� = 
�.��.� 
 
2.2) Uma viga engastada de seção transversal 5x5 mm e comprimento de 1 m, suporta em sua 
extremidade uma massa 2.3 kg. O sistema viga e massa possui uma frequência natural de 
30rad/s. Determine o módulo de elasticidade da viga. 
 
 
 
20 
 
AULA 2 – VIBRAÇÃO LIVRE SEM AMORTECIMENTO COM 1GDL 
Dinâmica das Máquinas Prof. Gilberto Machado da Silva
 
Solução no livro texto cap. 2 - exemplo 2.3 
2.3) Um cilindro de área A densidade ρc imerso parcialmente numa profundidade x, num liquido 
de densidade ρa. Considerando a gravidade g determine a frequência natural de oscilação do 
sistema. 
 
A massa do cilindro é dada por: mc=A.h.ρc 
A rigidez é dada pela força de empuxo dada por: �� = �. �� . �. � peso de água deslocada. 
Como: �� = 	�	.� , logo: 	� = ��� ou 	� = �. �� . �	 a frequencia natural do sistema : 
�� = ��� . ��� . ℎ 
 
2.4) Dado o sistema mostrado com k=400 N/m e m=10 kg, l1=l e l2=2l 
 
 
a) Determine a equação de movimento do sistema 
b) A resposta do sistema para as condições iniciais: �� = 0,005	"				#				�$� = 0.02	"/' 
a) "�( = " 
 
)* 	�(�* = )* 	+�),* onde: 					�) = �* )* 	�(�* = )* 	 -�*.* então: 	�( = �/ 
 Equação de movimento: ". �0 + �/ . � = 0 ou 10. �0 + 1000. � = 0 
b) Frequência natural: 	�� = 
 ��3��3 ou 	�� = 
)���)� 	�� = 10	 4�56 
 
 �+7, = ��'#8	+��7 + 9�, �� = :+��,* + - �$;<=.*>
)/*
 �� = 2,06. 10@A	" 
 9� = 7�@) B �;�$;<=	C 9� = 25. 10@A	DEF		 
 
�+7, = 2,06. 10@A. '#8	+107 + 25. 10@A,				["] 
 
21 
 
AULA 2 – VIBRAÇÃO LIVRE SEM AMORTECIMENTO COM 1GDL 
Dinâmica das Máquinas Prof. Gilberto Machado da Silva
 
2.5) Um sistema torcional é composto por um disco com momento de inércia de massa 
J0=20kg.m2 e um eixo de torção com comprimento de 2 m e 50 mm de diâmetro, mostrados: 
 
 
Determine a resposta temporal θ(t) para as condições iniciais: I� = 0				#				I$� = 0.01	DEF/' 
 
Equação do movimento: 
 
 
 
 
	J = 6,13	 �L� e M� = 20		�. "* 
 
 20. I0 + 6130. I = 0 
 
A frequência natural: �� = 
�NOP ou �� = 
Q)A�*� �� = 17,51	 4�56 
 
 
 
 
 
 I+7, = 5,71. 10@/	. '#8	17,51. 7			[DEF] 
 
A rigidez torcional: 
 
22 
 
AULA 2 – VIBRAÇÃO LIVRE SEM AMORTECIMENTO COM 1GDL 
Dinâmica das Máquinas Prof. Gilberto Machado da Silva
 
2.6) A caixa d’água mostrada possui 3.105 kg de massa e altura de 90m. A coluna possui seção 
circular vazada com 3m de diâmetro externo e 2,5m de diâmetro interno. Determine: 
 
a) a frequencia natural do sistema 
b) Resposta x(t) do sistema para as condições iniciais �� = 0,25	"				#				�$� = 0 
c) Os valores das velocidades e acelerações máximas. 
Solução no livro texto cap. 2 - exemplo 2.1 
 
Exercícios Recomendados para solução do livro texto 
2.12 - 2.13 – 2.55 – 2.68 - 2.69 – 2.71

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