Integral de Dirichlet Resolvida

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Integral de Dirichlet
Método de Solução
Considerações Iniciais
Esse material é a solução comentada de uma integral não trivial: A integral de Dirichlet.
Esse material foi desenvolvido como forma de mostrar uma solução interessante para poder
auxiliar alunos, estudantes e amantes da matemática com esse problema.
Além disso, caso tenha obtido esse material por outro canal que não seja o Passei Direto,
convido a conhecer meu perfil, sempre busco trazer soluções de problemas, notas de aulas de
física e matemática dentre outros materiais Basta acessar: https://www.passeidireto.
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A Integral de Dirichlet
Aqui discutiremos a solução da integral de Dirichlet. No entanto, apresentaremos a integral
denotada por I na Equação (1) essa que por sua vez será calculada em termos da integral de
Dirichlet.
I =
∫ ∞
−∞
senx
x
dx. (1)
A solução dessa integral não é trivial, a mesma requer abordagens não tão tradicionais,
é comum, por exemplo, a utilização do método de Leibniz para resolvê-la. Todavia, nesse
material iremos utilizar uma abordagem através do cálculo de várias variáveis, em destaque as
integrais do Rn.
De início observe que a função de integração na Equação (1) é uma função par e logo
podemos escrevê-la na forma apresentada na Equação (2)
I =
∫ ∞
−∞
senx
x
dx = 2
∫ ∞
0
senx
x
dx. (2)
Em que, o termo após a segunda igualdade é a integral de Dirichlet multiplicada por dois. No
presente texto, mostraremos o valor apenas dessa parte e posteriormente do valor da integral I
que apresentamos inicialmente.
Agora, vamos considerar uma integral auxiliar em termos da variável y a qual será repre-
sentada na Equação (3)∫ ∞
0
e−xysen(x)dy =
1
x
e−xysen(x)]∞0 =
sen(x)
x
. (3)
Note que o termo e−xy assegura a continuidade do integrando e por conseguinte a integração.
Com essa consideração, podemos, então usar a Equação (3) em (2) de modo que temos a integral
em (4) ∫ ∞
0
∫ ∞
0
e−xysen(x)dydx. (4)
1
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Como temos a continuidade do integrando na região de integração podemos, pelo Teorema
de Fubini, alternar a ordem de integração. Assim, prosseguiremos integrando, inicialmente, em
relação a x, que nos dará o seguinte desenvolvimento algébrico
∫ ∞
0
[∫ ∞
0
e−xysen(x)dx
]
dy =
∫ ∞
0
[
−cos(x)e−xy + y
∫ ∞
0
e−xycos(x)dx
]∞
0
dy
=
∫ ∞
0
[
−cos(x)e−xy − ye−xysen(x)− y2
∫ ∞
0
e−xysen(x)dx
]∞
0
dy
=
∫ ∞
0
[
−cos(x)e−xy − ye−xysen(x)
1 + y2
]∞
0
dy
=
∫ ∞
0
1
1 + y2
dy = [arctan(y)]∞0
=
[π
2
− 0
]
=
π
2
(5)
Ou seja, temos que: ∫ ∞
0
∫ ∞
0
e−xysen(x)dxdy =
π
2
(6)
O resultado obtido na Equação (6) é exatamente o valor para a Integral de Dirichlet. De posse
desse resultado, encontraremos o valor para a integral I inicialmente apresentada, em que basta
recorrermos a Equação (2) juntamente com (4), que nos dá
I =
∫ ∞
−∞
senx
x
dx
=
∫ ∞
0
∫ ∞
0
e−xysen(x)dxdy
= 2 ·
∫ ∞
0
∫ ∞
0
e−xysen(x)dydx = 2
(π
2
)
= π (7)
E com o resultado obtido na Equação (7) mostramos, finalmente, que∫ ∞
−∞
senx
x
dx = π (8)
e isso completa nossa avaliação da integral (1).
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